Простое Решение

Как развить воображение и наладить творческий процесс, чтобы придумать сюжет картины.

Бывало ли у  вас такое, что хочется что-то нарисовать, и идея уже витает в воздухе, но как воплотить это на листе, не знаешь? Или и того хуже,  нужно что-то нарисовать , а в голове – будто чистый лист, ни одной идеи…  Как же преодолеть этот ступор и наладить творческий процесс, как развить воображение, чтобы просто фонтанировать идеями и образами? Подробнее ...

Гранд Мастер Рэймонд Ло>>

Когда мы говорим о Звезде Искусств в ба-цзы, речь идет о четырех элементах Земли: Дракон, Собака, Бык и Коза. В Комбинациях трех животных>>, эти элементы представляют стадию Могилы, согласно Фазам ци в ба-цзы>>. Человек, обладающий таким элементом будет обладать артистическими способностями. Однако, многие художники, из-за непризнания их искусства обществом, переживают чувство одиночества. Поэтому, эта звезда приносит также и чувство одиночества. Наиболее сильно ее влияние проявляется в Столпе дня или часа. Такое сильное влияние происходит потому, что Земная ветвь дня — это Дом супруга, а Земная ветвь часа — Дом детей>>. Если Звезда Искусств находятся в каком-то из этих двух Столпов, это может означать ощущение покинутости в браке или в отношении детей. Таким образом, людям со Звездой Искусств в Столпе дня сложнее завести семью, либо они будут чувствовать себя одинокими, даже после того, как вступят в брак. Людям со Звездой Искусств в Столпе часа будет трудно завести детей, либо они будут чувствовать себя одиноко, даже имея их. Я обнаружил, что Звезда Искусств появляющаяся и в других Столпах, года и месяца, также создает ощущение одиночества в этот период времени. Столп Года часто связывается с периодом детства, а Столп Месяца приносит нарушения в возрасте от 20-ти до 35-ти лет. Подробнее ...

1

Играть

2

Играть

3

Играть

4

Играть

5 +1 Подробнее ...

  Функции с числом е. Друзья! На сайте «Математический тандем» проходит конкурс «Лучший комментатор декабря 2012 года», так что добро пожаловать, будут призы. В данной статье мы с вами рассмотрим задачи, входящие в сотав типовых заданий экзамена по математике, связанные с исследованием функций (где присутствует число е). Подробнее ...

В какой-то момент в процессе работы в Windows можно обнаружить, что при попытке открыть окно «Защита системы», появляется окошко с ошибкой восстановления 0x81000203 или 0x81000202. Подробнее ...

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
  Подробнее ...

Психолого-педагогическая характеристика обучающихся 3-В класса МОУ
«Бендерская Средняя Общеобразовательная Школа № 15»

В
классе учится 20 человек, из них 13 мальчиков и 7 девочек. Большинство детей
2007 года рождения. Один ребенок 2006 года и двое 2008 года . В  неполной 
семье живет 1 ребенок (Стратонов И.) Подробнее ...

Склонность к потреблению и сбережению

Для того чтобы
выяснить, от чего зависит угол наклона
функций потребления и сбережения,
необходимо ознакомиться с показателями,
характеризующими тенденции изменения
потребления и сбережения по мере роста
доходов. Это так называемые склонность
к потреблению и к сбережению.
Названные понятия введены Дж.
М. Кейнсом,
который писал по поводу одного из них:
«Основной психологический закон, на
который мы можем положиться не только
«apriori», исходя из нашего знания человеческой
природы, но и на основании детального
изучения опыта, состоит в том, что люди
склонны, как правило, увеличивать свое
потребление с ростом дохода, но не в той
мере, в какой растет доход»². Подробнее ...

Факториал одной сотни записывается как 100! Это произведение всех натуральных чисел до ста включительно. Иногда запись факториала имеет такой вид:

100 х 99 х 98 х 97 х … х 4 х 3 х 2 х 1

Для ответа на вопрос задачи вам не обязательно находить результат умножения. От вас ждут, чтобы вы лишь определили число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для решения этой задачи потребуется сформулировать несколько правил. Одно из них вы уже знаете. Взгляните на следующее выражение.

387 000 х 12 900 = 5 027 131 727

Вам не кажется, что здесь есть что-то забавное? Ведь при перемножении двух круглых чисел, то есть тех, которые оканчиваются на нули, невозможно получить некруглое число. Это нарушило бы закон сохранения конечных нулей (закон, который я только что вывел, но, тем не менее, он является верным). Произведение всегда унаследует нулевые окончания своих составляющих. Вот несколько верных примеров этого:

10 х 10 = 100
7 х 20 = 140
30 х 400 = 12 000

Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на ноль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей, которые 100! обязательно унаследует.
Предупреждение: следование только этому правилу иногда побуждает некоторых кандидатов в своем ответе заявить, что в конце факториала 100 стоят одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным. Иногда можно умножить два числа, не заканчивающихся на ноль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей. Вот несколько примеров этого рода:

2 х 5 = 10
5 х 8 = 40
6 х 15 = 90
8 х 125 = 1000

Все, кроме последней пары, входят в сотню составляющих факториала 100. Поэтому ваша работа не закончилась. Теперь мы подходим к закону «сосисок и булочек». Представьте себе ситуацию, когда на пикник одни люди приносят сосиски (в упаковках по десять штук), другие — булочки (упакованные по восемь штук), а некоторые — и то, и другое. Есть единственный способ, позволяющий определить, сколько хотдогов из этих продуктов можно приготовить. Сосчитайте сосиски, сосчитайте булочки и выберите меньшее число из двух.

Тот же самый закон следует использовать и отвечая на наш вопрос. Для этого надо заменить «сосиски» и «булочки» на «сомножители на 2» и «сомножители на 5».

В каждом из приведенных выше уравнений число, которое делится на 2, умножается на число, которое делится на 5. Сомножители на 2 и на 5 при их перемножении «совместно» дают идеальную десятку, что добавляет еще один ноль к общему произведению. Посмотрите на последний пример, где в конце, можно сказать, из воздуха возникает три нуля.

8 х 125 = (2 х 2 х 2) х (5 х 5 х 5)
= (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5)
= 10 х 10 х 10
= 1000

Поэтому надо составить пары из двоек и пятерок. Возьмем, к примеру, число, равное 692 978 456 718 000 000.

Оно оканчивается на шесть нулей. Это означает, что его можно записать следующим образом:

692 978 456 718 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10,

или так:

692 978 456 718 х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5).

Первая часть, 692 978 456 718, не делится на 10. В ином случае она бы оканчивалась на ноль, и можно было бы эту часть уменьшить еще в 10 раз. К тому же здесь есть шесть сомножителей, равных 10 (или 2 х 5), что соответствует шести нулям в конце числа 692 978 456 718 000 000. Ну как, убедительно?

Это дает нам надежную систему для определения количества нулей в конце любого большого числа. Выделите сомножители 2 и 5. Составьте из них пары и перемножьте их: (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х … Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце. Закройте глаза на все, что осталось слева.

В целом слева у вас останется двойка или пятерка, для которых не нашлось пары. Обычно это двойки. Более того, когда вы имеете дело с факториалом, это всегда двойки. (В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5.) Поэтому узким местом является число пятерок. Из этого следует, что вопрос можно сформулировать по-другому: сколько раз 100! можно разделить без остатка на 5?

Эту арифметическую операцию можно легко проделать даже в голове. В диапазоне от 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100. Обратите внимание, что 25 дает 2 множителя, равные 5 (25 = 5 х 5), и к тому же в этой группе есть еще три числа, в состав которых входит 25: 50, 75 и 100. В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. 24 множителя на пять дают 24 пары с равным числом двоек, в результате чего получается 24 множителя на 10 (оставляя слева еще множество двоек, для которых не оказалось пары). Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.

Если вам любопытно узнать точный ответ, то значение факториала 100 равно:

93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

Разбор по книге «Действительно ли Вы достаточно умны, чтобы работать в Google?»

Источник

Подсчет конечных нулей факториала числа в любой системе счисления

Время на прочтение
2 мин

Количество просмотров 19K

Как я могу посчитать количество конечных нулей факториала числа в определенной системе счисления?

Давайте рассмотрим случай, когда мы находимся в 10-й системе счисления, а затем посмотрим, как мы можем обобщить это в универсальное решение. Нам дано число N и для его факториала нужно найти количество конечных нулей. Решение будет довольно простым — сумма:

Math.floor(N/5) + Math.floor(N/25) + Math.floor(N/125) + Math.floor(N/625) + ...

Её мы можем обобщить в такую формулу:

Почему 5? Это просто. Конечный ноль получается только тогда, когда в составе факториала число имеет 10. Таким образом, посчитав количество десяток в факториале, мы узнаем количество конечных нулей.

Почему в примере выше мы делим на 5? Потому что 10 может быть получено умножением 5 на 2. Поэтому полное решение будет иметь две формулы:

и

Но, рассуждая логически, мы знаем, что первая сумма будет меньше, поэтому нам нужно посчитать только её (подробнее можно почитать тут).

Решение нашей проблемы

Для подсчёта конечных нулей факториала числа в определенной системе счисления я составил алгоритм, приведенный ниже:

1. Разложить число B системы счисления на простые множители.
2. Разделить число N на каждый уникальной простой множитель K, домножая K сам на себя до тех пор, пока будет больше единицы, при этом округляя каждый результат до меньшего целого.
3. Если при разложении числа системы счисления мы получили несколько одинаковых простых множителей K, то результат выше мы должны разделить на количество одинаковых K.
4. Из всех делений N на каждый уникальный множитель K выбрать наименьшее частное, которое и будет нашим ответом.

Я покажу это на примере.
Пусть число N = 5, система счисления B = 12. Факториал 5! = 120, а 120 в 12-ой системе — A0. Мы видим, что в конечной системе счисления факториал исходного числа имеет один ноль. При разложении 12 на простые множители получим 2, 2, 3. У нас есть два уникальных числа: 2 и 3. Следуя нашему алгоритму выполним пункт 2 с числом 2.

Но двойка встречалась дважды при разложении 12-и, поэтому конечный результат мы делим на 2 и округляем до меньшего целого. В результате получаем 1.

Проделываем тоже самое с 3:

Таким образом, мы получили два частных от делений числа N на простые множители числа системы счисления. Они оба равны 1, поэтому меньшее нам выбирать не приходится и мы просто даем ответ — 1.

Рассмотрим еще один пример.

Пусть число N = 16, система счисления B = 16. Факториал 16! = 20922789888000, а 20922789888000 в 16-ой системе — 130777758000. Мы видим, что в конечной системе счисления факториал исходного числа имеет три ноля. При разложении 16 на простые множители, получим 2, 2, 2, 2. Здесь у нас только одно уникальное число, поэтому пункт 2 выполняется только один раз:

При разложении у нас было четыре двойки, поэтому сумму делений делим на 4 с округлением до меньшего целого:

P.S. Большую часть материала для поста перевел отсюда. Автор — Aditya Ramesh.

Источник

#статьи

• 19 май 2023
• 
  0

Что такое факториал и как его вычислить

Статья, после которой вы начнёте щёлкать факториалы как орешки.

Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media

Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.

Даже если вы уже давно окончили школу, факториалы всё равно могут доставить немало приятных флешбэков — например, если вы обучаетесь программированию и знакомитесь с задачками на рекурсию или комбинаторику. Поэтому мы решили максимально просто объяснить, что такое факториал, как его вычислять и зачем он вообще нужен.

Эта статья будет полезна как опытным программистам, которые хотят освежить знания, так и тем, кто ещё учится: школьникам, студентам и совсем зелёным джунам.

Содержание:

• Что такое факториал
• Для чего он нужен
• Основные свойства и формулы
• Шпаргалка: таблица факториалов
• Решаем задачи на факториалы
• Что запомнить

Факториал числа n — это произведение всех натуральных чисел от единицы до n. Обозначается факториал символом восклицательного знака: !.

Это определение из учебника, и оно пока звучит сложновато — неясно, зачем эти факториалы вообще нужны и как они могут пригодиться в науке и технике. Но об этом чуть позже — для начала давайте посмотрим на примеры факториалов:

Изображение: Skillbox Media

Чтобы вычислить их, нам нужно перемножить все числа от единицы до числа, стоящего под знаком факториала — так гласит определение. Получаем выражения:

Изображение: Skillbox Media

Ещё в математическом определении сказано, что факториал не может быть отрицательным или дробным — то есть вот такие факториалы вычислить нельзя:

Изображение: Skillbox Media

Факториалы незаменимы там, где нужно быстро посчитать количество комбинаций и сочетаний разных предметов. В математике этому посвящён даже целый раздел — комбинаторика. Её методы используют много где: от лингвистики до криптографии и анализа ДНК. И во всех этих сферах факториал помогает упрощать сложные вычисления.

Разберём на примере, как это работает.

Допустим, у вас есть пять шоколадок и вы решили раздать их пяти друзьям — каждому по одной. Задача — выяснить, сколько существует способов раздать эти шоколадки. Начинаем размышлять:

• первую шоколадку можно отдать одному из пяти друзей;
• вторую — одному из четырёх друзей, потому что один уже получил свою шоколадку;
• третью — одному из трёх, потому что двое уже наслаждаются своими шоколадками;
• четвёртую — одному из двух;
• пятую — последнему другу.

Получается, что способов раздать первую шоколадку — 5, вторую — 4, третью — 3, четвёртую — 2, а пятую — всего 1. По правилам математики, чтобы выяснить общее количество всех вариантов, нужно перемножить их между собой. Ну а кто мы такие, чтобы с этими правилами спорить?

Изображение: Skillbox Media

Смотрим на выражение выше и понимаем: ведь оно идеально вписывается в определение факториала — произведение натуральных чисел от одного до n (в нашем случае n равно 5). Следовательно, это выражение можно коротко и изящно записать в виде факториала:

Изображение: Skillbox Media

Выходит, что всего способов раздать пять шоколадок пяти друзьям существует 120. Вот как может выглядеть один из них:

Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media

Конечно, в жизни вам вряд ли придётся считать количество способов раздать друзьям шоколадки. Но, например, в статистике, теории вероятностей, матанализе и программировании факториалы используют сплошь и рядом. Так что, если видите себя в будущем на матмехе или, на худой конец, в IT, то лучше познакомиться с ними хотя бы бегло.

Так как факториалы используются в разных областях математики, свойств у них довольно много — каждая область привносит какие-то свои методы вычислений. Одно из свойств вы уже знаете: факториал — это всегда целое положительное число. Вот ещё несколько, которые стоит запомнить:

• Факториал нуля равен единице — 0! = 1.
• Факториал единицы тоже равен единице: 1! = 1.
• Рекурсия: n! = (n – 1)! × n. Это основное свойство факториалов, о нём мы чуть подробнее поговорим дальше.

Мы видим, что каждое свойство описывается какой-то формулой — и некоторые из этих формул могут быть весьма полезны. Они позволяют нам находить факториалы проще и быстрее, чем простым перемножением натуральных чисел. Разберём эти формулы тоже.

Чтобы вычислить факториал, не используя так много операций умножения, придумали формулу Стирлинга. Вот как она выглядит:

Выглядит страшно, но на самом деле она очень полезная. Её используют, когда хотят приблизительно узнать факториал большого числа. Обычным способом это будет сделать сложно даже мощному компьютеру — например, попробуйте посчитать в онлайн-калькуляторе факториал числа 10 024 (спойлер: это может занять несколько часов и даже дней).

Онлайн-калькулятор не справился с вычислением такого большого числа, как факториал 10 024Скришнот: «Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн» / Skillbox Media

Давайте попробуем вычислить факториал числа 6 по этой формуле:

Изображение: Skillbox Media

Число e примерно равно 2,71, а π — 3,14. Подставляем их в выражение и получаем ответ:

Изображение: Skillbox Media

Получили приближённое значение настоящего факториала, который равен 720. Но можно сделать ответ и более точным. Для этого нужно добавить больше знаков после запятой всем переменным — например, если взять 20 знаков, то ответ будет таким:

Изображение: Skillbox Media

Это уже больше похоже на правду. Хотя погрешность всё равно есть.

Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал числа n, основываясь на факториале предыдущего числа — (n – 1). Выглядит она так:

Изображение: Skillbox Media

В целом рекуррентная формула не приносит нам большой пользы, так как всё равно приходится вычислять факториал предыдущего числа. Если он равен какому-то большому числу (например, 100), то использование формулы теряет смысл — слишком уж много вычислений это потребует.

Рекуррентная формула основана на главном свойстве факториалов — рекурсии: n! = (n – 1)! × n. Это свойство особенно полезно при решении задач по комбинаторике: так мы можем быстро сокращать факториалы и упрощать выражения.

Однако рекуррентная формула хорошо подходит для алгоритмов — в частности, для программирования. Мы можем задать начальное значение: например, что 0! = 1 или 1! = 1, а затем считать следующие факториалы по формуле:

Изображение: Skillbox Media

Получим алгоритм для вычисления факториалов. Не очень эффективный, но простой.

Давайте вычислим по этой формуле факториал числа 4. Сначала распишем рекуррентную формулу до базового значения — факториала числа 1:

Изображение: Skillbox Media

Можно записать это и в сокращённом виде:

Теперь последовательно подставляем значение факториала, которое мы уже знаем, и вычисляем результат:

Изображение: Skillbox Media

Получили ответ — 24. Ничего сложного, просто перемножаем числа.

Кстати, всю эту формулу можно обернуть в реально работающую функцию на языке Python:

def factorial(n): # Определяем функцию
    if n == 0 or n == 1: # Базовый случай
        return 1
    else: # Рекуррентный случай
        return factorial(n-1) * n # Вызываем эту же функцию, но с меньшим аргументом

print(factorial(4)) # Печатаем факториал 4
# Вывод:
# 24

Можете попробовать запустить её в онлайн-интерпретаторе и посмотреть, как работает. Тут есть один нюанс: Python не даст вам посчитать факториал числа больше 998, так как у него есть ограничение на количество вызовов функции — в программировании это называется глубиной рекурсии.

Чтобы быстро находить, чему равен факториал, можно запомнить или сохранить в заметки вот такую табличку. Она рассчитана всего на 12 чисел, но для большинства учебных задач этого хватит.

1!	1
2!	2
3!	6
4!	24
5!	120
6!	720
7!	5040
8!	40 320
9!	362 880
10!	3 628 800
11!	39 916 800
12!	479 001 600

С теорией вроде разобрались — теперь попробуем решить несколько задач с факториалами, чтобы закрепить знания на практике.

Задача: перемножить два факториала.

Изображение: Skillbox Media

Решение:

Сперва нужно вычислить значения факториалов, а затем перемножить полученные значения:

Обратите внимание: во второй строке мы применили рекуррентную формулу, чтобы быстрее вычислить факториал числа 7.

Задача: вычесть из одного факториала другой.

Изображение: Skillbox Media

Решение:

Используем тот же подход, что и в предыдущей задаче: сначала вычисляем факториалы, а затем получаем ответ на всё выражение.

Изображение: Skillbox Media

Вроде бы ничего сложного, главное — не запутаться в умножении.

Задача: умножить один факториал на другой:

Изображение: Skillbox Media

Решение:

Вычисляем факториалы, потом перемножаем их значения:

Изображение: Skillbox Media

Во второй строке мы воспользовались таблицей выше и быстро нашли значение факториала от числа 8.

Задача: сократить дробь и вычислить её значение.

Изображение: Skillbox Media

Решение:

Здесь мы воспользуемся рекуррентной формулой для вычисления факториала и разложим верхний факториал на множители:

Изображение: Skillbox Media

В первой строке мы применили рекуррентную формулу два раза, а во второй — просто сократили одинаковые факториалы в числителе и в знаменателе.

Задача: сократить дробь.

Изображение: Skillbox Media

Решение:

Хотя здесь нет конкретных чисел, но принцип решения остаётся таким же: используем рекуррентную формулу и сокращаем одинаковые значения в числителе и знаменателе.

Изображение: Skillbox Media

Главное — не запутаться и правильно применить рекуррентную формулу.

• Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа. Например, факториал числа 5 будет равен 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
• Его используют во многих областях науки — например, комбинаторике, теории вероятностей и математическом анализе.
• Помимо стандартной формулы для вычисления факториала можно использовать формулы Стирлинга и рекуррентную формулу.
• Формула Стирлинга нужна для того, чтобы посчитать факториал без большого числа операций умножения.
• Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал на основе предыдущего факториала.

Научитесь: Профессия Data Scientist
Узнать больше

Источник

Given an integer n, write a function that returns count of trailing zeroes in n!. 
Examples : 

Input: n = 5 Output: 1 Factorial of 5 is 120 which has one trailing 0. Input: n = 20 Output: 4 Factorial of 20 is 2432902008176640000 which has 4 trailing zeroes. Input: n = 100 Output: 24 Подробнее ...