Ордината как найти формула

Вершина параболы

Содержание:

  • Что такое вершина параболы
  • Вывод формулы координат вершины параболы
  • Как найти координаты, основные способы
  • Примеры решения задач

Что такое вершина параболы

Определение

Вершина параболы — это точка, в которой наблюдается пересечение параболой оси координат и ее невозможность держать направление выше или ниже в координатной плоскости.

Чтобы найти ВП, необходимо применить формулу:

(lbrackfrac{-b}{2a};-frac{b^2-4ac}{4a}rbrack)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Исходя из координат, можно узнать расположение вершины параболы и построить ее.

Вывод формулы координат вершины параболы

Рассматриваемую формулу используют для решения квадратных уравнений, которые имеют вид:

(y;=;ax^2;+;bx;+;c)

Ее график представляет собой параболу, формулу которой мы определили выше. Но не всегда требуется пользоваться данной формулой, так как сначала можно найти значение х, а затем подставить его в уравнение и найти y. 

Для того, чтобы вывести формулу ВП, нужно преобразовать квадратную функцию к виду:

(y;=;f(x;+;l);+;m)

Делают это с помощью метода выделения полного квадрата, то есть (left(a+bright)^2) преобразуют в (a^2+2ab+b^2.)

Функции вида (y;=;f(x;+;l);+;m) отличаются от (y;=;f(x)) сдвигом из графиков по оси абсцисс на –l и по оси ординат на m. l в переписанной квадратичной функции равняется:

(frac{-b}{2a}, а frac{left(4ac-b^2right)}{4a})

Получается, что l и m — это координаты x0 и y0.

Приведем доказательство:

  1. Соединяем первые два члена многочлена: (y;=;(ax^2;+;bx);+;c.)
  2. Выносим коэффициент a за скобку, b при этом делим на a: (y=aleft(x^2+frac baxright)+c.)
  3. Представляем, что у нас есть квадрат суммы, в котором x является слагаемым, а из выражения в скобках необходимо рассчитать его полный квадрат суммы. Одночлен (frac bax) умножаем на два и делим на два одновременно. Далее прибавляем и вычитаем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получаем: (y=aleft(x^2+2frac b{2a}x+frac{b^2}{4a^2}-frac{b^2}{4a^2}right)+c.)
  4. Выделяем квадрат суммы: (y=aleft(left(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}right)+c.)
  5. Умножаем на a: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}+c.)
  6. Приводим свободные члены к общему знаменателю: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2+4ac}{4a}.)
  7. Меняем знак: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2+frac{b^2-4ac}{4a}.)

Мы привели функцию (y;=;ax^2;+;bx;+;c) к виду (y;=;a{(x;+;l)}^2;+;m,) что соответствует (y;=;f(x;+;l);+;m,) где (f(x);=;ax^2. )

Как найти координаты, основные способы

Существует несколько способов нахождения координат ВП:

  1. (x_0=frac{-b}{2a}) — подходит в том случае, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
  2. (y_0=-frac{b^2-4ac}{4a}) — это формула дискриминанта, поделенная на 4а.
  3. (x_0=frac{x_1+x_2}2) — среднее арифметическое между нулями функции. Можно использовать, если в выражении есть нули.
  4. Если функция имеет вид (y=aleft(x-x_0right)^2+y_0), то в ее вершиной совпадают координаты (left(x_0;y_0right).)

Примеры решения задач

Задача №1

Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-5x+7.)

Решение: В выражение (x=-frac b{2a}) подставляем известные числа и получаем (x=frac52=2,5). Теперь подставляем x в исходное уравнение: (2,5^2-5times2,5+7=0,75.)

Ответ: (2,5; 0,75).

Задача №2

Найти ВП для уравнения: y=5(x-1)(x+7).

Решение: Ищем нули функции: 5(x-1)(x+7)=0. Тогда x-1=0 либо x+7=0. Из этого x=1; x=-7.

Подставляем и получаем: (x_0=frac{x_1+x_2}2=frac{1+left(-7right)}2=-3.)

Второе: (y_0=5timesleft(-3-1right)left(-3+7right)=-80.)

Ответ: (-3; -80). 

Задача №3

Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-7x+3 ).

Решение: (х_0=-frac b{2a}=-frac{left(-7right)}{2times1}=3,5.)

Второе: (y_0=3,5^2-7times3,5+3=-9,25.)

Ответ: (3,5; -9,25). 

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.50 (Голосов: 8)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Графиком квадратичной функции является парабола.

Если дана квадратичная функция

y=ax2+bx+c¯,гдеa,b,c∈ℝиa≠0,

то абсциссу вершины параболы

(xo;yo)

 можно вычислить по формуле:

xo=−b2a

.

Ординату можно вычислить, подставив полученное значение

xo

в формулу данной функции:

yo=axo2+bxo+c

.

Пример:

найти координаты вершины параболы

y=−x2+4x−3

.

(a = -1); (b = 4); (c = -3).

xo=−b2a=−42⋅−1=−4−2=2

.

Полученное значение подставляем в данную формулу функции:

yo=axo2+bxo+c=−1⋅(2¯)2+4⋅2¯−3=−4+8−3=1

.

Вершина параболы — точка ((2;1)).

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

  1. Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

    – Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

    определяем знак коэффициента a

    – Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

    Определяем значение a

    – Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

    определяем значение a

    – Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

    парабола при a от 0 до 1

    – Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.

    парабола a от -1 до 0

  2. Парабола пересекает ось y в точке (c).

    определяем c по графику

  3. (b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) – абсциссы (икса) вершины параболы:

    (x_в=-frac{b}{2a})
    (b=-x_вcdot 2a)
    находим b с помощью икс вершины

Пример (ЕГЭ):

пример из ЕГЭ

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

пример из ЕГЭ

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

пример из ЕГЭ

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1);    (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

  1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
    Пример:

    нахождение формулы по точкам

  2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

    Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

    (begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})

  3. Решаем систему.
    Пример:

    (begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

    Вычтем из второго уравнения первое:

    (0=9a-b)
    (b=9a)

    Подставим (9a) вместо (b):

    (begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
    (begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

    Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

    (2=-2a)
    (a=-1)

    Найдем (b):

    (b=-9)

    Подставим в первое уравнение (a):

    (5=20+c)
    (c=-15).

    Получается квадратичная функция:   (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

пример из ЕГЭ

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи). 

решение задачи из ЕГЭ

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ:   (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

  1. График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

    нахождение через преобразование параболы

  2. – Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
    – Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

    растяжение и сжатие параболы

  3. – График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
    – График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц. 

    Сдвиг параболы вправо и влево

  4. График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
    График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

    сдвиг параболы вверх и вниз

У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

пример

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

пример нахождение формулы параболы с помощью преобразования графиков функций

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

решение примера

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

решение примера из ЕГЭ

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

  1. Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

    решение примера из ЕГЭ

  2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

  3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

  4. Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).

  5. (f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

На главную страницу
На главную страницу

на главную

Как найти координаты точки

Поддержать сайтспасибо

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором
ордината точки.

Найти координаты точки

Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):

  • находить координаты точки;
  • найти положение точки.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.

Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».

Координаты точки плоскости

Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).

Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).

Точки с разными координатами

Запомните!
!

На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.

Особые случаи расположения точек

  1. Если точка лежит на оси «Oy»,
    то её абсцисса равна 0. Например,
    точка С (0, 2).
  2. Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
    Например,
    точка F (3, 0).
  3. Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
    Точки на координатный осях
  4. Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
    Точки на прямой перпендикулярной оси абсцисс
  5. Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
    Точка на оси абсцисс
  6. Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
    Точка на оси абсцисс
  7. Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).
    Точка на оси ординат

Как найти положение точки по её координатам

Найти точку в системе координат можно двумя способами.

Первый способ

Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:

  1. Отметить на оси «Ox», точку с координатой
    «−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox».
  2. Отметить на оси «Oy»,
    точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
    оси «Oy».
  3. Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
    У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.

    Как найти точку в системе координат

Второй способ

Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:

  1. Сместиться по оси «x» влево на
    4 единицы, так как у нас
    перед 4
    стоит «».
  2. Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
    как у нас перед 2 стоит «+».
    Как найти точку на координатной плоскости

Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


Определение

Функция вида y=ax2+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Рисунок №1.

Вершина параболы. Формула.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х0; у0), надо воспользоваться формулой:

х0=b2a

для нахождения у0 можно просто подставить значение х0 в формулу данной функции y0=ax2+bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х2 – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х0:

х0=b2a=822=84=2

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у0=222 – 82 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Ответ: (2; –3).

Нули параболы

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х2 +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

х2 +4х – 5=0

а=1, b=4, с= –5

D=b2 – 4ac=42 – 41(5)=36

x=b±D2a

x=4±362; х1=–5; х2=1

Значит, нули функции равны –5 и 1

Ответ: –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

C:UsersУчительDesktopgfhf, 1.jpg

Теперь можно выполнить соответствие:

Ответ: 231

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х0. C:UsersУчительDesktop76.jpg

Итак, найдем х0 для формулы «Б»:

х0=b2a=422=44=1

Видим, что х0 отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

Запишем в таблицу

Ответ: 231

Задание 11OM21R

На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) a>0, с >0              Б) а<0; с>0        В) а>0, с<0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:

Решение


На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a<0 – ветви вниз; а>0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с<0 – пересечение в отрицательном направлении).

Теперь поработаем с графиками и подпишем на каждом из них соответствующие коэффициенты.

C:UsersУчительDesktopграфик 1.jpg

Теперь расставим в соответствии с указанными коэффициентами:

А) a>0, с >0 – это график №1

Б) а<0; с>0  – это график №3

В) а>0, с<0 – это график №2

Ответ: 132

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1105o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) у=–х2–4х–3                    Б) у=–х2+4х–3                    В) у=х2+4х+3


Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3<0 в обоих случаях.

Далее надежнее всего вычислить вершины оставшихся двух парабол из уравнений А и Б по формуле -b/2a. Видим, что случае А (- (-4)) / (2 • -1) = -2, следовательно, вершина левее оси Y, так как x0 отрицателен, значит, А-1, а Б-2.

Ответ: 123

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1101o

На рисунках изображены графики функций вида

y = ax² + bx + c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты:

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики:

Графики функций огэ по математике 5 задание


Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и при построении графиков функции вида

y = ax² + bx + c

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если  a < 0, то ветви направлены вниз.

Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.

У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x

Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

А) 3

Б) 2

В) 1

Ответ: 321

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 10.5k

Добавить комментарий