Памятка как найти скорость время расстояние формулы

Памятка

по математике 4 класс по теме

«Скорость, время, расстояние»

S – расстояние ( путь); измеряется в км, м и т.д.

V – скорость ( это расстояние, преодолеваемое за единицу времени); измеряется в км/ч, м/ мин и т.д.

t- время; измеряется в часах, минутах и т.д.

1. Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. S =V х t
2. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время.

V = S : t

1. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.

t = S :V

Задача на нахождение расстояния

Пешеход шёл со скоростью 5 километров в час. Какой путь он пройдёт за 3 часа?

5  х 3 = 15 ( км)

Ответ: 15 километров пройдёт пешеход.

Задача  на нахождение скорости

Пешеход за 3 часа прошёл 15 километров. С какой скоростью шёл пешеход?

15 : 3 = 5 ( км/ч)

Ответ: 5 км/ ч скорость пешехода.

Задача на нахождение времени

Пешеход шёл со скоростью 5 километров в час и прошёл 15 километров. Сколько времени шёл пешеход?

15 : 5 = 3 ( ч)

Ответ: 3 часа шёл пешеход.

Памятка “СКОРОСТЬ. ВРЕМЯ. РАССТОЯНИЕ.”

Понятие о времени

Существует характеристика, с которой приходится сталкиваться каждый день вне зависимости от возраста, социального статуса, различных способностей и умений. С её помощью определяют будущее, прошедшее и настоящее. По сути, это маркер, определяющий событие. Называют его временем. Рассматривая движение, всегда учитывают эту характеристику, как и её прогрессию.

Время является частью пространственной координаты. Но если относительно других осей можно перемещаться в различных направлениях, относительно него движение определяется только вперёд или назад. Неотъемлемой частью, связанной со временем, является пространство, благодаря которому и возможно понять суть параметра.

Исследованием характеристики занимались философы и учёные в различные периоды существования человечества. Видеть и слышать время невозможно, в отличие от осязаемого пространства, которое возможно наблюдать сразу и везде. Причём в нём можно перемещаться.

Дискуссии, как правильно воспринимать время, не утихают до сих пор. Платон считал, что оно есть не что иное, как движение. Аристотель предполагал, что время – количественное измерение перемещения. Оно было добавлено к классической геометрии Евклида, действующей на ограниченное число измерений. В итоге стало рассматриваться четырёхмерное пространство.

Сегодня так и нет ответов на следующие вопросы о времени:

• из-за чего происходит его течение;
• почему оно определяется только в одном направлении;
• является ли параметр одномерным, как многие учёные считают;
• можно ли обнаружить кванты характеристики.

В классической физике для определения временного изменения используется специальная координата пространство-время. Принято будущие события обозначать знаком плюс, а прошедшие минусом. Единица измерения времени связана с вращением планеты вокруг своей оси и Солнца. Этот выбор был сделан условно и привязан к удобству жизнедеятельности человечества.

В Международной системе единиц принято за секунду принимать интервал, равный 9 192 631 770 периодам излучения атома цезия-133 в покое при нуле градусов по Кельвину. Обозначают параметр латинской буквой t. Таким образом, время — физическая величина, связанная с перемещением какого-либо тела относительно выбранной системы координат.

Расстояние и скорость

Положение каждой физической точки можно описать с помощью координатных осей. Другими словами, системой, которая по отношению к исследуемому телу остаётся неизменной. Изменение положения относительно другого объекта можно представить пройденным расстоянием. Фактически это путь, для которого известно начало и конец. С физической точки зрения, расстояние — величина, являющаяся размерностью длины, и выражающаяся в её единицах.

В математике мера пройденного пути тесно связана с метрическим пространством, то есть положением, где существует пара (x, d), определённая в декартовом произведении. Соответственно, если координату принять за x, y, можно сказать следующее:

• начало пути и его конец обозначают точками с координатами d (x, y) и p (x, y);
• пройденное расстояние можно определить, отняв из конечных координат начальные;
• изменение положения будет нулевым, когда d = p.

В физике расстояние измеряют единицами длины. В соответствии с СИ за размерность берут метр. Расстояние — мера пройденного пути, то есть длина. Если необходимо просто определить изменение положения без учёта, когда и как оно произошло, используют координатные оси. Но при нахождении пройденного пути за время в формуле для расстояния должна учитываться ещё одна величина — скорость.

Обозначают эту характеристику символом V. Характеризует она быстроту перемещения в выбранной системе отсчёта. По определению скорость равняется производной радиус-вектора точки по времени. Иными словами, это значение, задающееся положением в пространстве относительно неизменной координаты, за которую чаще всего принимается начало.

Одно и то же расстояние можно преодолеть за разное время. Например, чтобы пройти 7 километров человеку понадобится затратить порядка одного часа, на автомобиле же этот путь можно преодолеть за 10 минут, а то и меньше. Вот как раз эти отличия и зависят от скорости движения.

Но на самом деле не всё так однозначно. Скорость необязательно должна быть одинаковой на всём пути. На определённых промежутках она может увеличиваться или уменьшаться, поэтому в математике под её значением понимают среднюю величину. Считается, что тело движется равномерно при прохождении установленного расстояния.

Общая формула

Скорость, время, расстояние — это 3 фундаментальных величины, связанные друг с другом. Исследуя одну характеристику, обязательно нужно учитывать две других. Фактически скорость — это физическая величина, определяющая, какую длину преодолеет физическое тело за единицу времени. Например, значение 120 км/ч показывает, что объект сможет преодолеть 120 километров за один час. В математическом виде связь между тремя характеристиками может быть записана в виде следующей формулы:

S = V * t, где:

• S — пройденное объектом расстояние;
• V — средняя скорость тела;
• t — время, затраченное на преодоление пути.

Зная это равенство и любых 2 параметра, можно выполнить расчёт третьего, так для времени она будет иметь вид t = S / V, а скорости V = S / t. Проверить правильность формулы для скорости времени и расстояния можно путём анализа размерности. Если в выражение подставить единицы измерения, то после сокращения должна получиться величина, соответствующая определяемой. S = V * t = (м / с) * с = м (метр). Что и требовалось получить. Аналогично можно проверить и 2 оставшиеся формулы: t = s / v = м / (м/с) = м * с / м = с (секунда) и V = S / t = м / с (метр на секунду).

Действительно, пусть имеется физическое тело, находящееся в каком-то месте. Через некоторое время, неважно по каким причинам, оно переместилось в другую точку, при этом не выходя за пределы установленного пространства. Если тело представить в декартовой плоскости, причём за начало принять координату (0, 0), через время объект изменит своё положение, определяющееся значением (x1, y2). В двухмерном же пространстве это изменение можно описать как переход из точки A в Б.

Значит, чтобы тело достигло второй координаты, ему необходимо затратить время. При этом пройденный путь будет находиться в прямой зависимости от него. Расстояние и время должны связываться третьей величиной, которой как раз и является скорость. То есть параметр, определяющий, за сколько тело сможет преодолеть определённую длину.

Как видно, выражение, связывающее 3 величины, довольно простое. Но оно не учитывает, что скорость может быть непостоянной, поэтому если объект проходит свой путь неравномерно, в выражение подставляют среднее значение. Находится оно как сумма всех отдельных скоростей на неравномерных участках: Vср = ΔS / Δt.

Решение задач

Чтобы уметь решать простые задания в средних классах по математике, связанных с движением, нужно знать всего одну формулу. При этом необходимо пристальное внимание уделять размерности. Все вычисления осуществляются в СИ. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в четвёртом классе средней школы:

1. Из населённого пункта А в точку Б выехала колонна грузовиков. Навстречу им отправился легковой автомобиль. Скорость грузоперевозчиков составляет 80 км/ч, а пассажирской машины 60 км/ч. Встретились они в точке C через полтора часа. Определить расстояние между А и Б. Решение этой задачи будет состоять из нескольких шагов. На первом можно найти путь, который проехала колона: 80 * 1,2 = 96 км. На втором вычислить пройденное расстояние второй: 60 * 1,2 = 72 км. Отсюда общий путь будет равен сумме: АС + СБ = 72 + 96 = 168 км.
2. Корабль, скорость которого в стоячих водах равна 30 км/ч, идёт по течению, а после возвращается. Скорость реки равняется трём километрам в час, промежуточная остановка занимает 5 часов. Путь от начала до возврата корабль проходит за 30 часов. Найти, сколько километров составляет весь рейс. Чтобы решить задачу, удобно составить таблицу. В столбцах нужно записать расстояние, скорость и время, а в строках расчётные данные для таких событий, как стоянка, ход по и против течения. Учитывая условие, рабочая формула примет вид: (S / 28) + (S / 22) + 5 = 30. Выражение можно упростить. В итоге должно получиться: 25 * S / 308 = 25 → S = 308. Так как путь корабля состоял из двух одинаковых расстояний, искомое расстояние будет: P = 2 * S = 308 * 2 = 616 км.
3. Железнодорожный состав проезжает мост за 45 секунд. Длина переправы составляет 450 метров. При этом стрелочник, смотря прямо, видит проходящий поезд всего 15 секунд. Найти длину состава и скорость его движения. Если принять, что поезд движется со скоростью V, то его длина будет равняться D = 15 * V. Так как состав за 45 секунд проходит расстояние 45 * V = 450 + 15 * V, из равенства легко определить скорость: V = 45 * V – 15 * V = 450 → V = 450 / 3 0 = 15 м / с. Следовательно, длина состава: D = 15 * 15 = 225 м.

Все задачи на движение можно разделить на несколько типов: перемещение навстречу, движение вдогонку, нахождение параметров относительно неподвижного объекта. Но, несмотря на их виды, все они решаются по одинаковому алгоритму, поэтому для удобства можно сделать памятку, указав в ней формулы и размерность величин.

Скорость, время и расстояние — это ключевые параметры при решении задач на движение. Эти задачи есть и в ЕГЭ и в ОГЭ по математике. Сегодня мы подробнее остановимся на этих величинах.

Расстояние

Расстояние — это физическая величина, означающая длину между двумя объектами. Расстояние обозначается буквой S и измеряется в единицах длины: метрах. Метр — это международно-принятая единица измерения длины. Однако встречаются и другие единицы длины — километр, сантиметр, миллиметр. В этом случае целесообразно перевести единицы длины в международную систему единиц (СИ).

Расстояние связано со скоростью и временем:

S=v cdot t

Вот тут таблица длин и их перевода в международную систему единиц — то есть в метры.

Единицы длины	СИ
1 сантиметр	0,01 м
1 километр	1000 м
1 дециметр	0,1 м
1 миллиметр	0,001 м
1 микрометр	1·10-6 м
1 миля	1609,34 м
1 фут	0,3048 м
1 ярд	0,9144 м
1 дюйм	0,0254 м
1 морская миля	1852 м

Время

Время — это физическая величина, которая обозначает непрерывное и необратимое (возможно) движение от прошлого к будущему через настоящее. Это фундаментальная физическая величина, единица измерения времени — секунда. Однако, в задачах могут использоваться и другие единицы времени — часы, минуты, дни.

Время можно найти по формуле:

t=frac{S}{v}

Скорость

Скорость обозначается буквой  — это физическая величина, которая обозначает какое расстояние проходит объект в единицу времени. Единица измерения скорости — м/с. Однако, встречаются также и км/ч и см/с (эти измерения не входят в международную систему единиц измерения). Скорость показывает как быстро изменяется расстояние во времени.

Например, выражение 9 м/с означает, что тело за 1 секунду проходит 9 метров. То есть за 1 секунду 9 метров, за 2 секунду еще 9 метров, итого за 2 секунду — 18 метров. В курсе школьной математики мы считаем, что скорость равномерная во времени. То есть тело за равные промежутки времени проходит равные расстояния. То есть 9 м/с означает 9 метров в любую из секунд движения тела. Однако, в реальности движение бывает равномерное и неравномерное. Мы не рассматриваем неравномерное движение в курсе математики (1-6 класс), однако в курсе алгебры элементы кинематики с неравномерным движением рассматриваются.

Еще примеры: скорость 100 км/ч — это прохождение расстояния в 100 километров за 1 час.

Формула скорости

Скорость можно найти через расстояние и время по формуле:

v=frac{S}{t}

Средняя скорость

Если движение тела можно разбить на несколько участков и в пределах каждого участка скорость тела не меняется, то целесообразно говорить о средней скорости.

Формула средней скорости:

v=frac{S_{весь ; путь}}{t_{всё ; время}}=frac{S_1+S_2+…+ S_n}{t_1+t_2+…+ t_n}

То есть средняя скорость это отношение всего пути, ко всему времени.

Скорости сближения и удаления

Понятие скорости ученики изучают еще в 4 классе, а далее это понятие расширяется и уточняется. Вводятся такие понятия как скорость сближения и скорость удаления. Не все педагоги используют эти понятия в своей работе, поскольку эти понятия можно использовать только при решении небольшого класса задач на движение и они ограничивают решение задач и другими условиями (например, если тела удаляются или сближаются не по одной прямой, а по перпендикулярным прямым). И все же, давайте мы уточним, о чем вообще идет речь.

Скорость удаления

Если два тела удаляются друг от друга, двигаясь по одной прямой, то в таких случаях говорят о скорости удаления. То есть скорость удаления характеризует расстояние, которое увеличивается по мере удаления двух тел в единицу времени.

Допустим есть два пешехода, которые удаляются друг от друга, первый пешеход удаляется со скоростью 3 км/ч, а второй пешеход со скоростью 4 км/ч. Тогда скорость удаления будет:

3+4=7 км/ч.

Действительно, расстояние, пройденное первым пешеходом за один час будет 3 километра, а расстояние, пройденное вторым пешеходом за то же время будет 4 километра. Тогда при удалении пешеходов друг от друга расстояние между ними увеличивается на 7 километров в каждый час или наши пешеходы удаляются со скоростью 7 км/ч. Мы должны сложить скорости объектов.

Формула скорости удаления:

v_{удаления}=v_1+v_2

где — скорость одного тела,

— скорость другого тела.

Напомним, что это понятие можно использовать только если тела двигаются в разных направлениях, располагаемых на одной прямой.

Скорость сближения двух тел

Аналогично, рассмотрим ситуацию, если два пешехода двигаются навстречу друг к другу. Один пешеход за один час проходит расстояние 2 км, а второй пешеход за то же время проходит 5 км.

Значит, расстояние между ними будем уменьшаться со скоростью 5+2 = 7 км/ч.

Формула скорости сближения:

v_{сближения}=v_1+v_2

где  — скорость одного тела,

 — скорость другого тела.

Если один пешеход догоняет другого. То скорость сближения при движении в одном направлении можно определить, если вычесть из большей скорости меньшую.

То есть, если у нас второго пешехода (=3км/ч) догоняет первый пешеход (=5 км/ч), то скорость их сближения будет 2 км/ч:

Формула скорости сближения при движении вдогонку:

v_{сближения}=v_1-v_2

где  — скорость одного тела,

 — скорость другого тела. При этом

Таблица «скорость, время, расстояние» при решении задач на движение

При решении задач на движение очень удобно пользоваться такой таблицей, в которой три столбца с данными по скорости, времени движения тел и расстоянию, которое они проходят. Эта таблица, кстати помогает легко запомнить формулы скорости, времени и расстояния, если представить что первый столбец — это первый множитель, второй столбец — второй множитель, а третий столбец — произведение.

Скорость, v, м/с

Время, t, с

Расстояние, S, м

Простой пример, найти скорость велосипедиста, если за 5 часов он прошел 45 километров.

Составляем таблицу и записываем в нее данные:

Скорость, v, км/ч	Время, t, ч	Расстояние, S, км
?	5	45

Теперь видно, что неизвестна скорость в первом столбце, значит, неизвестен первый множитель. Чтобы определить неизвестный множитель надо произведение разделить на известный множитель: = 45/5 = 9 км/ч.

Важно! В задачах все единицы измерения должны быть приведены либо к международной системе единиц (метр, секунда, м/с) либо к одним единицам измерения (то есть если в задаче есть и м/с и км/ч можно привести всё либо к м/с (тогда и время в секундах и расстояние в метрах), либо к км/ч (тогда и время в часах будет и расстояние в километрах))

Рассмотрим теперь некоторые примеры решения задач

Примеры задач на движение

Задача 1

Школьник идет домой со скоростью 2 км/ч. Расстояние от школы до дома 1 км. За какое время школьник дойдет до дома?

Решение:

Найдем время по формуле: displaystyle t=frac{S}{v}=frac{1}{2}ч.

Школьник дойдет до дома за полчаса.

Ответ: 0,5 ч.

Задача 2

Автомобилист и велосипедист выехали в город из деревни одновременно. Скорость автомобилиста 50 км/ч. Расстояние до города 100 км. Какова скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в город на 8 часов позже автомобилиста?

Решение: Составим таблицу

	Скорость, v, км/ч	Время, t, ч	Расстояние, S, км
Автомобилист	50	100/50	100
Велосипедист	x	100/x	100

Пусть скорость велосипедиста x. В таблице мы сразу смогли написать соотношения для времени движения. По условию задачи дано, что велосипедист прибыл в город на 8 часов позже автомобилиста. Запишем это:

displaystyle frac{100}{x}-frac{100}{50}=8

Мы отнимаем от времени, которое потратил велосипедист (он же потратил больше времени) время, которое потратил автомобилист и получаем 8 часов.

Решим полученное уравнение.

displaystyle frac{100}{x}-2=8
displaystyle frac{100}{x}=10
x=10

Ответ: 10 км/ч

Задача 3

Стрела пролетает 180 метров за 0,05 минуты. Найдите ее скорость.

Решение: прежде чем решать задачу, переведем все единицы в одну систему единиц. Минуты переведем в секунды.

В одной минуте 60 секунд. Значит, чтобы узнать сколько секунд в 0,05 минутах, умножим 0,05 на 60, получим:

0,05 cdot 60=3 c.

Тогда displaystyle v= frac{180}{3}=60 м/с.

Ответ: 60 м/с

Задача 4

Турист прошел лесной участок длиной 10 км со скоростью 5 км/ч, а затем шел по полю 20 км, со скоростью 4 км/ч. Какова средняя скорость туриста?

Решение:

Определим весь путь который прошел турист:

displaystyle S_{весь ; путь}=S_1+S_2=10+20=30 км.

Для прохождения лесного участка турист потратил: displaystyle t_1= frac{S_1}{v_1}=frac{10}{5}=2ч, а на второй участок времени ушло: displaystyle t_2= frac{S_2}{v_2}=frac{20}{4}=5ч

Все время: displaystyle t_{всё ; время}=t_1+t_2=2+5=7ч

Тогда найдем среднюю скорость:

displaystyle v_{ср}= frac{S_{весь ; путь}}{t_{всё ; время}}=frac{30}{7}=4 frac{2}{7} км/ч.

Ответ: displaystyle v_{ср}=4 frac{2}{7}

Задача 5

Лиса гонится за зайцем. Скорость лисы 20 м/с, а скорость зайца 15 м/с. Догонит ли лиса зайца, если заяц находится на расстоянии 300 метров от безопасного места, а лиса находится на расстоянии 200 метров от зайца?

Решение:

Заяц добежит до норы за displaystyle t= frac{300}{15}=20 секунд.

Лиса же за 20 секунд пробежит расстояние displaystyle S= 20 cdot 20=400 метров.

Лиса не догонит зайца.

Действительно, скорость сближения лисы и зайца:

displaystyle v=v_{лисы}-v_{зайца}=20-15=5 м/с

То есть, чтобы преодолеть расстояние 200 метров, которое изначально существует между лисой и зайцем, лисе понадобиться displaystyle t=frac{200}{5}=40 с

Заяц же уже 20 секунд будет в безопасном месте.

Ответ: лиса зайца не догонит.