Нули аргумента как найти

Как найти нули функции на графике функции

Важно!

Графически нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox» (осью абсцисс).

По определению нули функции — это значения « x », при которых « y = 0 ». Другими словами, у точек графика функции, которые являются нулями функции, координата « x » равна нулю.

Чтобы найти нули функции на графике нам остается, только найти, какая у них координата по оси « Ox ».

Рассмотрим на примере.

Разбор примера

На рисунке ниже изображен график функции « y = f(x) », определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите нули функции.

Отметим на графике функции его точки пересечения с осью « Ox ».

Назовем полученные точки «(·)А» и «(·)B». В точках «(·)А» и «(·)B» график функции пересекает ось « Ox » , то есть координаты точки «(·)А» и «(·)B» по оси « Oy » равны нулю.

Точки «(·)А» и «(·)B» — нули функции. Теперь определим, чему равны их координаты по оси « Ox ».

На графике видно, что у точки «(·)А» координата « x » равна «», а у точки «(·)B» координата « x » равна « 2 ».

Запишем полученные значения координат « x » в ответ.

Ответ: x = ; x = 2 являются нулями функции.

Как найти нули функции, заданной таблицей

В некоторых заданиях, где требуется найти нули функции, сама функция задана не вполне привычно с помощью формулы, а с помощью таблицы. Поиск нулей в таких примерах является легкой задачей.

Разбор примера

Найдите нули функции, заданной таблицей.

x	−2	−1	1	2	3
y	−3	−1,5	2	1

Вспомним определение нулей функции.

Запомните!

Нули функции — это значения « x » в функции, при которых « y = 0 ».

Согласно определению нулей функции нам достаточно найти значения « x » в таблице, где « y = 0 ». Выделим их цветом.

x	−2	−1	1	2	3
y	−3	−1,5	2	1

Остаётся только записать в ответ значения « x » из таблицы.

Ответ: x = 0; x = 3 являются нулями функции, заданной таблицей.

Что является аргументом функции?

Аргуме́нт (лат. … Аргумент функции — независимая переменная, от значений которой зависят значения функции. Аргумент комплексного числа — одна из величин, связанных с комплексным числом. Аргумент максимизации, Аргумент минимизации

Видео

Как определять свойства функции?

Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f (x): Область определения функции — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают: D(f)….

Функция	y = sin x	y = cos x
Нули функции
Четность	нечетная	четная
Периодичность
Экстремумы

Метод интервалов. Средний уровень

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Линейная функция

Линейной называется функция вида. Рассмотрим для примера функцию. Она положительна при 3″> и отрицательна при. Точка – нуль функции (). Покажем знаки этой функции на числовой оси:

Говорим, что «функция меняет знак при переходе через точку ».

Видно, что знаки функции соответствуют положению графика функции: если график выше оси, знак « », если ниже – « ».

Если обобщить полученное правило на произвольную линейную функцию, получим такой алгоритм:

Находим нуль функции;

Отмечаем его на числовой оси;

Определяем знак функции по разные стороны от нуля.

Квадратичная функция

Надеюсь, ты помнишь, как решаются квадратные неравенства? Если нет, прочти тему «Квадратные неравенства». Напомню общий вид квадратичной функции: .

Теперь вспомним, какие знаки принимает квадратичная функция. Ее график – парабола, и функция принимает знак « » при таких, при которых парабола выше оси, и « » – если парабола ниже оси:

Если у функции есть нули (значения, при которых), парабола пересекает ось в двух точках – корнях соответствующего квадратного уравнения. Таким образом ось разбивается на три интервала, а знаки функции попеременно меняются при переходе через каждый корень.

А можно ли как-нибудь определить знаки, не рисуя каждый раз параболу?

Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на множители:

Отметим корни на оси:

Мы помним, что знак функции может меняться только при переходе через корень. Используем этот факт: для каждого из трех интервалов, на которые ось разбивается корнями, достаточно определить знак функции только в одной произвольно выбранной точке: в остальных точках интервала знак будет таким же.

В нашем примере: при 3″> оба выражения в скобках положительны (подставим, например: 0″>). Ставим на оси знак « »:

Ну и, при (подставь, например,) обе скобки отрицательны, значит, произведение положительно:

Это и есть метод интервалов : зная знаки сомножителей на каждом интервале, определяем знак всего произведения.

Рассмотрим также случаи, когда нулей у функции нет, или он всего один.

Если их нет, то и корней нет. А значит, не будет и «перехода через корень». А значит, функция на всей числовой оси принимает только один знак. Его легко определить, подставив в функцию.

Если корень только один, парабола касается оси, поэтому знак функции не меняется при переходе через корень. Какое правило придумаем для таких ситуаций?

Если разложить такую функцию на множители, получатся два одинаковых множителя:

А любое выражение в квадрате неотрицательно! Поэтому знак функции и не меняется. В таких случаях будем выделять корень, при переходе через который знак не меняется, обведя его квадратиком:

Такой корень будем называть кратным .

Основные понятия и свойства функций

Нули функции. Асимптота

Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R . Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т. e . она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x , при которых функция y = f (x ) определена, называется областью определения функции . Множество Y всех действительных значений y , которые принимает функция, называется областью значений функции . Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y , по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y , называется функцией .

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

— задана область определения функции X ;

— задана область значений функции Y ;

— известно правило (закон) соответствия, причём такое, что для каждого

значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Это требование однозначности функции является обязательным.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f (x 2) > f (x 1), то функция f (x ) называется возрастающей ; если для любых x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f (x 2)

Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 — как раз наоборот, монотонная, но неограниченная. (Объясните это, пожалуйста!).

Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f (x ) называется непрерывной в точке x = a , если:

1) функция определена при x = a , т. e . f (a ) существует;

2) существует конечный предел lim f (x ) ;

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a .

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения , то она называется непрерывной функцией .

Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f (— x ) = f (x ), то функция называется чётной ; если же имеет место: f (— x ) = — f (x ), то функция называется нечётной . График чётной функции симетричен относительно оси Y (рис.5), a график нечётной функции сим метричен относительно начала координат (рис.6).

Периодическая функция. Функция f (x ) — периодическая , если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f (x + T ) = f (x ). Такое наименьшее число называется периодом функции . Все тригонометрические функции являются периодическими.

П р и м е р 1 . Доказать, что sin x имеет период 2 .

Р е ш е н и е. Мы знаем, что sin (x + 2 n ) = sin x , где n = 0, ± 1, ± 2, …

Следовательно, добавление 2 n к аргументу синуса не

меняет его значени e . Существует ли другое число с таким

Предположим, что P – такое число, т. e . равенство:

справедливо для любого значения x . Но тогда оно имеет

место и при x = / 2 , т. e .

sin (/ 2 + P ) = sin / 2 = 1.

Но по формуле приведения sin (/ 2 + P ) = cos P . Тогда

из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы

знаем, что это верно лишь при P = 2 n . Так как наименьшим

отличным от нуля числом из 2 n является 2 , то это число

и есть период sin x . Аналогично доказывается, что 2

является периодом и для cos x .

Докажите, что функции tan x и cot x имеют период .

П р и м е р 2. Какое число является периодом функции sin 2 x ?

Р е ш е н и е. Рассмотрим sin 2x = sin (2 x + 2 n ) = sin [ 2 (x + n ) ] .

Мы видим, что добавление n к аргументу x , не меняет

значение функции. Наименьшее отличное от нуля число

из n есть , таким образом, это период sin 2 x .

Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем) функции . Функция может иметь несколько нулей. Например, функция y = x (x + 1) (x — 3) имеет три нуля: x = 0, x = — 1, x = 3. Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a , x = b и x = c .

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой .

Графическое представление

Понять, что такое нули функции, можно с помощью математических программ, таких как Maple. В ней можно построить график, указав желаемое количество точек и нужный масштаб. Те точки, в которых график пересечет ось ОХ, и есть искомые нули. Это один из самых быстрых способов нахождения корней многочлена, особенно если его порядок выше третьего. Так что если есть необходимость регулярно выполнять математические расчеты, находить корни многочленов произвольных степеней, строить графики, Maple или аналогичная программа будет просто незаменима для осуществления и проверки расчетов.

Теги

Как находить нули функции 🚩 как найти нули функции примеры 🚩 Математика

11 марта 2011

Автор КакПросто!

Математическое понятие функции показывает наглядно то, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Обычно рассматриваются числовые функции, которые ставят в соответствие одним числам другие. Нулем функции, обычно называют значение аргумента, при котором функция обращается в ноль.

Статьи по теме:

Инструкция

Для того, чтобы найти нули функции, необходимо приравнять ее правую часть к нулю и решить полученное уравнение. Предположим, вам дана функция f(x)=x-5.

Для нахождения нулей этой функции, возьмем и приравняем ее правую часть к нулю: x-5=0.

Решив это уравнение получим, что x=5 и это значение аргумента и будет нулем функции. То есть при значении аргумента 5, функция f(x) обращается в ноль.

Обратите внимание

При нахождение корней уравнения, могут появиться лишние корни. Проверить это легко: достаточно подставить полученное значение аргумента в функцию и убедиться обращается ли функция в ноль.

Полезный совет

Иногда функция не выражается в явном виде через свой аргумент, тогда просто необходимо знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

Источники:

• как найти ноль

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Нули функции | Алгебра

Что такое нули функции? Как определить нули функции аналитически и по графику?

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна  нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой  y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

Примеры.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Решение:

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.

3x=-15; x= -5.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.

Ответ:x= -5.

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Решение:

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

x²-7x+12=0.

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

Ответ: x=3; x=4.

3)Найти нули функции

Решение:

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Следовательно, x²-1≠0,x²≠1,x≠±1. То есть область определения данной функции (ОДЗ)

x ∈ (-∞; -1)U(-1; 1)U(1;∞).

Решаем уравнение

Из корней уравнения x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 в область определения входит только x=-4.

Ответ: x=-4.

Чтобы найти нули функции, заданной графически, надо найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Если график не пересекает ось Ox, функция не имеет нулей.

Например,

функция, график которой изображен на рисунке,имеет четыре нуля —

В алгебре задача нахождения нулей функции встречается как в виде  самостоятельного задания, так и при решения других задач, например, при исследовании функции, решении неравенств и т.д.

www.algebraclass.ru

Как находить нули функции | Сделай все сам

Математическое представление функции показывает наглядно то, как одна величина всецело определяет значение иной величины. Традиционно рассматриваются числовые функции, которые ставят в соответствие одним числам другие. Нулем функции, обыкновенно называют значение довода, при котором функция обращается в нуль.

Инструкция

1. Для того, дабы обнаружить нули функции, нужно приравнять ее правую часть к нулю и решить полученное уравнение. Представим, вам дана функция f(x)=x-5.

2. Для нахождения нулей этой функции, возьмем и приравняем ее правую часть к нулю: x-5=0.

3. Решив это уравнение получим, что x=5 и это значение довода и будет нулем функции. То есть при значении довода 5, функция f(x) обращается в нуль.

Под представлением функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить больше верно, это «закон», по которому всему элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие определенный элемент иного множества (называемого областью значений).

Вам понадобится

• Знания в области алгебры и математического обзора.

Инструкция

1. Значения функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Скажем область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Дабы обнаружить значение функции в определенной точке нужно подставить взамен довода функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значение м функции . Пускай дана функция f(x)=|x| – 10 + 4x. Обнаружим значение функции в точке x=-2. Подставим взамен x число -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.

Обратите внимание!
Раньше чем искать значение функции в точке – удостоверитесь, что она входит в область определения функции.

Полезный совет
Аналогичным методом дозволено обнаружить значение функции нескольких доводов. Различие в том, что взамен одного числа нужно будет подставить несколько – по числу доводов функции.

Функция представляет собой установленную связанность переменной у от переменной x. Причем всем значению х, называемого доводом, соответствует исключительное значение у – функции. В графическом виде функция изображается на декартовой системе координат в виде графика. Точки пересечения графика с осью абсцисс, на которой откладываются доводы х, именуются нулями функции. Поиск допустимых нулей – одна из задач по изысканию заданной функции. При этом учитываются все допустимые значения само­стоятельной переменной x, образующие область определения функции (ООФ).

Инструкция

1. Нуль функции – это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк.

2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x).

3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида ?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений.

4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х.

5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога.

Обратите внимание!
При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль.

Полезный совет
Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

jprosto.ru

Как определить нули функции 🚩 как найти ооф функции 🚩 Математика

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

Функция представляет собой установленную зависимость переменной у от переменной x. Причем каждому значению х, называемого аргументом, соответствует единственное значение у — функции. В графическом виде функция изображается на декартовой системе координат в виде графика. Точки пересечения графика с осью абсцисс, на которой откладываются аргументы х, называются нулями функции. Поиск возможных нулей – одна из задач по исследованию заданной функции. При этом учитываются все возможные значения независимой переменной x, образующие область определения функции (ООФ).

Статьи по теме:

Инструкция

Нуль функции – это такое значение аргумента х, при котором значение функции равно нулю. Однако нулями могут быть лишь те аргументы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое множество значений, для которых функция f(x) имеет смысл.

Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, например f(x) = 2х²+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и найдите его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с помощью нахождения дискриминанта.
2х²+5х+2 = 0;
D = b²-4ac = 5²-4*2*2 = 9;
х1 = (-b+√D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;
х2 = (-b-√D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.
Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих аргументам исходной функции f(x).

Все найденные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Найдите ООФ, для этого проверьте исходное выражение на присутствие корней четной степени вида √f (х), на наличие дробей в функции с аргументом в знаменателе, на присутствие логарифмических или тригонометрических выражений.

Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все аргументы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в отрицательное число (иначе функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли найденные нули функции в определенную область возможных значений х. Знаменатель дроби не может обращаться в ноль, поэтому исключите те аргументы х, которые приводят к такому результату. Для логарифмических величин следует учитывать лишь те значения аргумента, при которых само выражение больше нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в ноль или отрицательное число, должны быть отброшены из конечного результата.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Ответы@Mail.Ru: Будьте добры объяснить как в алгебре (тема

D (f)-те значения, которые может принимать аргумент
E (f)-те значения, которые может принимать функция
R- искать не надо, это множество действительных чисел

Д (ф) значение функции по х (т. е. от чего до чего)
Е (ф) значения функции по у ( т. е. от чего до чего)

D(f) находят исходя из вида самой функции. Например многочлены имеют область определения R (множество всех действительных чисел).
Область определения функции — это множество всех тех значений аргумента (x), при которых функция определена ( или имеет смысл, или принимает действительные значения).
Например, для функции у = (7 — х) /(5 — х) область определения — все действительные числа, кроме х = 5. Потому что при х равном 5, знаменатель дроби равен нулю, а на ноль делить нельзя. Ещё говорят, что у этой функции в точке х = 5 разрыв.
E(f) — это множество всех значений, которые принимает функция при всех Х из области определения (т. е. при всех Х из D(f))
Найти область значений функции иногда сложнее, чем её D(f). В некоторых случаях она очевидна, как например у многочленов — R (все действительные числа). Или у обратной пропорциональности y=a/x, (где а-некоторое число), область значений — все действительные числа, кроме нуля. В большинстве же других случаев её приходится отыскивать разными аналитическими методами.

touch.otvet.mail.ru

Что такое нули функции и как их определить

Что такое нули функции? Ответит довольно прост — это математический термин, под которым подразумевают область определения заданной функции, на котором ее значение нулевое. Нули функции также называют корнями уравнения. Проще всего пояснить, что такое нули функции, на нескольких простых примерах.

Примеры

Рассмотрим несложное уравнение у=х+3. Поскольку нуль функции — это значение аргумента, при котором у приобрел нулевое значение, подставим 0 в левую часть уравнения:

0=х+3;

х=-3.

В данном случае -3 и есть искомый нуль. Для данной функции существует только один корень уравнения, но так бывает далеко не всегда.

Рассмотрим другой пример:

у=х²-9.

Подставим 0 в левую часть уравнения, как и в предыдущем примере:

0=х²-9;

-9=х² .

Очевидно, что в данном случае нулей функции будет два: х=3 и х=-3. Если бы в уравнении был аргумент третьей степени, нулей было бы три. Можно сделать простой вывод, что количество корней многочлена соответствует максимальной степени агрумента в уравнении. Однако многие функции, например у=х³ , на первый взгляд противоречат этому утверждению. Логика и здравый смысл подсказывают, что у этой функции только один нуль — в точке х=0. Но на самом деле корней три, просто все они совпадают. Если решать уравнение в комплексной форме, это становится очевидным. х=0 в данном случае, корень, кратность которого 3. В предыдущем примере нули не совпадали, потому имели кратность 1.

Алгоритм определения

Из представленных примеров видно, как определить нули функции. Алгоритм всегда один и тот же:

1. Записать функцию.
2. Подставить у или f(x)=0.
3. Решить получившееся уравнение.

Сложность последнего пункта зависит от степени аргумента уравнения. При решении уравнений высоких степеней особенно важно помнить, что количество корней уравнения равно максимальной степени аргумента. Особенно это актуально для тригонометрических уравнений, где деление обоих частей на синус или косинус приводит к потере корней.

Уравнения произвольной степени проще всего решать методом Горнера, который был разработан специально для нахождения нулей произвольного многочлена.

Значение нулей функций может быть как отрицательным, так и положительным, действительным или лежащим в комплексной плоскости, единичным или множественным. Или же корней уравнения может и не быть. Например, функция у=8 не приобретет нулевого значения ни при каком х, потому что она не зависит от этой переменной.

Уравнение у=х²-16 имеет два корня, и оба лежат в комплексной плоскости: х₁=4і, х₂=-4і.

Типичные ошибки

Частая ошибка, которую допускают школьники, еще не разобравшиеся толком в том, что такое нули функции, — это замена на ноль аргумента (х), а не значения (у) функции. Они уверенно подставляют в уравнение х=0 и, исходя из этого, находят у. Но это неправильный подход.

Другая ошибка, как уже упоминалось, сокращение на синус или косинус в тригонометрическом уравнении, из-за чего и теряется один или несколько нулей функции. Это не означает, что в таких уравнениях нельзя ничего сокращать, просто при дальнейших подсчетах необходимо учитывать эти «потерянные» сомножители.

Графическое представление

Понять, что такое нули функции, можно с помощью математических программ, таких как Maple. В ней можно построить график, указав желаемое количество точек и нужный масштаб. Те точки, в которых график пересечет ось ОХ, и есть искомые нули. Это один из самых быстрых способов нахождения корней многочлена, особенно если его порядок выше третьего. Так что если есть необходимость регулярно выполнять математические расчеты, находить корни многочленов произвольных степеней, строить графики, Maple или аналогичная программа будет просто незаменима для осуществления и проверки расчетов.

fb.ru