Парабола как найти выколотые точки

Постройте график функции y= дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 6 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 3 конец дроби и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку

Спрятать решение

Решение.

Упростим выражение:

По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения x в квадрате минус 5x плюс 6=0 равны соответственно 2 и 3, тогда по формуле ax в квадрате плюс bx плюс c=a левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x _2 правая круглая скобка получаемx в квадрате минус 5x плюс 6= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка . Имеем:

y= дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 6 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 3 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 3 конец дроби =x в квадрате минус 3x плюс 2,x не равно 3.

График исходной функции сводится к графику параболы y=x в квадрате минус 3x плюс 2 с выколотой точкой  левая круглая скобка 3;2 правая круглая скобка .

Выделим полный квадрат:

y=x в квадрате минус 3x плюс 2=x в квадрате минус 3x плюс 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби

Следовательно, этот график получается из графика функции y=x в квадрате сдвигом на  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка . (см. рис.)

Из графика видно, что прямая y=m имеет с графиком одну общую точку, если y=2 или y= минус 0,25

Ответ: -0,25; 2

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра. 2
График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены. 1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. 0
Максимальный балл 2

Информация

Если дробь (displaystyle frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}) просто сократить, то получим

(displaystyle frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}=-x^2-4)

При этом левая и правая части выражений имеют разные области допустимых значений:

  • дробь (displaystyle frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x})не определена при (displaystyle x=1{small ; } )
  • многочлен (displaystyle -x^2-4) определен для всех (displaystyle xsmall.)

Равенство выражений имеет место только для тех (displaystyle xsmall,) для которых определены оба выражения.

Поэтому нужно обязательно записать область определения исходной функции.


Область определения функции

(displaystyle y=frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}small.)

Знаменатель не равен нулю:

(displaystyle x,cancel{=},1small.)

В области определения исходного выражения получаем:

(displaystyle frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}=frac{(x^2+4)cancel{(x-1)}}{-cancel{(x-1)}}=-(x^2+4)=-x^2-4small.)

Значит, с учетом области определения исходного выражения, необходимо построить параболу с выколотой точкой при(displaystyle x=1{small : } )

(displaystyle begin{cases}y=-x^2-4,\x,cancel{=},1.end{cases})

И определить, при каких значениях параметра (displaystyle k) прямая (displaystyle y=kx) имеет с построенной параболой  ровно одну общую точку.


Построим график функции (displaystyle y=-x^2-4) для (displaystyle x,cancel{=},1small.)

1. Строим параболу (displaystyle y=-x^2-4small.)

Это парабола (displaystyle y=-x^2{ small ,}) сдвинутая на (displaystyle 4) единицы вниз.

2. Так как (displaystyle x,cancel{=},1small,) выкалываем на графике точку с абсциссой (displaystyle x=1small.)

Отметим, что выколотая точка имеет координаты (displaystyle (1;,-5)small.)


Прямая (displaystyle y=kx) – это прямая, которая

  • проходит через начало координат вне зависимости от значения (displaystyle k{small ; } )
  • при изменении (displaystyle k) поворачивается вокруг начала координат и принимает все положения кроме вертикального.

Тогда прямая (displaystyle y=kx) имеет с построенным графиком ровно одну общую точку, если

  • прямая проходит через выколотую точку параболы (красная прямая),
  • прямая касается параболы (displaystyle y=-x^2-4) (зеленые прямые).

Найдем, чему равно (displaystyle k) в каждом из этих случаев.


Если прямая (displaystyle y=kx) проходит через выколотую точку параболы, то (displaystyle k=-5)

Рассмотрим случай, когда прямая проходит через выколотую точку.

Прямая пересекает параболу (displaystyle y=-x^2-4) в двух точках (одна из точек не видна на рисунке).

Но точка (displaystyle (1;-5)) является выколотой точкой графика. Поэтому прямая и парабола имеют одну общую точку.

Прямая проходит через точку (displaystyle (1;-5){ small ,}) если при (displaystyle x=1) значение (displaystyle y=-5small.)

При подстановке в (displaystyle y=kx) получаем:

(displaystyle -5=kcdot 1small,)

(displaystyle k=-5small.)


Если прямая (displaystyle y=kx) касается параболы, то

(displaystyle k=4) или (displaystyle k=-4)

Рассмотрим случай, когда прямая касается параболы.

В общей точке прямой (displaystyle y=kx) и параболы  (displaystyle y=-x^2-4) значения (displaystyle y) совпадают. Поэтому приравняем их:

(displaystyle kx=-x^2-4small,)

(displaystyle x^2+kx+4=0small.)

Поскольку прямая и парабола имеют только одну общую точку, то у данного уравнения должно быть одно решение.

Квадратное уравнение (displaystyle x^2+kx+4=0) имеет ровно один корень, если его дискриминант равен (displaystyle 0small.)

Приравняем дискриминант к нулю:

(displaystyle k^2-4cdot4=0small,)

Тогда

(displaystyle k^2=4^2small,)

(displaystyle k=4) или (displaystyle k=-4small.)

Таким образом, прямая (displaystyle y=kx) и график функции (displaystyle y=frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}) имеют одну общую точку при

(displaystyle k=-5) или (displaystyle k=4) или (displaystyle k=-4small.)

Ответ: (displaystyle kin{-5}cup{-4}cup{4}small.)

Закрашенная и незакрашенная точка

Эта ассоциация поможет легко запомнить, выколотая точка или закрашенная на числовой прямой.

Сравните неравенства, при которых точка заштрихована: x≥a или x≤b и неравенства, в которых точка выколотая: x>a, x или Светлана Иванова, 27 Сен 2012

Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:

— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:

В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.

Отрезки и интервалы: в чем разница?

Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:

  • — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Но эти точки не принадлежат интервалу. Интервал обозначается круглыми скобками: и т.д.;
  • — это тоже часть прямой, ограниченная двумя точками. Однако эти точки тоже являются частью отрезка. Отрезки обозначаются квадратными скобками: и т.д.

Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.

Метод интервалов для нестрогих неравенств

К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:

Задача. Решите строгое неравенство:

Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

Задача. Решите нестрогое неравенство:

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:

Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:

  • В строгих неравенствах нас не интересуют концы отрезка, поэтому они отмечаются выколотыми точками. Такие точки никогда не входят в ответ, о чем говорят круглые скобки на первом ответе: x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞);
  • И наоборот, в нестрогих неравенствах концы отрезка входят в ответ. На графике они отмечаются закрашенными точками, а в ответе указываются квадратными скобками: x ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).

Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.

Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках

У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем

Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.

— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.

Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.

Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.

Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:

Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:

Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:

Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.

То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:

Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.

Примеры решения неравенств

В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.

Как обычно, приравниваем все к нулю:

( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:

f ( x ) = ( x + 8)( x − 3)

Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:

Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:

Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:

x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0

x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].

Решение неравенств

Метод интервалов

Перенос знаков

Выбор точек

Система и совокупность

Точка знакопостоянства

Что нельзя делать в неравенстве, даже под пытками:

1) Домножать на знаменатель.

2) Умножать/делить на отрицательное число, не меняя знак.

3) Убирать бездумно логарифм или основание.

Начнем с простого:

Линейные уравнения решаются обычным переносом. Икс в одной части оставим, а числа перенесем в другую:

А само значение −4 нам подходит?

Нет, поэтому ставим круглые скобочки ()

Разберемся со скобками:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки нестрогие ( ≥, ≤ ), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,

Если же возьмем пример, где придется делить или умножать на отрицательное число, то знак поменяется:

Ответ: x ∈ ( 0; +oo).

Следующий пример уже с дробью:

Приравняем числитель к нулю и скажем, что знаменатель не равен нулю:

к.ч. (корни числителя)

к.з. (корни знаменателя)

Расставляем корни числителя и знаменателя на одной прямой (сколько решаем неравенств, столько же чертим прямых). Попробуем подставить х = 0, чтобы определить знаки:

Там, где «0» (перед двойкой), ставим знак «−», а дальше знаки чередуем:

Из-за того, что знаком неравенства был «≥», нам подходят промежутки со знаком «+» и закрашенная точка:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,

Данный пример можно решить по-другому. Подумаем, когда дробь больше нуля? Конечно, когда числитель и знаменатель — положительные значения или когда оба отрицательные. Поэтому данное неравенство можно разбить на две системы в совокупности:

Отметим на прямой решение каждого неравенства.

Решением совокупности «[» является тот участок, который включен хотя бы в одно неравенство.

Мой любимый пример:

Покажу мастер-класс, как делать не надо. Дома не повторять!

А теперь через метод интервалов разберемся, как сделать правильно:

Там, где ноль, ставим знак «−», рисуем прямую и отмечаем корни каждой скобки. А дальше чередуем:

В данном неравенстве знак меньше, поэтому записываем в ответ промежуток, где знак «−».

Перейдем к квадратному уравнению:

Разложим на множители и подставим x = 10, чтобы определить знак:

Нам требуются положительные значения:

Второй способ разложить на множители:

Ответ: x ∈ (−oo; −1) ∪ (5; +oo).

А теперь простой, но крайне показательный пример:

Убирать квадрат ни в коем случае нельзя. Простенький контрпример:

Надеюсь, убедил. Вместо знака больше поставим знак равно и попробуем решить методом интервалов:

Если корень повторяется четное количество раз, то в этой точке знак меняться не будет. Отмечать будем такую точку восклицательным знаком (а внутри него ±, чуть ниже объясню, зачем это).

В данном неравенстве знак больше, тогда отметим те промежутки, где стоит знак «+».

Только точка «0» не подходит, 0 > 0 — неверно!

Ответ: x ∈ R <0>или x ∈ ( − oo; 0) ∪ (0; +oo).

Переходим на новый уровень:

Все говорят, что домножать на знаменатель нельзя, а я говорю, что буду! (joke)

По методу координат найдем корни числителя и знаменателя:

Отметим все корни на одной прямой (сколько неравенств, столько же и прямых). Ноль — корень четной кратности, над ним рисуем восклицательный знак! Если это корень числителя, то точка будет закрашена, если знаменателя — выколота (на ноль делить нельзя).

Требуется найти промежутки, где выражение больше или равно нулю. Нам подойдут все «промежутки», где знак плюс. Для этого подставим значение x = 1 и с промежутка [0; 3] начнем расставлять знаки. Там же находится единица.

Вот для чего ставят в восклицательном знаке ±: чтобы не потерять отдельные точки, в данном случае 0.

Ответ: (−oo; − 6) ∪ <0>∪ [ 3; +oo).

По той же схеме корни числителя и знаменателя:

Определим знак при x = 10 и расставим знаки с промежутка, где присутствует 10:

Все точки от − 2 закрашены, значит эти промежутки можно объединить в один.

Точка x = 3 встречается 3 раза (2 раза в числителе и 1 раз в знаменателе), знак через нее меняться будет! А также эта точка будет выколота, проверь это, подставив в уравнение x = 3. На ноль же делить нельзя?

Узнать ещё

Эта ассоциация поможет легко запомнить, выколотая точка или закрашенная на числовой прямой.

Сравните неравенства, при которых точка заштрихована: x≥a или x≤b и неравенства, в которых точка выколотая: x>a, x<b. В первом случае в самом знаке неравенства есть прямая подсказка, что точку надо заштриховать, уже и штриховать начали, первый штрих сделали: ≥ или ≤. Поэтому и на чертеже на числовой прямой в таких неравенствах — заштрихованная точка:

vyikolotaya-tochka

А в знаках > или < штриха дополнительного нет, значит, и закрашивать точку не надо. Получилась выколотая точка.

С3 ГИА – построение графиков функций.

Для того, чтобы хорошо решать это задание, нужно быть знакомым с построением различных графиков функций, в том числе содержащих модуль. Предлагаю тем, кто неуверенно себя чувствует при решении таких заданий, перейти по ссылкам и изучить (или повторить) данные разделы. Задание С3 связано как с исследованием расположения корней квадратного трехчлена, так и с определением области определения функции, и области ее значений. На конкретных примерах мы попробуем научиться решать различные типы таких заданий.

Задача 1. Построить график функции y=x^2+4и определить, при каких значениях kграфик функции y=kxимеет с графиком 1 общую точку. Построить все такие прямые.

графики функций

Задача о касательных к параболе

Графиком предложенной функции является парабола, ветви которой направлены вверх и вершина, которую подняли вверх на 4 единицы, лежит на оси ординат. Ее координаты (0;4). Второй график – это прямая, проходящая через начало координат, причем ее наклон может меняться (его определяет коэффициент k). Такая прямая только в одном случае имеет с параболой одну общую точку – если является касательной. Причем, поскольку данная парабола симметрична относительно оси ординат, то к ней можно провести две касательных – с точками касания в первом и третьем квадрантах: Чтобы определить, в какой точке прямая коснется параболы, нужно приравнять обе функции: x^2+4=kx

x^2-kx+4=0

Поскольку точка касания – единственная общая точка данных графиков, то дискриминант данного уравнения равен нулю: D=b^2-4ac=k^2-16=0Откуда k^2=16и k=pm<4>» />. Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой: <img decoding=и решить это уравнение: x^2-4x+4=0(x-2)^2=0Тогда касание произойдет в точке x=2и симметричной ей точке x=-2.

Задача 2. Построить график функции y=-delim<|><x^2-4x+3><|>» /> и определить, при каких значениях <img decoding=график функции y=aимеет с графиком три или более общие точки.

графики функций

График, который подвергнется преобразованиям

графики функций

Строить этот график будем поэтапно: сначала построим график y=x^2-4x+3, затем – график функции y=delim<|><x^2-4x+3><|>» />, и, наконец, искомый – <img decoding=

“Опрокидываем” преобразованный график

Осталось выяснить, в каком же случае прямая y=a– а это прямая, параллельная оси абсцисс – будет иметь три (или же более) общие точки с графиком построенной нами функции. Прямая показана на рисунке зеленым цветом. Видно, что ниже указанного положения прямая будет иметь только две общие точки с графиком. Если y=-1, то прямая имеет три точки с графиком – пересекает две его ветви и касается вершины. Выше прямая будет иметь четыре точки пересечения с графиком, однако при y=0точек пересечения уже снова две. Значит, ответ надо записать так: a in[-1;0)

Задача 3. Построить график функции y=delim<|><x^2+2x-8><|>» /> и определить, при каких значениях <img decoding=график функции y=aимеет с ним три и более общие точки.

графики функций

графики функций

Также построим график в два этапа: саму параболу (координаты ее вершины (-1;-9)), затем отразим всю часть, лежащую ниже оси х, вверх: Тогда три и более (а именно – четыре) общих точки графики y=delim<|><x^2+2x-8><|>» /> и <img decoding=будут иметь при a in(0;9]

Задача 4. Построить график функции и определить, при каких значениях aграфик функции y=aимеет с ним 2 общие точки.

Из условия ясно, что такой график состоит из двух кусочков. Один из них – прямая, второй – парабола. Первый существует в точке 1 и левее ее, второй – правее этой точки. Нарисуем эти графики:

графики функций

Координаты вершины параболы: x_0=-<b/2a>=-<-6>/2=3″ />; <img decoding=

Красным показаны прямые y=1и y=5– именно они, и только они, имеют две общие точки с построенным графиком. Ответ: a=1, a=5.

Задача 5. Построить график функции y=<x^3-x^2+25x-25>/<x-1>» /> и определить, при каких значениях <img decoding=график функции y=kxне имеет с графиком общих точек.

Давайте сначала попробуем упростить данное выражение, кроме того, нужно, безусловно, определить область допустимых значений данной функции. ОДЗ: . Теперь попробуем упростить данное выражение:y=<x^3-x^2+25x-25>/<x-1>=» /></p> <p><img decoding=

Определение коэффициента наклона касательной

Полученная функция – квадратичная, ее графиком является парабола. Данная парабола симметрична относительно оси y, ее вершина имеет координаты (0; 25). Необходимо заметить, что точка с координатами (1; 26) – выколотая точка (по ОДЗ). Тогда прямая, проходящая через начало координат – а именно таким будет график функции y=kx, не будет иметь с параболой общих точек в трех случаях: если коэффициент kменьше, чем у касательной, расположенной справа, или он больше, чем у касательной, расположенной слева, или искомая прямая проходит прямо через выколотую точку. Наверное, проще найти каков этот коэффициент именно в третьем случае: так как прямая проходит через начало координат, достаточно подставить координаты нашей выколотой точки в уравнение прямой и найти k: 26=k*1, откуда k=26. Проверим, не будет ли такая прямая иметь общих точек с параболой. Приравняем y=26x=x^2+25. По сумме коэффициентов это уравнение имеет корень 1, но и второй корень – 25, поэтому такая прямая будет иметь еще одну точку пересечения с параболой. В ответ эту прямую мы не включим. Теперь определим коэффициент наклона касательных, для этого приравняем оба уравнения: x^2+25=kx, и найдем дискриминант, который должен быть равен нулю при наличии единственной общей точки у двух этих графиков функций: x^2-kx+25=0D=b^2-4ac=k^2-4*25=0Откуда k^2=100и k=pm<10>» /> Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой: <img decoding=и решить это уравнение: x^2-10x+25=0(x-5)^2=0Тогда касание произойдет в точке x=5и симметричной ей точке x=-5. Ответ: , .

Задача 6. Построить график функции y=<x-3>/<x^2-3x>» /> и определить, при каких значениях <img decoding=он не имеет общих точек с графиком функции y=a.

графики функций

Гипербола с выколотой точкой

Определим ОДЗ функции: , . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: y=<x-3>/<x(x-3)>=1/x» /> – видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка <img decoding=– выколотая точка. В точке x=0гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты (одна из них войдет в ответ). Тогда, если прямая y=aпройдет через выколотую точку, графики не будут иметь общих точек. Найдем a: для этого определим ординату выколотой точки: y=1/x=1/3: Ответ: a=1/3и a=0.

Задача 7. Построить график функции y=<x-1>/<x^2-x>» /> и определить, при каких значениях <img decoding=график функции y=kxимеет с графиком 1 общую точку.

графики функций

Подбор коэффициента наклона прямой

Определим ОДЗ функции: , . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: y=<x-1>/<x(x-1)>=1/x» /> – видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка <img decoding=– выколота. В точке x=0гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты. Тогда, если прямая y=kxпройдет через выколотую точку, графики будут иметь одну общую точку. Найдем k: для этого подставим в уравнение прямой абсциссу и ординату выколотой точки: 1=k/1, k=1: Ответ: k=1

Задача 8. Построить график функции y=x^2-4delim<|><x><|>+3″ /> и определить, при каких значениях <img decoding=график функции y=aимеет с ним 2 общие точки.

графики функций

Построение функции с модулем

Эта функция – функция типа y=f(delim<|><x><|>)» />, и чтобы построить график данной функции, необходимо отразить всю часть графика, расположенную справа от оси х, налево: Тогда, если <img decoding=, то график y=-1коснется обеих вершинок нашей “дублированной” параболы, то есть a=-1– один из ответов. Также, если y=aпересечет обе ветви параболы, то есть все нас устраивают. Ответ: a=-1,.

Задача 9. Построить график функции y=<(x^2-2x)delim<|><x><|>>/<x-2>» /> и определить, при каких значениях <img decoding=график функции y=cне имеет с ним общих точек.

графики функ9

Кубическая парабола с выколотой точкой

Определим ОДЗ исходной функции: . Теперь можно упростить выражение: y=<<(x^2-2x)>delim<|><x><|>>/<x-2>=» />.</p> <p>График представлен на рисунке. Не забудем про выколотую точку – это точка с координатами (2;4). Поэтому, если прямая <img decoding=пройдет именно через эту точку, она не будет иметь общих точек с полученным нами графиком. Ответ: с=4.

Задача 10. Построить график функции y=delim<|><x-1><|>-delim<|><x+1><|>+x» /> и определить, при каких значениях <img decoding=график функции y=kxимеет с ним одну общую точку.

Для того, чтобы построить данный график, необходимо раскрыть модули. С этой целью приравняем подмодульное выражение к нулю, чтобы узнать, в какой точке оно меняет знак: x-1=0x=1и x+1=0x=-1Нанесем эти точки на числовую прямую и расставим знаки:

графики функций

У нас получились три интервала, на каждом из которых можно теперь раскрыть модули: 1. 2. 3. Тогда наша функция – кусочно-линейная: .

Она выглядит так:

графики функций

Зеленым цветом показано одно из возможных положений прямой y=kx. При таком расположении прямой , и может расти бесконечно. Заметим, что крайнее положение прямой – при k=1. При таком коэффициенте наклона она параллельна правой и левой частям графика, и имеет с ним одну точку пересечения – точку (0;0). Точно так же коэффициент наклона может быть и отрицательным. При этом коэффициент k=-1 – не войдет в ответ, так как в этом случае функция y=kxбудет иметь общий отрезок с кусочно-линейной функцией, что не соответствует требованиям задачи. Таким образом,

Ответ: k in (<-<infty>>;-1)union<[>1;<infty>» />).</p> <p>Задача <strong>11</strong>. При каких <img decoding=вершины парабол y=-x^2+4mx-mи y=x^2+2mx-2расположены по одну сторону от оси х?

Обратим внимание на то, что у двух данных парабол ветви направлены в разные стороны: у первой старший коэффициент отрицателен, а у второй – положителен. Поэтому вершины будут лежать по одну сторону от оси, если одна из них будет иметь точки пересечения с осью х, а другая – нет. Иными словами, дискриминант одного квадратного уравнения должен быть положителен, а другого – отрицателен. Это приводит нас к двум системам неравенств:

графики функ13

Дискриминант и наличие пересечений параболы с осью х

.

Или же наоборот: . Эти два случая изображены на рисунке:

Определим дискриминанты обоих квадратных уравнений:

D_1=b^2-4ac=16m^2-4(-1)(<->m)=16m^2-4m» /></p> <p><img decoding=

Тогда имеем систему неравенств:

– решений нет, так как квадрат числа – неотрицателен, и сумма квадрата числа с положительным числом не может быть меньше ноля.

– в этой системе второе неравенство всегда соблюдается, решение первого – , ,

Мы рассмотрели один способ решения – с использованием дискриминанта. Есть еще один способ решения такого задания – с помощью координат вершины параболы. Решим последнюю задачу вторым способом.

Нам потребуется определить координаты вершин обеих парабол:

1. x_0=(<->b)/<2a>=(<->4m)/(-2)=2m» /></p> <p><img decoding=

– вторая система решений не имеет, а именно, нет решений у второго неравенства, поэтому решим первую. Второе неравенство первой системы справедливо всегда, осталось решить неравенство:

Решение этого неравенства и есть ответ задачи:

Канал видеоролика: Математика ОГЭ

Построение параболы с "выколотыми" точками. ОГЭ-2019 по математике. задание № 23

Смотреть видео:

СМОТРЕТЬ ВИДЕОРОЛИК:

youtu.be/2A9YluP119s

#математикаогэ #гвэ #егэответы #репетиторпоматематике #репетитор_по_математике #огэматематика #огэответы #арифметика #ответы_огэ

Свежая информация для ЕГЭ и ОГЭ по Математике (листай):

С этим видео ученики смотрят следующие ролики:

Задание 23 из# ОГЭ - по математике. Часть 2 | Построение графиков функций.

Задание 23 из# ОГЭ – по математике. Часть 2 | Построение графиков функций.

Сдал ОГЭ по математике

Задание 13 из реального ЕГЭ 2019 по математике

Задание 13 из реального ЕГЭ 2019 по математике

Valery Volkov

Задание 15 из реального ЕГЭ 2019 по математике

Задание 15 из реального ЕГЭ 2019 по математике

Valery Volkov

Задание 17 из реального ЕГЭ 2019 по математике #47

Задание 17 из реального ЕГЭ 2019 по математике #47

Valery Volkov

Облегчи жизнь другим ученикам – поделись! (плюс тебе в карму):

21.06.2019

Определение

Неравенство вида ax2+bx+c>0 или ax2+bx+c<0, где х – переменная, a, b и c некоторые числа называют неравенством второй степени с одной переменной (или квадратными неравенствами). Также в неравенствах могут встречаться знаки ≤ или ≥.

Для решения неравенства находят промежутки, в которых функция у=ax2+bx+c принимает положительные или отрицательные значения, это зависит от знака неравенства, данного в стандартном виде. Для этого достаточно определить, в каком направлении расположены ветви параболы у=ax2+bx+c, а также найти нули данной функции, относительно которых и определяются промежутки.

Вспомним, что ветви параболы направлены вверх при а>0, ветви направлены вниз при а<0. Для нахождения нулей функции необходимо решить обычное квадратное уравнение, то есть найти дискриминант и корни квадратного трехчлена ax2+bx+c.

Алгоритм решения неравенства второй степени с одной переменной

Порядок действий

  1. Находим дискриминант квадратного трехчлена ax2+bx+c и выясняем, имеет ли уравнение корни.
    • Если квадратный трехчлен имеет два корня (D>0), то на оси х отмечаем две точки (выколотые или приколотые, в зависимости от знака исходного неравенства) и проводим через них параболу ветвями вверх/вниз (зависит от условия).
    • Если квадратный трехчлен имеет два одинаковых корня (D=0), то отмечаем одну точку на оси х – вершину параболы, проводим из этой точки её ветви.
    • Если квадратный трехчлен не имеет корней (D<0), то изображаем параболу схематически в одной из полуплоскостей, это зависит от направления ветвей (а>0 – расположена в верхней полуплоскости ветвями вверх; а<0 – расположена в нижней полуплоскости ветвями вниз).
  2. находим на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если условие дано для чисел больших нуля) или ниже оси х (если условие дано для чисел меньших нуля).

Первый случай. D>0, a>0.

Решить неравенство:

х2+2х–48<0

Неравенство дано в стандартном виде. Находим дискриминант квадратного трехчлена х2+2х–48:

D=b2–4ac=22-=4+192=196>0

Значит, квадратный трехчлен имеет два корня, находим их по формуле:

Это будут числа –8 и 6. Нам надо на оси х отметить две выколотые точки и построить параболу ветвями вверх, так как число а=1, то есть а>0. Теперь для ответа определяем промежуток отрицательных чисел, так как в условии неравенства стоит знак «меньше».

Это будут все числа, расположенные ниже оси х (на рисунке промежуток заштрихован), в ответ запишем промежуток чисел (–8;6).


Второй случай. D>0, a<0.

Решить неравенство:

–х2+2х+15<0

Находим дискриминант, он равен 64, значит, квадратный трехчлен имеет два корня. Находим по известной формуле эти корни, получим –3 и 5. Отмечаем на оси х эти две выколотые точки и проводим параболу ветвями вниз, так как a<0 по условию. Теперь для ответа определяем промежуток отрицательных чисел, так как в условии неравенства стоит знак «меньше».

Это будут все числа, расположенные ниже оси х (промежутки показаны штриховкой), в ответ запишем промежутки чисел (-∞;-3)∪(5:+∞).


Третий случай. D=0, a<0.

Решить неравенство:

2–12х+9>0

Находим дискриминант, он равен нулю. Значит, имеем корень, который равен 1,5. Отмечаем на оси х выколотую точку, это будет вершина параболы, проводим параболу ветвями вверх, так как а=4. Теперь определяем промежуток положительных чисел, это все числа, которые находятся выше оси х (показаны штриховкой).

То есть, это числа от минус бесконечности до 1,5 и от 1,5 до плюс бесконечности, так как точка 1,5 выколотая, а значит, она не входит в данный промежуток чисел. Запишем ответ: (-∞;-1,5)∪(1,5:+∞). Также данный ответ можно записать короче: х≠1,5.


Четвертый случай. D<0, a>0.

Решить неравенство:

2+6х+9<0

Находим дискриминант, он равен –144, значит, квадратный трехчлен не имеет корней. В координатной плоскости покажем параболу, которая не пересекает ось х, то есть расположена в верхней полуплоскости ветвями вверх, так как а=5. Теперь для нахождения ответа определяем промежуток отрицательных чисел: так как парабола находится в верхней полуплоскости, а нужен промежуток отрицательных чисел (показан штриховкой), то данное неравенство не имеет решений.

Записываем ответ: нет решений.


Пятый случай. D<0, a<0.

Решить неравенство:

–10х2+3х–2≤0

Находим дискриминант, он равен отрицательному числу (–71), значит, корней нет. В координатной плоскости покажем параболу, которая не пересекает ось х, то есть, расположена в нижней полуплоскости ветвями вниз, так как а=–10. Теперь для нахождения ответа определяем промежуток отрицательных чисел: так как парабола находится в нижней полуплоскости, а нам нужен промежуток отрицательных чисел (показан штриховкой), то данное неравенство имеет множество решений (искомый промежуток совпал с расположением параболы в нижней полуплоскости).

C:UsersO2Desktop4.png

Записываем ответ: множество решений. Также ответ можно записать в виде промежутка (-∞;+∞) или записать так: х – любое число.

Задание OM2005

Решить неравенство(х5)2<7(х5)


Для того чтобы начать решать неравенство, мы должны понимать, интервал каких чисел будем находить – положительных или отрицательных. Для этого перенесем выражение из правой части в левую, изменяя знак на противоположный, и справа от знака «меньше» образуется нуль:

(х5)27(х5)<0

Теперь вынесем за скобки общий множитель (х-5), получим:

(х5)(х57)<0

Найдем нули функции, приравнивая каждый множитель к нулю:

х5=0, откуда х=5

х57=0,  

откуда:

 х=5+7

Отметим эти числа на числовом луче и найдем интервал отрицательных чисел:

Итак, видно, что необходимый интервал от 5 до (5+7)

Ответ: (5;5+7)Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM2003

Решить неравенство 11(х2)230


Имеем дробное неравенство, где решать надо будет только знаменатель. Но для этого посмотрим, что решением неравенства являются числа, которые больше или равны нулю. Для этого наш знаменатель должен быть отрицательным числом, так как числитель – число тоже отрицательное, а при делении двух отрицательных чисел получим число положительное. Далее, знаменатель не должен быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Следовательно, начнем решение с того, что выпишем знаменатель, который должен быть отрицательным числом:

(х – 2)2 – 3<0

У нас получилось квадратное неравенство, которое мы и должны решать. Начнем с раскрытия скобок по формуле сокращенного умножения и приведения подобных слагаемых:

х2 – 4х+4 – 3 <0

х2 – 4х+1 <0

Получим квадратное неравенство, для которого надо найти интервал отрицательных чисел (<0)

Для этого найдем нули функции, решая с помощью дискриминанта:

Д=(-4)2 – 411=16-4=12

х1=4 122=2(23)2=23

Знаем, что х2 будет отличаться только знаком, получим, что х2=2+3

Теперь отмечаем числа на числовом луче и показываем интервалы справа налево путем чередования знаков. Видим, что наш интервал отрицательных чисел – от точки (23) до точки (2+3).

Ответ: (23 ; 2+3)

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 4.5k

Добавить комментарий