Первая космическая скорость как найти массу

Первая космическая скорость как найти массу

Здесь приведены формулы и примеры расчета первой и второй космической скорости для небесных тел произвольной массы и радиуса.
Для быстрого расчета можно воспользоваться онлайн-калькулятором.

Первая космическая скорость

Первая космическая скорость – это скорость, которую нужно придать телу, масса которого пренебрежительно мала по сравнению с массой планеты,
чтобы это тело стало спутником планеты и вращалось вокруг нее по круговой траектории. Примечание: если скорость будет выше заданной (но меньше второй космической), то траектория орбиты будет
не круговой, а эллипсоидной.

Формула первой космической скорости:

Формула первой космической скорости

где

G – гравитационная постоянная (постоянная Ньютона), равная 6,6743015·10-11 м3/(кг*с2), или Н*м2/кг2

R – радиус небесного тела

M – масса небесного тела

Вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость – это минимальная скорость, которой должно обладать тело, чтобы преодолеть гравитационное притяжение планеты и покинуть замкнутую орбиту вокруг нее.

Формула второй космической скорости:

Формула второй космической скорости

где

G – гравитационная постоянная

R – радиус небесного тела

M – масса небесного тела

Пример:

Масса планеты Земля составляет 5,9726*1024 кг, средний радиус – 6371 км (или 6371000 м). Подставив эти значения в формулы первой и второй
космических скоростей, мы получим значение соответственно 7 910 м/с и 11 187 м/с.

Теперь рассчитаем значение космических скоростей для планеты Нептун. Масса Нептуна – 1,0243*1026 кг. средний радиус – 24 622 км (24 622 000 м).
В итоге получим значения – 16 663 м/с и 23 565 м/с.

Значения для Марса (6,4171*1023 кг и 3389,5 км) будет 3 555 м/с и 5 027 м/с.
Для Венеры (4,8675*1024 кг и 6051,8 км) – 7 327 м/с и 10 362 м/с соответственно.

Калькулятор космических скоростей

Другие формулы

Калькулятор ускорения свободного падения

Источник

Анализ первой и второй космической скорости по Исааку Ньютону. Снаряды A и B падают на Землю. Снаряд C выходит на круговую орбиту, D — на эллиптическую. Снаряд E улетает в открытый космос.

Пе́рвая косми́ческая ско́рость (кругова́я ско́рость) — минимальная (для заданной высоты над поверхностью планеты) горизонтальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты[1]. Первая космическая скорость для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли, составляет 7,91 км/с[2]. Впервые первая космическая скорость была достигнута космическим аппаратом СССР «Спутник-1» 4 октября 1957 года[3].

Вычисление и понимание[править | править код]

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять своё направление. Поэтому в инерциальной системе отсчёта такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Уравнение второго закона Ньютона для тела, принимаемого за материальную точку, движущегося по орбите вокруг планеты c радиальным распределением плотности, можно записать в виде[4]

{displaystyle ma=G{frac {Mm}{R^{2}}},}

где m — масса объекта, a — его ускорение, G — гравитационная постоянная, M — масса планеты, R — радиус орбиты.

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью v его ускорение равно центростремительному ускорению {displaystyle {frac {v^{2}}{R}} .} С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью v_{1} приобретает вид[5]:

{displaystyle m{frac {v_{1}^{2}}{R}}=G{frac {Mm}{R^{2}}}.}

Отсюда для первой космической скорости следует

{displaystyle v_{1}={sqrt {G{frac {M}{R}}}}.}

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты R_{0} и высоты над её поверхностью h. Соответственно, последнее равенство можно представить в виде

{displaystyle v_{1}={sqrt {frac {GM}{R_{0}+h}}}.}

Подставляя численные значения для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли (h ≈ 0, M = 5,97·1024 кг, R0 = 6 371 000 м (радиус указывается в метрах), G=6.67·10^-11 м³·кг⁻¹·с⁻²), получаем

{displaystyle v_{1}approx } 7900 м/с.

Период обращения спутника по круговой орбите равен:

{displaystyle T={frac {2pi R}{v}}=2pi R{sqrt {frac {R}{GM}}}.}

При удалении спутника от центра Земли на расстояние 42 200 км период обращения становится равным 24 часа, то есть времени обращения Земли вокруг своей оси. Если запустить на круговую орбиту спутник на такой высоте в сторону вращения Земли в плоскости экватора, то он будет висеть над одним и тем же местом поверхности Земли на высоте 35 800 км (геостационарная орбита)[4].

С увеличением высоты орбиты первая космическая скорость уменьшается. Так, на высоте 100 км над поверхностью Земли она равна 7 844 м/с, а на высоте 300 км — 7 726 м/с[6].

Другое выражение первой космической скорости имеет вид: v_{1}={sqrt {gR}}, где g — ускорение свободного падения на расстоянии R от центра Земли[4][3].

Если скорость тела направлена горизонтально и при этом больше первой космической скорости, но меньше второй космической, то орбита представляет собой эллипс[6].

См. также[править | править код]

  • Космическая скорость
  • Вторая космическая скорость
  • Третья космическая скорость
  • Четвёртая космическая скорость

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Космические скорости // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 474—475. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  2. ↑ Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии: учебное пособие / Под ред. В. В. Иванова. — 2-е изд., испр. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — С. 91. — 544 с. — (Классический университетский учебник). — ISBN 5-354-00866-2.
  3. ↑ 1 2 Билимович Б. Ф. Законы механики в технике. — М., Просвещение, 1975. — Тираж 80000 экз. — с. 37-39
  4. ↑ 1 2 3 Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. — М.: Наука, 1987. — c. 47-48
  5. ↑ Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — c. 178
  6. ↑ 1 2 Рябов Ю. А. Движение небесных тел. — 3-е изд., перераб. — М.: «Наука», 1977. — С. 146.

Ссылки[править | править код]

  • Roger R. Bate; Donald D. Mueller; Jerry E. White. Fundamentals of astrodynamics. — New York: Dover Publications, 1971. — ISBN 978-0-486-60061-1.
Источник

Первая космическая скорость

Первая космическая скорость – это скорость, с которой спутник движется вокруг планеты по круговой орбите, не удаляясь от планеты и не падая на нее.

То есть, для первой космической скорости орбита — это окружность. Расстояние от центра планеты до спутника равно ( R = left( r + h right) ). Это представлено на рисунке 1.

Схема: Спутник вращается вокруг планеты, орбита спутника – окружность

Рис. 1. Спутник (черная точка), вращается вокруг планеты (центральная окружность) по круговой орбите (пунктир).

Формула для вычисления первой космической скорости

Первую космическую скорость можно посчитать по формуле:

[ large boxed { |v| = sqrt{G cdot frac{M}{r + h}} }]

( v left( frac{text{м}}{text{c}} right) ) (метры в секунду) – первая космическая скорость

( M left( text{кг} right) ) (килограммы) — масса планеты, вокруг которой движется спутник

( r left( text{м} right) ) (метры) – радиус планеты

( h left( text{м} right) ) (метры) — расстояние от поверхности планеты до спутника

(G = 6{,}67 cdot 10^{-11} left( text{Н} cdot frac{text{м}^2}{text{кг}^2} right)) — гравитационная постоянная

Первая космическая скорость в цифрах для некоторых небесных тел

первая космическая скорость у поверхности Земли  ( v = 8000 left( frac{text{м}}{text{c}} right) )

первая космическая скорость у поверхности Солнца ( v = 437000 left( frac{text{м}}{text{c}} right) )

первая космическая скорость у поверхности Луны ( v = 1680 left( frac{text{м}}{text{c}} right) )

первая космическая скорость у поверхности Марса ( v = 3530 left( frac{text{м}}{text{c}} right) )

Как выводится формула первой космической скорости

Рассмотрим движение спутника вокруг Земли.

Земля и спутник притягиваются, запишем закон притяжения между планетой и спутником

[  F = G cdot frac{mcdot M}{left( r + h right)^{2}} ]

При круговом движении на спутник действует центростремительная сила (как и на любое тело при таком движении).

[  F_{text{ц}} = m cdot frac{v^{2} }{left( r + h right)} ]

Мы можем записать эти уравнения в виде системы.

[ begin{cases} displaystyle F = Gcdot frac {m cdot M}{(r+h)^{2}} \ displaystyle F_{text{ц}} = m cdot frac {v^{2}}{(r+h)} \ end{cases} ]

Земля и спутник притягиваются, благодаря этому спутник движется вокруг Земли по круговой орбите.  Значит, притяжение между спутником и Землей – это центростремительная сила. Именно она заставляет спутник двигаться вокруг планеты по окружности. На языке математики это запишется так:

[  F = F_{text{ц}} ]

А если равны левые части уравнений, то будут равны и правые:

[  G cdot frac{mcdot M}{left( r + h right)^{2}} = m cdot frac{v^{2} }{left( r + h right)}  ]

Масса ( m ) спутника и расстояние ( R ) между телами встречается в обеих частях уравнения. Поделим обе части уравнения на массу спутника.

[  G cdot frac{M}{ left( r + h right)^{2}} = frac{v^{2} }{left( r + h right)} ]

Теперь умножим обе части уравнения на расстояние (left( r + h right) ). Получим:

[  G cdot frac{M}{left( r + h right)} = v^{2} ]

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения, чтобы получить скорость:

[ sqrt{G cdot frac{M}{left( r + h right)}} = |v| ]

Все)

Вам будет интересно почитать:

Закон всемирного тяготения

Движение по окружности, центростремительная сила и центростремительное ускорение

Ускорение свободного падения

Вторая космическая скорость

Оценка статьи:

Загрузка…

Источник

Если мы подбросим камень в воздух – он упадет на Землю. Если у самолета на высоте 10 километром отключаться двигатели – он тоже упадет на Землю. Но спутники и космические корабли, что мы запускаем в космос, не падают. Почему?

Все дело в том, с какой скоростью тот или иной объект удаляется от планеты. Хватит ли этому объекту энергии преодолеть притяжение планеты.

Оглавление

  • 1 Первая космическая скорость
    • 1.1 Расчет
  • 2 Вторая космическая скорость
    • 2.1 Расчет
  • 3
  • 4 Третья космическая скорость
    • 4.1 Расчет
  • 5 Четвертая космическая скорость
  • 6 Пятая космическая скорость
  • 7 Почему спутники не падают на Землю

Первая космическая скорость

Это та самая минимальная скорость для выхода корабля или спутника на круговую орбиту, равную радиуса планеты, без учета вращения планеты и сопротивления ее атмосферы.

Если скорость будет превышать первую, но не достигнет второй космической скорости, то траектория тела из круговой начнет переходить в эллиптическую.

Впервые такую скорость смог достичь первый искусственный спутник Земли «Спутник-1» СССР 4 октября 1957 года.

Расчет

Расчет первой космической скорости

Расчет первой космической скорости

Расчет первой космической скорости

Первая космичсекая скорость

Вторая космическая скорость

Это минимальная скорость, которую следует придать телу для того, чтобы оно покинуло замкнутую орбиту и смогло улететь от небесного тела за пределы его гравитационного поля.

Иными словами, для Земли, это та скорость, с которой должны двигаться космические аппараты (КА) для полетов к другим объектам Солнечной системы: Луны, Марса и т.д.

Движение тела на второй космической скорости происходит по параболической траектории.

Впервые такую скорость развил Советский космический аппарат Луна-1 2 января 1959 года, чтобы преодолеть расстояние от Земли до Луны и изучить наш естественный спутник.

Расчет

Расчет второй космической скорости

Расчет второй космической скорости

Вторая космическая скорость

Третья космическая скорость

Такую скорость необходимо придать телу, чтобы оно смогло покинуть Солнечную систему. Так как 99,8% массы Солнечной системы приходится на Солнце, то можно сказать, что КА надо преодолеть гравитационное притяжение Солнца.

Расчет

Расчет третьей космической скорости

Расчет третьей космической скоростиРасчет третьей космической скорости

Для Солнечной системы это величина равна 16,650 км/с.

Самое выгодное расположение космодрома для подобного запуска – максимально близко к экватору, так как на экваторе самая большая скорость собственного вращения Земли вокруг своей оси и направление движения в сторону вращения Земли и в сторону орбитального движения Земли по орбите.

КА «Новые горизонты» покинул атмосферу Земли со скоростью близкой к третьей космической – 16,26 км /с. Относительно Солнца он имел скорость 45 км/с. Такой скорости недостаточно, чтобы покинуть Солнечную систему. Но благодаря гравитационному маневру у Юпитера, «Новые горизонты» добавил еще 4 км/с, что позволило ему покинуть Солнечную системы, предварительно показав нам карликовую планету Плутон.

Четвертая космическая скорость

Комические скорости

Эта та скорость, которая позволит покинуть галактику в данной точке.

Четвертая космическая в основном не зависит от месторасположения Земли в Млечном пути. Она зависит от расположения и плотности звездного вещества в окрестностях Солнечной системы. А эти данные пока мало изучены.
Для нашей части галактики четвертая космическая скорость примерно равна 550 км/с.

Пятая космическая скорость

Эта скорость редко применима и является больше «фантазией», так как такую скорость необходимо развить для путешествия на другую планету в другую звездную систему, независимо от их взаимного расположения, с траекторией перпендикулярно плоскости эклиптики.

Для Земли эта скорость будет равна 43,6 км/с.

Почему спутники не падают на Землю

Спутник на орбите

Этот вопрос поднимался в самом начале статьи. Теперь давайте на него ответим.

На спутник на орбите действует сила тяжести со стороны Земли. И под действием этой силы спутнику логичнее упасть.
Но, он летит вокруг Земли с первой космической скоростью – 7,9 км/с. Вспомните, чем больше скорость – тем сложнее затормозить. Вот и здесь, спутник и хотел бы упасть, но он не может затормозить и просто пролетает мимо Земли по инерции, тем самым продолжая бесконечное падение.

То есть, спутники падают, но промахиваются и не попадают в Землю.

Еще больше космоса и интересных фактов в телеграмм-канале.

Источник

  1. Космические скорости. Вывод формулы для расчёта первой космической скорости.

Космическая
скорость (первая v1, вторая v2, третья v3 и четвёртая v4) —
это минимальная скорость, при которой
какое-либо тело в свободном движении с
поверхности небесного тела сможет:

  • v1 —
    стать спутником небесного
    тела (то
    есть способность вращаться по орбите
    вокруг НТ и не падать на поверхность
    НТ).

  • v2 —
    преодолеть гравитационное
    притяжение небесного
    тела.

  • v3 —
    покинуть звёздную
    систему, преодолев притяжение звезды.

  • v4 —
    покинуть галактику,
    преодолев притяжение сверхмассивной
    черной дыры.

Для
вычисления первой космической скорости
необходимо рассмотреть равенство
центробежной силы и силы тяготения.

где m —
масса объекта, M — масса
планеты, G — гравитационная
постоянная (6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2), —
первая космическая скорость, R —
радиус планеты. Подставляя численные
значения (для Земли M = 5,97·1024 кг, R = 6 371 км),
найдем

 7,9 км/с

Первую
космическую скорость можно определить
через ускорение свободного падения —
так как g = GM/R², то

.

Космические
скорости могут быть вычислены и для
поверхности других космических тел.
Например на Луне v1 =
1,680 км/с, v2 = 2,375 км/с

  1. Кинетическая и потенциальная энергии.

Рассмотрим
случай, когда на тело массой m действует
постоянная сила  (она
может быть равнодействующей нескольких
сил) и векторысилы  и
перемещения  направлены
вдоль одной прямой в одну сторону. В
этом случае работу силы можно
определить как A
= F∙s.Модуль
силы по второму закону Ньютона равен F
= m∙a, а
модуль перемещения s при
равноускоренном прямолинейном движении
связанс модулями начальной υ1 и
конечной υ2 скорости и
ускорения а выражением

Отсюда
для работы получаем

                         
(1)

Физическая
величина, равная половине произведения
массы тела на квадрат его скорости,
называется кинетической
энергией тела.

Кинетическая
энергия обозначается буквой Ek.

                                                        
(2)

Тогда
равенство (1) можно записать в
таком виде:

A = Ek2 – Ek1.                                                           
(3)

Теорема о
кинетической энергии:

работа
равнодействующей сил, приложенных к
телу, равна изменению кинетической
энергии тела.

Так
как изменение кинетической энергии
равно работе силы (3), кинетическая
энергия тела выражается в тех
же единицах, что и работа,т. е. в
джоулях.

Если
начальная скорость движения тела
массой т равна
нулю и тело увеличивает свою
скорость до значения υ, то
работа силы равна конечному значению
кинетической энергии тела:

                                  
(4)

Физический
смысл кинетической
энергии:

кинетическая
энергия тела, движущегося со
скоростью υ, показывает, какую работу
должна совершить сила, действующая на
покоящеесятело, чтобы сообщить ему эту
скорость.

Потенциальная энергия  — скалярная физическая
величина,
характеризующая способность некоего
тела (или материальной точки)
совершать работу за
счет его нахождения в поле действия
сил.

Потенциальная
энергия в поле тяготения Земли вблизи
поверхности приближённо выражается
формулой:

Ep = mgh,

где Ep —
потенциальная энергия
тела, m — масса тела, g — ускорение
свободного падения, h —
высота положения центра
масс тела
над произвольно выбранным нулевым
уровнем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Добавить комментарий