Нормальная составляющая вектора как найти

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, given a vector at a point on a curve, that vector can be decomposed uniquely as a sum of two vectors, one tangent to the curve, called the tangential component of the vector, and another one perpendicular to the curve, called the normal component of the vector. Similarly, a vector at a point on a surface can be broken down the same way.

More generally, given a submanifold N of a manifold M, and a vector in the tangent space to M at a point of N, it can be decomposed into the component tangent to N and the component normal to N.

Formal definition[edit]

Surface[edit]

More formally, let be a surface, and be a point on the surface. Let be a vector at Then one can write uniquely as a sum

where the first vector in the sum is the tangential component and the second one is the normal component. It follows immediately that these two vectors are perpendicular to each other.

To calculate the tangential and normal components, consider a unit normal to the surface, that is, a unit vector perpendicular to at Then,

and thus

where “” denotes the dot product. Another formula for the tangential component is

where “” denotes the cross product.

Note that these formulas do not depend on the particular unit normal used (there exist two unit normals to any surface at a given point, pointing in opposite directions, so one of the unit normals is the negative of the other one).

Submanifold[edit]

More generally, given a submanifold N of a manifold M and
a point , we get a short exact sequence
involving the tangent spaces:

The quotient space is a generalized space of normal vectors.

If M is a Riemannian manifold, the above sequence splits, and the tangent space of M at p decomposes as a direct sum of the component tangent to N and the component normal to N:

Thus every tangent vector splits as
,
where and .

Computations[edit]

Suppose N is given by non-degenerate equations.

If N is given explicitly, via parametric equations (such as a parametric curve), then the derivative gives a spanning set for the tangent bundle (it is a basis if and only if the parametrization is an immersion).

If N is given implicitly (as in the above description of a surface, (or more generally as) a hypersurface) as a level set or intersection of level surfaces for , then the gradients of span the normal space.

In both cases, we can again compute using the dot product; the cross product is special to 3 dimensions however.

Applications[edit]

• Lagrange multipliers: constrained critical points are where the tangential component of the total derivative vanish.
• Surface normal
• Frenet–Serret formulas
• Differential geometry of surfaces#Tangent vectors and normal vectors

References[edit]

• Rojansky, Vladimir (1979). Electromagnetic fields and waves. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-63834-0.

• Benjamin Crowell (2003) Light and Matter. (online version).

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x – 3 y + 7 z – 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , – 3 , 7 ) – это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , – 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , – 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z – 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z – 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z – 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Граничные условия для векторов электрического и магнитного поля на границе раздела двух сред

А) Граничные условия для вектора электрической индукции.

Рассмотрим границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Выделим на границе элементарный цилиндр, как показано на рис. 3.1.1.

Рис.1.4.1.Элементарный цилиндр, выделенный на границе раздела двух сред для определения граничных условий на вектор электрической индукции. и — нормали к поверхности S.

Согласно теореме Гаусса-Остроградского поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов внутри объема V, ограниченного этой поверхностью:

(3.1.1)

Устремим высоту цилиндра к нулю . Тогда (3.1.1) преобразуется так:

(3.1.2)

Где , – компоненты вектора индукции, перпендикулярные границе раздела, S — площадь основания цилиндра.

Введем поверхностную плотность заряда:

(3.1.3)

Размерность поверхностной плотности заряда = Кл/м2 (Кулон на квадратный метр).

Тогда (3.1.2) можно переписать в виде

(3.1.4)

Если плотность поверхностного заряда равна нулю (), то

. (3.1.5)

Мы можем сформулировать следующее важное утверждение:

На границе раздела, не содержащей поверхностных зарядов, нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна.

Б) Граничные условия для вектора магнитной индукции.

Рассмотрим границу раздела двух сред, обладающих различной магнитной проницаемостью. Из тех же соображений, что и в предыдущем пункте и принимая во внимание, что магнитных зарядов не существует, можно записать

(3.1.6)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред нормальная составляющая вектора магнитной индукции всегда непрерывна.

В) Граничные условия для вектора напряженности электрического поля .

Рассмотрим снова границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Выделим на границе замкнутый контур в соответствии с рис. 3.1.2. и используем закон электромагнитной индукции:

Где L — выбранный контур, L = 2 (1 + ) , S — площадь поверхности, ограниченная контуром L.

Рис.3.1.2. Контур на границе раздела двух сред, используемый при определении граничных условий для векторов напряженности электрического поля.

Устремим ширину контура к нулю, тогда поток вектора через поверхность S обратится в ноль, и мы получим

(3.1.7)

Откуда следует, что

(3.1.8)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред касательная составляющая вектора напряженности электрического поля всегда непрерывна.

Г) Граничные условия для вектора напряженности магнитного поля Н.

Как в предыдущем случае выделим на границе раздела двух сред замкнутый контур L (рис.1.4.2). Воспользуемся законом полного тока

(3.1.9)

Где — плотность тока, протекающего через поверхность S, ограниченную контуром L.

Учтем, что вдоль границы раздела может течь ток проводимости, тогда при стремлении следует ввести поверхностную плотность тока:

(3.1.10)

Размерность поверхностной плотности тока [] = А/м. Теперь (3.1.9) можно переписать так:

Откуда следует, что

(3.1.11)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред разность касательных составляющих напряженности магнитного поля равна поверхностной плотности тока.

При отсутствии поверхностного тока

(3.1.12)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред, по которой не течет поверхностный ток, касательная составляющая магнитного поля непрерывна.

Д) Граничные условия на поверхности идеального проводника.

Определим идеальный проводник, как проводник, внутрь которого не может проникать электромагнитное поле . Для полей СВЧ-диапазона хорошие проводники (серебро, медь) можно в первом приближении рассматривать как идеальные. На поверхности такого проводника, тем не менее, может течь ток проводимости и формироваться поверхностный заряд. Поэтому на поверхности идеального проводника

, ,

, .

Силовые линии электрического поля перпендикулярны к поверхности идеального проводника; силовые линии магнитного поля касательны к поверхности идеального проводника, как показано на рис.3.1.3.

Рис.3.1.3. Силовые линии электрического и магнитного полей вблизи поверхности идеального проводника.

Теория поля

Известная также, как векторный анализ. А кому-то векторный анализ, известный как теория поля =) Наконец-то мы добрались до этой интереснейшей темы! Данный раздел высшей математики язык не поворачивается назвать простым, однако ж, в грядущих статьях я постараюсь достигнуть двух целей:

а) чтобы все понимали, о чём вообще идёт разговор;

б) и чтобы «чайники» научились решать, как минимум, простые вещи – хотя бы на уровне заданий, которые предлагаются студентам-заочникам.

Весь материал будет изложен в популярном стиле, и если вам нужна более строгая и полная информация, то можно взять, например, 3-й том Фихтенгольца или заглянуть в Вики.

И сразу расшифруем заголовок. С теорией, думаю, всё понятно – в лучших традициях сайта мы разберём её основы и сделаем основной упор на практику. Ну а с чем у вас ассоциируется слово «поле»?

Поле с травой, футбольное поле…. Ещё? Поле деятельности, поле экспериментов. Приветствую гуманитариев! …Из школьного курса? Электрическое поле, магнитное, электромагнитное…, так, хорошо. Гравитационное поле Земли, в котором мы находимся. Отлично! Так, кто это там сказал о поле действительных и комплексных чисел? …совсем какие-то монстры здесь собрались! =) Благо, алгебра уже пройдена.

На ближайших уроках мы познакомимся со специфическим понятием поля, конкретными примерами из жизни, а также научимся решать тематические задачи векторного анализа. Теорию поля лучше всего изучать, как вы правильно догадываетесь, на поле – природе, где есть лес, речка, озеро, деревенский домик, и я приглашаю всех погрузиться если и не в тёплую летнюю реальность, то в приятные воспоминания:

ПолЯ в рассматриваемом сегодня смысле бывают скалярные и векторные, и начнём мы с их «кирпичиков».

Во-первых, скаляр. Довольно-таки часто этот термин ошибочно отождествляют с числом. Нет, всё обстоит немного не так: скаляр – это величина, каждое значение которой может быть выражено лишь одним числом. В физике примеров масса: длина, ширина, площадь, объём, плотность, температура и др. Всё это скалярные величины. И, кстати, масса – тоже пример.

Во-вторых, вектор. Алгебраического определения вектора я коснулся на уроке о линейных преобразованиях и одну из его частных ипостасей не знать просто невозможно =) Типичный вектор выражается двумя или бОльшим количеством чисел (своими координатами). И даже для одномерного вектора лишь одного числа не достаточно – по той причине, что у вектора есть ещё направление. И точка приложения, если вектор не свободен. Векторами характеризуют силовые физические поля, скорость и многие другие величины.

Ну что же, теперь можно приступить к сбору алюминиевых огурцов урожая:

Скалярное поле

Если каждой точке некоторой области пространства поставлено в соответствие определённое число (чаще действительное), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Рассмотрим, например, исходящий из земли перпендикулярный луч. Воткните для наглядности лопату =) Какие скалярные поля можно задать на этом луче? Первое, что напрашивается – это поле высоты – когда каждой точке луча поставлена в соответствие её высота над уровнем земли. Или, например, поле атмосферного давления – здесь каждой точке луча соответствует числовое значение атмосферного давления в данной точке.

Теперь подойдём к озеру и мысленно проведём над его поверхностью плоскость. Если каждой точке «водного» фрагмента плоскости поставить в соответствие глубину озера, то, пожалуйста – скалярное поле задано. В этих же точках можно рассмотреть и другие скалярные величины, например, температуру поверхности воды.

Важнейшим свойством скалярного поля является его инвариантность относительно системы координат. Если перевести на человеческий язык, то с какой бы стороны мы на лопату / озеро ни посмотрели – скалярное поле (высота, глубина, температура и т.д.) от этого не изменятся. Более того, скалярное поле, скажем, глубины можно ведь задать и на другой поверхности, например, на подходящей полусфере, или непосредственно на самой водной поверхности. А почему нет? Разве нельзя каждой точке полусферы, расположенной над озером, поставить в соответствие число? Плоскость я предложил исключительно ради удобства.

Добавим ещё одну координату. Возьмите в руку камень. Каждой точке этого камня можно поставить в соответствие его физическую плотность. И опять – в какой бы системе координат мы его ни рассмотрели, как бы ни крутили в руке – скалярное поле плотности останется неизменным. Впрочем, некоторые люди могут оспорить этот факт =) Такой вот философский камень.

С чисто математической точки зрения (вне физического или другого частного смысла) скалярные поля традиционно задают нашими «обычным» функциями одной , двух , трёх и бОльшего количества переменных. При этом в теории поля в широком ходу традиционные атрибуты этих функций, такие как, область определения, линии и поверхности уровня.

Так, линии уровня глубины озера представляют собой замкнутые непересекающиеся линии на плоскости. Каждая из этих линий соответствует определённому значению глубины, и по соответствующей «плоской» карте мы можем судить о рельефе дна – где мелководье, где «обрывы» и т.д.

Поверхности уровня представляют собой непересекающиеся пространственные поверхности, «вложенные» друг в друга. Или «лежащие» друг на друге. Или… у кого на что фантазии хватит =) Каждой такой поверхности соответствует постоянное значение скалярного поля, например, какая-то конкретная температура.

Однако наши «обычные» числа и функции задают скалярные поля далеко не всегда! Приведу классический пример с вектором – для определённости рассмотрим геометрический вектор плоскости в некоторой аффинной системе координат. Что произойдёт, если перейти к новому базису? В общем случае данный вектор поменяет координаты: .

Координаты вектора – это числа? Числа. Но скалярными величинами они не являются! Поскольку скаляры не зависят от системы координат. Более того, координаты векторов можно ведь задать и «обычными» функциями – и эти функции не будут порождать скалярное поле!

Надо сказать, ловким получился переход к следующему параграфу:

Векторное поле

Если каждой точке некоторой области пространства поставлен в соответствие вектор с началом в данной точке, то говорят, что в этой области задано векторное поле.

Из чего следует, что элементы векторного поля не свободны, то есть «привязаны» к точкам. И почему векторы в «неволе» – становится ясно из простых примеров. В частности, на уроке о криволинейных интегралах по замкнутому контуру мы провели «плоский» опыт с магнитом на столе: чем ближе к магниту поднести железку, тем сильнее она притягивается. И эта сила в той или иной точке поверхности стола как раз характеризуется вектором напряжённости магнитного поля. Чем сильнее притяжение, тем длиннее вектор, ну и его остриё, понятно, указывает направление действия силы.

Но гораздо чаще векторные поля рассматривают в трёхмерном пространстве, пожалуйста: наша Земля – тот же больший магнит. Другой пример – её гравитационное поле. Чем дальше от поверхности, тем меньше сила тяжести и тем короче соответствующие силовые векторы. Кстати, куда они «смотрят»? Говоря просто, все они направлены к центру нашей планеты.

Большую группу векторных полей образуют так называемые поля скоростей. Посмотрите на поле (которое с травкой) и мысленно очертите над ним произвольную пространственную область. Представьте, что над полем дует ветер – небольшой такой ураганчик для пущей наглядности. Теперь зафиксируем некоторый момент времени и каждой точке построенной области поставим в соответствие несвободный вектор, который характеризует:

а) направление движения воздуха в данной точке;
б) и скорость его движения в данной точке – чем выше скорость, тем длиннее вектор. Если в какой-то точке штиль, то ей сопоставляется нулевой вектор.

Множество этих векторов и образует векторное поле скорости ветра в данный момент времени.

Аналогично устроено поле скоростей течения жидкости – так, например, каждой точке реки в некоторый момент времени можно поставить в соответствие вектор, указывающий направление и скорость течения жидкости в этой точке.

Да чего там ветер и река, поле скорости можно смоделировать собственноручно, для этого достаточно взмахнуть рукой. Или даже моргнуть глазом.

…Какой же кошмар! – векторы вокруг нас! В «ужастиках» эту роль играют зомби или живые мертвецы, а в реальности-то вот оно, оказывается как – ВЕКТОРЫ.

С формально-математической точки зрения, векторные поля задают векторными функциями, которые уже «проскакивали» в других темах:

Для «плоского» случая – это векторная функция , которая различным точкам плоскости * ставит в соответствие несвободные векторы – конкретный пример есть в параграфе Работа векторного поля. Если функции двух переменных определены при любых «икс», «игрек», то векторное поле будет задано на всей плоскости .

* Далее по умолчанию считаем, что все дела происходят в декартовой системе координат

С трёхмерным пространством всё аналогично:
– здесь каждой допустимой точке пространства ставится в соответствие вектор с началом в данной точке. «Допустимость» определяется областями определения функций , и если каждая из них определена при всех «икс», «игрек», «зет», то векторное поле будет задано во всём пространстве.

! Обозначения: векторные поля также обозначают буквой либо , а их компоненты через либо соответственно.

Из вышесказанного давно и очевидно следует, что, по меньшей мере математически, скалярные и векторные поля можно определить и во всём пространстве. Однако с соответствующими физическими примерами я всё же поостерёгся, поскольку таких понятий, как температура, гравитация (или других) ведь где-то может и вовсе не существовать. Но это уже не ужасы, а научная фантастика =) И не только фантастика. Ибо внутри камней ветер, как правило, не дует.

Следует отметить, что векторные поля (те же поля скоростей) с течением времени могут меняться, и поэтому во многих физических моделях рассматривают дополнительную независимую переменную . Кстати, то же самое касается и скалярных полей – температура же, в самом деле, тоже не «застыла» во времени.

Однако в рамках математики мы ограничимся троицей , и при «встрече» таких полей будем подразумевать некоторый фиксированный момент времени либо время, за которое поле не успело измениться.

Векторные линии

Если скалярные поля описываются линиями и поверхностями уровня, то «форму» векторного поля можно охарактеризовать векторными линиями. Наверное, многие помнят этот школьный опыт: под лист бумаги помещаются магнит, а наверх (смотрим!) высыпаются железные опилки, которые как раз и «выстраиваются» по линиям поля.

Постараюсь сформулировать попроще: каждая точка векторной линии является началом вектора поля, который лежит на касательной в данной точке:

Разумеется, векторы линии в общем случае имеют разную длину, так на приведённом рисунке, при перемещении слева направо их длина растёт – здесь можно предположить, что мы приближаемся, например, к магниту. В силовых физических полях векторные линии так и называют – силовыми линиями. Другой, более простой пример – это гравитационное поле Земли: его силовые линии представляют собой лучи с началом в центре планеты, причём векторы силы тяжести расположены прямо на самих лучах.

Векторные линии скоростных полей называются линями тока. Множество линий тока даёт нам представление о потоке жидкости или газа в данный момент времени. К слову, линия тока и траектория движения частицы – это не одно и то же. Если поле скоростей не меняется с течением времени (например, река с устоявшимся течением), то, да – мусоринки будут плыть по линиям тока. Такое поле называют стационарным, и в нём траектории движения частиц совпадают с линиями тока. Но представьте пыльную бурю – здесь линии тока в каждый момент разные, и поэтому мусоринка будет лететь по своей уникальной траектории, а вовсе не по какой-то конкретной линии тока.

Вообще, многие понятия теории поля пришли из гидродинамики, с чем мы ещё не раз столкнёмся.

Если «плоское» векторное поле задано ненулевой функцией , то его силовые линии можно найти из дифференциального уравнения . Решение данного уравнения задаёт семейство векторных линий на плоскости . Иногда в задачах требуется изобразить несколько таких линий, что обычно не вызывает затруднений – выбрали несколько удобных значений «цэ», начертили какие-нибудь там гиперболы, и порядок.

С пространственным векторным полем ситуация занятнее. Его силовые линии определяются соотношениями . Здесь нужно решить систему двух дифференциальных уравнений и получить два семейства пространственных поверхностей. Линии пересечения этих семейств и будут пространственными векторными линиями. Если все компоненты («пэ», «ку», «эр») отличны от нуля, то существует несколько технических способов решения. Я не буду рассматривать все эти способы (т.к. статья разрастется до неприличных размеров), а остановлюсь на распространённом частном случае, когда одна из компонент векторного поля равна нулю. Давайте сразу распишем все варианты:

если , то нужно решить систему ;
если , то систему ;
и если , то .

И что-то непозволительно давно у нас не было практики:

Найти силовые линии векторного поля

Решение: в данной задаче , поэтому решаем систему:

Первый диффур вообще халява:

– семейство плоскостей, параллельных координатной плоскости (представили в уме!).

Второй диффур – почти она же:), ну а зачем нам скоропостижные трудности?

– семейство (внимание!) параболических цилиндров, параллельных оси .

Ответ: искомое множество векторных линий:

Иными словами, здесь в каждой плоскости «сидит» семейство парабол .

Аналогичная задачка для самостоятельного решения:

Найти силовые линии векторного поля

Охарактеризуйте получившееся множество линий. Кстати, в условии явно не сказано, о каком поле идёт речь – плоском или пространственном. В подобных ситуациях рекомендую решать задачу для пространства – не ошибётесь 😉

Краткое решение и ответ в конце урока.

Векторное поле градиентов

В каких отношениях вы находитесь с производной по направлению и градиентом? …ничего страшного, от ненависти до любви – один шаг =) Напоминаю, что градиент функции в точке – это несвободный вектор, указывающий направление максимального роста функции в данной точке и определяющий скорость этого роста.

Нахождение векторной функции градиентов – есть популярный и распространённый способ получить из скалярного поля поле векторное. При условии существования соответствующих частных производных функции двух и трёх переменных:

Смысл очень прост. Так, если функция задаёт скалярное поле глубины озера, то соответствующая векторная функция определяет множество несвободных векторов, каждый из которых указывает направление наискорейшего подъёма дна в той или иной точке и скорость этого подъёма.

Если функция задаёт скалярное поле температуры некоторой области пространства, то соответствующее векторное поле характеризует направление и скорость наибыстрейшего прогревания пространства в каждой точке этой области.

Разберём общую математическую задачу:

Дано скалярное поле и точка . Требуется:

1) составить градиентную функцию скалярного поля;

2) найти градиент поля в точке и вычислить его длину;

3) вычислить производную по направлению нормального вектора к поверхности в точке , образующего с положительной полуосью тупой угол.

Непосредственно к решению задачи это не относится, но сразу обратим внимание, что скалярное поле не определено на всех трёх координатных плоскостях .

1) Быстренько вспоминаем, как находить частные производные функции трёх переменных:

Составим функцию, которая определяет векторное поле градиентов:

И ещё раз – в чём её смысл? Полученная векторная функция каждой точке области определения скалярного поля ставит в соответствие вектор , указывающий направление и максимальную скорость роста функции в данной точке.

И один из таких векторов нам предстоит найти в следующем пункте:

2) Вычислим частные производные в точке :

Таким образом:
– ещё раз подчёркиваю, что этот вектор исходит из точки , и перемещать его никуда нельзя! По той причине, что он характеризует направление наискорейшего возрастания функции именно в точке «эм нулевое», а не где-то ещё!

Мерилом же этой максимальной скорости как раз является длина градиента:

3) Вычислим производную по направлению нормального вектора к поверхности в точке , образующего с положительной полуосью тупой угол.

Немного мудрёно, но разобраться немудренО. Во-первых, убедимся, что точка «эм нулевое» действительно принадлежит данной поверхности:

Получено верное равенство. ОК.

Что это за поверхность – нас не интересует, нам важен её нормальный вектор в точке , да не абы какой, а образующий с полуосью тупой угол.

Вспоминаем материал ещё одного урока: вектор нормали к поверхности в точке задаётся следующим образом:

В данном случае:

Но нужный ли это вектор? Как выяснить угол, который он образует с полуосью ? …Сегодня у нас какой-то экскурс в фильмы… =) и сейчас на очереди фильм «Вспомнить всё». Вычислим скалярное произведение вектора с направляющим вектором положительной «зетовой» полуоси:

, следовательно, угол между этими векторами острый, что нас не устраивает!

И поэтому нужно выбрать противоположно направленный нормальный вектор:

Заметим заодно, что нормальные векторы в отличие от градиентов – свободны, их задача лишь указать направление.

Вычислим направляющие косинусы данного направления, или, что то же самое – координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором :

Контроль:

Таким образом, искомая производная по направлению:

Напоминаю, что это значение характеризует скорость роста функции в точке по направлению вектора , и оно не может оказаться больше, чем (максимальной скорости роста в данной точке).

Ответ:

Небольшой пример для самостоятельного решения:

Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке

Просто и со вкусом. …Как найти угол? – с помощью того же скалярного произведения. Ну и, очевидно, тут придётся «тряхнуть» многоэтажными дробями и некоторой тригонометрией. Краткое решение и ответ в конце урока.

Что делать, если вам предложено «плоское» скалярное поле ? Просто убавьте одну координату, соответствующие примеры можно найти в статье Производная по направлению и градиент функции. По существу, мы вновь прорешали примеры той статьи, только немного в другой интерпретации.

Потенциальное векторное поле

На уроке Криволинейный интеграл по замкнутому контуру я уже подробно рассказал о «плоском» потенциальном поле, и поэтому перед дальнейшим чтением будет крайне полезно окинуть взглядом концовку указанной статьи. Фактически сейчас будет продолжение, где мы разбёрём аналогичную ситуацию в пространстве.

«Потенциальное»…, на ум здесь приходит потенциальная энергия, потенциальные возможности. Так, лежащий на подоконнике кирпич потенциально можно сбросить вниз, и вмятина на земле неиллюзорно продемонстрируют нам ту самую потенциальную энергию. Всё верно, гравитационное поле Земли – это один из ярких примеров потенциального векторного поля.

Вспомним его характерный признак, сбросив с подоконника нашего уютного деревенского домика…, нет, не кирпич, а пёрышко. Из точки до точки оно может пролететь по бесчисленному множеству траекторий (из-за ветра, по причине сопротивления воздуха и т.д.), но во всех случаях гравитационное поле Земли совершит одну и ту же работу по перемещению пера между этими точками. Ну а различные траектории – это уже «вклад» других сил, которые, к слову, тоже можно описать векторными полями.

Примечание: возможно, здесь у вас возник вопрос: «но ветер же может приподнимать перо, и тогда работа должна увеличиваться!». Ничего подобного. Физическое понятие работы не подразумевает, что кто-то или что-то «трудится». Если ветер приподнимает перо вверх, то он просто уменьшает абсолютную величину работы силы тяжести.

В физике есть конкретная математическая модель, описывающая гравитационные силы, но в соответствии с направленностью сайта, я приведу только общие формулы. Итак:

Векторное поле является потенциальным, если оно представляет собой поле градиентов некоторого скалярного поля . Функцию называют потенциальной функцией или просто потенциалом.

Работа потенциального векторного поля по перемещению материальной точки из точки в точку не зависит от траектории её движения и выражается следующим криволинейным интегралом 2-го рода:

, который равен разности потенциалов .

Иными словами, в потенциальном поле имеет значение лишь начальная и конечная точка маршрута. И если эти точки совпадают, то суммарная работа сил по замкнутому контуру будет равна нулю:

Давайте поднимем пёрышко с земли и доставим его в исходную точку. При этом траектория нашего движения опять же произвольная; можно даже бросить перо, снова его поднять и т.д.

Почему итоговый результат нулевой?

Перо упало из точки «а» в точку «бэ»? Упало. Сила тяжести совершила работу .

Перо попало обратно в точку «а»? Попало. А это значит, что была совершена точно такая же работа против сил тяжести, причём не важно с какими «приключениями» и какими силами – да хоть ветер задул его обратно.

Примечание: в физике знак «минус» символизирует противоположное направление.

Таким образом, суммарная работа сил равна нулю:

Как я уже отмечал, физическое и обывательское понятие работы отличаются. И это различие вам хорошо поможет понять не пёрышко и даже не кирпич, а, например, пианино 🙂

Дружно поднимите пианино и спустите его по лестнице вниз. Потаскайте по улице. Сколько захочется и где захочется. И если никто не вызвал дурку занесите инструмент обратно. Вы поработали? Конечно. До седьмого пота. Но с точки зрения физики никакой работы не совершено.

Словосочетание «разность потенциалов» подмывает рассказать ещё о потенциальном электростатическом поле, но бить током своих читателей как-то уж совсем не гуманно =) Тем более, примеров – непочатый край, ибо потенциальным является любое градиентное поле, коих пруд пруди.

Но легко сказать «пруд пруди»: вот дано нам векторное поле – как определить, потенциально оно или нет?

Ротор векторного поля

Или его вихревая составляющая, которая тоже выражается векторами.

Снова возьмём в руки пёрышко и аккуратно отправим его в плавание по реке. Для чистоты эксперимента будем считать, что оно однородно и симметрично относительно своего центра. Ось торчит вверх.

Рассмотрим векторное поле скорости течения (считаем, что оно неизменно во времени), и некоторую точку водной поверхности, над которой находится центр пера.

Если в данной точке перо вращается против часовой стрелки, то поставим ей в соответствие исходящий несвободный вектор, направленный вверх. При этом, чем быстрее вращается перо, тем длиннее этот вектор, …мне почему-то он представляется таким чёрным-чёрным в ярких лучах солнца…. Если вращение происходит ПО часовой стрелке, то вектор «смотрит» вниз. Если же перо не вращается вовсе, то вектор нулевой.

Знакомьтесь – это и есть вектор ротора векторного поля скорости, он характеризует направление «завихрения» жидкости в данной точке и угловую скорость вращения пера (но не направление и не скорость самого течения!).

Совершенно понятно, что роторный вектор есть у всех точек реки (в том числе тех, которые «под водой»), таким образом, для векторного поля скорости течения мы определили новое векторное поле!

Если векторное поле задано функцией , то его роторное поле задаётся следующей векторной функцией:

При этом, если векторы роторного поля реки велики по модулю и имеют тенденцию менять направление, то это вовсе не означает, что речь идёт об извилистой и неспокойной реке (возвращаемся к примеру). Такая ситуация может наблюдаться и в прямолинейном русле – когда, например, в середине скорость выше, а у берегов ниже. То есть, вращение пера порождается различными скоростями течения в соседних линиях тока. Но это не единственно возможная причина вращения. Если рядом с рекой стоит экспериментатор и поливает её из шланга, то поле скоростей будет постоянно меняться, и «завихрения» начнутся по той причине, что меняются сами линии тока.

С другой стороны, если роторные векторы коротки, то это может быть и «петляющая» горная речка! Важно, чтобы в соседних линиях тока скорость самого течения (быстрого или медленного) отличалась незначительно. И не было рядом экспериментаторов или каких-нибудь оползней, которые меняют поле скоростей.

И, наконец, отвечаем на поставленный выше вопрос: в любой точке потенциального поля его ротор равен нулю:

, а точнее, нулевому вектору.

Потенциальное поле также называют безвихревым полем.

«Идеального» течения, конечно, не существует, но довольно часто можно наблюдать, что поле скорости реки близкО к потенциальному – плывут себе спокойно разные предметы и не вертятся, . вы тоже представили эту картинку? Однако, плыть они могут и очень быстро, и по кривой, и то замедляться, то ускоряться – важно чтобы скорость течения в соседних линиях тока сохранялась постоянной и сами линии тока оставались неизменными.

Ну и, конечно, наше бренное гравитационное поле. Для следующего опыта хорошо подойдёт любой достаточно тяжёлый и однородный предмет, например, закрытая книга, непочатая банка пива или, кстати, кирпич, который таки дождался своего часа =) Зажмите его торцы руками, приподнимите вверх и аккуратно отпустите в свободное падение. Крутиться он не будет. А если и будет, то это уже ваши «личные усилия» или кирпич попался неправильный. Не поленитесь и проверьте этот факт! Только не бросайте ничего из окна, это уже не перо

После чего с чистой совестью и повышенным тонусом можно вернуться к практическим задачам:

Показать, что векторное поле является потенциальным и найти его потенциал

Решение: условие прямо утверждает потенциальность поля, и наша задача состоит в доказательстве этого факта. Найдём роторную функцию или, как чаще говорят – ротор данного поля:

Для удобства выпишем компоненты поля:

и начнём находить их частные производные – их удобно «перебирать» в «роторном» порядке, слева направо:
– и сразу проверяем, что (чтобы не выполнять лишней работы в случае ненулевого результата). Едем дальше:

Таким образом:
, следовательно, поле потенциально, а значит, представляет собой градиентную функцию некоторого скалярного поля, заданного потенциалом .

Функцию обычно находят одним из следующих способов:

1) Способ первый. Коль скоро так (см. выше), то:

Дальнейший алгоритм напоминает решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах, только с бОльшим количеством шагов:

Так как , то:
, где – пока ещё неизвестная функция, зависящая от «игрек» и «зет».

Дифференцируем полученный результат по «игрек»:

Но, с другой стороны . Приравниваем и упрощаем:

Теперь частным интегрированием (переменных здесь уже две!) находим:
– подставляем в наш первый трофей :
, после чего дифференцируем его уже по «зет»:

Но с другой стороны, . Приравниваем и упрощаем:

И, наконец, подставляем найдённую функцию в наш «усовершенствованный трофей» :

– получаем тем самым, искомую потенциальную функцию.

Проверку тут выполнить легче лёгкого, находим частные производные 1-го порядка:

которые совпали с соответствующими компонентами исходного поля , в чём и требовалось убедиться.

Ну и, наверное, некоторые уже подметили, что равенства частных производных в «роторной» формуле – есть не что иное, как равенства смешанных частных производных 2-го порядка функции .

2) Способ второй. Потенциальную функцию можно найти при помощи формулы:
, где – точка с переменными координатами, а – некоторая фиксированная точка скалярного поля .

Легко видеть, что этот криволинейный интеграл определяет работу векторного поля от точки до точки и численно равен разности потенциалов , откуда, собственно, и получается нужная функция

Запишем сумму трёх интегралов для поля :

И на этом шаге я по возможности рекомендую выбрать точку (если функция и её производные в ней определены). После чего решение значительно упрощается:

При подстановке верхних пределов интегрирования можно сказать, что вместо «икс» мы подставляем «икс», вместо «игрек» – «игрек», и вместо «зет» – «зет».

Ответ:

Если начало координат выбрать нельзя, то задачу придётся решать в общем виде, в результате чего должна получиться разность . Любители трудностей могут вернуться к примеру и прийти к разности . Разумеется, это легальный и рабочий вариант – можно решать и так.

С аналогичной задачей для «плоского» векторного поля можно ознакомиться на уроке Криволинейный интеграл по замкнутому контуру.

Пара полей для самостоятельного решения:

Выяснить, является ли следующие векторные поля потенциальными, и если да, то найти их потенциалы:

а)

б)

Обязано ли поле быть потенциальным в таких задачах? Конечно, нет, и отрицательный ответ – это тоже полноценный ответ. Примерный образец чистового оформления заданий внизу страницы.

Ну что же, теперь пришло время немного отдохнуть и увеличить ротор реки =) А именно нырнуть, искупаться и позагорать на солнце. Чтобы с новыми силами вернуться к столь увлекательной теме, а именно к потоку и циркуляции векторного поля

Спасибо за внимание и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: составим и решим систему:

Из 1-го уравнения:

Из 2-го уравнения:

Константу переобозначим через

Ответ: – семейства эллипсов, расположенные в плоскостях , параллельных плоскости .

Примечание: если в условии задачи подразумевается «плоское» векторное поле, то векторные линии представляют собой множество эллипсов , расположенных в плоскости .

Пример 4: Решение: вычислим частные производные функции в точке :

Составим градиент данного скалярного поля в точке и вычислим его длину:

Аналогично найдём градиент второго скалярного поля:

В результате:

Угол между градиентами найдём по формуле:

Таким образом:

Ответ:

Пример 6: Решение:

а) проверим, равен ли нулю ротор векторного поля:
.
В данном случае:

Следовательно,

Ответ: поле не потенциально.

б) найдём ротор векторного поля:

В данной задаче:

Таким образом: , значит, поле потенциально и представляет собой функцию градиента некоторого скалярного поля . Найдём этот потенциал (здесь выгоднее использовать 1-й способ):

Так как , то:

Дифференцируем по «игрек»:

С другой стороны . Таким образом:

– подставим в :

Дифференцируем по «зет»:

С другой стороны, . Таким образом:

– подставим в

Ответ: поле потенциально,

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

[spoiler title=”источники:”]

http://naparah.com/elektrodinamika/0930458.html

http://mathprofi.net/teoriya_polya.html

[/spoiler]



5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов.

Но для решения задач нам будет хватать и одного: если плоскость задана общим уравнением  в прямоугольной (!) системе координат, то вектор  является нормальным вектором данной плоскости.

Просто до безобразия! – всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости. И чтобы хоть как-то усложнить практику рассмотрим тоже простую, но очень важную задачу, которая часто встречается, причём, не только в геометрии:

Задача 134

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение: принципиально ситуация выглядит так:

Сначала из уравнения плоскости «снимем» вектор нормали: .

И эту задачку мы уже решали: для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора  разделить на длину вектора .

Вычислим длину вектора нормали:

Таким образом:

Контроль:, ОК

Ответ:

Вспоминаем, что координаты этого вектора  – есть в точности направляющие косинусы вектора : .

И, как говорится, обещанного три страницы ждут 🙂  – вернёмся к Задаче 130, чтобы выполнить её проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке  и двум векторам , и в результате решения мы получили уравнение .

Проверяем:

Во-первых, подставим координаты точки  в полученное уравнение:

 – получено верное равенство, значит, точка  лежит в данной плоскости.

На втором шаге из уравнения плоскости «снимаем» вектор нормали: . Поскольку векторы  параллельны плоскости, а вектор  ей перпендикулярен, то должны иметь место следующие факты: . Ортогональность векторов элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор  параллелен плоскости  в том и только том случае, когда .

Итак, с «выуживанием» нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

5.2.4. Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

5.2.2. Как составить уравнение плоскости по трём точкам?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Линейная алгебра для исследователей данных

«Наша [Ирвинга Капланского и Пола Халмоша] общая философия в отношении линейной алгебры такова: мы думаем в безбазисных терминах, пишем в безбазисных терминах, но когда доходит до серьезного дела, мы запираемся в офисе и вовсю считаем с помощью матриц».

Ирвинг Капланский

Для многих начинающих исследователей данных линейная алгебра становится камнем преткновения на пути к достижению мастерства в выбранной ими профессии.

В этой статье я попытался собрать основы линейной алгебры, необходимые в повседневной работе специалистам по машинному обучению и анализу данных.

Произведения векторов 

Для двух векторов x, y ∈ ℝⁿ их скалярным или внутренним произведением xᵀy

называется следующее вещественное число:

Как можно видеть, скалярное произведение является особым частным случаем произведения матриц. Также заметим, что всегда справедливо тождество

.

Для двух векторов x ∈ ℝᵐ, y ∈ ℝⁿ (не обязательно одной размерности) также можно определить внешнее произведение xyᵀ ∈ ℝᵐˣⁿ. Это матрица, значения элементов которой определяются следующим образом: (xyᵀ)ᵢⱼ = xᵢyⱼ, то есть

След 

Следом квадратной матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ, обозначаемым tr(A) (или просто trA), называют сумму элементов на ее главной диагонали: 

След обладает следующими свойствами:

• Для любой матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ: trA = trAᵀ.

• Для любых матриц A,B ∈ ℝⁿˣⁿ: tr(A + B) = trA + trB.

• Для любой матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ и любого числа t ∈ ℝ: tr(tA) = t trA.

• Для любых матриц A,B, таких, что их произведение AB является квадратной матрицей: trAB = trBA.

• Для любых матриц A,B,C, таких, что их произведение ABC является квадратной матрицей: trABC = trBCA = trCAB (и так далее — данное свойство справедливо для любого числа матриц).

Нормы

Норму ∥x∥ вектора x можно неформально определить как меру «длины» вектора. Например, часто используется евклидова норма, или норма l₂:

Заметим, что ‖x‖₂²=xᵀx.

Более формальное определение таково: нормой называется любая функция f : ℝn → ℝ, удовлетворяющая четырем условиям:

1. Для всех векторов x ∈ ℝⁿ: f(x) ≥ 0 (неотрицательность).

2. f(x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность).

3. Для любых вектора x ∈ ℝⁿ и числа t ∈ ℝ: f(tx) = |t|f(x) (однородность).

4. Для любых векторов x, y ∈ ℝⁿ: f(x + y) ≤ f(x) + f(y) (неравенство треугольника)

Другими примерами норм являются норма l₁

и норма l∞

Все три представленные выше нормы являются примерами норм семейства lp, параметризуемых вещественным числом p ≥ 1 и определяемых как

Нормы также могут быть определены для матриц, например норма Фробениуса:

Линейная независимость и ранг 

Множество векторов {x₁, x₂, …, xₙ} ⊂ ℝₘ называют линейно независимым, если никакой из этих векторов не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов этого множества. Если же такое представление какого-либо из векторов множества возможно, эти векторы называют линейно зависимыми. То есть, если выполняется равенство

для некоторых скалярных значений α₁,…, αₙ-₁ ∈ ℝ, то мы говорим, что векторы x₁, …, xₙ линейно зависимы; в противном случае они линейно независимы. Например, векторы

линейно зависимы, так как x₃ = −2xₙ + x₂.

Столбцовым рангом матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ называют число элементов в максимальном подмножестве ее столбцов, являющемся линейно независимым. Упрощая, говорят, что столбцовый ранг — это число линейно независимых столбцов A. Аналогично строчным рангом матрицы является число ее строк, составляющих максимальное линейно независимое множество.

Оказывается (здесь мы не будем это доказывать), что для любой матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ столбцовый ранг равен строчному, поэтому оба этих числа называют просто рангом A и обозначают rank(A) или rk(A); встречаются также обозначения rang(A), rg(A) и просто r(A). Вот некоторые основные свойства ранга:

• Для любой матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) ≤ min(m,n). Если rank(A) = min(m,n), то A называют матрицей полного ранга.

• Для любой матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) = rank(Aᵀ).

• Для любых матриц A ∈ ℝᵐˣⁿ, B ∈ ℝn×p: rank(AB) ≤ min(rank(A),rank(B)).

• Для любых матриц A,B ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B).

Ортогональные матрицы 

Два вектора x, y ∈ ℝⁿ называются ортогональными, если xᵀy = 0. Вектор x ∈ ℝⁿ называется нормированным, если ||x||₂ = 1. Квадратная м

атрица U ∈ ℝⁿˣⁿ называется ортогональной, если все ее столбцы ортогональны друг другу и нормированы (в этом случае столбцы называют ортонормированными). Заметим, что понятие ортогональности имеет разный смысл для векторов и матриц.

Непосредственно из определений ортогональности и нормированности следует, что

Другими словами, результатом транспонирования ортогональной матрицы является матрица, обратная исходной. Заметим, что если U не является квадратной матрицей (U ∈ ℝᵐˣⁿ, n < m), но ее столбцы являются ортонормированными, то UᵀU = I, но UUᵀ ≠ I. Поэтому, говоря об ортогональных матрицах, мы будем по умолчанию подразумевать квадратные матрицы.

Еще одно удобное свойство ортогональных матриц состоит в том, что умножение вектора на ортогональную матрицу не меняет его евклидову норму, то есть

для любых вектора x ∈ ℝⁿ и ортогональной матрицы U ∈ ℝⁿˣⁿ.

Область значений и нуль-пространство матрицы

Линейной оболочкой множества векторов {x₁, x₂, …, xₙ} является множество всех векторов, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов {x₁, …, xₙ}, то есть

Областью значений R(A) (или пространством столбцов) матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ называется линейная оболочка ее столбцов. Другими словами,

 Нуль-пространством, или ядром матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ (обозначаемым N(A) или ker A), называют множество всех векторов, которые при умножении на A обращаются в нуль, то есть

Квадратичные формы и положительно полуопределенные матрицы 

Для квадратной матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ и вектора x ∈ ℝⁿ квадратичной формой называется скалярное значение xᵀ Ax. Распишем это выражение подробно:

Заметим, что

• Симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется положительно определенной, если для всех ненулевых векторов x ∈ ℝⁿ справедливо неравенство xᵀAx > 0. Обычно это обозначается как

  

  (или просто A > 0), а множество всех положительно определенных матриц часто обозначают

  

  .

• Симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется положительно полуопределенной, если для всех векторов справедливо неравенство xᵀ Ax ≥ 0. Это записывается как

  

  (или просто A ≥ 0), а множество всех положительно полуопределенных матриц часто обозначают

  

  .

• Аналогично симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется отрицательно определенной

  

• , если для всех ненулевых векторов x ∈ ℝⁿ справедливо неравенство xᵀAx < 0.

• Далее, симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется отрицательно полуопределенной (

  

  ), если для всех ненулевых векторов x ∈ ℝⁿ справедливо неравенство xᵀAx ≤ 0.

• Наконец, симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется неопределенной, если она не является ни положительно полуопределенной, ни отрицательно полуопределенной, то есть если существуют векторы x₁, x₂ ∈ ℝⁿ такие, что

  

  и

  

  .

Собственные значения и собственные векторы 

Для квадратной матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ комплексное значение λ ∈ ℂ и вектор x ∈ ℂⁿ будут соответственно являться собственным значением и собственным вектором, если выполняется равенство

На интуитивном уровне это определение означает, что при умножении на матрицу A вектор x сохраняет направление, но масштабируется с коэффициентом λ. Заметим, что для любого собственного вектора x ∈ ℂⁿ и скалярного значения с ∈ ℂ справедливо равенство A(cx) = cAx = cλx = λ(cx). Таким образом, cx тоже является собственным вектором. Поэтому, говоря о собственном векторе, соответствующем собственному значению λ, мы обычно имеем в виду нормализованный вектор с длиной 1 (при таком определении все равно сохраняется некоторая неоднозначность, так как собственными векторами будут как x, так и –x, но тут уж ничего не поделаешь).

---

Перевод статьи был подготовлен в преддверии старта курса “Математика для Data Science”. Также приглашаем всех желающих посетить бесплатный демоурок, в рамках которого рассмотрим понятие линейного пространства на примерах, поговорим о линейных отображениях, их роли в анализе данных и порешаем задачи.

• ЗАПИСАТЬСЯ НА ДЕМОУРОК