Ось симметрии для параболы как найти - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Загрузить PDF

Многие характеристики графика функции или многочлена невозможно объяснить без визуального представления. Одна из таких характеристик — ось симметрии: вертикальная линия на графике, которая делит этот график на два зеркально симметричных изображения. Найти ось симметрии для данного многочлена относительно несложно.^[1] Существует два основных способа.

1
Определите, какова степень многочлена. Степень многочлена — это наибольшая степень, которую имеют одночлены в этом выражении.^[2] Если степень данного многочлена равна 2 (ни один одночлен в выражении не имеет степени выше, чем x²), вы можете найти ось симметрии, используя данный способ. Если степень многочлена больше двух, применяйте второй способ.
- Чтобы наглядно продемонстрировать этот способ, возьмем, например, многочлен вида 2x² + 3x – 1. Самая высокая степень в многочлене — x², следовательно, мы имеем дело с квадратным трехчленом и можем воспользоваться первым способом для нахождения оси симметрии.
2
Подставьте коэффициенты в формулу расчета оси симметрии. Для нахождения оси симметрии для квадратного трехчлена вида ax² + bx +c (парабола), применяют базовую формулу x = -b / 2a.^[3]
- В нашем примере a = 2, b = 3, and c = -1. Подставим эти значения в нашу формулу, и получаем:
  x = -3 / 2(2) = -3/4.
3
Запишите уравнение оси симметрии. Значение, которое вы рассчитали по формуле оси симметрии, — это значение точки пересечения оси симметрии с осью абсцисс.
- В вышеприведенном примере ось симметрии равна -3/4.
Реклама

1

Определите степень многочлена. Степень многочлена — это наибольшая степень, которую имеют одночлены в этом выражении. Если степень данного многочлена равна 2 (ни один одночлен в выражении не имеет степени выше, чем x²), вы можете найти ось симметрии, используя вышеприведенный способ. Если степень многочлена больше 2, применяйте графический способ.
2

Начертите систему координат. Нарисуйте две линии, пересекающиеся под прямым углом в виде знака «плюс». Горизонтальная линия будет осью x, а вертикальная — осью у.
3

Отложите единичные числовые отрезки на осях. Отложите на осях числовые отрезки равной величины.
4

Рассчитайте значение y = f(x) для каждого значения x. Возьмите данный многочлен или функцию и рассчитайте значения f(x), последовательно подставив в выражение значения x.
5

Отметьте точки на графике для каждой пары координат. Теперь у вас есть соответствующее значение y = f(x) для каждого значения на оси абсцисс. Для каждой точки с координатами (x, y), отметьте точку в системе координат — по вертикали отложив значение по оси X, а по горизонтали — на оси Y.
6

Нарисуйте график многочлена. Когда вы нанесли все точки на систему координат, можно плавно соединить их между собой. У вас получится непрерывный график вашего многочлена.
7

Найдите ось симметрии. Внимательно изучите полученный график. Найдите точку на графике, по которой можно провести линию, разделяющую график на две равные зеркальные половины.^[4]
8

Отметьте ось симметрии. Если вы нашли такую точку (назовем ее «b») на оси x, которая разделяет график на две зеркальные половины, это значение и будет искомой осью симметрии.

Реклама

Советы

Длина осей абсцисс и ординат должна быть достаточной, чтобы наглядно отобразить форму графика.
Некоторые многочлены не имеют оси симметрии. Например, для y = 3x не существует оси симметрии.
Симметрия многочлена может быть определена как четная или нечетная. Любой график, ось симметрии которого совпадает с осью у имеет «четную» симметрию. Любой график, ось симметрии которого совпадает с осью x, — «нечетный».

Об этой статье

Эту страницу просматривали 111 910 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Download Article

The graph of a polynomial or function reveals many characteristics that would not be clear without a visual representation. One of these characteristics is the axis of symmetry: a vertical line on a graph that splits the graph into two symmetrical mirror images. Finding the axis of symmetry for a given polynomial is fairly simple.^[1] There are two basic methods.

1
Check the degree of your polynomial. The degree (or “order”) of a polynomial is simply the largest exponent value in the expression.^[2] If the degree of your polynomial is 2 (there is no exponent larger than x²), you can find the axis of symmetry using this method. If the degree of the polynomial is higher than 2, use Method 2.
- To illustrate, take, as an example, the polynomial 2x² + 3x – 1. This highest exponent present is the x², so it is a 2nd order polynomial, and you can use this first method to find the axis of symmetry.
2
Plug your numbers into the axis of symmetry formula. To calculate the axis of symmetry for a 2nd order polynomial in the form ax² + bx +c (a parabola), use the basic formula x = -b / 2a.^[3]
- In the example above, a = 2 b = 3, and c = -1. Insert these values into your formula, and you will get:
  x = -3 / 2(2) = -3/4.
Advertisement
3
Write down the equation of the axis of symmetry. The value you calculated with your axis of symmetry formula is the x-intercept of the axis of symmetry.^[4]
- In the example above, the axis of symmetry is -3/4.

1

Check the degree of your polynomial. The degree (or “order”) of a polynomial is simply the largest exponent value in the expression. If the degree of your polynomial is 2 (there is no exponent larger than x²), you can find the axis of symmetry using the formula method above. If the degree of the polynomial is higher than 2, use this graphical method.
2

Draw the x- and y- axes. Make two lines in the shape of a plus sign. The horizontal line is your x-axis; the vertical line is your y-axis.
3

Number your graph. Mark both axes with numbers at equal intervals. Spacing should be uniform on both axes.
4

Calculate y = f(x) for every x. Take your polynomial or function and calculate values of f(x) by putting all values of x into it.
5

Make a graph point for each pair. You now have pairs of y = f(x) for every x on the axis. For each (x, y) pair, make a point on the graph – vertically on the x-axis and horizontally on the y-axis.
6

Draw the graph of the polynomial. Once you have marked all the graph points, you can connect your dots smoothly to reveal a continuous graph of your polynomial.^[5]
7

Look for the axis of symmetry. Inspect your graph carefully. Look for a point on the axis such that when a line is passed through it, the graph splits into two equal, mirrored halves.^[6]
8

Note the axis of symmetry. If you can find a point – call it “b” – on the x-axis that splits the graph into two mirrored halves, then that point, b, is your axis of symmetry.^[7]

Add New Question

Question

What is the axis of symmetry of f for f(x)=-2|x+3|-7?

The axis of symmetry is x=-3, because the vertex is at (-3,7). It is an absolute value graph that faces down.
Question

What is the axis of symmetry in x = -2(x – 3) + 5?

Because this graph consists of a straight line, it does not have an axis of symmetry. Axes of symmetry occur with parabolic graphs representing quadratic equations (“second-degree” polynomials).
Question

What is the axis of symmetry of f(x) = -x^2 – 6x + 4?

As explained in the above article, the axis of symmetry of a second-degree polynomial in the form of ax² + bx + c is given by the formula x = -b/2a, which in this case is x = -(-6) / 2(1) = 6/2 = 3. x=3.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

The lengths of your x- and y- axes should allow the overall shape of the graph to be clearly visible.
Some polynomials are not symmetrical. For example, y = 3x has no axis of symmetry.
The symmetry of a polynomial can be classified into even or odd symmetry. Any graph that has an axis of symmetry on the y-axis has an “even” symmetry; any graph that has an axis of symmetry on the x-axis is “odd.”

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To find an axis of symmetry, start by checking the degree or largest exponential value of the polynomial. If the degree of your polynomial is 2, you can find the axis of symmetry by plugging the numbers directly into the axis of symmetry formula. Solve the formula and the answer you get is the x-intercept of the axis of symmetry. If the degree of the polynomial is higher than 2, you will need to find the axis of symmetry by using a graph. For tips on solving graphically, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 95,001 times.

Did this article help you?

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 декабря 2022 года; проверки требует 1 правка.

Парабола
Парабола как коническое сечение
Парабола, её фокус и директриса
Эксцентриситет
Уравнения
${displaystyle {begin{aligned}&y=x^{2}\&y=ax^{2}+bx+c\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\&quad (B^{2}-4AC=0)end{aligned}}}$
Другие конические сечения
Гипербола Парабола Эллипс Окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приближение^[1]) — плоская кривая, один из типов конических сечений.

Определение[править | править код]

Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок)^[2].

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в ломаную.

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Парабола в семействе конических сечений

Вершина[править | править код]

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения[править | править код]

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

${displaystyle textstyle y^{2}=2px,p>0}$

(или ${displaystyle textstyle x^{2}=2py}$

, если поменять местами оси координат).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[3]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии $frac{p}{2}$ от обоих.

Вывод
Уравнение директрисы PQ: ${displaystyle textstyle x+{frac {p}{2}}=0}$ , фокус F имеет координаты $left (frac{p}{2};0right ).$ Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку $textrm{KM=KD+DM}=frac{p}{2}+x$ и $textrm{FM}=sqrt{left (x-frac{p}{2}right )^2+y^2}$ , то равенство приобретает вид: ${displaystyle {sqrt {left(x-{frac {p}{2}}right)^{2}+y^{2}}}={frac {p}{2}}+x.}$ После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение ${displaystyle y^{2}=2px.}$

Вывод

Уравнение директрисы PQ: ${displaystyle textstyle x+{frac {p}{2}}=0}$ , фокус F имеет координаты $left (frac{p}{2};0right ).$ Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку $textrm{KM=KD+DM}=frac{p}{2}+x$ и $textrm{FM}=sqrt{left (x-frac{p}{2}right )^2+y^2}$ , то равенство приобретает вид:

${displaystyle {sqrt {left(x-{frac {p}{2}}right)^{2}+y^{2}}}={frac {p}{2}}+x.}$

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение ${displaystyle y^{2}=2px.}$

Парабола, заданная квадратичной функцией[править | править код]

Квадратичная функция $y=ax^{2}+bx+c$ при aneq 0 также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и ${displaystyle y=ax^{2},}$ но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

${displaystyle x_{textrm {A}}=-{dfrac {b}{2a}},;y_{textrm {A}}=-{dfrac {mathcal {D}}{4a}},}$

где ${displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac}$

— дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение $y=ax^{2}+bx+c$ может быть представлено в виде ${displaystyle y=a(x-x_{textrm {A}})^{2}+y_{textrm {A}},}$ а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом $p=frac{1}{|2a|}.$

Общее уравнение параболы[править | править код]

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант B^2-4AC равен нулю.

Уравнение в полярной системе[править | править код]

Парабола в полярной системе координат с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функции[править | править код]

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, ${displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ известны координаты трёх различных точек параболы ${displaystyle (x_{1};y_{1}),;(x_{2};y_{2}),;(x_{3};y_{3}),}$ то его коэффициенты могут быть найдены так:

$a=frac{y_{3}-tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, b=frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), c=frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.$

Если же заданы вершина $(x_{0};y_{0})$ и старший коэффициент , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

$x_1=x_0+sqrt{-frac{y_0}{a}}$

$x_2=x_0-sqrt{-frac{y_0}{a}}$

Свойства[править | править код]

Отражательное свойство параболы (оптика)

Расстояние от

P_n до фокуса

F такое же, как и от

P_n до

Q_n (на директрисе L)

Длина линий

FP_nQ_n одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)

Парабола — кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
Парабола является антиподерой прямой.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия^[4].
Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

Связанные определения[править | править код]

При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Вариации и обобщения[править | править код]

Графики степенной функции $y=x^{n}$ при натуральном показателе n>1 называются параболами порядка ^[5]^[6]. Ранее рассмотренное определение соответствует то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при $textstyle n=-{frac {1}{2}}$ ;

Параболы в физическом пространстве[править | править код]

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
Параболические траектории струй воды
Вращающийся сосуд с жидкостью

Примечания[править | править код]

↑ Парабола. Словарь иностранных слов. Дата обращения: 19 июня 2021. Архивировано 14 января 2020 года.
↑ Математическая энциклопедия, 1984.
↑ Александров П. С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.
↑ Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
↑ Битюцков В. И. Степенная функция // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 208—209. — 1248 с.
↑ Степенная функция // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 564—565. — 847 с.

Литература[править | править код]

Акопян А. А., Заславский А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9—16.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
Парабола // Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 191—192. — 1216 с.

Ссылки[править | править код]

Статья в справочнике «Прикладная математика».
Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
Учебный фильм о параболе

Источник

Квадратичная функция. Построение параболы

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ: наглядно.

Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 – 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

Если D 0,то график выглядит так:

Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:

Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=”671″ src=”https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=”602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x – 5.

Как строим:

Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x – 5.

D = b 2 – 4ac = 9 – 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x – 5 = 0 2 + 3x – 5 = 0″ png;base64,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”>

Координаты вершины параболы:

Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.

Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
2 + 3x – 5 = 0″ height=”671″ src=”https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC” width=”602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x – x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x – 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x – 1) 2 + 4.

Как строим:

Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

построить y = x 2 ,

умножить ординаты всех точек графика на 2,

сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀” height=”431″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=”602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Как найти ось симметрии квадратичной функции – Разница Между

Содержание:

Что такое квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией. Формально f (x) = ax 2 + bx + c – квадратичная функция, где a, b и c – действительные постоянные и a ≠ 0 для всех значений x. График квадратичной функции является параболой.

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Любая квадратичная функция показывает поперечную симметрию поперек оси y или линии, параллельной ей. Ось симметрии квадратичной функции может быть найдена следующим образом:

F (X) = ах 2 + bx + c, где a, b, c, x∈R и a ≠ 0

Написание х терминов в виде полного квадрата у нас есть,

Переставляя члены вышеприведенного уравнения

Это означает, что для каждого возможного значения f (x) есть два соответствующих значения x. Это хорошо видно на диаграмме ниже.

расстояние влево и вправо от значения -b / 2a. Другими словами, значение -b / 2a всегда является средней точкой линии, соединяющей соответствующие значения x (точки) для любого заданного f (x).

Следовательно ,
x = -b / 2a – уравнение оси симметрии для заданной квадратичной функции в виде f (x) = ax 2 + BX + C

Как найти ось симметрии квадратичной функции – Примеры

Квадратичная функция определяется как f (x) = 4x 2 + Х + 1. Найдите симметричную ось.

х = -b / 2a = -1 / (2 × 4) = – 1/8

Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид х = -1 / 8

Квадратичная функция задается выражением f (x) = (x-2) (2x-5)

Упрощая выражение, мы получаем f (x) = 2x 2 -5x-4x + 10 = 2x 2 -9x + 10

Мы можем сделать вывод, что a = 2 и b = -9. Следовательно, мы можем получить ось симметрии как

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).

Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

х = -16 / (2 * 4) = -2,

y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.

Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),

D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),

D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

определить направление ветвей,

найти координаты вершины,

найти пересечение с осью ординат,

найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,

координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,

с осью ординат пересекается в значении у = 4,

найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,

ищем корни:

Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),

Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,

координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,

с осью у будет пересекаться в значении у = -1,

найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),

Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.strephonsays.com/how-to-find-the-axis-of-symmetry-of-a-quadratic-function

http://tvercult.ru/nauka/parabola-svoystva-i-grafik-kvadratichnoy-funktsii

[/spoiler]

Источник

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

График квадратичной функции – парабола.

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

, то есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

Давайте подитожим:

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

$x_o=frac{4}{2}=2$ , . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая $x=frac{-b}{2a}$ , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, $x=-frac{b}{2a}$ ), две (, $x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример 2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: $ax^2+bx+c=a(x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a})=a((x^2+2frac{b}{2a}x+frac{b^2}{4a^2})-frac{b^2}{4a^2}+frac{c}{a})=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a}+c.$ Посмотрите, вот мы и получили, что $m=frac{-b}{2a}$ , $n=-frac{b^2}{4a}+c=y(frac{-b}{2a})$ . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, $y=-frac{1}{3}{(x+2)}^2+6$ . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Источник

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

References

About This Article

Did this article help you?

Определение[править | править код]

Вершина[править | править код]

Уравнения[править | править код]

Парабола, заданная квадратичной функцией[править | править код]

Общее уравнение параболы[править | править код]

Уравнение в полярной системе[править | править код]

Расчёт коэффициентов квадратичной функции[править | править код]

Свойства[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Параболы в физическом пространстве[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Квадратичная функция. Построение параболы

Основные понятия

Построение квадратичной функции

Алгоритм построения параболы

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x – x₀) 2 + y₀

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Содержание:

Что такое квадратичная функция

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Как найти ось симметрии квадратичной функции – Примеры

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола и как она выглядит

Каноническое уравнение параболы

Свойства и график квадратичной функции

Как определить, куда направлены ветви параболы

Как найти вершину параболы по формуле

Смещение параболы

Как строить параболу по квадратному уравнению

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Заключение

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Вам также может понравиться

Как найти площадь поверхности башни

Как составить акт проверки в аптеке

Как по формуле найти оптическую плотность

Добавить комментарий Отменить ответ