Ордината центра окружности как найти

Как найти координаты центра окружности 🚩 центр и радиус окружности 🚩 Математика

Инструкция

Предположим, что ваша задача — составить уравнение окружности заданного радиуса R, центр которой находится в начале координат. Окружность, по определению — множество точек, находящихся на заданном расстоянии от центра. Это расстояние как раз и равно радиусу R.

Расстояние от точки (x, y) до центра координат равно длине отрезка, соединяющего ее с точкой (0, 0). Этот отрезок вместе с его проекциями на координатные оси составляют прямоугольный треугольник, катеты которого равны x0 и y0, а гипотенуза, по теореме Пифагора, равна √(x^2 + y^2).

Чтобы получить окружность, вам нужно уравнение, определяющее все точки, для которых это расстояние будет равно R. Таким образом:√(x^2 + y^2) = R, а следовательно,
x^2 + y^2 = R^2.

Аналогичным способом составляется уравнение окружности радиусом R, центр которой находится в точке (x0, y0). Расстояние от произвольной точки (x, y) до заданной точки (x0, y0) равно √((x — x0)^2 + (y — y0)^2). Следовательно, уравнение нужной вам окружности будет выглядеть так:(x — x0)^2 + (y — y0)^2 = R^2.

Вам может понадобиться также составить уравнение окружности с центром в точке координат, проходящей через заданную точку (x0, y0). В этом случае радиус искомой окружности не задан в явном виде, и его придется вычислять. Очевидно, он будет равен расстоянию от точки (x0, y0) до начала координат, то есть √(x0^2 + y0^2). Подставляя это значение в уже выведенное уравнение окружности, вы получите:x^2 + y^2 = x0^2 + y0^2.

Если вам предстоит построить окружность по выведенным формулам, то их придется разрешать относительно y. Даже самое простое из этих уравнений при этом превращается в:y = ±√(R^2 — x^2).Знак ± необходим здесь потому, что квадратный корень числа всегда неотрицателен, а это значит, что без знака ± такое уравнение описывает только верхнюю полуокружность.Чтобы построить окружность, удобнее составить ее параметрическое уравнение, в котором обе координаты x и y зависят от параметра t.

Согласно определению тригонометрических функций, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1, а один из углов при гипотенузе равен φ, то прилежащий к нему катет равен cos(φ), а противолежащий — sin(φ). Таким образом, sin(φ)^2 + cos(φ)^2 = 1 для любого φ.

Предположим, вам дана окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Возьмем любую точку (x, y) на этой окружности и проведем от нее отрезок к центру. Этот отрезок образует угол с положительной полуосью x, который может быть равен от 0 до 360° или от 0 до 2π радиан. Обозначая этот угол t, вы получите зависимость:x = cos(t),
y = sin(t).

Эту формулу можно обобщить на случай окружности радиуса R с центром в произвольной точке (x0, y0):x = R*cos(t) + x0,
y = R*sin(t) + y0.

www.kakprosto.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Числовая ось

      Определение 1. Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой)   Ox   называют прямую линию, на которой точка   O   выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

O → x

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Рис.1

      Определение 2. Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом.

      Каждая точка числовой оси имеет координату, являющуюся вещественным числом. Координата точки   O   равна нулю. Координата произвольной точки   A ,   лежащей на луче   Ox ,   равна длине отрезка   OA .   Координата произвольной точки   A   числовой оси, не лежащей на луче   Ox ,   отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка   OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

      Определение 3. Прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси   Ox   и   Oy   с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке   O ,   причём таких, что поворот от луча   Ox   на угол   90°   до луча   Oy   осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Рис.2

      Замечание. Прямоугольную декартову систему координат   Oxy ,   изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат, в отличие от левых систем координат, в которых поворот луча   Ox   на угол   90°   до луча   Oy   осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

      Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат   Oxy ,   то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть   A   – произвольная точка плоскости. Опустим из точки   A   перпендикуляры   AA₁   и   AA₂   на прямые   Ox   и   Oy   соответственно (рис.3).

Рис.3

      Определение 4. Абсциссой точки   A   называют координату точки   A₁   на числовой оси   Ox ,   ординатой точки   A   называют координату точки   A₂   на числовой оси   Oy .

      Обозначение. Координаты (абсциссу и ординату) точки   A   в прямоугольной декартовой системе координат   Oxy   (рис.4) принято обозначать   A (x ; y)   или   A = (x ; y).

Рис.4

      Замечание. Точка   O ,   называемая началом координат, имеет координаты   O (0 ; 0) .

      Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат   Oxy   числовую ось   Ox   называют осью абсцисс, а числовую ось   Oy   называют осью ординат (рис. 5).

      Определение 6. Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на   4   четверти (квадранта), нумерация которых показана на рисунке 5.

Рис.5

      Определение 7. Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью.

      Замечание. Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением   y = 0 ,   ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением   x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

      Утверждение 1. Расстояние между двумя точками координатной плоскости

A₁ (x₁ ; y₁)   и   A₂ (x₂ ; y₂)

вычисляется по формуле

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

      Поскольку в прямоугольном треугольнике   A₁A₂B   длина катета   A₁B   равна   | x₂ – x₁|    а длина катета   A₂B   равна   | y₂ – y₁| ,   то по теореме Пифагора

     Следовательно,

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

      Рассмотрим на координатной плоскости   Oxy   (рис. 7) окружность радиуса   R   с центром в точке   A₀ (x₀ ; y₀) .

Рис.7

      Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

( x – x₀)² + ( y – y₀)² = R².

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса   R   с центром в точке   A₀ (x₀ ; y₀) .

      Следствие. Уравнение окружности радиуса   R   с центром в начале координат имеет вид

x² + y² = R².

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

геометрия / Поиск координат точек на окружности / Математика

Координаты векторов $%vec{OA}$% и $%vec{OB}$% находятся при помощи вычитания: из координат конца вектора вычитаются координаты его начала. Например, если $%O(3;2)$% и $%A(5,1)$%, то первый вектор будет иметь координаты $%(2;-1)$%.

Зная координаты вектора, можно найти квадрат его длины как сумму квадратов координат. Для предыдущего примера получится $%2^2+(-1)^2=5$%. Извлекая квадратный корень, находим длину вектора (в примере это даёт $%sqrt{5}$%). Это радиус окружности $%r$%.

Для того, чтобы разделить дугу на 4 равные части, достаточно научиться делить её на 2 равные части. Тогда сначала находим координаты точки $%E_1$%, а далее, зная их, по той же процедуре делим на равные части дуги $%AE_1$% и $%E_1B$%, выявляя точки $%E_0$%, $%E_2$%.

Сначала находим сумму векторов $%vec{OA}$% и $%vec{OB}$% покоординатным сложением. Этот вектор будет иметь то же направление, что и $%vec{OE_1}$%. Далее его надо будет поделить на свою длину, получая единичный вектор того же направления, а затем умножить на $%r$% — радиус окружности, найденный ранее. То есть всё сводится к нахождению длины вектора $%vec{OA}+vec{OB}$%. Делается это так же, как и раньше: координаты вектора найдены; их сумма квадратов есть квадрат длины вектора. Осталось извлечь квадратный корень.

Теперь о длине дуги: она равна $%ralpha$%, где $%alpha$% — угол между векторами. Радиус мы знаем, и остаётся найти угол. Сначала находим его косинус: это будет отношение скалярного произведения векторов к произведению их длин. Длины нам известны, и обе они равны $%r$%. Скалярное произведение есть сумма произведений координат. Например, у векторов с координатами $%(4;-1)$% и $%(3;7)$% скалярное произведение равно $%4cdot3+(-1)cdot7=5$%. Поделив его на произведение длин векторов, находим $%cosalpha$%. Тогда сам угол будет равен арккосинусу полученного числа.

отвечен
9 Сен ’13 23:55

math.hashcode.ru

Как найти координаты центра окружности

Окружность ? геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от центра на некоторое расстояние, называемое радиусом. Если задана нулевая точка отсчета, единичный отрезок и направление координатных осей, центр окружности будет характеризоваться определенными координатами. Как водится, окружность рассматривают в декартовой прямоугольной системе координат.

Инструкция

1. Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)?+(y-y0)?=R?, где x0 и y0 ? координаты центра окружности , R ? ее радиус. Выходит, центр окружности (x0;y0) тут задан в очевидном виде.

2. Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)?+(y-5)?=25.Решение. Данное уравнение является уравнением

окружности . Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.

3. Уравнение x?+y?=R? соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)?+y?=R? обозначает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x?+(y-y0)?=R? говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.

4. Всеобщее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x?+y?+Ax+By+C=0. Дабы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, нужно сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x?+2(A/2)x+(A/2)?]+[y?+2(B/2)y+(B/2)?]+C-(A/2)?-(B/2)?=0. Для выделения полных квадратов, как дозволено подметить, требуется добавлять добавочные величины: (A/2)? и (B/2)?. Дабы знак равенства сохранялся, эти же величины нужно вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.

5. Таким образом, получается: [x+(A/2)]?+[y+(B/2)]?=(A/2)?+(B/2)?-C. Из этого уравнения теснее видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=?[(A/2)?+(B/2)?-C]. Кстати, выражение для радиуса дозволено упростить. Домножьте обе части равенства R=?[(A/2)?+(B/2)?-C] на 2. Тогда: 2R=?[A?+B?-4C]. Отсель R=1/2·?[A?+B?-4C].

6. Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, потому что, по определению, в функции всем x соответствует исключительное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Дабы удостовериться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.

7. Но окружность дозволено представить как объединение 2-х функций: y=y0±?[R?-(x-x0)?]. Тут x0 и y0, соответственно, представляют собой желанные координаты центра окружности . При совпадении

центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=?[R?-x?].

Отрезок прямой определяется двумя крайними точками и состоит из множества точек, лежащих на проходящей через крайние точки прямой линии. Если отрезок размещен в какую-нибудь систему координат, то, обнаружив средние точки его проекций на всякую из осей, дозволено узнать координаты середины отрезка. По сути, операция сводится к нахождению среднего арифметического значения пар чисел для всей из координатных осей.

Инструкция

1. Разделяете напополам сумму исходной и финальной координат крайних точек отрезка по всякой оси, дабы определить координаты средней точки по этой оси. Скажем, пускай отрезок размещен в трехмерную систему координат XYZ и знамениты координаты его крайних точек A(Xa,Ya,Za) и C(Xc,Yc,Zc). Тогда

координаты его средней точки E(Xe,Ye,Ze) дозволено вычислить по формулам Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.

2. Используйте всякий из калькуляторов, если вычислить средние значения координат крайних точек отрезка в уме не представляется допустимым. Если под рукой нет такого гаджета, то используйте программный калькулятор из состава ОС Windows. Его дозволено запустить, если, щелкнув кнопку «Пуск» раскрыть основное меню системы. В меню нужно перейти в раздел «Типовые», после этого в подраздел «Служебные», а потом в сегменты «Все программы» предпочесть пункт «Калькулятор». Дозволено обойтись без основного меню, если нажать сочетание клавиш WIN + R, ввести команду calc, а после этого нажать клавишу Enter.

3. Суммируйте попарно исходные и финальные координаты крайних точек отрезка по всякой оси и разделяете итог на два. Интерфейс программного калькулятора имитирует обыкновенный калькулятор, а вводить числовые значения и символы математических операций дозволено как щелкая кнопки курсором мыши на экране, так и нажимая соответствующие клавиши на клавиатуре. Никаких трудностей с этими вычислениями появиться не должно.

4. Записывайте математические операции в текстовом виде и вводите их в поле поискового запроса на основной странице сайта Google, если отчего-либо не можете применять калькулятор, но имеете доступ в интернет. Данный поисковик имеет встроенный универсальный калькулятор, пользоваться которым гораздо проще, чем любым иным. Тут нет никакого интерфейса с кнопками – вводить все данные нужно в текстовом виде в исключительное поле. Скажем, если знамениты координаты крайних точек отрезка в трехмерной системе координат A(51,34 17,2 13,02) и A(-11,82 7,46 33,5), то координаты средней точки отрезка C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Вводя в поле поискового запроса (51,34-11,82)/2, после этого (17,2+7,46)/2 и (13,02+33,5)/2, дозволено с поддержкой Google получить

координаты С(19,76 12,33 23,26).

Стандартное уравнение окружности дозволяет узнать несколько значимых сведений об этой фигуре, скажем, координаты ее центра, длину радиуса. В некоторых задачах, напротив, по заданным параметрам требуется составить уравнение.

Инструкция

1. Проверьте, указаны ли в условиях задачи координаты центральной точки окружности и длина радиуса в очевидном виде. В этом случае вам довольно подставить данные в стандартную запись уравнения, дабы получить результат.

2. Определите, какими сведениями об окружности вы располагаете, исходя из данной вам задачи. Запомните, что финальной целью является надобность определить координаты центра, а также диаметр. Все ваши действия обязаны быть направлены на достижение именно этого итога.

3. Используйте данные о наличии точек пересечения с координатными прямыми либо другими прямыми. Обратите внимание, что, если окружность проходит через ось абсцисс, вторая точка пересечения будет иметь координату 0, а если через ось ординат – то первая. Эти координаты дозволят вам обнаружить координаты центра окружности, а также вычислить радиус.

4. Не забывайте об основных свойствах секущих и касательных. В частности, особенно пригодной оказывается теорема о том, что в точке касания радиус и касательная образуют прямой угол. Но обратите внимание на то, что вас могут попросить подтвердить все использованные в ходе решения теоремы.

5. Прорешайте особенно типовые типы задач, дабы обучиться сразу видеть, как применять те либо иные данные для приобретения уравнения окружности. Так, помимо теснее указанных задач с прямо заданными координатами и теми, в условиях которых даны данные о наличии точек пересечения, для составления уравнения окружности дозволено воспользоваться познаниями о центре окружности, длине хорды и уравнения прямой, на которой эта хорда лежит.

6. Для решения постройте равнобедренный треугольник, основанием которого будет данная хорда, а равные стороны – радиусами. Составьте систему уравнений, из которой вы легко обнаружите нужные данные. Для этого довольно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка в координатной плоскости.

Видео по теме

Под окружностью понимают фигуру, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Расстояние от центра до точек окружности именуется радиусом.

Вам понадобится

• – примитивный карандаш;
• – тетрадь;
• – транспортир;
• – циркуль;
• – ручка.

Инструкция

1. Раньше чем обнаружить координаты той либо другой точки окружности , постройте заданную окружность. При ее построении вам могут встретиться уйма новых представлений. Так хорда – это отрезок, тот, что соединяет две точки окружности , причем хорда, проходящая через центр окружности – максимальная (она носит наименование диаметра). Помимо того, к окружности может быть проведена касательная, которая представляет собой прямую, перпендикулярно расположенную к радиусу окружности , тот, что проведен к точке пересечения касательной и рассматриваемой геометрической фигуры.

2. Если по условию задания вестимо, что построенную вами окружность пересекает иная окружность (она поменьше по размерам), изобразите это графически: на рисунке должно быть изображено, что две эти окружности пересекаются, то есть имеют ряд всеобщих точек. Центр первой окружности обозначьте точкой 1 (ее координаты (X1,Y1)), а ее радиус – R1. Таким образом, центр 2-й окружности должен быть обозначен точкой 2 (координаты этой точки (X2,Y2)), а радиус – R2. В точках пересечения фигур поставьте точки 3 (X3,Y3) и 4 (X4,Y4). Центральная точка пересечения должна быть обозначена 0: ее координаты (X,Y).

3. Для того дабы обнаружить координаты пресечения данных окружностей, а следственно и точку, принадлежащую и первой, и 2-й из них, вам придется решить квадратное уравнение. Разглядите два образовавшихся треугольника (?103 и ?203) и проанализируйте их показатели. Гипотенузы этих треугольников – R1 и R2 соответственно. Зная значение гипотенуз, обнаружьте отрезок D, соединяющий центр первой окружности с центром 2-й. Выбранный способ расчета напрямую зависит от того, какими получились анализируемые вами треугольники. Если они прямоугольные, то квадрат длины гипотенузы всякого из них будет равен сумме квадратов катетов данного треугольника. К тому же, длину катета дозволено обнаружить по формуле: a = ccos ?, где с – длина гипотенузы, а cos? – косинус прилежащего угла. Обнаружив значение катетов, определите координаты волнующей вас точки.

Видео по теме

Обратите внимание!
Будьте внимательны, рассчитывая значения катетов: не допустите ошибку.

Полезный совет
Не позабудьте: один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть равен 90о.

Обратите внимание!
Две окружности, имеющие центром точку с одними и теми же координатами, именуются концентрическими. Если они заданы уравнениями (x-x0)?+(y-y0)?=R? и (x-x0′)?+(y-y0′)?=R’?, тогда x0=x0′, y0=y0′. В всеобщем уравнении для концентрических окружностей A1=A2 и B1=B2.

Полезный совет
Кстати, в физике окружность может рассматриваться как тонкое однородное кольцо. Центр этого кольца будет являться центром масс (либо центром инерции) такого тела. Если кольцо имеет массу m и радиус r, а через центр перпендикулярно плоскости кольца провести ось, то момент инерции кольца касательно оси будет равен mr?. Момент инерции твердо главен при рассмотрении вращательного движения тела.

jprosto.ru

Найти центр и радиус окружности

Если окружность задана уравнением вида

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Примеры.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

Решение:

a=3, b=7, R²=4.

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

a=0, b=-3, R²=9.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

a=6, b=0, R²=5.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

Отсюда

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c<0 нет ни одной точки, удовлетворяющей этому уравнению.

Примеры.

Найти координаты центра и радиус окружности:

Решение:

Группируем слагаемые

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

Аналогично

Таким образом,

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

Разделим обе части уравнения на 3:

Далее — аналогично

Центр этой окружности лежит в точке

www.treugolniki.ru

Координата — центр — окружность

Координата — центр — окружность

Cтраница 1

Координаты центра окружности и ее радиус будут определены автоматически.
 [2]

Координаты центра окружности равны координатам курсора, а значение радиуса высвечивается в правой части экрана в поле V и первоначально равняется шагу курсора. Перемещение курсора вызывает движение центра окружности в пространстве.
 [3]

Значения координат центра окружности приближения подвергнуты вариации только один раз. Это изменение в схеме программы 1 не дано.
 [4]

Возьмем значения координат центра окружности О, дирекцией-кого угла АК, радиуса R и угла а из предыдущего примера.
 [6]

В таблице приведены координаты Центра заменяющей окружности х0 и г / 0 и величина ее радиуса А. Величины, приведенные в таблицах, даны для значения радиуса начальной окружности г 1; поэтому для получения истинных величин необходимо табличные величины умножить на величину радиуса начальной окружности обрабатываемого валика.
 [7]

Считая, что заданы координаты центра окружности и одной из ее точек, построить все такие окружности.
 [8]

Для круговых контуров необхо-димо задавать координаты центра окружности, координаты точек сопряжения с прямыми и радиус или угол, охватываемый дугой окружности и радиус.
 [9]

После задания частоты со определяются координаты центров окружностей и соответствующие радиусы гх ( со) и гу ( со), которыми и проводятся эти окружности, проходящие через начало координат. Точка пересечения окружностей, кроме начала координат, является искомой точкой амплитудно-фазовой характеристики элемента, соответствующей заданному значению со, как это показано на фиг.
 [10]

Положение его на плоскости определяется координатами центра окружности, по которой очерчен рассматриваемый элемент, и углом наклона начальной касательной к положительному направлению оси х; угол а отсчитывается против часовой стрелки.
 [12]

Положение его на плоскости определяется координатами центра окружности, по которой очерчен рассматриваемый элемент, и углом наклона начальной касательной к положительному направлению оси х; угол а отсчитывается против часовой стрелки.
 [14]

Из этого выражения очевидно, что у есть координата центра окружности.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

www.ngpedia.ru

Окружность на координатной плоскости — Науколандия

Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).

Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности

• четвертям — 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
• серединам четвертей — π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• третям четвертей — π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.

Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).

Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).

Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).

Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого — это и есть координаты x и y точки окружности.

Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора получаем уравнение x² + y² = 1². Поскольку x = y, а 1² = 1, то уравнение упрощается до x² + x² = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, координаты точки M₁ (π/4) = M₁ (√2/2; √2/2).

В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M₂ ((3π)/4) = M₂ (-√2/2; √2/2)
M₃ ((5π)/4) = M₃ (-√2/2; -√2/2)
M₄ ((7π)/4) = M₄ (√2/2; -√2/2)

При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.

Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x² + (½)² = 1²
x² = 1 — ¼ = ¾
x = √3/2

Таким образом T₁ (π/6) = T₁ (√3/2; ½).

Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T₂ (π/3) = T₂ (½; √3/2).

Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T₃ ((2π)/3) = T₃ (-½; √3/2)
T₄ ((5π)/6) = T₄ (-√3/2; ½)
T₅ ((7π)/6) = T₅ (-√3/2; -½)
T₆ ((4π)/3) = T₆ (-½; -√3/2)
T₇ ((5π)/3) = T₇ (½; -√3/2)
T₈ ((11π)/6) = T₈ (√3/2; -½)

scienceland.info