Период колебания математического маятника как найти длину

Расчет длины маятника

Маятник — это тело или система тел, подвешенная в поле тяжести и совершающая механические колебания.

Формула расчета длины маятника:

L = (T / 2π) 2 * g, где

L — длина маятника в метрах;
T — период колебаний в секундах;
g — ускорение свободного падения в м/с 2 .

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета длины маятника по простой математической формуле в зависимости от периода колебаний и ускорения свободного падения. С помощью этой программы вы в один клик сможете рассчитать длину маятника.

Расчет длины нити математического маятника

Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет секунды.

Решение задачи

В данном уроке показано, как грамотно рассчитать длину нити математического маятника. По условию задана формула , с помощью которой приблизительно вычисляются колебания маятника. — это период колебания маятника, который известен по условию задачи ( секунды), а – это длина нити маятника, которую и необходимо рассчитать. Для решения задачи достаточно преобразовать формулу (представленную в виде алгебраического выражение) и подставить в нее известные данные. Для этого из формулы выражается переменная , в процессе этого выполняются операции упрощения выражения. Далее, для получения окончательного ответа, вместо переменной подставляется его числовое значение. Ответ представлен в виде десятичной дроби

При подготовке к ОГЭ можно успешно воспользоваться решением этой задачи, в частности при решении задач типа ОГЭ 20.

Как найти длину нити

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол появляется касательная составляющая силы тяжести (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса , то его угловое смещение будет равно . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению , а

Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором , т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка ; при этом величина отличается от не более чем на . Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение маятника пропорционально его смещению , взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс физического маятника находится ниже оси вращения на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

Здесь – расстояние между осью вращения и центром масс .

Здесь – собственная частота малых колебаний физического маятника .

Более строгий вывод формул для и можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение есть вторая производная углового смещения по времени:

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции можно выразить через момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс маятника и параллельной оси вращения:

Окончательно для круговой частоты свободных колебаний физического маятника получается выражение: