Отрицательные углы на окружности как найти

        В прошлом уроке мы с вами успешно освоили (или повторили — кому как) ключевые понятия всей тригонометрии. Это тригонометрический круг, угол на круге, синус и косинус этого угла, а также освоили знаки тригонометрических функций по четвертям. Освоили подробно. На пальцах, можно сказать.

        Но этого пока мало. Для успешного практического применения всех этих простых понятий нам необходим ещё один полезный навык. А именно — правильная работа с углами в тригонометрии. Без этого умения в тригонометрии — никак. Даже в самых примитивных примерах. Почему? Да потому, что угол — ключевая действующая фигура во всей тригонометрии! Нет, не тригонометрические функции, не синус с косинусом, не тангенс с котангенсом а именно сам угол. Нет угла — нету и тригонометрических функций, да…

        Как правильно работать с углами на круге? Для этого нам надо железно усвоить два пункта.

        1) Как отсчитываются углы на круге?

        2) В чём они считаются (измеряются)?

        Ответ на первый вопрос — и есть тема сегодняшнего урока. С первым вопросом мы детально разберёмся прямо здесь и сейчас. Ответ на второй вопрос здесь не дам. Ибо достаточно развёрнутый он. Как и сам второй вопрос очень скользкий, да.) Вдаваться в подробности пока не буду. Это — тема следующего отдельного урока.

        Приступим?

Как отсчитываются углы на круге? Положительные и отрицательные углы.

        У прочитавших название параграфа, возможно, уже волосы встали дыбом. Как так?! Отрицательные углы? Разве такое вообще возможно?

        К отрицательным числам мы с вами уже попривыкли. На числовой оси их изображать умеем: справа от нуля положительные, слева от нуля отрицательные. Да и на градусник за окном поглядываем периодически. Особенно зимой, в мороз.) И денежки на телефоне в “минус” (т.е. долг) иногда уходят. Это всё знакомо.

        А что же с углами? Оказывается, отрицательные углы в математике тоже бывают! Всё зависит от того, как отсчитывать этот самый угол… нет, не на числовой прямой, а на числовой окружности! То бишь, на круге. Круг — вот он, аналог числовой прямой в тригонометрии!

        Итак, как же отсчитываются углы на круге? Ничего не поделать, придётся нам для начала этот самый круг нарисовать.

        Я нарисую вот такую красивую картинку:

        Она очень похожа на картинки из прошлого урока. Есть оси, есть окружность, есть угол. Но есть и новая информация.

        Во-первых, я добавил номера четвертей (или квадрантов). Напоминаю, что четверти всегда нумеруются против часовой стрелки.

        Также я добавил циферки 0°, 90°, 180°, 270° и 360° на осях. Вот это уже поинтереснее.) Что это за циферки? Правильно! Это значения углов, отсчитанные от нашей неподвижной стороны, которые попадают на координатные оси. Вспоминаем, что неподвижная сторона угла у нас всегда крепко-накрепко привязана к положительной полуоси ОХ. И любой угол в тригонометрии отсчитывается именно от этой полуоси. Это базовое начало отсчёта углов надо держать в голове железно. А оси — они же под прямым углом пересекаются, верно? Вот и прибавляем по 90° в каждой четверти.

        И ещё добавлена красная стрелочка. С плюсом. Красная — это специально, чтобы в глаза бросалась. И в память хорошенько врезалась. Ибо это надо запомнить надёжно.) Что же означает эта стрелочка?

        Так вот оказывается, если наш угол мы будем крутить по стрелочке с плюсом (против часовой стрелки, по ходу нумерации четвертей), то угол будет считаться положительным! В качестве примера на рисунке показан угол +45°. Кстати, обратите внимание, что осевые углы 0°, 90°, 180°, 270° и 360° также отмотаны именно в плюс! По красной стрелочке.

        А теперь посмотрим на другую картинку:

        Здесь почти всё то же самое. Только углы на осях пронумерованы в обратную сторону. По часовой стрелке. И имеют знак “минус”.) Ещё нарисована синяя стрелочка. Также с минусом. Эта стрелочка — направление отрицательного отсчёта углов на круге. Она нам показывает, что, если мы будем откладывать наш угол по ходу часовой стрелки, то угол будет считаться отрицательным. Для примера я показал угол -45°.

        Кстати, прошу заметить, что нумерация четвертей никогда не меняется! Неважно, в плюс или в минус мы мотаем углы. Всегда строго против часовой стрелки.)

        Запоминаем:

        1. Начало отсчёта углов — от положительной полуоси ОХ. По часам — “минус”, против часов — “плюс”.

        2. Нумерация четвертей всегда против часовой стрелки вне зависимости от направления исчисления углов.

        Кстати говоря, подписывать углы на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, каждый раз рисуя круг — вовсе не обязаловка. Это чисто для понимания сути сделано. Но эти циферки обязательно должны присутствовать в вашей голове при решении любой задачи по тригонометрии. Почему? Да потому, что эти элементарные знания дают ответы на очень многие другие вопросы во всей тригонометрии! Самый главный вопрос — в какую четверть попадает интересующий нас угол? Хотите верьте, хотите нет, но правильный ответ на этот вопрос решает львиную долю всех остальных проблем с тригонометрией. Этим важным занятием (распределением углов по четвертям) мы займёмся в этом же уроке, но чуть позже.

        Величины углов, лежащих на осях координат (0°, 90°, 180°, 270° и 360°), надо запомнить! Запомнить накрепко, до автоматизма. Причём как в плюс, так и в минус.

        А вот с этого момента начинаются первые сюрпризы. И вместе с ними и каверзные вопросы в мой адрес, да…) А что будет, если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным? Выходит, что одну и ту же точку на круге можно обозначить как положительным углом, так и отрицательным???

        Совершенно верно! Так и есть.) Например, положительный угол +270° занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол -90°. Или, например, положительный угол +45° на круге займёт то же самое положение, что и отрицательный угол -315°.

        Смотрим на очередной рисунок и всё видим:

        Точно так же положительный угол +150° попадёт туда же, куда и отрицательный угол -210°, положительный угол +230° — туда же, куда и отрицательный угол -130°. И так далее…

        И что теперь делать? Как именно считать углы, если можно и так и сяк? Как правильно?

        Ответ: по-всякому правильно! Ни одно из двух направлений отсчёта углов математика не запрещает. А выбор конкретного направления зависит исключительно от задания. Если в задании ничего не сказано прямым текстом про знак угла (типа “определите наибольший отрицательный угол” и т.п.), то работаем с наиболее удобными нам углами.

        Конечно, например, в таких крутых темах, как тригонометрические уравнения и неравенства направление исчисления углов может колоссально влиять на ответ. И в соответствующих темах мы эти подводные камни рассмотрим.

        Запоминаем:

        Любую точку на круге можно обозначить как положительным, так и отрицательным углом. Любым! Каким хотим.

        А теперь призадумаемся вот над чем. Мы выяснили, что угол 45° в точности совпадает с углом -315°? Как же я узнал про эти самые 315°? Не догадываетесь? Да! Через полный оборот.) В 360°. У нас есть угол 45°. Сколько не хватает до полного оборота? Отнимаем 45° от 360° — вот и получаем 315°. Мотаем в отрицательную сторону — и получаем угол -315°. Всё равно непонятно? Тогда смотрим на картинку выше ещё раз.

        И так надо поступать всегда при переводе положительных углов в отрицательные (и наоборот) — рисуем круг, отмечаем примерно заданный угол, считаем, сколько градусов не хватает до полного оборота, и мотаем получившуюся разность в противоположную сторону. И всё.)

        Чем ещё интересны углы, занимающие на круге одно и то же положение, как вы думаете? А тем, что у таких углов совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс! Всегда!

        Например:

        sin45° = sin(-315°)

        cos120° = cos(-240°)

        tg249° = tg(-111°)

        ctg333° = ctg(-27°)

        И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли… Кстати, прошу заметить, что углы в этих парочках различны. Зато тригонометрические функции у них — одинаковы! Идея ясна?

        А вот это уже крайне важно! Зачем? Да всё за тем же!) Для упрощения выражений. Ибо упрощение выражений — ключевая процедура успешного решения любых заданий по математике. И по тригонометрии в том числе.

        Итак, с общим правилом отсчёта углов на круге разобрались. Ну а коли мы тут заикнулись про полные обороты, про четверти, то пора бы уже покрутить и порисовать эти самые углы. Порисуем?)

        Начнём пока с положительных углов. Они попроще в рисовании будут.

Рисуем углы в пределах одного оборота (между 0° и 360°).

        Нарисуем, например, угол 60°. Тут всё просто, никаких заморочек. Рисуем координатные оси, круг. Можно прямо от руки, безо всякого циркуля и линейки. Рисуем схематично: у нас не черчение с вами. Никаких ГОСТов соблюдать не надо, не накажут.)

        Можно (для себя) отметить значения углов на осях и указать стрелочку в направлении против часов. Ведь мы же в плюс откладывать собираемся?) Можно этого и не делать, но в голове держать всяко надо.

        И теперь проводим вторую (подвижную) сторону угла. В какой четверти? В первой, разумеется! Ибо 60 градусов — это строго между 0° и 90°. Вот и рисуем в первой четверти. Под углом примерно 60 градусов к неподвижной стороне. Как отсчитать примерно 60 градусов без транспортира? Легко! 60° — это две трети от прямого угла! Делим мысленно первую чертвертинку круга на три части, забираем себе две трети. И рисуем… Сколько у нас там по факту получится (если приложить транспортир и померить) — 55 градусов или же 64 — неважно! Важно, что всё равно где-то около 60°.

        Получаем картинку:

        Вот и всё. И инструментов не понадобилось. Развиваем глазомер! В задачах по геометрии пригодится.) Этот неказистый рисунок бывает незаменим, когда надо нацарапать круг и угол на скорую руку, не особо задумываясь о красоте. Но при этом нацарапать правильно, без ошибок, со всей необходимой информацией. Например, как вспомогательное средство при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

        Нарисуем теперь угол, например, 265°. Прикидываем, где он может располагаться? Ну, ясное дело, что не в первой четверти и даже не во второй: они на 90 и на 180 градусов оканчиваются. Можно сообразить, что 265° – это 180° плюс ещё 85°. То есть, к отрицательной полуоси ОХ (там, где 180°) надо добавить примерно 85°. Или, что ещё проще, догадаться, что 265° не дотягивает до отрицательной полуоси OY (там, где 270°) каких-то несчастных 5°. Одним словом, в третьей четверти будет этот угол. Очень близко к отрицательной полуоси OY, к 270 градусам, но всё-таки в третьей!

        Рисуем:

        Повторюсь, абсолютная точность здесь не требуется. Пускай в реальности этот угол получился, скажем 263 градуса. Но на самый главный вопрос (какая четверть?) мы ответили безошибочно. Почему этот вопрос самый главный? Да потому, что любая работа с углом в тригонометрии (неважно, будем мы рисовать этот угол или не будем) начинается с ответа именно на этот вопрос! Всегда. Если этот вопрос проигнорировать или пробовать на него ответить мысленно, то ошибки почти неизбежны, да… Оно вам надо?

        Запоминаем:

        Любая работа с углом (в том числе и рисование этого самого угла на круге) всегда начинается с определения четверти, в которую попадает этот угол.

        Теперь, я надеюсь, вы уже безошибочно изобразите углы, например, 182°, 88°, 280°. В правильных четвертях. В третьей, первой и четвёртой, если что…)

        Четвёртая четверть заканчивается углом 360°. Это один полный оборот. Ясен перец, что этот угол занимает на круге то же самое положение, что и 0° (т.е. начало отсчёта). Но углы на этом не заканчиваются, да…

Что делать с углами, большими 360°?

        “А такие разве бывают?” — спросите вы. Бывают, ещё как! Бывает, например, угол 444°. А бывает, скажем, угол 1000°. Всякие углы бывают.) Просто визуально такие экзотические углы воспринимаются чуть сложнее, чем привычные нам углы в пределах одного оборота. Но рисовать и просчитывать такие углы тоже надо уметь, да.

        Для правильного рисования таких углов на круге необходимо всё то же самое — выяснить, в какую четверть попадает интересующий нас угол. Здесь умение безошибочно определять четверть куда более важно, чем для углов от 0° до 360°! Сама процедура определения четверти усложняется всего одним шагом. Каким, скоро увидите.

        Итак, например, нам надо выяснить, в какую четверть попадает угол 444°. Начинаем крутить. Куда? В плюс, разумеется! Угол-то нам дали положительный! +444°. Крутим, крутим… Крутанули на один оборот — дошли до 360°.

        Ну и крутим себе дальше!

        Сколько там осталось до 444°? Считаем оставшийся хвостик:

        444°-360° = 84°.

        Итак, 444° – это один полный оборот (360°) плюс ещё 84°. Очевидно, это первая четверть. Итак, угол 444° попадает в первую четверть. Полдела сделано.

        Осталось теперь изобразить этот угол. Как? Очень просто! Делаем один полный оборот по красной (плюсовой) стрелке и добавляем ещё 84°.

        Вот так:

        Здесь я уж не стал загромождать рисунок — подписывать четверти, рисовать углы на осях. Это всё добро уже давно в голове быть должно.)

        Зато я “улиткой” или спиралькой показал, как именно складывается угол 444° из углов 360° и 84°. Пунктирная красная линия — это один полный оборот. К которому дополнительно прикручиваются 84° (сплошная линия). Кстати, обратите внимание, что, если этот самый полный оборот отбросить, то это никак не повлияет на положение нашего угла!

        А вот это важно! Положение угла 444° полностью совпадает с положением угла 84°. Никаких чудес нет, так уж получается.)

        А можно ли отбросить не один полный оборот, а два или больше?

        А почему — нет? Если угол здоровенный, то не просто можно, а даже нужно! Угол-то не изменится! Точнее, сам-то угол по величине, конечно же, изменится. А вот его положение на круге — никак нет!) На то они и полные обороты, что сколько экземпляров ни добавляй, сколько ни убавляй, всё равно будешь в одну и ту же точку попадать. Приятно, правда?

        Запоминаем:

        Если к углу прибавить (отнять) любое целое число полных оборотов, положение исходного угла на круге НЕ изменится!

        Например:

        В какую четверть попадает угол 1000°?

        Никаких проблем! Считаем, сколько полных оборотов сидит в тысяче градусов. Один оборот — это 360°, ещё один — уже 720°, третий – 1080°… Стоп! Перебор! Значит, в угле 1000° сидит два полных оборота. Выбрасываем их из 1000° и считаем остаток:

        1000° – 2·360° = 280°

        Значит, положение угла 1000° на круге то же самое, что и у угла 280°. С которым работать уже гораздо приятнее.) И куда же попадает этот угол? В четвёртую четверть он попадает: 270° (отрицательная полуось OY) плюс ещё десяточка.

        Рисуем:

        Здесь я уже не рисовал пунктирной спиралькой два полных оборота: уж больно длинная она получается. Просто нарисовал оставшийся хвостик от нуля, отбросив все лишние обороты. Как будто бы их и не было вовсе.)

        И ещё раз. По-хорошему, углы 444° и 84°, а также 1000° и 280° — разные. Но для синуса, косинуса, тангенса и котангенса эти углы — одинаковые!

        Как вы видите, для того чтобы работать с углами, большими 360°, надо определить, сколько полных оборотов сидит в заданном большом угле. Это и есть тот самый дополнительный шаг, который обязательно надо предварительно проделывать при работе с такими углами. Ничего сложного, правда?

        Отбрасывание полных оборотов, конечно, занятие приятное.) Но на практике при работе с совсем уж кошмарными углами случаются и затруднения.

        Например:

        В какую четверть попадает угол 31240° ?

        И что же, будем много-много раз прибавлять по 360 градусов? Можно, если не горит особо. Но мы же не только складывать можем.) Ещё и делить умеем!

        Вот и поделим наш большущий угол на 360 градусов!

        Этим действием мы как раз и узнаем, сколько полных оборотов запрятано в наших 31240 градусах. Можно уголком поделить, можно (шепну на ушко :)) на калькуляторе.)

        Получим 31240:360 = 86,777777….

        То, что число получилось дробным — не страшно. Нас же только целые обороты интересуют! Стало быть, до конца делить и не надо.)

        Итак, в нашем лохматом угле сидит аж 86 полных оборотов. Ужас…

        В градусах это будет 86·360° = 30960°

        Вот так. Именно столько градусов можно безболезненно выкинуть из заданного угла 31240°. Останется:

        31240° – 30960° = 280°

        Всё! Положение угла 31240° полностью идентифицировано! Там же, где и 280°. Т.е. четвёртая четверть.) Кажется, мы уже изображали этот угол ранее? Когда угол 1000° рисовали?) Там мы тоже на 280 градусов вышли. Совпадение.)

        Итак, мораль сей басни такова:

        Если нам задан страшный здоровенный угол, то:

        1. Определяем, сколько полных оборотов сидит в этом угле. Для этого делим исходный угол на 360 и отбрасываем дробную часть.

        2. Считаем, сколько градусов в полученном количестве оборотов. Для этого умножаем число оборотов на 360.

        3. Отнимаем эти обороты от исходного угла и работаем с привычным углом в пределах от 0° до 360°.

Как работать с отрицательными углами?

        Не вопрос! Точно так же, как и с положительными, только с одним единственным отличием. Каким? Да! Крутить углы надо в обратную сторону, в минус! По ходу часовой стрелки.)

        Нарисуем, например, угол -200°. Сначала всё как обычно для положительных углов — оси, круг. Ещё синюю стрелочку с минусом изобразим да углы на осях по-другому подпишем. Их, естественно, также придётся отсчитывать в отрицательном направлении. Это будут всё те же самые углы, шагающие через 90°, но отсчитанные в обратную сторону, в минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

        Картинка станет вот такой:

        При работе с отрицательными углами часто возникает чувство лёгкого недоумения. Как так?! Получается, что одна и та же ось — это одновременно, скажем, и +90° и -270°? Неее, что-то тут нечисто…

        Да всё чисто и прозрачно! Мы ведь же уже в курсе, что любую точку на круге можно обозвать как положительным углом, так и отрицательным! Совершенно любую. В том числе и на какой-то из координатных осей. В нашем случае нам нужно отрицательное исчисление углов. Вот и отщёлкиваем в минус все углы.)

        Теперь нарисовать правильно угол -200° никакого труда не составляет. Это -180° и минус ещё 20°. Начинаем мотать от нуля в минус: четвёртую четверть пролетаем, третью тоже мимо, доходим до -180°. Куда мотать оставшуюся двадцатку? Да всё туда же! По часам.) Итого угол -200° попадает во вторую четверть.

        Теперь вы понимаете, насколько важно железно помнить углы на осях координат?

        Углы на осях координат (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) надо помнить именно для того, чтобы безошибочно определять четверть, куда попадает угол!

        А если угол большой, с несколькими полными оборотами? Ничего страшного! Какая разница, куда эти самые полные обороты крутить — в плюс или в минус? Точка-то на круге не изменит своего положения!

        Например:

        В какую четверть попадает угол -2000°?

        Всё то же самое! Для начала считаем, сколько полных оборотов сидит в этом злом угле. Чтобы не косячить в знаках, оставим минус пока в покое и просто поделим 2000 на 360. Получим 5 с хвостиком. Хвостик нас пока не волнует, его чуть позже сосчитаем, когда рисовать угол будем. Считаем пять полных оборотов в градусах:

        5·360° = 1800°

        Воот. Именно столько лишних градусов можно смело выкинуть из нашего угла без ущерба для здоровья.

        Считаем оставшийся хвостик:

        2000° — 1800° = 200°

        А вот теперь можно и про минус вспомнить.) Куда будем мотать хвостик 200°? В минус, конечно же! Нам же отрицательный угол задан.)

        -2000° = -1800° – 200°

        Вот и рисуем угол -200°, только уже без лишних оборотов. Только что его рисовали, но, так уж и быть, накалякаю ещё разок. От руки.

        Ясен перец, что и заданный угол -2000°, так же как и -200°, попадает во вторую четверть.

        Итак, мотаем себе на кру… пардон… на ус:

        Если задан очень большой отрицательный угол, то первая часть работы с ним (поиск числа полных оборотов и их отбрасывание) та же самая, что и при работе с положительным углом. Знак “минус” на данном этапе решения не играет никакой роли. Учитывается знак лишь в самом конце, при работе с углом, оставшимся после удаления полных оборотов. 

        Как видите, рисовать отрицательные углы на круге ничуть не сложнее, чем положительные.

        Всё то же самое, только в другую сторону! По часам!

        А вот теперь — самое интересное! Мы рассмотрели положительные углы, отрицательные углы, большие углы, маленькие — полный ассортимент. Также мы выяснили, что любую точку на круге можно обозвать положительным и отрицательным углом, отбрасывали полные обороты… Нету никаких мыслей? Должно отложиться…

        Да! Какую точку на круге ни возьми, ей будет соответствовать бесконечное множество углов! Больших и не очень, положительных и отрицательных — всяких! И разница между этими углами будет составлять целое число полных оборотов. Всегда! Так уж тригонометрический круг устроен, да…) Именно поэтому обратная задача — найти угол по известным синусу/косинусу/тангенсу/котангенсу — решается неоднозначно. И куда сложнее. В отличие от прямой задачи — по заданному углу найти весь набор его тригонометрических функций. И в более серьёзных темах тригонометрии (арки, тригонометрические уравнения и неравенства) мы с этой фишкой будем сталкиваться постоянно. Привыкаем.)

        Итак, будем считать, что самые-самые азы работы с углами на круге мы с вами освоили. Можно и на вопросы поотвечать. Самостоятельно.)

        1. В какую четверть попадает угол -345°?

        2. В какую четверть попадает угол 666°?

        3. В какую четверть попадает угол 5555°?

        4. В какую четверть попадает угол -3700°?

        Всё хорошо? Поехали дальше.

        5. Какой знак имеет cos999°?

        6. Какой знак имеет ctg999°?

        И это получилось? Прекрасно! Есть проблемы? Тогда вам сюда.

        Ответы:

        1. 1

        2. 4

        3. 2

        4. 3

        5. “+”

        6. “-“

        В этот раз ответы выданы по порядку в нарушение традиций. Ибо четвертей всего четыре, а знаков так и вовсе два. Особо не разбежишься…)

        В следующем уроке мы с вами поговорим про радианы, про загадочное число “пи”, научимся легко и просто переводить радианы в градусы и обратно. И с удивлением обнаружим, что даже этих простых знаний и навыков нам будет уже вполне достаточно для успешного решения многих нетривиальных задачек по тригонометрии!

План урока:

Числовая и единичная окружность

Откладывание углов на единичной окружности

Радианная мера угла

Числовая и единичная окружность

В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.

Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:

Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.

Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.

Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:

В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.

Выглядит единичная окружность так:

Откладывание углов на единичной окружности

Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:

Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.

Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:

Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:

Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:

В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.

Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:

Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:

a– b = a + (– b)

Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:

Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.

Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:

С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:

α + 360° = α

Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:

α – 360° = α

Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:

α + n•360° = α

Например, верны следующие равенства:

15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°

100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°

1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°

Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α < 360°. Конечно, с такими углами работать удобнее, поэтому важно уметь переходить от «больших» углов к тем, которые ограничены диапазоном 0°– 360°.

Например, пусть есть угол в 600°. Необходимо выразить его «нормальным» углом из диапазона 0°– 360°. Для этого просто вычтем из него 360°:

600° = 600° – 360° = 280°.

Если дан угол в 1200°, то из него 360° придется вычитать уже трижды:

1200° = 1200° – 3•360° = 1200° – 1080° = 120°.

Как узнать, сколько полных поворотов надо вычесть из угла, чтобы он попал в нормальный диапазон? Для этого достаточно просто поделить угол на 360°.

Задание. Замените угол 10000° на угол α из промежутка 0 ≤ α < 360°.

Решение. Поделим 10000 на 360. Делить будем с остатком:

10000:360 = 27 (280 в остатке)

Этот расчет показывает, что число 10000 можно представить в виде:

10000° = 280° + 27•360°

Величину 27•360° можно смело отбросить, ведь она соответствует 27 полным оборотам против часовой стрелки.

Ответ: 280°.

Несколько сложнее выглядит преобразование отрицательных углов, ведь при делении с остатком получится угол, попадающий в диапазон – 360° ≤ α < 0°. Поэтому после деления необходимо добавить к углу ещё один поворот, чтобы получилась положительная величина.

Задание. Приведите угол (– 10000°) к углу из диапазона 0 ≤ α < 360°.

Решение. Снова поделим (– 10000°) на 360° с остатком:

– 10000:360 = – 27 (– 280 в остатке)

Получили угол – 280°. Но он не попадает в требуемый диапазон. Однако можно просто добавить к нему 360°:

– 280° + 360° = 80°

Ответ: 80°.

Радианная мера угла

Из геометрии мы знаем, что углы можно измерять не только градусами, но и радианами. 1 радиан – это величина такого центрального угла окружности с центром в точке O, опирающегося на дугу, что длина этой дуги АВ равна радиусу окружности ОА:

Обратите внимание, что радиус единичной окружности равен единице. Получается, что угол в 1 рад опирается на дугу длиной 1. Если же мы возьмем угол в 2 рад, то он, очевидно, будет опираться на дугу длиной 2:

Также можно показать, что угол в 3 рад опирается на дугу длиной 3 и т. д. Вообще у единичной окружности величина угла в радианах в точности равна длине дуги, на которую он опирается. Это и есть та удобная особенность единичной окружности, из-за которой математики предпочитают использовать в тригонометрии именно ее.

Теперь попытаемся понять, сколько радиан составляет угол в 180°. Он представляет собой развернутый угол, то есть он опирается на дугу, составляющую ровно половину окружности. Напомним, что длина всей окружности рассчитывается по формуле

L = 2πR,

где R – это радиус окружности;

π – число «пи», математическая константа, равная примерно 3,1415927…

Радиус единичной окружности равен единице, поэтому ее длина составляет

L = 2πR = 2π•1 = 2π

Ясно что половины окружности вдвое меньше, то есть равна π. Получается, что угол в 180° опирается на дугу длиной π. Значит, его величина в радианах как раз и равна π! Проиллюстрируем это:

Итак, π рад = 180°

Представим это равенство несколько в другой форме:

π•1 рад = 180°

Теперь поделим равенство на число π:

1 рад = 180°/π = 1 рад = 180°/π ≈180°/3,1415927 ≈57°17’

Итак, мы смогли вычислить, что 1 радиан примерно равен 57°, или, если быть абсолютно точными, 180/π градусам. Величина угла, записанная в градусах, называется градусной мерой угла. Величина угла в радианах называется радианной мерой угла. Важно уметь переводить углы из градусов в радианы и наоборот.

Обозначим α_рад. радианную меру угла, а α_град. – градусную меру. Так как 1 радиан составляет 180/π градусов, то можно записать формулу

α_град = α_рад.•180/π

Если из этой формулы выразить величину α_град., то мы получим выражение:

α_рад. = α_град.•π/180

Продемонстрируем использование этих формул.

Задание. Переведите в радианы углы 45°, 90°, 150°, – 75°, 1440°, 5°, 12°.

Решение. Необходимо просто подставлять величину углов в формулу:

α_рад. = α_град.•π/180

При этом для удобства счета число числитель и знаменатель можно раскладывать на множители, тогда одинаковые множители можно будет сократить:

Можно заметить, что градусная мера угла выражается целым числом, то при ее переводе в радианах получится дробь, в знаменателе которой будет стоять число π. Конечно, можно подставить вместо него приближенное значение 3,14… и получить радианную меру в более привычном виде, например:

90° = π/2 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57 радиан

Однако в математике работают с точными значениями, а не приближенными, а потому число π так и оставляют в знаменателе. При этом обозначение радиан часто опускают. То есть, если в учебнике указано, что какой-то угол равен π/2, то это значит, что он равен π/2 радиан.

Задание. Выразите углы π/2 , π/4, 5π/18, 4π/3, 19π/6, 11π/2, – 23π/4, 2π в градусах.

Решение. Используем формулу α_град = α_рад.•180/π:

Желательно запомнить самые часто встречающиеся в тригонометрии углы. Их радианные и градусные меры приведены в таблице:

Отметим эти и некоторые другие углы на числовой окружности:

Напомним, что один полный поворот по окружности составляет 360°, и если эту величину добавить к произвольному углу, то он, с точки зрения тригонометрии, фактически не изменится:

α = α + 360°

Но угол в 360° равен 2π радиан. Поэтому, если добавить у произвольному углу 2π, то он также не изменится:

α = α + 2π

Добавить можно не один, а несколько поворотов, как против, так и по часовой стрелке, и угол всё равно не изменится. Этот факт можно записать следующей формулой:

α = α + 2π•n

где n – произвольное целое число.

Например, справедливы равенства:

π = π + 2π = 3π

π/2 = π/2 + 2π•2 = π/2 + 4π = π/2 + 8π/2 = 9π/2

27π/4 = 27π/4 – 2π•3 = 27π/4 – 6π = 27π/4 – 24π/4 = 3π/4

Удобнее всего работать с углами, чья радианная мера находится в диапазоне от 0 до 2π. Любой другой угол можно заменить углом из этого «стандартного» диапазона.

Задание. Замените угол 32π/3 равным ему углом из диапазона 0 ≤ α ≤ 2π.

Решение. Угол 32π/3 больше 2π, то есть, чтобы его получить, надо сделать несколько полных поворотов на единичной окружности. Для определения числа таких поворотов поделим 32π/3 на 2π:

Получается, что число оборотов равно 5. Так как одному повороту соответствует угол 2π, то пяти поворотам равен угол 5•2π. Мы можем смело вычесть эту величину из исходного угла:

32π/3 – 2•5π = 32π/3 – 10π = 32π/3 – 30π/3 = 2π/3.

Ответ: 2π/3.

Задание. Какому углу из диапазона 0 ≤ α ≤ 2π соответствует угол – 79π/4?

Решение. Поделим 79π/4 на 2π:

Это означает, что к отрицательному углу –79π/4 следует добавить 9 оборотов против часовой стрелки, каждый из которых равен 2π:

– 79π/4 = – 79π/4 + 9•2π = – 79π/4 + 18π = – 79π/4 + 72π/4 = – 7π/4

Получили отрицательный угол. Чтобы сделать его положительным, добавим ещё один оборот, то есть 2π

– 7π/4 + 2π = – 7π/4 + 8π/4 = π/4

Ответ: π/4.

В следующем уроке мы узнаем, как единичная окружность может использоваться для определения синуса угла и нахождения значений других тригонометрических функций.

Назовем вращение подвижного радиуса-вектора в направлении против движения часовой стрелки положительным, а в противоположном направлении (в направлении по движению часовой стрелки) – отрицательным.

Угол, описанный при отрицательном вращении подвижного радиуса-вектора, назовем отрицательным углом.

Правило. Угол измеряется положительным числом, если он положительный, и отрицательным числом, если он отрицательный.

Пример 1. На рис. изображены два угла с общей начальной стороной $bar {OA}$ и общей конечной стороной $bar {OD}$: один равен $+270^{circ}$, другой $-90^{circ}$.

Сумма двух углов. На координатной плоскости $Oxу$ рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.). Пусть произвольный угол $alpha$ (на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторото подвижного радиуса-вектора от его начального положения $bar{OA}$, совпадающего с положительным направлением оси $Ox$, до его конечного положения $bar{OE}$. Примем теперь положение радиуса-вектора $bar{OE}$ за начальное и отложим от него произвольный угол $beta$ (на чертеже положительный), который получим в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения $bar{OE}$ до его конечного положения $bar{OC}$. В результате этих действий мы получим угол, который будем называть суммой углов $alpha$ и $beta$. (Начальное положение подвижного радиуса-вектора $bar{OA}$, конечное положение радиуса-вектора $bar {OC}$.)

Разность двух углов.



Под разностью двух углов $alpha$ и $beta$, которую обозначим $alpha – beta$, мы будем понимать такой третий угол $gamma$, который в сумме с углом $beta$ дает угол $alpha$, т. е. $gamma = alpha – beta$, если $beta + gamma = alpha$. Разность двух углов $alpha$ и $beta$ можно трактовать как сумму углов $alpha$ и $- beta$. В самом деле, $[alpha + (- beta)] + beta = alpha$ (рис.). Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.

Пример 2. $angle AOB = + 60^{circ}$, а $angle BOC = – 90^{circ}$, тогда $angle AOB + angle BOC = angle AOC = 60^{circ} + (-90^{circ}) = -30^{circ}$ (рис.).

Заметим, что все углы $beta_{n}$, записанные при помощи формулы (1), при разных значениях $n$, но одном и том же $alpha$, имеют общие начальную ($bar {OA}$) и конечную ($bar{OE}$) стороны (рис.). Поэтому построение любого угла $beta_{n}$ сводится к построению соответствующего неотрицательного угла $alpha$ меньшего $360^{circ}$. На рис. углы $beta_{n} = alpha + 360^{circ} n$ между собой не отличаются, они различаются лишь процессом вращения радиуса-вектора, который привел к их образованию.

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

• Через градусы
• Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

• Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
• Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
•  Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы; 
• Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

• ( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
• ( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

( displaystyle 0{}^circ )	( displaystyle 30{}^circ )	( displaystyle 45{}^circ )	( displaystyle 60{}^circ )	( displaystyle 90{}^circ )	( displaystyle 120{}^circ )	( displaystyle 135{}^circ )	( displaystyle 150{}^circ )	( displaystyle 180{}^circ )
( displaystyle 0)	( displaystyle frac{pi }{6})	( displaystyle frac{pi }{4})	( displaystyle frac{pi }{3})	( displaystyle frac{pi }{2})	( displaystyle frac{2pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{4})	( displaystyle frac{5pi }{6})	( displaystyle pi )

( displaystyle 210{}^circ )	( displaystyle 225{}^circ )	( displaystyle 240{}^circ )	( displaystyle 270{}^circ )	( displaystyle 300{}^circ )	( displaystyle 315{}^circ )	( displaystyle 330{}^circ )	( displaystyle 360{}^circ )
( displaystyle frac{7pi }{6})	( displaystyle frac{5pi }{4})	( displaystyle frac{4pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{2})	( displaystyle frac{5pi }{3})	( displaystyle frac{7pi }{4})	( displaystyle frac{11pi }{6})	( displaystyle 2pi )

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

• ( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
• ( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

• ( y=sin alpha )
• ( x=cos alpha )

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

• Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
• Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
•  Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла; 
• Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
• Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

• ( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
• ( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}), 

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

• ( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
• ( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.