Область определения функции как найти егэ

Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции;
• область значений функции;
• нули функции;
• промежутки возрастания и убывания;
• точки максимума и минимума;
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось X.
Ось ординат — вертикальная ось, или ось Y.

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается x.
Другими словами, мы сами выбираем x, подставляем в формулу функции и получаем y.

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента x, при которых функция существует.
Обозначается: D(f) или D(y).

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Цели: систематизировать, обобщать знания
учащихся, проверить уровень знаний по теме.

Развивать целеустремленность в достижении
поставленной задачи, честность в оценке своих
знаний и знаний товарищей, умения объяснять и
доступно рассказывать подготовленный материал.

Воспитывать познавательную активность,
культуру общения.

Цитата занятия: “Пока законы математики
остаются определенными, они не имеют ничего
общего с реальностью; как только у них появляется
нечто общее с реальностью, они перестают быть
определенными”.

Альберт Эйнштейн.

Ход занятия

1. Орг. момент. Проверить готовность учащихся
к занятию.

2. Теоретическая часть вопроса. Материал
подготовил и отвечал ученик.

Я хотел бы напомнить общие сведения о понятии
области определения функции.

– Рассмотрим числовое множество Х и
правило f, позволяющее поставить в
соответствие каждому элементу х на множестве
Х определенное число у, то говорят, что
задана функция у = f(x) с областью определения Х.
Пишут

у = f(x), х Х.

Областью определения функции, заданной
некоторым выражением, называется множество
значений аргумента, при которых можно выполнить
все действия в записи функции. Значения
аргумента, принадлежащие области определения
функции, называются допустимыми значениями.

Для области определения функции используют
обозначение D(y).

Если f(x) – алгебраическое выражение и
область определения функции у = f(x) совпадает
с областью определения этого выражения (такую
область определения называют естественной), то
вместо записи у = f(x), х Х используют более короткую
запись: у = f(x).

Для нахождения области определения функции
следует исключить те значения аргумента, при
которых указанные действия невозможно
выполнить. Невозможно, например, делить на нуль;
извлекать корень четной степени из
отрицательного числа; вычислять логарифм
отрицательного числа и нуля; вычислять логарифм
по отрицательному основанию и основанию, равному
нулю и единице; возводить нуль в степень нуля;
возводить отрицательное число в иррациональную
степень; вычислять arcsin x, arсcos x, если |x|>1.

3. Рассмотрение вопроса на примерах. Материал
подготовил и рассказывал ученик.

Я хотел бы рассмотреть некоторые важные
моменты при нахождении области определения:

1) знаменатель дробного выражения не должен
обращаться в нуль. Например: у = 1/х,
область определения состоит из всех х 0;

у = sin x/cos x, область определения
состоит из всех х, для которых cos x 0, т.е. из (n = 0, 1, 2, …):

2) выражение, находящееся под знаком корня
четной степени, должно быть неотрицательным.
Например: у = , область определения x-50, x5;

у = ,
область определения + 2х – 3 0, т.е. х -3 и х
1;

3) выражение, находящееся под знаком логарифма
должно быть положительным. Например: у = lg(2-х),
область определения 2-х >0, т.е. х < 2.

4) основание логарифма должно быть больше нуля и
не равным единице. Например: у = log_х+27,
область определения х + 2 > 0 и х + 2 1, т.е. х > -2 и х
– 1;

5) выражение, возводимое в иррациональную
степень, должно быть неотрицательным. Например: у
= ,
область определения х 0;

6) выражение стоящее под знаком функций arcsin и
arсcos, по абсолютной величине не должно быть
больше единицы. Например: у = arcsin(lg х),
область определения |lg x| 1 т.е. 0,1 х 10;

7) выражение, стоящее под знаком тангенса и
секанса, не должно равняться , где k = 0, 1, 2, 3, …;

8)выражение, находящееся под знаком котангенса
или косеканса, не должно равняться , где k =0, 1, 2, 3, …;

9)степенно-показательная функция считается
определенной, когда основание положительно.
Точки, в которых основание равно нулю, включаются
в область определения, если показатель в этих
точках отличен от нуля.

Этот вопрос я подготовил пользуясь пособием по
математике (авторы: М.Н.Горейко, А.Б. Антоневич)

4. Примеры нахождения D(y). Материал
подготовил и рассмотрел перед классом ученик.

Найти области определения функций:

1. у = (.

Решение. Так как sin x принимает и
иррациональные значения, то x + 0, т.е. х . Кроме того, х не
должен обращаться в , так как при х = и основание, и показатель
степени обращаются в нуль. Область определения
функции

у = (
есть х > .




2. у = .

Решение. Области определения этой функции
принадлежат те х, при которых определен и 0. Для этого
нужно, чтобы 1.
Но последнее неравенство справедливо лишь в
точках х = 0, 1, 2, … . Таким образом,
только в этих точках можно выполнить все
действия в записи функции и, значит, область
определения этой функции состоит только из целых
чисел.

3. у = log_{х – 1}(х² + х – 2).

Решение. Логарифм определен только для
положительных оснований, не равных единице.
Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно
дыть положительным. Поэтому получаем систему:

х -1 > 0;

х² – х – 2 > 0;

х – 1 1.

Решая эту систему, находим область определения:

х > 1, х 2.

5. Метод Мажорант (метод оценки). Решение
уравнений.

Материал рассмотрен учителем вместе с
учениками.

Метод, который имел место быть во всех ЕГЭ по
математике. Отметим этот метод, как начальный
олимпиадный.

Основная идея метода мажорант состоит в
следующем:

Пусть мы имеем уравнение и существует такое число М,
что для любого х из области определения имеем . Тогда уравнение
равносильно
системе

Пример 1 Решите уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

При всех значениях х верны неравенства . Следовательно,
данное уравнение равносильно системе . Полученная
система не имеет решений, так как не удовлетворяет второму
уравнению.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

Поскольку ,
равенство
выполняется тогда и только тогда, когда . Решением
первого уравнения системы являются значения . При этих х
найдем .
Следовательно, решение системы.

Ответ: .

Пример 3 Решить уравнение .

Решение.

Пусть , тогда
уравнение примет вид . Поскольку и ,
неравенство выполняется тогда и только тогда,
когда .
Обратная замена: х + 1 = 0 .

Ответ: – 1.

Пример 4. Найти все значения параметра а,
при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти
решения.

Решение.

Перепишем уравнение в виде . При всех значениях х
выражение
поэтому .

При всех значения х выражения и . Поэтому .

Следовательно, левая часть уравнения не меньше
4, а правая часть – не больше 4.

Получаем систему:

Ответ: при .

Разновидностью метода мажорант являются
задачи (“встреча на краю”) в которых множества
значений левой и правой частей уравнения или
неравенства имеют единственную общую точку,
являющуюся наибольшим значением для одной части
и наименьшим для другой. 

Прежде всего – привести заданные уравнения или
неравенства к более простому виду: путем
разложения на множители, избавлением от модулей,
логарифмов и т.д. Затем необходимо ещё раз
внимательно прочитать задание, попробовать
нарисовать графический образ функций входящих в
задачу.

Пример 1. Решить уравнение .

1 способ.

Решение: Заметим, что левая часть уравнения
не превосходит единицы, в то время как правая
часть не меньше единицы. Следовательно, исходное
уравнение имеет решение, только если обе его
части равны единицы. Это возможно только при .

Ответ: .

2 способ. Данное уравнение можно решить
графически. Для этого построим в одной системе
координат графики правой и левой частей
уравнения, т.е график функции и график функции . Из рисунка видно, что
исходное уравнение имеет решение, только при .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Так как при любом значении х: то данное уравнение
выполняется только в том случае, если
выполняется система . Первое уравнение системы имеет
единственный корень х = 1, но этот корень не
удовлетворяет второму уравнению. Поэтому
система решений не имеет.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение:

Так как , то
левая часть уравнения принимает значение от до 2. Для правой
части (в силу неравенства для суммы двух взаимно
обратных чисел) выполнено .

Поэтому уравнение имеет решения, если и только
если одновременно выполнены два условия . Решая эту
систему, получаем

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Левая часть уравнения не больше 2, так как , значит . Равенство
возможно при условии .

Правая часть должна быть положительна, так как , а значит .

Кроме того, .

Тогда равенство обеих частей уравнения
возможно лишь при условии .

Отсюда находим, что .

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение .

Решение.

Для решения уравнения оценим его части: и . Поэтому равенство
возможно только при условии.

Сначала решим второе уравнение.

Получаем: , , , или . Корни этого уравнения и .

Проверим справедливость первого
равенства, подставив эти корни.

При
получаем:
(верное равенство).

Для
имеем: (неверное
равенство).

Итак, данное уравнение имеет
единственный корень .

Ответ: 0.

6. Подведем итоги занятия. Оценим выступление
учащихся.

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от
независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

у = 2x

• « x » называют независимым аргументом функции;
• « y » зависимой переменной или значением функции.

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.

x	y = 2x
x = −2	у = 2 · (−2) = −4
x = 0	y = 2 · 0 = 0
x = 1 2	y = 2 · 1 2 = 2 · 1 2 = 1
x = 3	y = 2 · 3 = 6

Обозначают область определения функции как:

D(y)

Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где
мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

x	y = 2x
−2	−4
0	0
1 2	1
3	6

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать,
что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

• −2
• 0
• 10
• 30,5
• 1 000 000
• и так далее…

В нашей функции «у = 2x» вместо « x »
можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.

у = 2x
D(y): x — любое действительное число

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на
математические символы.
Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x».
Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x »,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности
«+∞».

Запишем результат по правилам записи неравенств.

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности
до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как
«x ∈ R».

Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».

Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x »
в функции

« f(x) = ».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя.
Иначе говоря,
знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) = ».
Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

x + 5 ≠ 0

Решим полученное линейное уравнение.

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5».
На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число «−5» отмечено
«пустой»
точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке
«Как записать ответ неравенства».

x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) = ».

Ответ:

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = √6 − x

Из урока «Квадратный корень» мы помним,
что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = √6 − x».
Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.

6 − x ≥ 0

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено
«заполненной»
точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

x ∈ (−∞ ; 6]

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = √6 − x» .
Так как число «6» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; 6]

Правило для определения области определения функции

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

1. есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
2. есть ли корни четной
   степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции «
f(x) = √x + 3 +
»

есть дробь «

»,
где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель
« x ² − 9 »
не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через
формулу квадратного уравнения.

Запомним полученный результат. Задаем себе
второй
вопрос.
Проверяем, есть ли в формуле функции

«
f(x) = √x + 3 +
»

корень четной степени.

В формуле есть квадратный корень «
√x + 3
».

Подкоренное выражение «x + 3»
должно быть больше или равно нулю.

x + 3 ≥ 0

Решим линейное неравенство.

x + 3 ≥ 0
x ≥ −3

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

• знаменатель дроби
  «
  » не равен нулю ;
• подкоренное выражение «
  √x + 3
  » должно быть больше или равно нулю.

Объединим все полученные результаты на числовых осях.
Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях.
Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = √x + 3 + ».
Запишем окончательный ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)

Примеры определения области определения функции

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = ⁶√x +
⁵√1 + x

Для поиска области определения функций задаем себе
первый вопрос.

Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
нет дробей.

Задаем
второй вопрос.

Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени:
«⁶√x».

Степень корня — число «6». Число «6» — чётное,
поэтому подкоренное выражение корня «⁶√x»
должно быть больше или равно нулю.

x ≥ 0

В формуле функции «y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
также есть корень пятой степени
«⁵√1 + x
».

Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«1 + x»
не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
— это ограничение подкоренного выражения
«⁶√x».

x ≥ 0

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ [0 ; +∞)

---

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два.
Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

	√x + 2 ≠ 0
x2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами «1» и
«2» и решим каждое уравнение отдельно.

	√x + 2 ≠ 0            (1)
x2 − 7x + 6 ≠ 0     (2)

Решаем первое уравнение.

√x + 2 ≠ 0     (1)

Если значение квадратного корня
«√x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю,

значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0»

также не должно быть равно нулю.

√x + 2 ≠ 0     (1)

x + 2 ≠ 0
x ≠ −2

Теперь решим уравнение под номером «2», используя
формулу квадратного уравнения.

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

Знаменатели с « x »
мы проверили. Настала очередь
проверить
формулу функции
на
наличие корней четной степени .

В формуле функции

«f(x) =

+
»

есть два корня
«√x − 4» и
«√x + 2». Их подкоренные
выражения должны быть больше или равны нулю.

Решим полученную
систему неравенств.

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

x ≥ 4

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим
проверкам:

1. проверка, что знаменатели
   дробей
   с « x »
   не равны нулю;
2. проверка, что
   подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.

Условие проверки	Результат
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю	x ≥ 4

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет
всем полученным условиям.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =

+
»

с использованием математических символов.

Ответ:

D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

• Курс

Всем привет! В этой статье мы познакомимся с функцией. Узнаем что такое область определения и область значений функции. А еще разберем линейную функцию и построим ее график.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы – x и ординаты – у.

Функцией называют зависимость переменной y от переменной x , при которой, каждому значению x соответствует единственное значение y.

x – аргумент, независимая переменная;

y – функция, которая зависит от аргумента x. Значения y называют значениями функции;

Область определения функции – это все значения x.

Область значения функции – это все значения y.

Когда функция задана формулой и её область определения не указана, то область определения функции будет состоять из всех значений аргумента(x), при которых функция имеет смысл.

Например областью определения функции f(x) = 3/x является множество всех чисел, кроме 0, потому что на 0 делить нельзя.

Линейная функция

Графиком функции kx + b является прямая.

Областью определения этой функции служит множество всех чисел.

Если k ≠ 0, то область значения функции – это множество всех чисел. Если же k = 0, то область значения состоит из одного числа равного b.

ДЗ:

Функция задана формулой f(x) = -4x + 10.

Найдите: f(-1), f(0), f(1/4).

Кто будет решать домашнее задание, пишите ваши ответы в комментариях. Для практики можно еще и график построить для каждого случая! И не забывайте подписаться на мой канал!