Исследовать функцию — это значит установить её свойства: указать её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция приобретает положительные значения, на которых — отрицательные; выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т. д.
Содержание:
Что такое исследование функции
Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная {рис. 70).
Правильными будут следующие утверждения.
- Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
- Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
- Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.
Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция 
Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует.
Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.
Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции 
нужно решить неравенства 
или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.
Пример:
Найдите промежутки возрастания и убывания функции 
Решение:
Уравнение 
имеет корни 
Это — критические точки. Область определения данной функции — множество 
— они разбивают на три промежутка: 
(рис. 72). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: 
Следовательно, данная функция на промежутках 
возрастает, а на 
убывает.
Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция 
в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках 
на 
— убывает.
Пример:
Найдите промежутки убывания функции 
Решение:
Критические точки: 
Они всю область определения функции разбивают на интервалы: 
(рис. 73). Производная 
на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: 
Следовательно, функция убывает на промежутках 
Поскольку в точках 
данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так: 
Пример:
Найдите критические точки функции 
Решение:
Найдем произвольную функции: 
Найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует: 
— не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда 
и 
Точка 
не входит в область определения функции. Следовательно, функция имеет две критические точки: 
Ответ. 0 и 4.
Пример:
Докажите, что функция 
возрастает на 
Решение:
При любом значении 
выражение 
имеет положительное значение. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения, т.е. на множестве 
Пример:
Установите, на каком промежутке функция 
возрастает, а на каком убывает.
Решение:
Способ 1. 
Найдём производную функции:
Найдём критические точки функции:
Эта точка разбивает область определения функции на два промежутка (рис. 74). Определим знак производной на каждом из них.
Следовательно, функция 
возрастает на промежутке 
а убывает на 
Способ 2. Решим неравенство 
и 
Ответ. Возрастает, если 
убывает если 
Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков
При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной. Вспомним, что такое вторая производная.
Пусть функция 
является дифференцируемой, 
её производная 
— функция, которая также дифференцируема. Тогда можно найти производную 
Это производная второго порядка, или вторая производная функции 
Например, найти производную 2-го порядка функции 
означает найти производную этой функции 
и полученную функцию продифференцировать: 
Кривая 
называется выпуклой на интервале 
если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 1).
Кривая 
называется вогнутой на интервале 
если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 2).
Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.
Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.
Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции 
отрицательна 
на интервале 
то кривая 
выпуклая на данном интервале; если вторая производная функции 
положительная 
то кривая вогнутая на 
Из теоремы следует, что точками перегиба кривой 
могут быть только точки, в которых вторая производная 
равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.
Установим до статочное условие существования точки перегиба.
Теорема. Пусть 
— критическая точка второго рода функции 
Если при переходе через точку 
производная 
меняет знак, то точка 
является точкой перегиба кривой 
Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции целесообразно пользоваться следующей схемой:
- найти область определения функции;
- найти критические точки второго рода;
- определить знак второй производной на образованных интервалах. Если
то кривая выпуклая; если — кривая вогнутая; - если производная меняет знак при переходе через точку то точка является точкой перегиба кривой
то кривая выпуклая; если 
— кривая вогнутая;
меняет знак при переходе через точку 
то точка 
является точкой перегиба кривой 
Пример №1
Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой 
Решение:
1) Область определения функции: 
2) Найдём вторую производную: 
Критические точки второго рода: 
Других критических точек нет.
3) Разбиваем область определения на интервалы 
и определяем знак второй производной на каждом из них.
Если 
поэтому кривая вогнутая.
Если 
поэтому кривая выпуклая.
Если 
— кривая вогнутая.
Следовательно, точки 
— точки перегиба кривой. Рассмотрим ещё один компонент в исследовании функций, благодаря которому упрощается построение некоторых графиков. Это асимптоты. В предыдущих параграфах рассматривались горизонтальные и вертикальные асимптоты. Повторим, расширим и обобщим это понятие. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 87).
Напомним, что прямая 
будет вертикальной асимптотой кривой 
если при 
(справа или слева) значение функции 
стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий: 
Уравнение наклонной асимптоты: 
Если записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота; если хотя бы один из них не существует или равен 
то кривая наклонной асимптоты не имеет.
Если 
поэтому 
— уравнение горизонтальной асимптоты.
Замечание: Рассмотренные пределы могут быть односторонними, а под символом 
следует понимать и 
При этом указанные пределы могут быть разными при 
Пример №2
Найдите асимптоты кривых:
Решение:
а) 
Найдём вертикальные асимптоты. Поскольку функция не определена в точках 
и 
то прямые 
— вертикальные асимптоты.
Найдём наклонную асимптоту: 
Кривая имеет горизонтальную асимптоту, её уравнение: 
Следовательно, заданная кривая имеет три асимптоты: 
Найдем вертикальные асимптоты.
Поскольку функция не определена в точках 
и 
то прямые 
— вергикальные асимптоты.
Для наклонной асимптоты 
Значит прямая 
— наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет.
Итак, асимптоты кривой: 
Будем искать наклонные асимптоты:
Следовательно, 
— наклонная асимптота, если 
2) если 
(проверьте самостоятельно), отсюда 
— наклонная асимптота, если 
Следовательно, заданная кривая имеет две асимптоты: 
Определение точек перегиба, интервалов выпуклости и асимптот существенно помогает в построении графиков различных функций.
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
Интервалы возрастания и убывания функции
возрастающая функция
Если для любых 
и 
из некоторого промежутка области определения при 
выполняется условие 
то на этом промежутке функция возрастающая.
убывающая
Если для любых 
и 
из некоторого промежутка области определения при 
выполняется условие 
на этом промежутке функция убывающая.
Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.
Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция 
возрастает.
Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция 
убывает.
Промежутки возрастания и убывания функции
Пусть на определенном промежутке производная функции 
положительна, т. е. 
Так как 
то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график “поднимается “, т. е. функция возрастает. Если 
тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график “спускается”, т. е. функция убывает.
Теорема. Если функция 
дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:
Примечание: если функция 
непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.
По графику функции 
исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.
На интервалах 
и 
угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков 
и 
функция 
возрастает.
На интервале 
угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке 
функция 
убывает.
Пример №3
При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции 
Решение: 1. Алгебраический метод.
Найдем производную функции
Функция 
на промежутке удовлетворяющем неравенству 
т. е. 
возрастает.
Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение
Значит, при 
и 
Точки 
разбивают область определения функции на три интервала: 
и 
В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.
Из таблицы и непрерывности функции 
видно, что данная функция возрастает на промежутках 
и 
и убывает на промежутке 
Из графика так же видно, что задания решение верно.
2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить но графику производной. На рисунке изображен график производной
График производной 
при 
и 
расположен выше оси 
значит, 
При 
график производной расположен ниже оси 
значит 
Так как функция 
в точках 
и 
непрерывна, то на промежутках 
и 
она возрастает, а на промежутке 
убывает.
Пример №4
Изобразите схематично график непрерывной функции согласно еле дующим условиям:
a) при 
при 
b) при 
или 
при 
Решение:
а) при 
знак производной положительный: 
значит,
функция возрастает. При 
знак производной отрицательный: 
значит, функция убывает, при 
значение функции равно 5.
b) При 
и 
знак производной положительный: 
значит, функция возрастает. При 
знак производной отрицательный: 
значит, функция убывает, при 
значение функции равно 0.
Критические точки и экстремумы функции
В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.
1. Для значений 
равных 
угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т. e.
Эти точки являются критическими точками функции.
2. В точках 
функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.
3. Для рассматриваемой нами функции критические точки 
делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки 
– критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).
По графику видно, что в точках внутреннего экстремума(
и 
) производная функции равна нулю, а в точке 
производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.
Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.
Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке 
производная функции 
равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.
На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т. е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.
Достаточное условие существования экстремума
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
и 
Если 
является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:
- слева от точки положительна, а справа – отрицательна, то точка является точкой максимума.
- слева от отрицательна, а справа – положительна, то точка является точкой минимума
- с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.
слева от точки 
положительна, а справа – отрицательна, то точка 
является точкой максимума.Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.
Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
записываются как 
и 
Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.
Пример №5
Для функции
определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.
Решение: Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.
1. Производная функции: 
2. Критические точки функции: 
3. Точки 
и 
разбивают область определения функции на три промежутка.
Проверим знак 
на интервалах, выбрав пробные точки:
для интервала 
для интервала 
для интервала 
При 
имеем 
максимум
При 
имеем 
минимум
4. Используя полученные для функции 
данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.
Пример №6
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
Решение: Сначала найдем критические точки.
Так как 
то критические точки можно найти из уравнения 
и 
Критическая точка 
не принадлежит данному отрезку 
и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке 
и на концах отрезка.
Из этих значений наименьшее – 4, наибольшее 12. Таким образом:
Пример №7
Найдите экстремумы функции 
Решение: 1. Производная функции: 
2. Критические точки: 
и 
3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:
и 
Проверим знак 
на интервалах, выбрав пробные точки.
Для промежутка 
возьмем 
Для промежутка 
возьмем 
Для промежутка 
возьмем 
Используя полученную для функции 
информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами 
и 
касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.
Пример №8
Найдите экстремумы функции 
Решение: 1. Производная 
2. Критические точки: для этого надо решить уравнение 
или найти точки, в которых производная не существует. В точке 
функция не имеет конечной производной. Однако точка 
принадлежит области определения. Значит, точка 
является критической точкой функции.
3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: 
и 
Определим знак 
выбрав пробные точки для каждого промежутка:
Для 
возьмем 
Для 
возьмем 
Пример №9
По графику функции производной 
схематично изобразите график самой функции.
Решение:
Производная 
в точке 
равна нулю, а при 
отрицательна, значит, на интервале 
функция убывающая. При 
производная положительна, а это говорит о том, что функция/на промежутке 
возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка 
Соответствующий график представлен на рисунке.
- Заказать решение задач по высшей математике
Построение графиков функции с помощью производной
Функция – многочлен определена и непрерывна на всей числовой оси.
Чтобы построить график функции- многочлен надо выполнить следующие шаги.
- Определите точки пересечения с осями координат.
- Найдите критические точки.
- Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
- Найдите максимумы и минимумы.
- Постройте график.
Пример:
Постройте график функции 
1) Точки пересечения с осями координат :
2) Критические точки ( точки, в которых производная равна нулю): 
значит, точки 
и 
расположены на графике.
3) Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.
Критические точки 
деляг область определения функции на четыре промежутка. Проверим знаки производной 
4) Используя полученную информацию, построим график функции.
Чтобы построить график рациональной функции надо выполнить следующие шаги.
- Найдите область определения.
- Найдите асимптоты (если они есть).
- Определите точки пересечения с осями координат.
- Найдите критические точки.
- Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы.
- Постройте график.
Пример:
Постройте график функции 
1) Область определения функции: 
2) Асимптоты: 
Прямая 
вертикальная асимптота функции.
Так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, рациональная функция не имеет горизонтальной асимптоты. Однако, записав следующее: 
условии 
имеем 
т. е. график функции 
бесконечно приближается к прямой 
В этом случае прямая 
является наклонной асимптотой функции 
Вообще, если степень многочлена 
на 1 единицу больше степени многочлена 
то рациональная функция 
имеет наклонную асимптоту.
3) Точки пересечения с осями координат: 
4) Критические точки:
5) Промежутки возрастания и убывания: в точке 
функция не определена, точки 
и 
являются критическими точками функции. Определим знаки производной в каждом полученном интервале.
6) Построим график. Отметим на координатной плоскости точки 
относящиеся к графику. Проведем вертикальную асимптоту 
и наклонную асимптоту 
Используя полученные результаты, изобразим график функции.
Обратите внимание! В области, близкой к точке 
график функции ведет себя как парабола 
Задачи на экстремумы. Оптимизации
В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.
Замечание 1: На интервале 
должны учитываться предельные значения функции на концах.
Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума – наименьшее значение.
Пример 1. Максимальный объем. Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности 
Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?
Решение:
Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле 
Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную 
Вычислим площадь поверхности коробки. Она равна 
и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.
Тогда выразим 
подставим в формулу 
Зависимость объема коробки от переменной 
можно выразить следующим образом:
Теперь найдем область определения функции 
согласно условию задачи.
Понятно, что длина не может быть отрицательной, т. е. 
Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т. е. 
или 
Значит, 
Найдем максимальное значение функции 
на интервале 
Для этого используем производную первого порядка:
При 
и 
имеем, что 
Однако. 
Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является 
При 
имеем 
при 
имеем 
функция
в точке 
принимает максимальное значение.
Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна
Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами 
Построив при помощи графкалькулятора график функции 
также можно увидеть, что при 
объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.
Пример 2. Минимальное потребление. Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.
Решение: 1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.
2) Аналитически выразим зависимость между переменными.
По теореме Пифагора:
зависимость функции 
от переменной 
будет
Производная функции 
Найдем критические точки функции 
Сравнивая значения функции 
в точках 
(это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при 
(метр)
При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!
1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.
2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.
3. Выберите соответствующий параметр 
и выразите искомую величину функцией 
Найдите экстремумы данной функции.
4. Полученные значения объясните экспериментально.
Пример: Минимальное потребление материала. Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250 
a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?
b) Для круглого основания используется материал, цена 1 
которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 
которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?
Решение: а) По условию задачи объем равен 250 
Эти данные дают нам возможность найти зависимость между 
и 
Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении 
где 
функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции 
Критическая точка функции: 
При 
имеем 
при 
Значит, 
Подставим значение 
в формулу для высоты 
получим 
Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами 
и 
Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными
- Приложения производной
- Производные высших порядков
- Дифференциал функции
- Дифференцируемые функции
- Касательная к графику функции и производная
- Предел и непрерывность функции
- Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
- Предел функции на бесконечности
Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.
Что значит найти область определения
После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.
Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2.
Ограничение области определения
Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:
- при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1;
- при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на сложение корня четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x;
- при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел;
- при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
- при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа;
- при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.
При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.
Правила нахождения области определения
Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.
Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.
На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).
При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.
Область определения суммы, разности и произведения функций
Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:
Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f1, f2, …, fn. Данное утверждение можно записать как:
D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)
Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.
Найти область определения функции вида y=x7+x+5+tgx.
Решение
Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7,степенной с показателем 1, постоянной, функции тангенса.
По таблице определения видим, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞), D(f3)=(−∞, +∞), причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π2+π·k, k∈Z.
Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f1, f2, f3 и f4. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π2+π·k, k∈Z.
Ответ: все действительные числа кроме π2+π·k, k∈Z.
Чтобы найти область определения произведения функций необходимо применять правило:
Когда функция f считается произведением n функций f1, f2, f3 и fn, тогда существует такая функция f, которую можно задать при помощи формулы y=f1(x)·f2(x)·…·fn(x), тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.
Запишется D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)
Найти область определения функции y=3·arctg x·ln x.
Решение
Правая часть формулы рассматривается как f1(x)·f2(x)·f3(x), где за f1 является постоянной функцией, f2 является арктангенсом, f3 – логарифмической функцией с основанием e. По условию имеем, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞) и D(f3)=(0, +∞). Мы получаем, что
D(f)=D(f1)D(f2)D(fn)=(-∞, +∞)(-∞, +∞)D(0, +∞)=(0, +∞)
Ответ: область определения y=3·arctg x·ln x – множество всех действительных чисел.
Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими.
Функция y=C·f(x) – произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x) является -∞, +∞D(f)=D(f).
Естестввенным образом получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x – [0, +∞).
Области определения y=f(x) и y=−f(x) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.
Найти область определения функции y=log3x−3·2x.
Решение
Необходимо рассмотреть как разность двух функций f1 и f2.
f1(x)=log3x и f2(x)=3·2x. Тогда получим, что D(f)=D(f1)D(f2).
Область определения записывается как D(f1)=(0, +∞). Приступим к области определения f2. В данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D(f2)=(−∞, +∞).
Для нахождения области определения функции y=log3x−3·2x получим, что
D(f)=D(f1)D(f2)=(0, +∞)-∞, +∞
Ответ: (0, +∞).
Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.
Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.
Найти область определения f1(x)=x5+7×3-2×2+12.
Решение
Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f1(x)=x5+7×3-2×2+12 и f2(x)=3·x-ln 5. Выше было показано, что D(f1)=R. Область определения для f2 является совпадающей со степенной при показателе –ln5, иначе говоря, что D(f2)=(0, +∞).
Получаем, что D(f)=D(f1)D(f2)=-∞, +∞(0, +∞)=(0, +∞).
Ответ: (0, +∞).
Область определения сложной функции
Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y=f1(f2(x)). Известно, что D(f) является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.
Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид
x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)
Рассмотрим решение нескольких примеров.
Найти область определения y=ln x2.
Решение
Алгоритм решения этого уравнения или функции следующий.
Данную функцию представляем в виде y=f1(f2(x)), где имеем, что f1 является логарифмом с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2.
Для решения необходимо использовать известные области определения D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞).
Тогда получим систему неравенств вида
x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-∞, +∞x2∈(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, +∞)x2>0⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)
Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.
Ответ: (−∞, 0)∪(0, +∞).
Найти область определения функции y=(arcsin x)-12.
Решение
График решения следующий.
Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y=f1(f2(x)), где f1 является степенной функцией с показателем -12, а f2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1]. Теперь найдем все множества значений x, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). Получаем систему неравенств вида
x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-1, 1arcsin x∈(0, +∞)⇔⇔x∈-1, 1arcsin x>0
Для решения arcsin x>0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [−1, 1], причем обращается в ноль при х=0, значит, что arcsin x>0 из определения x принадлежит промежутку (0, 1].
Преобразуем систему вида
x∈-1, 1arcsin x>0⇔x∈-1, 1x∈(0, 1]⇔x∈(0, 1]
Область определения искомой функции имеет интервал равный (0, 1].
Ответ: (0, 1].
Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).
Найти область определения y=sin(lg x4).
Решение
Заданная функция может быть расписана, как y=f1(f2(f3(x))), где имеем f1 – функция синуса, f2 – функция с корнем 4 степени, f3 – логарифмическая функция.
Имеем, что по условию D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=[0, +∞), D(f3)=(0, +∞). Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x∈D(f3), f3(x)∈D(f2), f2(f3(x))∈D(f1). Получаем, что
x∈D(f3)f3(x)∈D(f2)f2(f3(x))∈D(f1)⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞
Условие lg x4∈-∞, +∞ аналогично условию lg x∈[0, +∞), значит
x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔x∈(0, +∞)lg x≥0⇔⇔x∈(0, +∞)lg x≥lg 1⇔x∈(0, +∞)x≥1⇔⇔x∈[1, +∞)
Ответ: [1, +∞).
При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.
Область определения дроби
Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.
Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.
Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.
Найти область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6.
Решение
Заданная функция дробная, поэтому f1 – сложная функция, где y=tg(2·x+1) и f2 – целая рациональная функция, где y=x2−x−6, а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде
x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0
Представление сложной функции y=f3(f4(x)), где f3 –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π2+π·k, k∈Z, а f4 – это целая рациональная функция y=2·x+1 с областью определения D(f4)=(−∞, +∞). После чего приступаем к нахождению области определения f1:
x∈D(f4)2·x+1∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)2x+1≠π2+π·k, k∈Z⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Z
Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6. Тогда получаем, что
x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx∈-∞, +∞x2-x-6≠0⇔⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx≠-2x≠3
Ответ: множество действительных чисел, кроме -2, 3 и π4-12+π2·k, k∈Z.
Действия с корнями
Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:
y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.
Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.
Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.
Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.
Также важным является вопрос, как складывать корни.
Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.
Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.
К основным действиям с корнями относят:
- умножение корней;
- деление корней;
- корень минус корень или плюс.
Область определения логарифма с переменной в основании
Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так:
x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1
К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:
y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.
Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида
x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1
Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5).
Решение
Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>0, x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида
x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>0x∈(-∞, +∞)2·x>02·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>0x≠12⇔⇔x∈0, 12∪12, 1∪(5, +∞)
Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).
Ответ: 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).
Область определения показательно-степенной функции
Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x). Ее область определения включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.
Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.
Найти область определения показательно-степенной функции y=(x2-1)x3-9·x.
Решение
Примем за обозначение f1(x)=x2−1 и f2(x)=x3-9·x.
Функция f1 определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D(f1)=(−∞, +∞). Функция f2 является сложной, поэтому ее представление примет вид y=f3(f4(x)), а f3 – квадратным корнем с областью определения D(f3)=[0, +∞), а функция f4 – целой рациональной,D(f4)=(−∞, +∞). Получаем систему вида
x∈D(f4)f4(x)∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)x3-9·x≥0⇔⇔x∈(-∞, +∞)x∈-3, 0∪[3, +∞)⇔x∈-3, 0∪[3, +∞)
Значит, область определения для функции f2 имеет вид D(f2)=[−3, 0]∪[3, +∞). После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.
Получаем систему вида x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x2-1>0⇔x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)⇔⇔x∈-3, -1∪[3, +∞)
Ответ: [−3, −1)∪[3, +∞)
В общем случае
Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.
Таблицы основных результатов
Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.
| Функция | Ее область определения |
|
Сумма, разность, произведение функций f1, f2,…, fn |
Пересечение множеств D(f1), D(f2), …, D(fn) |
|
Сложная функция y=f1(f2(f3(…fn(x)))) В частности, y=f1(f2(x)) |
Множество всех x, одновременно удовлетворяющих условиям x∈D(fn),fn(x)∈D(fn-1),fn-1(fn(x))∈D(fn-2),… ,f2(f3(…fn(x)))∈D(f1) x∈D(f2),f2(x)∈D(f1) |
Расположим функции и их области определения.
| Функция | Ее область определения |
|
Прямая пропорциональность y=k·x |
R |
| Линейная y=k·x+b | R |
|
Обратная пропорциональность y=kx |
-∞, 0∪0, +∞ |
| Квадратичная y=a·x2+b·x+c | R |
| y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 | R |
| Целая рациональная | R |
| y=C·f(x), где C – число | D(f) |
|
Дробная y=f1(x)f2(x) В частности, если f1(x), f2(x) – многочлены |
Множество всех x, которые одновременно удовлетворяют условиям f2(x)≠0 |
| y=f(x)n, где n – четное | x∈D(f1), f(x)≥0 |
|
y=logf2(x)f1(x) В частности, y=logaf1(x) В частности, y=logf2(x)a |
x∈D(f1), f1(x)>0,x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1 x∈D(f1), f1(x)>0 x∈D(f2), f2>0, f2(x)≠1 |
| Показательно-степенная y=(f1(x))f2(x) | x∈D(f1), x∈D(f2), f1(x)>0 |
Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞), а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что функция имеет смысл при x≠2.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Область определения функции – это множество чисел, на котором задается функция. Другими словами, это те значения х, которые можно подставить в данное уравнение. Возможные значения у называются областью значений функции. Если вы хотите найти область определения функции в различных ситуациях, выполните следующие действия.
-
1
Запомните, что такое область определения. Область определения — это множество значений х, при подставлении которых в уравнение мы получаем область значений у.
-
2
Научитесь находить область определения различных функций. Тип функции определяет метод нахождения области определения. Вот основные моменты, которые вы должны знать о каждом типе функции, о которых пойдет речь в следующем разделе:
- Полиномиальная функция без корней или переменных в знаменателе. Для этого типа функции областью определения являются все действительные числа.
- Дробная функция с переменной в знаменателе. Чтобы найти область определения данного типа функции, знаменатель приравняйте к нулю и исключите найденные значения х.
- Функция с переменной внутри корня. Чтобы найти область определения данного типа функции, задайте подкоренное выражение больше или равно 0 и найдите значения х.
- Функция с натуральным логарифмом (ln). Задайте выражение под логарифмом > 0 и решите.
- График. Нарисуйте график для нахождения х.
- Множество. Это будет список координат х и у. Область определения — список координат х.
-
3
Правильно обозначайте область определения. Легко научиться правильному обозначению области определения, но важно, чтобы вы правильно записывали ответ и получали высокую оценку. Вот несколько вещей, которые вы должны знать о написании области определения:
- Один из форматов написания области определения: квадратная скобка, 2 конечных значения области, круглая скобка.
- Например, [-1; 5). Это означает область определения от -1 до 5.
-
Используйте квадратные скобки [ и ] , чтобы указать, что значение принадлежит области определения.
- Таким образом, в примере [-1; 5) область включает -1.
-
Используйте круглые скобки ( и ) , чтобы указать, что значение не принадлежит области определения.
- Таким образом, в примере [-1; 5) 5 не принадлежит области. Область включает только значения, бесконечно близкие к 5, то есть 4,999(9).
-
Используйте знак U для объединения областей, разделенных промежутком.
- Например, [-1; 5 ) U (5; 10]. Это означает, что область проходит от -1 до 10 включительно, но не включает 5. Это может быть у функции, где в знаменателе стоит “х – 5”.
- Вы можете использовать несколько U по мере необходимости, если область имеет несколько разрывов/промежутков.
-
Используйте знаки «плюс бесконечность» и «минус бесконечность», чтобы выразить, что область бесконечна в любом направлении.
- Со знаком бесконечности всегда используйте ( ), а не [ ].
Реклама
- Один из форматов написания области определения: квадратная скобка, 2 конечных значения области, круглая скобка.
-
1
Запишите пример. Например, вам дана следующая функция:
- f(x) = 2x/(x2 – 4)
-
2
Для дробных функций с переменной в знаменателе надо приравнять знаменатель к нулю. При нахождении области определения дробной функции необходимо исключить все значения х, при которых знаменатель равен нулю, потому что нельзя делить на ноль. Запишите знаменатель как уравнение и приравняйте его к 0. Вот как это делается:
- f(x) = 2x/(x2 – 4)
- x2 – 4 = 0
- (x – 2 )(x + 2) = 0
- x ≠ 2; – 2
-
3
Запишите область определения:
- х = все действительные числа, кроме 2 и -2
Реклама
-
1
Запишите пример. Дана функция y =√(x-7)
-
2
Задайте подкоренное выражение больше или равным 0. Вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа, хотя вы можете извлечь квадратный корень 0. Таким образом, задайте подкоренное выражение больше или равным 0. Заметим, что это относится не только к квадратным корням, но и ко всем корням с четной степенью. Тем не менее, это не относится к корням с нечетной степенью, так как отрицательное число может стоять под корнем нечетной степени.
- х – 7 ≧ 0
-
3
Выделите переменную. Для этого перенесите 7 в правую часть неравенства:
- x ≧ 7
-
4
Запишите область определения. Вот она:
- D = [7; +∞)
-
5
Найдите область определения функции с корнем, когда есть несколько решений. Дано: y = 1/√( ̅x2 -4). Приравняв знаменатель к нулю и решив это уравнение, вы получите х ≠ (2; -2). Вот как вы действуете далее:
- Проверьте область за -2 (например, подставив -3), чтобы удостовериться, что подстановка в знаменатель чисел меньше -2 в результате дает число больше 0. И это так:
- (-3)2 – 4 = 5
- Теперь проверьте область между -2 и +2. Подставьте, например, 0.
- 02 – 4 = -4, так что числа между -2 и 2 не подходят.
- Теперь попробуйте числа больше 2, например 3.
- 32 – 4 = 5, так что числа больше 2 подходят.
- Запишите область определения. Вот как записывается эта область:
- D = (-∞; -2) U (2; +∞)
Реклама
- Проверьте область за -2 (например, подставив -3), чтобы удостовериться, что подстановка в знаменатель чисел меньше -2 в результате дает число больше 0. И это так:
-
1
Запишите пример. Допустим, дана функция:
- f(x) = ln(x – 8)
-
2
Задайте выражение под логарифмом больше нуля. Натуральный логарифм должен быть положительным числом, поэтому задаем выражение внутри скобок больше нуля.
- x – 8 > 0
-
3
Решите. Для этого обособьте переменную х, прибавив к обеим частям неравенства 8.
- x – 8 + 8 > 0 + 8
- x > 8
-
4
Запишите область определения. Область определения этой функции есть любое число больше 8. Вот так:
- D = (8; +∞)
Реклама
-
1
Посмотрите на график.
-
2
Проверьте значения х, которые отображены на графике. Это может быть легче сказать, чем сделать, но вот несколько советов:
- Линия. Если на графике вы видите линию, которая уходит в бесконечность, то все значения х верны, и область определения включает все действительные числа.
- Обычная парабола. Если вы видите параболу, которая смотрит вверх или вниз, то область определения — все действительные числа, потому что подходят все числа на оси х.
- Лежачая парабола. Теперь, если у вас есть парабола с вершиной в точке (4; 0), которая простирается бесконечно вправо, то область определения D = [4; +∞)
-
3
Запишите область определения. Запишите область определения в зависимости от типа графика, с которым вы работаете. Если вы не уверены в типе графика и знаете функцию, описывающую его, для проверки подставьте координаты х в функцию.
Реклама
-
1
Запишите множество. Множество — это набор координат х и у. Например, вы работаете со следующими координатами: {(1; 3), (2; 4), (5; 7)}
-
2
Запишите координаты х. Это 1; 2; 5.
-
3
Область определения: D = {1; 2; 5}
-
4
Убедитесь, что множество является функцией. Для этого необходимо, чтобы каждый раз, когда вы подставляете значение х, вы получали одно и то же значение y. Например, подставляя х = 3, вы должны получить у = 6, и так далее. Приведенное в примере множество не является функцией, потому что дано два разных значения у: {(1; 4), (3; 5), (1; 5)}.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 853 835 раз.
Была ли эта статья полезной?
1. Область определения функции.
2. Четность, нечетность, периодичность.
3. Точки пересечения с осями координат.
4. Производная и критические точки.
5. Промежутки возрастания, убывания и
точки экстремума и значение функции в
этих точках.
6. Поведение функции на концах области
определения и асимптоты графика функции
(вертикальные, горизонтальные, и
наклонные)
7. Вторая производная и исследование
функции на выпуклость и вогнутость, и
нахождение точек перегиба.
8. Нахождение контрольных точек.
9. Построение графика по результатам
исследования.
Приложения.
Таблица
1. Как найти область определения функции.
Таблица
2. Четные и нечетные функции.
Таблица
3. Периодические функции.
Таблица
4. Применение производной к исследованию
функции.
Таблица
5. Асимптоты графика функции.
Таблица
6. Вторая производная и точки перегиба.
Примеры.
Пример
1. Исследовать
функцию
и построить график функции.
Пример
2. Исследовать
функцию
и построить график функции.
Пример
3. Исследовать
функцию
и построить график функции.
|
Схема исследования эскиза |
|||||||
|
Схема |
Пример |
||||||
|
1. Область определения функции (см. |
Область определения:
|
||||||
|
2. Четность, нечетность (табл. периодичность |
Функция ни четная, ни нечетная и не |
||||||
|
3. Точки пересечения с осями координат |
x = 0; y = 0 |
||||||
|
y = 0;
|
|||||||
|
4. Производная и критические точки |
|
||||||
|
|
|||||||
|
5. Промежутки возрастания, убывания |
|
||||||
|
6. Поведение функции на концах (табл. 5) |
П слева
При справа x
Так как
то при тогда
т.е. y |
||||||
|
7. Вторая производная и исследование |
П оскольку |
||||||
|
|
||||||
|
|
|
Как найти |
|||
|
№ |
Вид функции |
Ограничения
(f(x) существуют!) |
Формулировка |
|
1 |
|
|
Знаменатель дроби не равен нулю |
|
2 |
|
|
Под знаком корня четной степени может |
|
3 |
|
|
Под знаком логарифма может стоять |
|
4 |
(a |
|
В основании логарифма может стоять |
|
5 |
|
|
Под знаком котангенса может стоять (k – целое) |
|
6 |
|
|
Под знаком котангенса может стоять (k – целое) |
|
7 |
|
|
Под знаком арксинуса и арккосинуса |
|
8 |
|
||
|
9 |
|
||
|
а) |
x – любое число |
||
|
б) – |
|
||
|
в) – положитель-ное не целое число |
|
||
|
г) – отрицатель-ное не целое число |
|
Таблица 1
Таблица 2
|
Четные и нечетные |
|
|
Четная функция |
Нечетная функция |
|
Определение. Функция f
|
Определение. Функция f
|
|
Свойства |
Свойства |
|
График четной функции |
График нечетной функции |
|
Примеры четных функций |
Примеры нечетных функций |
|
|
|
|
|
|
Таблица 3
|
Периодические |
|||
|
Определение. |
|||
|
Свойства |
|||
|
1. Если число Т период функции f k*T |
|||
|
2. Если функция y=f(x) (A, b, k |
|||
|
3. Если функция y=f(x) |
|||
|
4. Для построения графика периодической влево и вправо |
|||
|
Примеры периодических функций |
|||
|
y=sin(x) T=2π
|
y=cos(x) T=2π
|
y=tg(x) T=π
|
y=ctg(x) T=π
|
|
y=sin(3x)
T=
|
y={x}- дробная часть х T=1
|
y=|cos(x)| T=π
|
y=3 T-любое число (Т≠0)
|
|
Практические приемы нахождения |
|||
|
1. Найти период каждой составляющей 2. Подобрать Пример: |
Таблица 4
|
Применение |
|||
|
Монотонность и постоянство функции |
|||
|
Достаточное возрастания |
Достаточное возрастания |
||
|
Если в каждой то функция ƒ(x) возрастает на |
|
Если в каждой то функция ƒ(x) убывает на |
|
|
З но возрастания Например, – возрастающая на
ее производная равна нулю. |
|||
|
Необходимое и достаточное условие |
|||
|
Функция |
|
Экстремумы (максимум и минимум) |
|
|
Точка максимума |
Точка минимума |
|
Определение Точка из области определения называется для найдется
( , т
из этой окрестности выполняется
|
Определение Точка из области определения называется для найдется
– ( ) , такая, из этой окрестности выполняется
|
|
– точка максимума |
– точка минимума |
|
Точки максимума
Значения функции экстремумами |
|
|
-максимум |
-минимум |
|
Критические точки |
|
|
Определение. в |
|
|
Необходимое |
Достаточное |
|
В точках экстремума равна – точка экстремума |
Если функция непрерывна и , то – точка экстремума функции в знак меняется с «+» на «-» – точка максимума в знак меняется с «-» на «+» точка минимума |
|
Пример графика функции , ( |
|
|
|
|
|
Исследование функции на монотонность и экстремумы |
|
|
Схема |
Пример |
|
1. Найти область |
Область определения: Функция |
|
2. Найти производную |
|
|
3. Найти критические или не существует |
|
|
4. Отметить |
|
|
5. Относительно |
|
6. Записать |
возрастает при |
|
убывает |
|
|
Точки экстремума: Экстремумы: |
|
Наибольшее и наименьшее значение |
|||
|
Свойства |
|||
|
Если функция непрерывна |
|||
|
Примеры |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нахождение наибольшего и наименьшего непрерывной |
|||
|
Схема |
Пример Найти
при |
||
|
1. Найти производную |
|
||
|
2. Найти критические ( |
|
||
|
3. Выбрать |
Заданному отрезку |
||
|
4. Вычислить |
|
||
|
5. Сравнить |
|
|
АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ |
||
|
Определение. к при |
||
|
Вертикальные асимптоты (х = а) |
||
|
асимптота Вертикальная |
||
|
Примеры |
||
|
|
|
|
|
О.О. При При X
|
О.О. При X
|
О.О. При (слева) y→+∞ При (справа) y→-∞ X –
|
Таблица 5.
|
Наклонные и |
|
|
1. |
|
|
Пример 1 |
Пример 2 |
|
При т.е.
– наклонная
вертикальная |
При т.е.
– горизонтальная
вертикальная |
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
Для примера 1 |
Для примера 2 |
|
– наклонная |
– горизонтальная |
Таблица 6.
|
ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА |
|
|
Понятие второй |
|
|
|
Пусть функция дифференцируема, то ее производную и (или |
|
Пример. |
|
|
Понятия |
|
|
Пусть функция определена Тогда |
|
|
|
Если в некоторой (кроме направлен |
|
|
Если в некоторой (кроме направлен |
|
|
Если точка оси абсцисс обладает тем свойством, переходит с одной стороны касательной называется точкой перегиба функции , – – точка В : кривая ниже касательной, а при |
|
Достаточные которая |
|||
|
Условие |
Условие |
||
|
Если в каждой |
|
Если в каждой график направлен |
|
|
Замечание:
Эти условия
Например, график хотя ее вторая производная |
|
||
|
Нахождение |
|||
|
Необходимое |
Достаточное |
||
|
В ее |
Если имеет и , |
||
|
Исследование на выпуклость, вогнутость и точки |
|||
|
Схема |
Пример. |
||
|
1. Найти область |
Область определения: Функция |
||
|
2. Найти вторую |
|
||
|
3. Найти внутренние или не |
|
||
|
|
|||
|
4. Отметить |
|
||
|
5. Записать |
В интервале направлен направлен Точки |
Пример 1:
Исследовать
функцию
и построить график функции.
Т.к. знаменатель
заданной функции не должен быть равен
нулю, то можем записать:
Функция определена
на трех указанных участках.
2.
Функция четная,
график функции симметричен оси OY.
Функция не
периодическая.
3. Точки пересечения с осями координат.
Точка пересечения
с осью OY
(0;2), точек пересечения с осью OX
нет.
4. Производная и критические точки.
5. Промежутки
возрастания, убывания, точки экстремума.
На рисунке
представлено изменение знака первой
производной и поведение функции на
участках области определения.
Точка Х0(0;2)
– точка минимума функции.
6. Поведение
функции на концах области определения
и асимптоты.
При :
Следовательно, мы
имеем две вертикальные асимптоты
Наклонные и
горизонтальные асимптоты типа: y=kx+b
находим по формулам:
Уравнение асимптоты
примет вид: y=0*x-1=-1.
Горизонтальная
асимптота: Y=-1.
7. Вторая производная
и исследование функции на выпуклость
и вогнутость.
– не существует в
точках +2 и -2.
Знак производной
меняется в указанных точках.
На рисунке
представлено изменение знака второй
производной и поведение функции на
участках области определения.
8. Контрольные
точки.
Для более наглядного
представления поведения графика функции
определим значение функции в точках:
9. График функции
представлен на рисунке.
Красным цветом
отмечены асимптоты графика и найденные
по результатам исследования точки.
Пример 2:
Исследовать
функцию
и построить график функции.
1. Область определения функции:
Т.к. под знаком
логарифма может стоять только положительное
выражение, то можем записать следующее:
Функция определена
на указанном участке.
2.
Функция ни нечетная,
ни четная, не периодическая.
3. Точки пересечения с осями координат.
Точек пересечения
с осью OY
нет. Точка пересечения с осью ОХ: х=8.
4. Производная и критические точки.
5. Промежутки
возрастания, убывания, точки экстремума.
На рисунке
представлено изменение знака первой
производной и поведение функции на
участках области определения.
точек экстремума
нет.
возрастает
на всей области определения
6. Поведение
функции на концах области определения
и асимптоты.
При :
Следовательно, мы
имеем вертикальную асимптоту
Наклонные и
горизонтальные асимптоты типа: y=kx+b
находим по формулам:
наклонных и
горизонтальных асимптот нет.
7. Вторая производная
и исследование функции на выпуклость
и вогнутость.
Вторая производная
не меняет знак на всей области определения.
выпуклость
вверх
8. Контрольные
точки.
Для более наглядного
представления поведения графика функции
определим значение функции в точках:
9. График функции
представлен на рисунке.
Красным цветом
отмечены асимптоты графика и найденные
по результатам исследования точи.
Пример 3:
Исследовать
функцию
и построить график функции.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Александр Мельник
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Функцией, заданной на множестве $X$ и принимающей значения из множества $Y$ называют некую закономерность, по которой каждому элементу из множества $X$ соответствует лишь один и только один элемент из множества $Y$.
Из этого определения следует, что множество (область) значений функции — это те значения функции $y(x)$, которые она может принимать соответственно области её определения. Теперь перейдём к следующему определению.
Определение 2
Область (множество) значений функции на некотором рассматриваемом отрезке — это интервал значений, которые функция принимает на этом рассматриваемом отрезке.
Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽
Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online
Бесплатное пробное занятие
*количество мест ограничено
Чаще всего в учебной литературе встречается термин «множество значений функции». Кратко его обозначают $E(f)$.
Как определить область значения функции
Для определения множества значений функции пользуются графическим методом, методом поисков минимума и максимума, вычислением производной и другими.
Определение множества значений функции графическим методом
Графический метод подразумевает построение графика функции и изучение этого графика. Этот метод наиболее удобен, если не известна какая-либо закономерность изменения функции $f(x)$, а есть только набор произвольных точек или собственно сам график.
Пример 1
Рисунок 1. Определение множества значений функции графическим методом
На данном рисунке область значений функции $y=f(x)$ равна $E(y)=3$, так как на протяжении всего отрезка функция $y$ не меняет своего значения и всегда равна $3$, тогда как область определения функции $D(y)=[0;3.5]$.
Скобки в данном случае для области определения функции необходимо использовать квадратные, так как обе точки закрашены, то есть включены в отрезок. В случае если точки не закрашены, они не включаются в отрезок и тогда применяются круглые скобки.
«Множество значений функции» 👇
Метод нахождения области значения функции через производную
Метод нахождения области значения функции через производную состоит в том, чтобы сначала оценить область её определения (то есть определить те значения, которые может принимать аргумент $x$, а затем осуществить процедуру нахождения самой производной. После этого осуществляют поиск значений $x$, при которых производная функции равна нулю и при которых производная не существует.
Рассмотрим пример нахождения области значений функции через производную.
Пример 2
Дана функция $f(x)=sqrt{16-x^2}$. Найдите область её значений.
Сначала определяем, какие значения может принимать $x$ для существования функции.
При значении $x^2>16$ под корнем получается отрицательное число, а это значит, что область определения функции от $[-4;4]$ включительно.
Теперь найдём производную функции:
$(sqrt{16-x^2})’=-frac{x}{sqrt{16-x^2}}$
Если в знаменателе производной нуль, то производной не существует, в данном случае это условие выполняется при $x=±4$.
Приравниваем производную к нулю и находим значения $x$. Производная данной функции принимает нулевое значение при $x=0$. Теперь подставляем найденные значения производной в нашу функцию, и получаем, что наименьшее значение функции — это $f(4)$ и $f(-4)$, при этих значениях функция равна нулю, а наибольшее значение $f(x)$ — при $x=0$, в этой точке функция равна $16$.
Метод поиска минимума и максимума
Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области.
Пример 3
Определите область значений функции:
$y=6-4sinx$
Проанализируем данную функцию. Так как минимальное значение синуса равно минус единице, а а максимальное — единице, то подставив эти значения получаем, что $max(f(x))=10$ при $x=frac{3π}{2}$, а минимум $min(f(x))=2$ при $x=frac{π}{2}$. Следовательно, множество значений, которые может принимать данная функция — $E(x)=[2;10]$.
Разница между областью значения и областью определения функции
Стоит обратить внимание, что область значений функции — не одно и то же с термином «область определения функции».
Определение 3
Область определения функции $D(y)$ — это диапазон таких значений переменной $x$, при которых существует функция $y(x)$.
Например, рассмотрим функцию $y(x)=x^2$. В данном случае область определения этой функции будет множеством вещественных (действительных) чисел $mathbb{R}$, а сама функция будет принимать значения только положительных действительных чисел $mathbb{R}^+$, так как вещественное число, возведённое в квадрат, не может давать отрицательное значение. То есть, в этом примере множество значений функции — это множество положительных вещественных чисел $mathbb{R}^+$.
Также имеют место случаи, когда область определения функции совпадает с областью значений.
В качестве иллюстрации можно рассмотреть функцию $y(x)=2x$. За аргумент $x$ данная функция может принимать любое действительное число из множества $mathbb{R}$, а значения, которые будет принимать сама функция — это удвоенные числа из множества всех действительных чисел. То есть, в данном случае областью значений $E(y)$ будет также всё множество вещественных чисел $mathbb{R}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
