Понятие обратной функции и ее определение в алгебре
Допустим, что у нас есть некая функция y=f(x), которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x∈a; b; область ее значений y∈c; d, а на интервале c; d при этом у нас будет определена функция x=g(y) с областью значений a; b. Вторая функция также будет называться непрерывной и строго монотонной. По отношению к y=f(x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x=g(y) тогда, когда y=f(x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.
Две этих функции, f и g, будут взаимно обратными.
Обратная функция – это что такое? Дадим определение взаимно обратимой функции (что такое обратимая функция – определение).
Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?
Это нужно нам для решения уравнений y=f(x), которые записываются как раз с помощью этих выражений. Также понятие особенностей обратных функций помогают в решении операций по извлечению n-ой степени (она обратна возведению в степень).
На самом деле это не является чем-то сложным. Онлайн, как и в нашем материале, вы можете найти много примеров обратной функции, которые помогут в этом убедиться.
Важно знать, что любая функция y = y (x) – это определенное правило, которое определяет соответствие между двумя значениями: x и y. К примеру, функция y = x² ставит соответственно каждому действительному числу его в квадрат. Можно сделать определенную таблицу, в которой будут располагаться значения этой функции для целых аргументов.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y = x² | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Как найти функцию обратную данной
Как найти обратную функцию?
Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos(x)=13. Его решениями будут все точки: x=±arсcos13+2π·k, k∈Z
Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.
Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным. Вот несколько примеров обратной функции.
Условие: какая функция будет обратной для y=3x+2?
Решение
Область определений и область значений линейной функции, данной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x, то есть выразив x через y.
Мы получим x=13y-23. Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x – функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:
y=13x-23
Ответ: функция y=13x-23 будет обратной для y=3x+2.
Обе взаимообратные функции можно отобразить на графике следующим образом:
На графике мы находим симметричность обоих графиков относительно y=x (они отображаются симметрично). Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Что это позволило нам доказать? Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.
Возьмем онлайн-пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.
Условие: определите, какая функция будет обратной для y=2x.
Решение
Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0; +∞. Теперь нам нужно выразить x через y, то есть решить указанное уравнение через x. Мы получаем x=log2y. Переставим переменные и получим y=log2x.
В итоге этого примера у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.
Ответ: y=log2x.
Графически обе функции будут выглядеть или иметь следующее отображение:
Также взаимно обратные функции можно рассматривать на примере теорем.
Предположим, мы имеем определенную, с возрастающей или убывающей монотонностью, а также непрерывную в определенном промежутке x функцию y = f(x). Значит, в промежутке значений y этой функции существует и обратная функция. Она также монотонно убывает или возрастает. Также ее можно определить как непрерывную (в промежутке y).
Основные свойства взаимно обратных функций
В этом пункте мы перечислим основные свойства обратимых функций y=f(x) и x=g(y). Какими же свойствами обладают взаимообратные функции?
- Первое (исходное) свойство мы уже вывели ранее: y=f(g(y)) и x=g(f(x)).
- Второе свойство вытекает из первоначального (первого) и означает, что область определения y=f(x) будет совпадать с областью значений обратной функции x=g(y), и наоборот.
- Графики обратных функций будут симметричными (находиться в симметрии) относительно y=x.
- Если y=f(x) является возрастающей, то и x=g(y) будет возрастать, а если y=f(x) убывает, то убывает и x=g(y).
Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать, так как это не одно и тоже даже исходя из названий. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y=f(x)=ax и x=g(y)=logay. Согласно первому свойству, y=f(g(y))=alogay. Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y, а для отрицательных логарифмов не определен, поэтому не спешите записывать, что alogay=y. Обязательно проверьте и добавьте характеристику, что это верно только при положительном y.
А вот равенство x=f(g(x))=logaax=x будет верным при любых действительных значениях x.
Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, arcsinsin7π3≠7π3, потому что область значений арксинуса -π2; π2 и 7π3 в нее не входит. Верной будет запись
arcsinsin7π3=arcsinsin2π+π3==по формуле привидения=arcsinsinπ3=π3
А вот sinarcsin13=13 – верное равенство, т.е. sin(arcsin x)=x при x∈-1; 1 и arcsin(sin x)=x при x∈-π2; π2. Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!
Графики взаимно обратных функций
- Основные взаимно обратные функции: степенные
Если у нас есть степенная функция y=xa, то при x>0 степенная функция x=y1a также будет обратной ей. Замена букв будет давать соответственно y=xa и x=y1a.
Сделаем график. На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):
- Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические
Возьмем a, которое будет положительным числом, не равным 1.
Узнаем, какими будут графики для функций с a>1 и a<1. Они будут выглядеть так:
- Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические
Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):
Если построить график главной ветви косинуса и арккосинуса, то он будет выглядеть так:
Если строить график главной ветви арктангенса и тангенса, то он будет таким:
График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:
В случае построения обратных ветвей, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию мы сдвигаем вдоль оси Oy на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π2; 3π2, то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.
Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.
Нахождение формулы для функции, обратной данной
Пользуясь формулой (y = f(x)), следует выразить (x) через (y), а в полученной формуле (x = g(y)) заменить (x) на (y), а (y) на (x).
Пример:
найти функцию, обратную для функции
y=x2,x∈0;+∞)
.
Функция
y=x2
возрастает на промежутке
0;+∞)
. Делаем вывод, что обратная функция существует. Если значения (x) принадлежат промежутку
0;+∞)
, то
x=y
. Заменим (x) на (y), а (y) на (x), получим обратную функцию
y=x,x∈0;+∞)
. Обратная функция определена на промежутке
0;+∞)
и её график симметричен графику функции
y=x2,x∈0;+∞)
относительно прямой (y=x).
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 июля 2022 года; проверки требуют 13 правок.
Функция 
и обратная ей функция 
. Если 
, то 
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение 
.
Функция, имеющая обратную, называется обратимой.
Определение[править | править код]
Функция 
называется обратной к функции 
, если выполнены следующие тождества:
Связанные определения[править | править код]
Существование[править | править код]
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение 
относительно 
. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к не существует. Таким образом, функция 
обратима на интервале 
тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.
Для непрерывной функции 
выразить 
из уравнения 
возможно в том и только том случае, когда функция строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, 
является обратной функцией к 
на 
, хотя на промежутке ![(-infty, 0]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0241c015ef4c611c9c9aeafb395e7c4a16178405)
обратная функция другая: 
.
Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция 
где 
— функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует[2]: 
Примеры[править | править код]
Свойства[править | править код]
Графики функции и обратной ей
или
,- ,
или короче
- ,
- ,
где 
означает композицию функций, а 
— тождественные отображения на 
и 
соответственно.
- .
Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть 
.
| Доказательство |
|---|
Поскольку  и  для любой обратимой функции  , где  — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства.
Имеем: Подействуем слева функцией |
Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».
Разложение в степенной ряд[править | править код]
Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки 
функции может быть представлена в виде степенного ряда:
где функции 
задаются рекурсивной формулой:
См. также[править | править код]
- Теорема Лагранжа об обращении рядов
- Обратные тригонометрические функции
- Обратимая функция
Примечания[править | править код]
- ↑ Куликов Л.Я. “Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов”
- ↑ Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — С. 29—30. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.
Как определить является ли функция обратимой?
Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.
Как доказать что функция имеет обратную?
Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X. Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.
Что такое обратная функция примеры?
Обратная функция — функция y=g(x), которая получается из данной функции y=f(x), если из отношения x=f(y) выразить y через x.
Как найти обратную функцию по графику?
Пусть задана функция y = f ( x ) . Чтобы найти обратную для нее функцию, надо из уравнения y = f ( x ) выразить переменную через и затем поменять переменные местами. Обратную функцию часто обозначают в виде y = f − 1 ( x ) .
Как получить функцию обратную данной?
«f(x)» или «y» представляет собой функцию, а «х» — переменную. Чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами функцию и переменную. Пример: рассмотрим функцию f(x) = (4x+3)/(2x+5), которая является биективной. Поменяв местами «х» и «у», получите x = (4y + 3)/(2y + 5).
Что такое график обратной функции?
График обратной функции y = f –1(x) симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно прямой y = x. Из точек A и S опустим перпендикуляры на оси координат. Поскольку прямая составляет угол с осями координат, то и перпендикулярная ей прямая AS также составляет угол с осями координат.
Как получить обратную функцию?
Чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами функцию и переменную. Пример: рассмотрим функцию f(x) = (4x+3)/(2x+5), которая является биективной. Поменяв местами «х» и «у», получите x = (4y + 3)/(2y + 5).
Как определить сложная функция или нет?
Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция. С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).
Как считать обратные функции?
«f(x)» или «y» представляет собой функцию, а «х» — переменную. Чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами функцию и переменную. Пример: рассмотрим функцию f(x) = (4x+3)/(2x+5), которая является биективной. Поменяв местами «х» и «у», получите x = (4y + 3)/(2y + 5).
Какие функции являются обратными?
Функцию f : X → f Y с областью определения X и областью значений Y называют обратимой, если обратное ей соответствие g : Y → g g X также является фунцией. Если функция f обратима, то обратное ей соответствие g = f − 1 называют обратной функцией к f.
Как найти функцию обратную данной 10 класс?
Пользуясь формулой y = f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x = g(y) заменить x на y, а y на x. Пример: найти функцию, обратную для функции y = x 2 , x ∈ 0 ; + ∞ ) . Функция y = x 2 возрастает на промежутке 0 ; + ∞ ) .
Какая функция называется обратной к данной функции?
Функция, обратная данной Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Как решать взаимно обратные функции?
0:115:16Рекомендуемый клип · 58 сек.ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ — YouTubeYouTube
Что такое обратная функция простыми словами?
Теория: Функция y=f(x), x ∈ X является обратимой, если любое своё значение она имеет только в одной точке множества X (когда разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). Если функция y=f(x), x ∈ X монотонна на множестве X, то она обратима.
Что представляет собой график обратной пропорциональности?
Графиком обратной пропорциональности y=kx y = k x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Этот график называется гиперболой. Гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается, т.
Какие из функций являются сложными?
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, представленная как композиция нескольких функций.
Когда существует обратная функция?
Если функция f строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает). Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X, и имеет множество значений Y: f(X) ∈ Y. И пусть она имеет на множестве X обратную функцию f -1: f -1(Y) ∈ X.
