Вершина параболы
Содержание:
- Что такое вершина параболы
- Вывод формулы координат вершины параболы
- Как найти координаты, основные способы
- Примеры решения задач
Что такое вершина параболы
Определение
Вершина параболы — это точка, в которой наблюдается пересечение параболой оси координат и ее невозможность держать направление выше или ниже в координатной плоскости.
Чтобы найти ВП, необходимо применить формулу:
(lbrackfrac{-b}{2a};-frac{b^2-4ac}{4a}rbrack)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Исходя из координат, можно узнать расположение вершины параболы и построить ее.
Вывод формулы координат вершины параболы
Рассматриваемую формулу используют для решения квадратных уравнений, которые имеют вид:
(y;=;ax^2;+;bx;+;c)
Ее график представляет собой параболу, формулу которой мы определили выше. Но не всегда требуется пользоваться данной формулой, так как сначала можно найти значение х, а затем подставить его в уравнение и найти y.
Для того, чтобы вывести формулу ВП, нужно преобразовать квадратную функцию к виду:
(y;=;f(x;+;l);+;m)
Делают это с помощью метода выделения полного квадрата, то есть (left(a+bright)^2) преобразуют в (a^2+2ab+b^2.)
Функции вида (y;=;f(x;+;l);+;m) отличаются от (y;=;f(x)) сдвигом из графиков по оси абсцисс на –l и по оси ординат на m. l в переписанной квадратичной функции равняется:
(frac{-b}{2a}, а frac{left(4ac-b^2right)}{4a})
Получается, что l и m — это координаты x0 и y0.
Приведем доказательство:
- Соединяем первые два члена многочлена: (y;=;(ax^2;+;bx);+;c.)
- Выносим коэффициент a за скобку, b при этом делим на a: (y=aleft(x^2+frac baxright)+c.)
- Представляем, что у нас есть квадрат суммы, в котором x является слагаемым, а из выражения в скобках необходимо рассчитать его полный квадрат суммы. Одночлен (frac bax) умножаем на два и делим на два одновременно. Далее прибавляем и вычитаем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получаем: (y=aleft(x^2+2frac b{2a}x+frac{b^2}{4a^2}-frac{b^2}{4a^2}right)+c.)
- Выделяем квадрат суммы: (y=aleft(left(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}right)+c.)
- Умножаем на a: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}+c.)
- Приводим свободные члены к общему знаменателю: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2+4ac}{4a}.)
- Меняем знак: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2+frac{b^2-4ac}{4a}.)
Мы привели функцию (y;=;ax^2;+;bx;+;c) к виду (y;=;a{(x;+;l)}^2;+;m,) что соответствует (y;=;f(x;+;l);+;m,) где (f(x);=;ax^2. )
Как найти координаты, основные способы
Существует несколько способов нахождения координат ВП:
- (x_0=frac{-b}{2a}) — подходит в том случае, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
- (y_0=-frac{b^2-4ac}{4a}) — это формула дискриминанта, поделенная на 4а.
- (x_0=frac{x_1+x_2}2) — среднее арифметическое между нулями функции. Можно использовать, если в выражении есть нули.
- Если функция имеет вид (y=aleft(x-x_0right)^2+y_0), то в ее вершиной совпадают координаты (left(x_0;y_0right).)
Примеры решения задач
Задача №1
Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-5x+7.)
Решение: В выражение (x=-frac b{2a}) подставляем известные числа и получаем (x=frac52=2,5). Теперь подставляем x в исходное уравнение: (2,5^2-5times2,5+7=0,75.)
Ответ: (2,5; 0,75).
Задача №2
Найти ВП для уравнения: y=5(x-1)(x+7).
Решение: Ищем нули функции: 5(x-1)(x+7)=0. Тогда x-1=0 либо x+7=0. Из этого x=1; x=-7.
Подставляем и получаем: (x_0=frac{x_1+x_2}2=frac{1+left(-7right)}2=-3.)
Второе: (y_0=5timesleft(-3-1right)left(-3+7right)=-80.)
Ответ: (-3; -80).
Задача №3
Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-7x+3 ).
Решение: (х_0=-frac b{2a}=-frac{left(-7right)}{2times1}=3,5.)
Второе: (y_0=3,5^2-7times3,5+3=-9,25.)
Ответ: (3,5; -9,25).
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 2.50 (Голосов: 8)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Графиком квадратичной функции является парабола.
Если дана квадратичная функция
y=ax2+bx+c¯,гдеa,b,c∈ℝиa≠0,
то абсциссу вершины параболы
(xo;yo)
можно вычислить по формуле:
.
Ординату можно вычислить, подставив полученное значение
xo
в формулу данной функции:
.
Пример:
найти координаты вершины параболы
y=−x2+4x−3
.
(a = -1); (b = 4); (c = -3).
.
Полученное значение подставляем в данную формулу функции:
.
Вершина параболы — точка ((2;1)).
Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.
1 способ – ищем коэффициенты на графике
Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.
-
Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:
– Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.
– Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.
– Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.
– Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.
– Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.
-
Парабола пересекает ось y в точке (c).
-
(b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) – абсциссы (икса) вершины параболы:
(x_в=-frac{b}{2a})
(b=-x_вcdot 2a)
Пример (ЕГЭ):
Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).
Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).
Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).
(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)
Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:
(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1); (x_2=frac{2+4}{2}=3).
Ответ: (3).
2 способ – находим формулу по точкам
Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:
-
Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример: -
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.
Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).
(begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})
-
Решаем систему.
Пример:(begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})
Вычтем из второго уравнения первое:
(0=9a-b)
(b=9a)Подставим (9a) вместо (b):
(begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
(begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:
(2=-2a)
(a=-1)Найдем (b):
(b=-9)
Подставим в первое уравнение (a):
(5=20+c)
(c=-15).Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).
Пример (ЕГЭ):
Решение:
Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).
Таким образом имеем систему:
(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})
(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})
(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})
Сложим 2 уравнения:
(2=2a)
(a=1)
Подставим во второе уравнение:
(-2=1+b)
(b=-3)
Получается:
(g(x)=x^2-3x+4)
Теперь найдем точки пересечения двух функций:
(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)
Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:
(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)
Ответ: (22).
3 способ – используем преобразование графиков функций
Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.
Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.
Сам способ базируется на следующих идеях:
-
График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).
-
– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз. -
– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
– График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц. -
График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.
У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:
Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).
А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).
То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:
(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)
Готово.
Пример (ЕГЭ):
Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:
-
Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).
-
Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).
-
Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).
-
Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).
-
(f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)
Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Как найти координаты точки
Поддержать сайт
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.
Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):
- находить координаты точки;
- найти положение точки.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.
Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».
Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).
Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).
Запомните!
На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.
Особые случаи расположения точек
- Если точка лежит на оси «Oy»,
то её абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
- Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
- Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).
Как найти положение точки по её координатам
Найти точку в системе координат можно двумя способами.
Первый способ
Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:
- Отметить на оси «Ox», точку с координатой
«−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox». - Отметить на оси «Oy»,
точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
оси «Oy». - Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.
Второй способ
Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:
- Сместиться по оси «x» влево на
4 единицы, так как у нас
перед 4
стоит «−». - Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
как у нас перед 2 стоит «+».
Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Функция вида y=ax2+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.
Рисунок №1.
Вершина параболы. Формула.
Чтобы найти координаты вершины параболы (х0; у0), надо воспользоваться формулой:
х0=−b2a
для нахождения у0 можно просто подставить значение х0 в формулу данной функции y0=ax2+bx+c вместо х.
Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.
Пример №1
Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х2 – 8х + 5.
Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8
Подставим их в формулу и вычислим значение х0:
х0=−b2a=82∙2=84=2
Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у0=2∙22 – 8∙2 + 5=8 – 16 + 5= –3
Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).
Ответ: (2; –3).
Нули параболы
Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.
Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.
Пример №2
Найти нули функции у=х2 +4х – 5
Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:
х2 +4х – 5=0
а=1, b=4, с= –5
D=b2 – 4ac=42 – 4∙1∙(−5)=36
x=−b±√D2a
x=−4±√362; х1=–5; х2=1
Значит, нули функции равны –5 и 1
Ответ: –5 и 1
Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика
Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).
Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.
Пример №3
Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.
Теперь можно выполнить соответствие:
Ответ: 231
Пример №4
Рассмотрим еще пример на соответствие
В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х0.
Итак, найдем х0 для формулы «Б»:
х0=−b2a=−42∙2=−44=−1
Видим, что х0 отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.
Запишем в таблицу
Ответ: 231
Задание 11OM21R
На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
А) a>0, с >0 Б) а<0; с>0 В) а>0, с<0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
Решение
На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a<0 – ветви вниз; а>0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с<0 – пересечение в отрицательном направлении).
Теперь поработаем с графиками и подпишем на каждом из них соответствующие коэффициенты.
Теперь расставим в соответствии с указанными коэффициентами:
А) a>0, с >0 – это график №1
Б) а<0; с>0 – это график №3
В) а>0, с<0 – это график №2
Ответ: 132
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1105o
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) у=–х2–4х–3 Б) у=–х2+4х–3 В) у=х2+4х+3
Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.
Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3<0 в обоих случаях.
Далее надежнее всего вычислить вершины оставшихся двух парабол из уравнений А и Б по формуле -b/2a. Видим, что случае А (- (-4)) / (2 • -1) = -2, следовательно, вершина левее оси Y, так как x0 отрицателен, значит, А-1, а Б-2.
Ответ: 123
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1101o
На рисунках изображены графики функций вида
y = ax² + bx + c
Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты:
А) a > 0, c > 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики:
Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида
y = ax² + bx + c
Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если a < 0, то ветви направлены вниз.
Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.
У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0.
Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.
Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:
если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х
если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x
Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.
Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:
А) 3
Б) 2
В) 1
Ответ: 321
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Даниил Романович | Просмотров: 10.5k