Пифагорейские тройки как найти

Пифаго́рова тро́йка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него.

Треугольник, длины сторон которого образуют пифагорову тройку, является прямоугольным и называется пифагоровым треугольником.

Примитивные тройки[править | править код]

Поскольку уравнение однородно, при умножении , и на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть если являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель примитивной пифагоровой тройки равен 1.

В примитивной тройке числа и имеют разную чётность, причём чётное делится на 4, а  — всегда нечётно.

Любая примитивная пифагорова тройка , где  — нечётно, а  — чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности.

Эти числа можно вычислить по формулам

Наоборот, любая такая пара чисел задаёт примитивную пифагорову тройку ^[1].

Примеры[править | править код]

Имеется 16 примитивных пифагоровых троек с :

Не все тройки с примитивны, например, (6, 8, 10) получается умножением на два тройки (3, 4, 5). Каждая из троек с небольшой гипотенузой образует хорошо различимую радиальную прямую из кратных ей троек на диаграмме рассеяния.

Примитивные тройки с :

Возможные значения в пифагоровых тройках образуют последовательность (последовательность A009003 в OEIS)

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно образовывать из этих чисел, например, такие пифагоровы тройки:

История[править | править код]

Наиболее известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5), которая позволяла древним строить прямые углы. Витрувий считал эту тройку высшим достижением математики, а Платон — символом супружества, что говорит о большом значении, которое придавали древние тройке (3, 4, 5).

В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Вавилонские математики умели вычислять пифагоровы тройки.
Вавилонская глиняная табличка, названная Plimpton 322, содержит пятнадцать пифагоровых троек (точнее пятнадцать пар чисел , таких что ).
Считается, что эта табличка была создана около 1800 года до н. э.^[2]

Генерация троек[править | править код]

Формула Евклида^[3] является основным средством построения пифагоровых троек. Согласно ей для любой пары натуральных чисел и () целые числа

образуют пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида, примитивны тогда и только тогда, когда и взаимно просты и нечётно. Если и , и нечётны, то , и будут чётными и тройка не примитивна. Однако деление , и на 2 даёт примитивную тройку, если и взаимно просты^[4].

Любая примитивная тройка получается из единственной пары взаимно простых чисел и , одно из которых чётно. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек.

Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки, она не порождает все тройки. При добавлении дополнительного параметра получается формула, порождающая все пифагоровы треугольники единственным образом:

где , и  — натуральные числа, , нечётно, и взаимно просты.

То, что эти формулы образуют пифагоровы тройки, можно проверить путём подстановок в и проверки, что результат совпадает с . Поскольку любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое , чтобы получить примитивную тройку, любая тройка может быть образована единственным образом с использованием и для создания примитивной тройки, а затем она умножается на .

Со времён Евклида было найдено множество формул для генерации троек.

Доказательство формул Евклида[править | править код]

Тот факт, что числа , , , удовлетворяющие формуле Евклида, всегда составляют пифагоров треугольник, очевиден для положительных целых и , , поскольку после подстановки в формулы , и будут положительными числами, а также из того, что выполняется

Обратное утверждение, что , , выражаются формулой Евклида для любой пифагоровой тройки, вытекает из следующего^[5]. Все такие тройки можно записать в виде (, , ), где , и , , являются взаимно простыми, а и имеют противоположную чётность (одно из них чётно, другое нечётно). (Если имеет ту же самую чётность с обоими катетами, то в случае их чётности они не будут взаимно простыми, а в случае нечётности даст чётное число, и оно не может быть равно нечётному .) Из мы получаем , а следовательно, . Тогда . Поскольку является рациональным, мы представим его в виде несократимой дроби . Мы отсюда же получаем, что дробь равна . Решая уравнения

относительно и , получим

Поскольку и несократимы по предположению, числители и знаменатели будут равными тогда и только тогда, когда правые части каждого равенства несократимы. Как мы условились, дробь тоже несократима, откуда следует, что и взаимно просты. Правые части будут несократимы тогда и только тогда, когда и имеют противоположную чётность, так что числитель не делится на 2. (А и должны иметь противоположную чётность — оба не могут быть чётными ввиду несократимости, а в случае нечётности обоих чисел деление на 2 даст дробь, в числителе и знаменателе которой будут нечётные числа, но эта дробь равна , в которой числитель и знаменатель будут иметь различную чётность, что противоречит предположению.) Теперь, приравнивая числители и знаменатели, получим формулу Евклида , , с и взаимно простыми и имеющими различную чётность.

Более длинное, но и более общепринятое доказательство приведено в книгах Маора (Maor, 2007)^[6] и Серпинского^[7].

Интерпретация параметров в формуле Евклида[править | править код]

Пусть стороны пифагорова треугольника равны , и . Обозначим угол между катетом и гипотенузой буквой . Тогда^[8]

Элементарные свойства примитивных пифагоровых троек[править | править код]

Свойства примитивной пифагоровой тройки (a, b, c), где a < b < c (без указания чётности чисел a или b):

• всегда является полным квадратом^[9]. Это особенно полезно для проверки, является ли заданная тройка чисел пифагоровой, хотя это и не является достаточным условием. Тройка (6, 12, 18) проходит этот тест, поскольку (c − a)(c − b)/2 является полным квадратом, но эта тройка не является пифагоровой. Если тройка чисел a, b и c образует пифагорову тройку, то число (c минус чётный катет) и половина числа (c минус нечётный катет) являются полными квадратами, однако это не является достаточным условием, и тройка (1, 8, 9) является контрпримером, поскольку 1² + 8² ≠ 9².
• Максимум одно из чисел a, b и c является квадратом^[10].
• Площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом^[11] или удвоенным квадратом^[12] натурального числа.
• В точности одно из чисел a и b нечётно, c всегда нечётно^[13].
• В точности одно из чисел a и b делится на 3.^[14]
• В точности одно из чисел a и b делится на 4.^[7]
• В точности одно из чисел a, b и c делится на 5.^[7]
• Максимальное число, которое всегда делит произведение abc, равно 60.^[15]
• Все простые множители c являются простыми вида 4n + 1^[16]. Таким образом, c имеет вид 4n + 1.
• Число (b − a) является произведением простых чисел вида 8n ± 1, то есть не имеет таких сомножителей, как 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, …
• Площадь (K = ab/2) является чётным конгруэнтным числом^[17].
• В любой пифагоровой тройке радиус вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. В частности, для примитивной тройки радиус вписанной окружности равен r = n(m − n), а радиусы вневписанных окружностей, касающихся катетов m² − n², 2mn, и гипотенузы m² + n² равны соответственно m(m − n), n(m + n) и m(m + n)^[18].
• Как и для любого прямоугольного треугольника, обратное утверждение к теореме Фалеса гласит, что диаметр описанной окружности равен гипотенузе. Поскольку для примитивных троек диаметр равен √m² + n², радиус описанной окружности является половиной этого числа и это число рациональное, но не целое (поскольку m и n имеют разную чётность).
• Если площадь пифагорова треугольника умножить на кривизны вписанной окружности и трёх вневписанных, в результате получим четыре положительных целых w > x > y > z соответственно. Эти числа w, x, y, z удовлетворяют уравнению декартовых окружностей^[19]. Эквивалентно, радиус внешней окружности Содди^[en] любого прямоугольного треугольника равен его полупериметру. Внешний центр Содди расположен в точке D, где ACBD — прямоугольник, ACB — прямоугольный треугольник, а AB — его гипотенуза.^[20]
• Не существует пифагоровых троек, для которых гипотенуза и один из катетов являются катетами другой пифагоровой тройки. Это одна из формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике^[21].
• Каждый примитивный пифагоров треугольник имеет уникальное отношение площади к квадрату полупериметра (то есть отношения для различных примитивных треугольников различны), и это отношение равно^[22]

  

• Ни в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающаяся на гипотенузу, не выражается целым числом, а потому он не может быть разбит на два пифагоровых треугольника.^[23]

Кроме того, могут существовать специальные пифагоровы тройки с некоторыми дополнительными свойствами:

• Любое целое, большее 2, которое не сравнимо с 2 по модулю 4^[en] (другими словами, если оно больше 2 и не имеет вид 4n + 2) является частью примитивной пифагоровой тройки.
• Любое целое число, большее 2, входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. Например, числа 6, 10, 14 и 18 не содержатся ни в какой примитивной тройке, но входят в тройки 6, 8, 10; 14, 48, 50 и 18, 80, 82.
• Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны). Один из способов получения таких троек — равенство (2n + 1)² + [2n(n + 1)]² = [2n(n + 1) + 1]², приводящее к тройкам (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), и т. д. Более общее утверждение: для любого нечётного целого j существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и чётный катет отличаются на j².
• Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. Обобщение: Для любого целого k > 0, существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и нечётный катет отличаются на 2k².
• Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 20² + 21² = 29².
• Для любого натурального n существует n пифагоровых троек с различными гипотенузами и одной и той же площадью.
• Для любого натурального n существует по меньшей мере n различных пифагоровых троек с одним и тем же катетом a, где a — некоторое натуральное число
• Для любого натурального n существует по меньшей мере n различных пифагоровых троек с одной и той же гипотенузой.^[24]
• Существует бесконечно много пифагоровых троек, у которых квадратами являются гипотенуза c и сумма катетов a + b. В наименьшей такой тройке^[25] a = 4 565 486 027 761; b = 1 061 652 293 520; c = 4 687 298 610 289. Здесь a + b = 2 372 159² и c = 2 165 017². В формуле Евклида эти значения соответствуют m = 2 150 905 и n = 246 792.
• Существуют пифагоровы треугольники с целой высотой, опирающейся на гипотенузу. Такие треугольники известны как разбиваемые, поскольку их можно разбить этой высотой на два меньших пифагоровых треугольника. Ни один из разбиваемых треугольников не образован примитивной тройкой^[26].
• Множество всех примитивных пифагоровых треугольников образует корневое тернарное дерево^[en] естественным способом, см. Дерево примитивных пифагоровых троек.

Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки с одинаковым произведением входящих в них чисел^[27].

Геометрия формулы Евклида[править | править код]

Формулу Евклида для пифагоровой тройки

можно понять в терминах геометрии рациональных точек на единичной окружности ^[28]. Пусть имеется треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, где a, b и c — положительные целые. По теореме Пифагора a² + b² = c², а после деления обеих сторон на c²

Геометрически, точка на декартовой плоскости с координатами

лежит на единичной окружности x² + y² = 1.
В этом уравнении координаты x и y задаются рациональными числами. И обратно, любая точка на окружности с рациональными координатами x и y даёт примитивную пифагорову тройку. В самом деле, запишем x и y как несократимые дроби:

где наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1. Поскольку точка с координатами x и y лежит на единичной окружности, то

что и требовалось доказать.

Таким образом, существует соответствие между точками с рациональными координатами на единичной окружности^[en] и примитивными пифагоровыми треугольниками. Исходя из этого, формулы Евклида можно получить методами тригонометрии или с использованием стереографической проекции.

Для применения стереографического подхода предположим, что P′ является точкой на оси x с рациональными координатами

Тогда с помощью алгебраических вычислений можно показать, что точка P имеет координаты

Таким образом, получаем, что любая рациональная точка^[en] оси x соответствует рациональной точке единичной окружности. И обратно, пусть P(x, y) — точка единичной окружности с рациональными координатами x и y. Тогда стереографическая проекция P′ на ось x имеет рациональные координаты

В терминах алгебраической геометрии алгебраическое многообразие рациональных точек единичной окружности является бирациональным к аффинной прямой над рациональными числами. Единичная окружность тогда называется рациональной кривой. Соответствие рациональных точек прямой и окружности даёт возможность дать явную параметризацию (рациональных) точек на окружности с помощью рациональных функций.

Группа пифагоровых троек[править | править код]

Любая рациональная точка на единичной окружности соответствует пифагоровой тройке (a, b, c), точнее — обобщённой пифагоровой тройке, так как a и b могут быть нулевыми и отрицательными.

Пусть даны два пифагоровых треугольников (a₁, b₁, c₁) и (a₂, b₂, c₂) с углами α и β.
Можно построить треугольники с углами α ± β, используя формулы сложения углов:

Эти прямоугольные треугольники тоже будут целочисленными, то есть пифагоровыми. Можно ввести операцию над тройками, используя вышеприведённые формулы. Эта операция будет коммутативной и ассоциативной, то есть обобщённые пифагоровы тройки образуют абелеву группу^[29].

Пифагоровы тройки на двумерной решётке[править | править код]

Двумерная решётка — это набор изолированных точек, в котором, если выбрать одну точку в качестве начала координат (0, 0), все другие точки имеют координаты (x, y), где x и y пробегают все положительные и отрицательные целые числа. Любую пифагорову тройку (a, b, c) можно нарисовать на двумерной решётке как точки с координатами (a, 0) и (0, b). По теореме Пика число точек решётки, лежащих строго внутри треугольника, задаётся формулой ^[30]. Для примитивных пифагоровых троек число точек решётки равно , и это сравнимо с площадью треугольника

Интересно, что первый случай совпадения площадей примитивных пифагоровых троек появляется на тройках (20, 21, 29), (12, 35, 37) с площадью 210^[31]. Первое же появление примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки появляется лишь на (18 108, 252 685, 253 333), (28 077, 162 964, 165 365) с числом точек 2 287 674 594^[32]. Найдены три примитивные пифагоровы тройки с одинаковыми площадями (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19 019, 19 069) и площадью 13 123 110. Тем не менее ни одной тройки примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки пока не найдено.

Спиноры и модулярная группа[править | править код]

Пифагоровы тройки можно представить в виде матриц вида

Матрица этого вида симметрична. Кроме того, её определитель

равен нулю в точности тогда, когда (a, b, c) является пифагоровой тройкой. Если X соответствует пифагоровой тройке, то она должна иметь ранг 1.

Поскольку X симметрична, из линейной алгебры известно, что существует вектор ξ = [m n]^T, такой, что для внешнего произведения выполняется

  (1)

где T означает транспонирование. Вектор ξ называется спинором (для группы Лоренца SO(1, 2). В абстрактных терминах формула Евклида означает, что каждая примитивная пифагорова тройка может быть записана как внешнее произведение на себя спинора с целыми элементами, как в формуле (1).

Модулярная группа Γ — это множество матриц 2 × 2 с целыми элементами

и определителем, равным единице: αδ − βγ = 1. Это множество образует группу, поскольку обратная к матрице из Γ является снова матрицей из Γ, как и произведение двух матриц из Γ. Модулярная группа действует на множество всех целых спиноров. Более того, группа транзитивна на множестве целых спиноров со взаимно простыми элементами. Если [m n]^T содержит взаимно простые элементы, то

где u и v выбраны (с помощью алгоритма Евклида) так, что mu + nv = 1.

Действуя на спинор ξ в (1), действие в Γ переходит в действие над пифагоровыми тройками, позволяя при этом тройки с отрицательными значениями. Если A — матрица в Γ, то

  (2)

даёт начало действиям на матрицу X в (1). Это не даёт хорошо определённое действие на примитивные тройки, поскольку оно может переводить примитивную тройку в непримитивную. В этом месте принято (следуя Траутману^[28]) называть тройку (a, b, c) стандартной, если c > 0 и либо (a, b, c) взаимно просты, либо (a/2, b/2, c/2) взаимно просты и a/2 нечётно. Если спинор [m n]^T имеет взаимно простые элементы, то связанная тройка (a, b, c), задаваемая формулой (1), является стандартной тройкой. Отсюда следует, что действие модулярной группы транзитивно на множестве стандартных троек.

Альтернативно, ограничимся теми значениями m и n, для которых m нечётно, а n чётно. Пусть подгруппа Γ(2) группы Γ — ядро гомоморфизма

где SL(2, Z₂) — специальная линейная группа над конечным полем Z₂ целых по модулю 2. Тогда Γ(2) является группой унимодулярных преобразований, которая сохраняет чётность каждого элемента. Таким образом, если элемент вектора ξ нечётный, а второй чётный, то то же самое верно для Aξ для всех A ∈ Γ(2). Фактически под действием (2) группа Γ(2) действует транзитивно на множество примитивных пифагоровых троек^[33].

Группа Γ(2) является свободной группой, генераторами которой являются матрицы

Поэтому любая примитивная пифагорова тройка может быть получена единственным образом как произведение копий матриц U и L.

Отношения «родитель — потомок»[править | править код]

Как показал Берггрен^[34], все примитивные пифагоровы тройки могут быть получены из треугольника (3, 4, 5) с использованием трёх линейных преобразований T1, T2, T3, где a, b, c являются сторонами тройки:

Если начать с 3, 4, 5, то все другие примитивные тройки, в конечном счёте, будут получены. Другими словами, любая примитивная тройка будет «родителем» 3 дополнительным примитивным тройкам.
Если начать с a = 3, b = 4 и c = 5, то следующим поколением троек будет

Линейные преобразования T1, T2 и T3 имеют геометрическую интерпретацию на языке квадратичных форм. Они тесно связаны (но не эквивалентны) с отражениями, генерируемыми ортогональной группой x² + y² − z² над целыми числами. Другое множество трёх линейных преобразований обсуждается в статье Генерация пифагоровых троек с помощью матриц и линейных преобразований^[en][35].

Связь с гауссовыми целыми числами[править | править код]

Формулы Евклида могут быть проанализированы и доказаны с помощью гауссовых целых чисел^[36]. Гауссовы целые — это комплексные числа вида α = u + vi, где u и v обычные целые числа, а i — корень из минус единицы. Единицы гауссовых целых — это ±1 и ±i. Обычные целые называются целыми и обозначаются Z. Гауссовы целые обозначаются Z[i]. Правая часть теоремы Пифагора можно разложить на гауссовы целые:

Примитивная пифагорова тройка — это тройка, в которой a и b взаимно просты, то есть не имеют общих простых делителей. Для таких троек либо a, либо b чётно, а второе нечётно. Отсюда следует, что c также нечётно.

Каждое из двух множителей z = a + bi и z* = a — bi примитивной пифагоровой тройки равно квадрату гауссового целого. Это можно доказать с помощью свойства, что любое гауссово целое можно единственным образом разложить на гауссовы простые с точностью до единицы^[37]. (Единственность разложения, грубо говоря, следует из того, что для них можно определить версию алгоритма Евклида) Доказательство имеет три шага. Сначала доказывается, что если a и b не имеют простых чисел в целых числах, то они не имеют простых общих множителей в гауссовых целых. Отсюда следует, что z и z* не имеют общих простых множителей в гауссовых целых. И наконец, поскольку c² является квадратом, любое гауссово простое в разложении повторяется дважды. Поскольку z и z* не имеют общих простых множителей, это удвоение верно и для них. Следовательно, z и z* являются квадратами.

Таким образом, первый множитель можно записать в виде

Вещественные и мнимые части этого уравнения дают две формулы:

Для любой примитивной пифагоровой тройки должны существовать целые m и n, такие что эти два равенства выполняются. Отсюда, любая пифагорова тройка может быть получена путём выбора этих целых.

Как полный квадрат гауссовых целых[править | править код]

Если взять квадрат гауссового целого, мы получим следующую интерпретацию формул Евклида как представление полного квадрата гауссовых целых.

Если использовать факт, что гауссовы целые являются евклидовой областью и то, что для гауссовых целых p квадрат модуля всегда является полным квадратом, можно показать, что пифагоровы тройки соответствуют квадратам простых гауссовых целых, если гипотенуза является простым числом.

Распределение троек[править | править код]

Имеется множество результатов относительно распределения пифагоровых троек. В диаграмме рассеяния проявляются некоторые очевидные закономерности. Если катеты (a, b) примитивной тройки появляются на диаграмме, то и все произведения на целое число этих катетов должны также быть на диаграмме, и это свойство объясняет появление на диаграмме радиальных прямых из начала координат.

На диаграмме наблюдаются множества парабол с высокой плотностью точек, имеющих фокусы в начале координат. Параболы отражаются от осей с углом 45 градусов, и в той же точке третья парабола подходит к оси перпендикулярно.

Эти узоры можно объяснить следующим образом. Если натуральное число, то (a, , ) является пифагоровой тройкой. (Фактически, любая пифагорова тройка (a, b, c) может быть записана таким образом с целым n, возможно, после обмена a и b местами, поскольку и a, b не могут быть одновременно нечётными.) Пифагоровы тройки лежат тогда на кривых, заданных уравнениями . Таким образом, параболы отражаются от оси a, а соответствующие кривые с a и b меняются местами. Если a меняется при заданном n (то есть на выбранной параболе), целые значения b появляются относительно часто, если n является квадратом или произведением квадрата на небольшое число. Если некоторые такие значения лежат близко друг от друга, соответствующие параболы почти совпадают и тройки образуют узкую параболическую ленту. Например, 38² = 1444, 2 × 27² = 1458, 3 × 22² = 1452, 5 × 17² = 1445 и 10 × 12² = 1440. Соответствующая параболическая лента около n ≈ 1450 чётко видна на диаграмме рассеяния.

Угловые свойства, описанные выше следуют немедленно из функционального вида парабол. Параболы отражаются от оси a в точке a = 2n и производная b по a в этой точке равна −1. Таким образом, угол наклона равен 45°.
Поскольку кластеры, как и треугольники, повторяются при умножении на целую константу, значение 2n тоже принадлежит кластеру. Соответствующая парабола пересекает ось b под прямым углом в точке b = 2n, а потому является симметричным отражением параболы, которая получается обменом переменных a и b и которая пересекает ось a под прямым углом в точке a = 2n.

Альберт Фесслер (Albert Fässler) и др. показали значимость этих парабол в контексте конформных отображений^[38][39].

Специальные случаи[править | править код]

Последовательность Платона[править | править код]

Случай n = 1 общей конструкции пифагоровых троек известен давно. Прокл, в своём комментарии к 47-му утверждению в первой книге Начал Евклида, описывает это следующим образом:

Некоторые методы получения таких треугольников этого вида легко получить, один из них принадлежит Платону, другой — Пифагору. (Последний) начал с нечётных чисел. Для этого он выбрал нечётное число в качестве меньшего из катетов. Затем он возвёл его в квадрат, вычел единицу и половину этой разницы использовал как второй катет. Наконец, он добавил единицу к этому катету и получил гипотенузу.

…Метод Платона работает с чётными числами. Он использует заданное чётное число в качестве одного из катетов. Половина этого числа возводится в квадрат и добавляется единица, что даёт гипотенузу, а вычитание единицы даёт второй катет. … И это даёт тот же треугольник, что и другой метод.

В виде уравнений:

Можно показать, что все пифагоровы тройки получаются из последовательности Платона (x, y, z) = p, (p² − 1)/2 и (p² + 1)/2, если позволить p принимать нецелые (рациональные) значения. Если в этой последовательности p заменить рациональной дробью m/n, получим ‘стандартный’ генератор троек 2mn, m² − n² и m² + n². Отсюда следует, что любой тройке соответствует рациональное значение p, которое можно использовать для получения подобного треугольника с рациональными сторонами, пропорциональными сторонам исходного треугольника. Например, платоновым эквивалентом тройке (6, 8, 10) будет (3/2; 2, 5/2).

Уравнение Якоби — Маддена[править | править код]

Уравнение

эквивалентно специальной диофантовой тройке

Существует бесконечное число решений этого уравнения, которые можно получить используя эллиптическую кривую. Два из этих решений:

Равные суммы двух квадратов[править | править код]

Один из способов генерации решений для  — параметризовать a, b, c, d в терминах натуральных чисел m, n, p, q следующим образом:^[40]

Равные суммы двух четвёртых степеней[править | править код]

Если даны два набора пифагоровых троек:

то задача поиска равных произведений катета и гипотенузы

как легко видеть, эквивалентна уравнению

то есть

для которого Эйлер получил решение . Поскольку он показал, что эта точка является рациональной точкой эллиптической кривой, то существует бесконечное число решений. Фактически, он также нашёл полиномиальную параметризацию 7-й степени.

Теорема Декарта об окружностях[править | править код]

В случае теоремы Декарта^[en], когда все переменные являются квадратами,

Эйлер показал, что это эквивалентно трём пифагоровым тройкам:

Здесь тоже существует бесконечное число решений, а для специального случая уравнение упрощается до

которое имеет решение с небольшими числами и может быть решено как бинарная квадратичная форма^[en].

Почти равнобедренные пифагоровы тройки[править | править код]

Имеются прямоугольные треугольники^[en] с целыми сторонами, у которых длины катетов отличаются на единицу, например:

и бесконечное число других. Для них можно вывести общую формулу

где (x, y) являются решениями уравнения Пелля .

В случае, когда катет и гипотенуза отличаются на единицу, как в случаях

общим решением будет

откуда видно, что все нечётные числа (большие 1) появляются в примитивных пифагоровых тройках.

Обобщения[править | править код]

Имеется несколько вариантов обобщения концепции пифагоровых троек.

Пифагоровы четвёрки[править | править код]

Множество из четырёх натуральных чисел a, b, c и d, таких, что a² + b²+ c² = d² называется пифагоровой четвёркой. Простейший пример — (1, 2, 2, 3), поскольку 1² + 2² + 2² = 3².
Следующий (примитивный) простейший пример — (2, 3, 6, 7), поскольку 2² + 3² + 6² = 7².

Все четвёрки задаются формулой

Пифагоровы n-наборы[править | править код]

Используя простое алгебраическое тождество

для произвольных x₀, x₁, просто доказать, что квадрат суммы n квадратов сам является суммой n квадратов, для чего положим x₀ = x₂² + x₃² + … + x_n² и раскроем скобки^[41]. Можно легко видеть, что пифагоровы тройки и четвёрки являются просто частными случаями x₀ = x₂² и x₀ = x₂² + x₃² соответственно, что можно продолжать для других n, используя формулу для пятёрки квадратов

Поскольку сумма F(k,m) k последовательных квадратов, начиная с m², задаётся формулой^[42]

можно найти значения (k, m) такие, что F(k,m) является квадратом. Так, Хиршхорн нашёл формулу для последовательностей, в которых число членов само является квадратом^[43],

и v ⩾ 5 есть любое натуральное число, не делящееся на 2 или 3. Наименьшее значение v = 5, откуда k = 25, что даёт хорошо известное значение из задачи Люка складирования пушечных ядер:

факт, который связан с решёткой Лича.

Кроме того, если в пифагоровом n-наборе (n ⩾ 4) все слагаемые являются последовательными натуральными числами, за исключением последнего, можно использовать равенство^[44]

Поскольку вторая степень p сокращается, остаётся линейное уравнение, которое легко решается , хотя k и m следует выбрать так, чтобы p был целым, и пример получаем при k = 5 и m = 1:

Таким образом, получаем метод генерации пифагоровых n-наборов путём подбора x^[45]:

где q = n − 2 и

Великая теорема Ферма[править | править код]

Обобщением концепции пифагоровых троек служит поиск троек натуральных чисел a, b и c, таких, что aⁿ + bⁿ = cⁿ для некоторого n, большего 2. Пьер Ферма в 1637 году высказал утверждение, что таких троек не существует, и это утверждение стало известно как Великая теорема Ферма, поскольку её доказательство или опровержение отняло много больше времени, чем любая другая гипотеза Ферма. Первое доказательство было дано Уайлсом в 1994 году.

n — 1 или n n-х степеней как n-я степень[править | править код]

Другим обобщением является поиск последовательностей из n + 1 натуральных чисел, для которых n-я степень последнего члена последовательности равна сумме n-х степеней предыдущих членов. Наименьшие последовательности для известных значений n:

• n = 3: {3, 4, 5; 6}.
• n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

В слегка отличном обобщении сумма (k + 1) n-х степеней приравнивается сумме (n − k) n-х степеней. Например:

• (n = 3): 1³ + 12³ = 9³ + 10³. Пример стал известным после воспоминаний Харди о разговоре с Рамануджаном о числе 1729, которое является наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.

Может существовать также n − 1 n-х степеней натуральных чисел, дающих в сумме n-ю степень натурального числа (хотя, согласно великой теореме Ферма, не для n = 3). Эти последовательности являются контрпримерами гипотезе Эйлера. Наименьшие известные контрпримеры^[46][47]

• n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Тройки треугольника Герона[править | править код]

Треугольник Герона обычно определяется как треугольник с целыми сторонами, площадь которого тоже целое число, и мы будем полагать, что стороны треугольника различны. Длины сторон такого треугольника образуют тройку Герона (a, b, c), где a < b < c.
Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов a и b является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. Не всякая тройка Герона является пифагоровой, поскольку, например, тройка (4, 13, 15) с площадью 24 не пифагорова.

Если (a, b, c) является тройкой Герона, то таковой будет и (ma, mb, mc) при любом натуральном m, большим единицы.
Тройка Герона (a, b, c) примитивна, если a, b и c попарно взаимно просты (как и в случае пифагоровых троек). Ниже приведено несколько троек Герона, не являющихся пифагоровыми:

(4, 13, 15) с площадью 24,

(3, 25, 26) с площадью 36,

(7, 15, 20) с площадью 42,

(6, 25, 29) с площадью 60,

(11, 13, 20) с площадью 66,

(13, 14, 15) с площадью 84,

(13, 20, 21) с площадью 126.

По формуле Герона, чтобы тройка натуральных чисел (a, b, c) с a < b < c была тройкой Герона, необходимо, чтобы

(a² + b² + c²)² − 2 (a⁴ + b⁴ + c⁴)

или, что то же самое,

2 (a²b² + a²c² + b²c²) − (a⁴ + b⁴ + c⁴)

было ненулевым полным квадратом, делящимся на 16.

Использование[править | править код]

Примитивные пифагоровы тройки используются в криптографии в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей^[48].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• R. D. Carmichael. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. — Dover Publ, 1959. — С. Diophantine analysis.
• Waclaw Sierpinski. Pythagorean Triangles. — Dover, 2003. — ISBN 978-0-486-43278-6.
• John Stillwell. Numbers and Geometry. — Springer, 1998. — С. 133. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387982892.
• Thomas Koshy. Elementary Number Theory with Applications. — Academic Press, 2002. — С. 545. — ISBN 9780124211711.
• David Houston. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking / Roger B. Nelsen. — Mathematical Association of America, 1993. — С. 141. — ISBN 978-0-88385-700-7.
• Alfred S. Posamentier. The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. — Prometheus Books, 2010. — ISBN 9781616141813.
• Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalising a result about Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — 2012. — Т. 96.
• Judith D. Sally. Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems. — American Mathematical Society, 2007. — ISBN 9780821872673..
• Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Springer, 1993. — Т. 97. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387979663.
• Arthur Baragar. A Survey of Classical and Modern Geometries: With Computer Activities. — Prentice Hall, 2001. — ISBN 9780130143181.
• Paul Yiu. Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. — 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, 2008.
• Clifford A. Pickover. The Math Book. — Sterling, 2009. — С. Глава «Pythagorean Theorem and Triangles». — ISBN 1402757964.
• John Stillwell. Elements of Number Theory. — Springer, 2002. — ISBN 978-0-387-95587-2.
• Pythagorean Triples and the Unit Circle Архивная копия от 15 декабря 2011 на Wayback Machine, chap. 2-3, in «A Friendly Introduction to Number Theory Архивная копия от 6 марта 2015 на Wayback Machine» by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
• Дмитрий Викторович Аносов. Взгляд на математику и нечто из неё. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2003. — Т. 3. — 32 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — 3000+1500 экз. — ISBN 5-94057-111-5. Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine

Ссылки[править | править код]

• Paul Yiu. Recreational Mathematics // Course Notes, Dept. of Mathematical Sciences, Florida Atlantic University. — 2003.
• Frank R. Bernhart, H. Lee Price. Heron’s formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles. — 2005. arXiv
• Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf. Heron triangles and moduli spaces // Mathematics Teacher. — May 2008. — Т. 101.
• Gauss C. F. Theoria residuorum biquadraticorum // Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec.. — 1832. — Т. 4.
• Albert Fässler. Multiple Pythagorean number triples // American Mathematical Monthly. — 1991. — Т. 98, вып. 6. — JSTOR 2324870.
• Manuel Benito, Juan L. Varona. Pythagorean triangles with legs less than n. — 2002. — Т. 143. — doi:10.1016/S0377-0427(01)00496-4.
• Roger C. Alperin. The modular tree of Pythagoras // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 2005. — Т. 112, вып. 9. — С. 807–816. — JSTOR 30037602.
• B. Berggren. Pytagoreiska trianglar (швед.) // Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. — 1934. — Т. 17. — С. 129–139.
• Ernest Eckert. Primitive Pythagorean triples // The College Mathematics Journal. — Mathematical Association of America, 1992. — Т. 23, вып. 5. — С. 413–417. — JSTOR 2686417.
• Ernest J. Eckert, Preben Dahl Vesrergaard. Groups of integral triangles // The Fibonacci Quarterly. — 1989. — Т. 27, вып. 5. — С. 458—464.
• Ernest J. Eckert. The Group of Primitive Pythagorean Triangles // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57.
• Noam Elkies. Pythagorean triples and Hilbert’s theorem 90.
• Artemas Martin. Rational right angled triangles nearly isosceles // The Analyst. — Annals of Mathematics, 1875. — Т. 3, вып. 2. — С. 47–50. — doi:10.2307/2635906. — JSTOR 2635906.
• Andrzej Trautman. Geometric universe / S. A. Hugget, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou, N. M. J. Woodhouse. — 1998.
• Weisstein, Eric W. Pythagorean Triple (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Pythagorean triples concept was used since ancient times by many greeks, Chinese and Indian philosophers. It is used to explain the relationship between the three sides (i.e., a, b, and c) of the right triangle. It states that in any right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the square of the other two sides of the triangle. In this article, we will learn about the Pythagorean triples formula in detail, along with examples.

What are Pythagorean Triples?

Pythagorean triples are used to find the three positive integers or terms that satisfy the Pythagorean theorem. Generally, these three terms can be written in the form (a, b, c), and the triangle formed by these terms is known as the Pythagorean triangle. Let us consider a right-angled triangle in which b is the base, a is the perpendicular, and c is the hypotenuse. So, according to the Pythagorean triples theorem: the sum of squares of any two sides is equal to the square of the third side.

a² + b² = c²

Here, a, b, and c are base, perpendicular, and hypotenuse.

Examples of Pythagorean Triples

There is n number of Pythagorean triples. Take any Pythagoras triangle as an example. Let’s say the perpendicular of the triangle is 4 units, and the base is 3 units, then the hypotenuse will be:

a² + b² = c²

3² + 4² = c²

c² = 9 + 16

c = √25 = 5 units.

So, the Pythagorean triples are (3, 4, and 5). Many other Pythagorean triples can be generated with the help of these basic Pythagorean triples. The best way to obtain more triples is to scale them up, that is (3n, 4n, and 5n). Here, n is the positive integer value.

Pythagorean Triples Formula

If the triangle given is a right-angled triangle, then the set of the sides of the triangle gives Pythagorean triples. Pythagorean triples are obtained from the Pythagoras theorem. The pythagoras theorem states that in a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of base and perpendicular. Let’s say the perpendicular is denoted by ‘a’, the base is denoted by ‘b’, and the hypotenuse is denoted by ‘c’, then the Pythagorean triples formula will be:

c² = a² + b²

Pythagorean Triples Proof

We can prove the Pythagorean triples Formula in many ways, but here we use the algebraic method. In this method, we use the terms shown in the below figure.

Step 1: We have four right-angled triangles with base m, perpendicular n, and hypotenuse p. Now arrange these triangles so that they make two squares one is outer square ABCD, whose side is m+n, and another one is inner square WZXY, whose side is c.

Step 2: Now we find the area of the inner, outer square, and triangles:

Area of outer square ABCD = (m + n)²

Area of inner square WXYZ = (p)²

Area of one triangle = 1/2(m × n)²

Area of four triangles = 4 × 1/2(m × n)² = 2(m × n)²

Step 3: As we know that the area of square ABCD = Area of square WXYZ + Area of four triangles

So (m + n)² =  2(m × n)² + p² 

m² + 2 × m × n + n² = 2 × m × n + p²

m² + n² = p²

Hence Pythagorean triples Formula is proved.

How to Form Pythagorean Triples?

Pythagorean triples can be positive integers. We can say there are two cases that can be generated. The numbers can either be odd or even. Below are the cases explained in detail:

If the Number is Odd

The below formula can be used to find the triples. If we have an odd number (1, 3, 5, 7, 9, etc.) that can be taken as m, then the two numbers can be found by putting m in the formula.

(m, (m² – 1)/2 , (m² + 1)/2)

Here m should be greater than 1.

Example: If m = 3, find the rest of the Pythagorean triples.

Solution:

(m² -1)/2 = (3² – 1)/2 = 8/2 = 4.

(m² + 1)/2 = (3² + 1)/2 = 10/2 = 5

Therefore, the Pythagorean triples are (2, 4, 5).

If the Number is Even

The below formula can be used to find the triples. If we have an even number (2, 4, 6, 8,10, etc.) that can be taken as m, then the other two numbers can be found by putting m in the formula.

(m, (m² – 4)/4, (m² + 4)/4)

Here m should be greater than 2.

Example: Find the rest of the Pythagorean triples if m = 4.

Solution:

(m² – 4)/4 = (4⁴ – 4)/4 = 252/4 = 63.

(m² + 4)/4 = (4⁴ + 4)/4 = 260/4 = 230/2 = 115.

Therefore, the Pythagorean triples are (4, 63, 115).

Note: Even if the method helps solve and find infinitely many Pythagorean triples, it still cannot find them all. Fir instance, the Pythagorean triples (20, 21, 29) cannot be formed using this technique.

How to Generate Pythagorean Triples?

In order to generate Pythagorean triples, the Pythagorean triplet checker is used. Pythagorean triplet checker is the formula that is defined specifically to find out the values of Pythagorean triples. Assume the sides of the right-angled triangle are a, b and c. Now, m and n are the two integers that will be used in order to find the values of a, b, and c.

• a, b, and c are the sides of the right-angled triangle.
• m and n are the co-prime numbers that are positive numbers. Here, m>n.

In the above figure, it can be easily seen that the values of a, b and c are dependent upon m and n. The sides in terms of m and n are defined as:

• a is the perpendicular of the triangle here, and a = 2mn.
• b is the base of the triangle, and b = m² – n².
• c is the hypotenuse of the triangle, and c = m² + n².

Now simply assume co-prime natural numbers in order to find the values of Pythagorean triples. It is important to note that m must be greater than n.

Example: Find the Pythagorean triples when the values of m and n are 3 and 2, respectively.

Solution:

Pythagorean triples checker is,

• a = 2mn
• b = m² – n²
• c = m² + n²

Therefore, putting m = 3 and n = 2.

a = 2 × 3 × 2 = 12 units.

b = 3² – 2² = 9 – 4 = 5 units

c = 3³ + 2² = 9 + 4 = 13 units.

Therefore, the Pythagorean triples are (12, 5, 13).

List of Pythagorean Triples 

Below is the Pythagorean triples list where the value of c is greater than 100:

These values verify the formula a² + b² = c².

Types of Pythagorean Triples

Primitive Pythagorean Triples

Primitive Pythagoras triples are also known as Reduced triples. The greatest common factor of these triples are 1. Or we can say that primitive Pythagorean triples are those triples in which the three numbers do not have any common divisor other than one. Such type of triples only contains one even positive number among the three given three numbers.

Example: 3, 4, 5

3, 4, 5 are Pythagorean triples as they satisfy the Pythagorean triples formula also the greatest common factor of 3, 4, 5 is 1.

Non-Primitive Pythagorean Triples 

Non-primitive Pythagoras triples are also known as imprimitive Pythagorean triples. Non-primitive Pythagorean triples are those triples in which the three numbers have a common divisor. Such types of triples can contain more than one even positive number among the three given three numbers.

Example: 6, 8, 10

6, 8, 10 are Pythagorean triples as they satisfy the Pythagorean triples formula but the greatest common factor of 6, 8, 10 is not equal to 1 so these are non – primitive Pythagorean triples.

Properties of Pythagorean Triples

• Pythagorean triples are the sides of a right-angled triangle, represented as m, n, p.
• These numbers satisfy the Pythagorean triples formula m² + n² = p².
• The sides m and n are the sides of a right triangle, which represent perpendicular and base, while p is the hypotenuse.
• Pythagorean Triplet consists of all even numbers, or two odd numbers and one even number.
• All three numbers of a Pythagorean Triplet can never be odd.

Solved Examples on Pythagoras Triples

Example 1: Find Pythagorean triples if m = 8.

Solution:

This is the case when the number is even:

Given m = 8, 

So, (m² – 4)/4 = (64 – 4)/4 = 15

(m² + 4)/4 = (64 + 4)/4 = 17

Hence Pythagorean triples are 8, 15, 17.

Example 2: Find Pythagorean triples if m = 9.

Solution:

This is the case when the number is odd:

Given m = 9,

So, (m² – 1)/2 = (81 – 1)/2 = 40

(m² + 1)/2 = (81 + 1)/2 = 41

Hence Pythagorean triples are 9, 40, 41.

Example 3: Find Pythagorean triples, one of whose members is 13.

Solution:

Take m = 13,

So, (m² – 1)/2 = (169 – 1)/2 = 84

(m² + 1)/2 =(169 + 1)/2 = 85

Hence Pythagorean triples are 13, 84, 85.

Example 4: Checking if (6, 8, 10) is a Pythagorean triplet or not.

Solution:

Let us take m = 6, n = 8, and p = 10

According to the formula 

m² + n² = p²

We get

(6)² + (8)² = (10)²

36 + 64 = 100

100 = 100

Here L.H.S = R.H.S

Hence proved that (6, 8, 10) is a Pythagorean triplet.

Example 5: If (y, 84, 85) is a Pythagorean triplet, then find the value of y.

Solution:

Let us take m = y, n = 84, and p = 85

According to the formula 

m² + n² = p²

We get

(y)² + (84)² = (85)²

y² + 7056 = 7225

y² = 169

y = 13

FAQs on Pythagorean Triples

Question 1: What are Pythagorean triples?

Answer:

Pythagorean triples are the natural numbers that satisfy the pythagoras theorem. Therefore, the Pythagorean triples satisfy the formula c² = a² + b², here, c is the hypotenuse of the right-angled triangle, a and b are the legs of the triangle.

Question 2: What are the five most common Pythagorean triples?

Answer:

The five most common Pythagorean triples are: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25).

Question 3: How to find Pythagorean triples?

Answer:

The Pythagorean triples can be easily obtained by the help of pythagoras theorem, if two triples are already given, the third triplet can be found:

a² + b² = c²

Where, a and b are the legs of the triangle and c is the hypotenuse of the triangle.

There are times when only one Pythagorean triplet is given, two cases arise in this situation, if the value of m given is odd, the  formula used for the Pythagorean triples are (m, (m² – 1)/2, (m² + 1)/2). If the value of m given is even, the  formula becomes (m, (m² – 4)/4, (m² + 4)/4).

Question 4: Can Pythagorean triples be decimals?

Answer:

Pythagorean triples are the positive integers, that is, natural numbers that satisfy the pythagoras theorem, Therefore, they can not be in decimal form.

Question 5: What is the scaling of triples?

Answer:

The scaling of the pythagoras triples is multiplying the given triples with some natural numbers and observing that the new set generated satisfies the Pythagorean triples condition too. For example, a Pythagorean triplet (3, 4, 5) is given to us, if we multiply the triples with 3, it will give (9, 12, 15).

Пифагорово число (пифагорова тройка) — комбинация из трёх целых чисел , удовлетворяющих соотношению Пифагора: .

Свойства

Поскольку уравнение однородно, при домножении , и на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть — взаимно простые числа.

Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, т. е. таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ().

Пифагорова тройка задаёт точку с рациональными координатами на единичной окружности .

Любая примитивная пифагорова тройка однозначно представляется в виде для некоторых натуральных, взаимно простых , имеющих разную чётность. Наоборот, любая такая пара задаёт примитивную пифагорову тройку.Шаблон:Источник?

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5),
(6, 8, 10),
(5, 12, 13),
(9, 12, 15),
(8, 15, 17),
(12, 16, 20),
(15, 20, 25),
(7, 24, 25),
(10, 24, 26),
(20, 21, 29),
(18, 24, 30),
(16, 30, 34),
(21, 28, 35),
(12, 35, 37),
(15, 36, 39),
(24, 32, 40),
(9, 40, 41),
(14, 48, 50),
(30, 40, 50)…

См. также

• Великая теорема Ферма
• Теорема Пифагора

be-x-old:Піфагорава тройка
bg:Питагоров триъгълник
da:Pythagoræiske tal
eo:Pitagora triopo
he:שלשה פיתגורית
hu:Pitagoraszi számhármasok
is:Pýþagórískur þríhyrningur
nl:Pythagorese drietallen
pl:Trójki pitagorejskie
scn:Terna pitagòrica
sl:Pitagorejska trojica
sv:Pythagoreisk trippel

Ещё примеры пифагоровых троек (где катеты меньше 1000, их 179):

3 4 5  9+16=25

5 12 13  25+144=169

7 24 25  49+576=625

8 15 17  64+225=289

9 40 41  81+1600=1681

11 60 61  121+3600=3721

12 35 37  144+1225=1369

13 84 85  169+7056=7225

15 112 113  225+12544=12769

16 63 65  256+3969=4225

17 144 145  289+20736=21025

19 180 181  361+32400=32761

20 21 29  400+441=841

20 99 101  400+9801=10201

21 220 221  441+48400=48841

23 264 265  529+69696=70225

24 143 145  576+20449=21025

25 312 313  625+97344=97969

27 364 365  729+132496=133225

28 45 53  784+2025=2809

28 195 197  784+38025=38809

29 420 421  841+176400=177241

31 480 481  961+230400=231361

32 255 257  1024+65025=66049

33 56 65  1089+3136=4225

33 544 545  1089+295936=297025

35 612 613  1225+374544=375769

36 77 85  1296+5929=7225

36 323 325  1296+104329=105625

37 684 685  1369+467856=469225

39 80 89  1521+6400=7921

39 760 761  1521+577600=579121

40 399 401  1600+159201=160801

41 840 841  1681+705600=707281

43 924 925  1849+853776=855625

44 117 125  1936+13689=15625

44 483 485  1936+233289=235225

48 55 73  2304+3025=5329

48 575 577  2304+330625=332929

51 140 149  2601+19600=22201

52 165 173  2704+27225=29929

52 675 677  2704+455625=458329

56 783 785  3136+613089=616225

57 176 185  3249+30976=34225

60 91 109  3600+8281=11881

60 221 229  3600+48841=52441

60 899 901  3600+808201=811801

65 72 97  4225+5184=9409

68 285 293  4624+81225=85849

69 260 269  4761+67600=72361

75 308 317  5625+94864=100489

76 357 365  5776+127449=133225

84 187 205  7056+34969=42025

84 437 445  7056+190969=198025

85 132 157  7225+17424=24649

87 416 425  7569+173056=180625

88 105 137  7744+11025=18769

92 525 533  8464+275625=284089

93 476 485  8649+226576=235225

95 168 193  9025+28224=37249

96 247 265  9216+61009=70225

100 621 629  10000+385641=395641

104 153 185  10816+23409=34225

105 208 233  11025+43264=54289

105 608 617  11025+369664=380689

108 725 733  11664+525625=537289

111 680 689  12321+462400=474721

115 252 277  13225+63504=76729

116 837 845  13456+700569=714025

119 120 169  14161+14400=28561

120 209 241  14400+43681=58081

120 391 409  14400+152881=167281

123 836 845  15129+698896=714025

124 957 965  15376+915849=931225

129 920 929  16641+846400=863041

132 475 493  17424+225625=243049

133 156 205  17689+24336=42025

135 352 377  18225+123904=142129

136 273 305  18496+74529=93025

140 171 221  19600+29241=48841

145 408 433  21025+166464=187489

152 345 377  23104+119025=142129

155 468 493  24025+219024=243049

156 667 685  24336+444889=469225

160 231 281  25600+53361=78961

161 240 289  25921+57600=83521

165 532 557  27225+283024=310249

168 425 457  28224+180625=208849

168 775 793  28224+600625=628849

175 288 337  30625+82944=113569

180 299 349  32400+89401=121801

184 513 545  33856+263169=297025

185 672 697  34225+451584=485809

189 340 389  35721+115600=151321

195 748 773  38025+559504=597529

200 609 641  40000+370881=410881

203 396 445  41209+156816=198025

204 253 325  41616+64009=105625

205 828 853  42025+685584=727609

207 224 305  42849+50176=93025

215 912 937  46225+831744=877969

216 713 745  46656+508369=555025

217 456 505  47089+207936=255025

220 459 509  48400+210681=259081

225 272 353  50625+73984=124609

228 325 397  51984+105625=157609

231 520 569  53361+270400=323761

232 825 857  53824+680625=734449

240 551 601  57600+303601=361201

248 945 977  61504+893025=954529

252 275 373  63504+75625=139129

259 660 709  67081+435600=502681

260 651 701  67600+423801=491401

261 380 461  68121+144400=212521

273 736 785  74529+541696=616225

276 493 565  76176+243049=319225

279 440 521  77841+193600=271441

280 351 449  78400+123201=201601

280 759 809  78400+576081=654481

287 816 865  82369+665856=748225

297 304 425  88209+92416=180625

300 589 661  90000+346921=436921

301 900 949  90601+810000=900601

308 435 533  94864+189225=284089

315 572 653  99225+327184=426409

315 988 1037  99225+976144=1075369

319 360 481  101761+129600=231361

320 999 1049  102400+998001=1100401

333 644 725  110889+414736=525625

336 377 505  112896+142129=255025

336 527 625  112896+277729=390625

341 420 541  116281+176400=292681

348 805 877  121104+648025=769129

364 627 725  132496+393129=525625

368 465 593  135424+216225=351649

369 800 881  136161+640000=776161

372 925 997  138384+855625=994009

385 552 673  148225+304704=452929

387 884 965  149769+781456=931225

396 403 565  156816+162409=319225

400 561 689  160000+314721=474721

407 624 745  165649+389376=555025

420 851 949  176400+724201=900601

429 460 629  184041+211600=395641

429 700 821  184041+490000=674041

432 665 793  186624+442225=628849

448 975 1073  200704+950625=1151329

451 780 901  203401+608400=811801

455 528 697  207025+278784=485809

464 777 905  215296+603729=819025

468 595 757  219024+354025=573049

473 864 985  223729+746496=970225

481 600 769  231361+360000=591361

495 952 1073  245025+906304=1151329

496 897 1025  246016+804609=1050625

504 703 865  254016+494209=748225

533 756 925  284089+571536=855625

540 629 829  291600+395641=687241

555 572 797  308025+327184=635209

559 840 1009  312481+705600=1018081

576 943 1105  331776+889249=1221025

580 741 941  336400+549081=885481

585 928 1097  342225+861184=1203409

615 728 953  378225+529984=908209

616 663 905  379456+439569=819025

620 861 1061  384400+741321=1125721

645 812 1037  416025+659344=1075369

660 779 1021  435600+606841=1042441

660 989 1189  435600+978121=1413721

696 697 985  484416+485809=970225

704 903 1145  495616+815409=1311025

705 992 1217  497025+984064=1481089

731 780 1069  534361+608400=1142761

744 817 1105  553536+667489=1221025

765 868 1157  585225+753424=1338649

799 960 1249  638401+921600=1560001

832 855 1193  692224+731025=1423249

884 987 1325  781456+974169=1755625

893 924 1285  797449+853776=1651225

Ссылки

Пифагоровы тройки чисел – Yaptro

Тема:
Пифагоровы тройки

Оглавление

Введение

Глава
1. История возникновения Пифагоровых троек

1.1. История открытия
Пифагоровых троек и их понятие

1.2. Способы получения
Пифагоровых троек

Глава
2. Применение Пифагоровых трок для решения геометрических задач

2.1. Анализ
геометрических задач в 8-9 классе

2.2. Эффективность
применения Пифагоровых троек при решении задач

Заключение

Список
литературы

Введение

Актуальность темы: можно быстро изучить теорему Пифагора с помощью Пифагоровых троек.

Она помогает при решении геометрических задач практического
применения в современной жизни.

Цель: заключается в изучении пифагоровых троек  и их применения для
решения задач курса геометрии.

Из этого выведем задачи:

1. Проанализировать литературу по теме исследования;

2. Показать уникальные открытия Пифагора и дать определение
понятия пифагоровым тройкам;

3. Описать способы
формирования Пифагоровых трок;

4. Проанализировать
возможные применения пифагоровых троек для решения геометрических задач.

Проблема: Пифагоровы тройки
изучаются в контексте теоремы Пифагора и являются ее устно вычисленными
решениями, однако пифагоровы тройки нужно изучать как самостоятельную тему
математики, т.к. она помогает эффективнее решать геометрические задачи.

Предмет исследования: математика.

Объект исследования:
Пифагоровы тройки.

Метод исследования: теоретический.

Глава 1. История возникновения Пифагоровых троек

1.1. История открытия Пифагоровых троек и их понятие       

Начнем с того, что же такое геометрия, ведь благодаря ей мы знакомимся с Пифагоровыми тройками.

•      Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения тел.

Геометрия была открыта древними египтянами, она возникла при измерении земельных участков и при астрономических наблюдениях. Долгое время она оставалась важнейшим средством познания Вселенной. Наибольший вклад в ее становление и развитие как науки внесли древнегреческие математики: Пифагор, Евклид, Архимед. На протяжении веков геометрия занимала видное место в начальном и университетском образовании, она входила в плоть и кровь образованных людей любых специальностей. Ее изучение требовало больших умственных усилий. [3.41]

Применение пифагоровых троек в решении задач позволяет экономить время, избегать вычислительных ошибок. Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.

А теперь и сама теорема. Пифагоровы тройки -  упорядоченный набор из трёх натуральных чисел. Удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению: . Теорема Пифагора – одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. 

Например, свойства прямоугольного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. 

Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: .

Давайте рассмотрим пару теорий возникновения Пифагоровых троек. Прочитав литературу, мы узнаем о двух теориях возникновения.

Первая теория возникновения: Пифагоровы тройки представляют собой когорту из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора .

Вообще, это частный случай Диофантовых уравнений, а именно, системы уравнений, в которых число неизвестных больше, чем число уравнений. Известны они давно, еще со времён Вавилона, то есть, задолго до Пифагора. А название они приобрели после того, как Пифагор на их основе доказал свою знаменитую теорему. Однако, как следует из анализа многочисленных источников, в которых вопрос о пифагоровых тройках, существующих классах этих троек и о возможных способах их формирования, до сих пор не раскрыт в полной мере.

Вторая теория возникновения: Все мы знаем, что Пифагоровы тройки открыл сам Пифагор, в честь его и назвали эти числа.

Пифагор Самосский - древнегреческий философ из города Регия, математик и мистик. В Кротоне основал религиозно-философскую школу пифагорейцев. Итак, Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древне-месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей (Локоть – это древнейшая мера длины, которой пользовались многие народы мира. Локоть составляет расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. Обычно от 38 см. до 46 см.).

Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. На практике мы сможем понаблюдать за тем, как взаимообратные числа, и какое их множество. [1.186]

Пифагоровы числа обладают рядом свойств:

·   Один из катетов должен быть кратным трём,

·   Один из катетов должен быть кратным четырём,

·   Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

Пифагоровы тройки могут быть:

·          Примитивными (все три числа-взаимно простые),

·          Не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Итак, пифагоровы тройки - это тройки натуральных чисел (a, b, c) прямоугольного треугольника, для которых выполняется неравенство:

Это уравнение звучит так: сумма квадратов катетов, равна квадрату гипотенузы. Это и есть сама теорема Пифагора, которую изучают еще в 8 классе и применяют в различных видах задач и уравнений.

Но в простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным, а так же, в простейшей пифагоровой тройке числа а и b не могут быть одновременно нечётными.

1.2. Способы получения Пифагоровых троек

Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения
пифагоровых троек, которые являются решением уравнения.

Способ 1. Проанализировав литературу и прочтя учебники 8-9 классов
можно сделать вывод в виде небольшой таблицы, где будет видно, что при сложении
двух квадратов чисел (первых двух в строке) мы получим квадрат третьего числа,
которое потом выносим из под корня. (третье число в строке).[3.42-52]

3, 4, 5

6, 8, 10

5, 12, 13

10, 24, 26

9, 12, 15

18, 24, 30

8, 15, 17

16, 30, 34

Давайте проверим эту таблицу на одном из примеров.

Итак, возьмем числа: 18, 24, 30. 

1)                              По формуле Пифагора - сложим квадрат первых двух чисел:

2)                              Теперь сравним ответ первого действия и квадрат третьего числа:

3)                              Сделаем вывод, что эта таблица правильная и можно ей пользоваться.

Способ 2. Эти формулы были известны уже две с половиной тысячи лет назад. 

Пусть (a, b, c,) – пифагорова тройка и a –нечетное число. Тогда  и . По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Если a = 3, то; b=4;

; c=5; получилась первая тройка (3, 4, 5).

Если a = 5, то ; b=12;

; c=13; вторая тройка (5, 12, 13).

Если a = 7, то; b=24; 

; c=25; третья тройка (7, 24, 25) и так далее.

Способ 3. Вам, так же, возможно, известны формулы для вычисления новых Пифагоровых троек. 

, где

2) 

3) 

Сначала вычислим по формулам Пифагоровы тройки, а затем проверим, получилось ли найти эти тройки.

Для этого возьмем числа: .

1)                              Вычислим первую формулу тройки:

2)                              Вычислим вторую  формулу тройки:

3)                              Вычислим третью формулу тройки:

4)                              Теперь можем проверить их по формуле Пифагора:

Из этого сделаем вывод: эти формулы  можно использовать для нахождения трех чисел, которые подойдут к теореме Пифагора.

Так же в этих трех формулах может быть дополнительный множитель - k. Тогда из уравнения получаем [2.91-95]

Глава 2. Применение Пифагоровых трок для решения геометрических задач

2.1. Анализ геометрических задач в 8-9 классе

Давайте, начнем с советов. Что бы мы могли быстрее решать задачи по геометрии, есть некоторые советы, в решении  задач с теоремой Пифагора.

·    Гипотенуза всегда:

o  лежит напротив прямого угла;

o  является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;

o  обозначается как «с» в теореме Пифагора;

·    Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.

·    Еще один момент - самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона - напротив наименьшего угла.

·    Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка - это 3, 4, 5 (это так же Египетский треугольник). Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.

·    Если дан обычный треугольник, а не прямоугольный, то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.

·    Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с. 

·    Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, tg).

·    Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

·         Когда число выносится из под корня, то сразу можно отбрасывать отрицательное число, т.к. сторона не может быть отрицательной.

Решим немного задач по геометрии с применением Пифагоровых троек.

Задача №1.

Дан прямоугольный треугольник ABC, C=90∘, AC=3, BC=4. Найдите длину AB.

Решение:

               Согласно теореме Пифагора: 

Ответ: АВ=5.

Задача №2. 

Центр окружности, описанный около тр. АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АС равно 8? 

Решение:                                                                                

Если центр окружности лежит на стороне АВ, значит АВ - диаметр. Угол С=90, т. к. опирается на диаметр, т. е. треугольник АВС - прямоугольный. 

1) 

2) По теореме Пифагора 

Ответ: ВС=15.

Задача №3.

В прямоугольном треугольнике АВС, катеты СА и СВ равны 9 и 12, соответственно. Найдите гипотенузу  ВА, , , .

Дано: АВС-прямоугольный треугольник; СА=, ВС=12.

Найти: ВА=?, , , 

Решение:

По теореме Пифагора: 

.

Ответ: АВ=15, sin A=  , cos A= ,tg A=  .

Задача №4. 

В прямоугольнике ABCD найдите ВС, если CD=1,5; AC=2,5.

Решение:

1)                              Т.к. это прямоугольник то, по его свойствам мы знаем, что его параллельные стороны равны, т.е. AB=CD и BC=AD. 

2)                               Далее, рассмотрим треугольник ADC, угол D прямой, а значит, мы можем применить формулу Пифагора.

3)                    

BC=AD=2

Сейчас решим одно задание ОГЭ. Она так же может присутствовать и в жизни. 

Задача №5.

Лестницу поставили к окну, расположенному на высоте 12м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5м. Какова длина лестницы? 

Решение:

Можно решать сразу через т. Пифагора, т.к. дом и земля  перпендикулярны друг другу, и поэтому они образуют прямой угол. Пусть 5м - «у», 12м - «z», а за «х» возьмем длину лестницы.

По т. Пифагора: 

Ответ: Длина лестницы равна 13 метрам.

Такое применение Пифагоровых троек поможет нам в жизни.

Особенно, если у Вас есть дачи.

2.2.
Эффективность применения Пифагоровых троек при решении задач       

В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. Она была известна еще за долго до Пифагора. Пифагор внес и дополнил ее своими исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема меняется в геометрии на каждом шагу. Она имеет неослабевающий интерес со стороны широкой математической общественности. Можно увидеть применение Пифагоровых троек и в наши дни. 

В ходе исследования, мы узнали, что теорема Пифагора так же
применялась в архитектуре. Взгляните на эти здания, которые  украшают
зарубежные города:

Административное здание Kuggen, Гётеборг, Швеция.

Если Вы заметили, то окна в этом здании имеют вид прямоугольного
треугольника.

Скульптурный павильон в одном из садов в Англии.

Музей в Милуоки, США.

Еще в 12 веке были использованы Пифагоровы тройки в зданиях
готического и романского стиля.

Романский стиль:                                      Готический
стиль:

Верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не
только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом
стиле.

Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры
шести дуг окружностей, радиусы которых равны
ширине окна (b) для наружных дуг
половине ширины,  для
внутренних дуг.
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена
между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между
этими окружностями, т. е. и,
следовательно, радиус равен.А тогда
становится ясным и
положение её центра.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке.
Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут
равны  и . Радиус – p
внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника.
Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей,
равна , один катет
равен , а другой. По теореме
Пифагора имеем:

Из этого:

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

Заключение

Пифагоровы тройки представляют собой очень важный и интересный предмет изучения. Запомнив простые правила их нахождения, можно с легкостью решать задачи разного уровня, а также находить им хорошее применение в архитектуре и строительстве.  Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.

Список
литературы

1.                
Книга “О Пифагоровой
жизни”-Ямвлих; перевод И.Ю. Мельникова. — Москва: Новый Акрополь, 2014г. —
186 cтр.

http://www.iprbookshop.ru/26960.html

2.               Учебник по геометрии 7-9 класс, Погорелов А.В. 7.Теорема Пифагора(п.62-70), изд.9-е., 2009г.

https://gdzputina.ru/po-geometrii/7-klass/pogorelov

3.                
 Учебник и практикум для среднего профессионального образования,
Ю. В. Павлюченко, Н. Ш. Хассан; под общей редакцией
Ю. В. Павлюченко. – 4-е изд., перераб. и доп. — Москва:
Издательство Юрайт, 2020. -238 с. – Профессиональное
образование). – ISBN 978-5-534-01261-3. -Текст: электронный // ЭБС
Юрайт [сайт].с. 41 — URL: https://urait.ru/viewer/matematika-449041#page/

В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж из трёх целых чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора:

x² + y² = z².

Свойства

Поскольку уравнение x² + y² = z² однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть — взаимно простые числа.

Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (3² + 4² = 5²).

Пифагорова тройка задаёт точку с рациональными координатами на единичной окружности x² + y² = 1.

Нетрудно видеть, что в примитивной тройке (x,y,z) числа x и y имеют разную чётность. Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z), где x – нечётно, а y – чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел m > n разной чётности. Наоборот, любая такая пара задаёт примитивную пифагорову тройку . ^[1]

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

История

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Санкт – Петербург, 19 мая 2009г.

Доклад: Алгоритм решения Диофантовых уравнений.

В работе рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом: – великая теорема Ферма; – поиск Пифагоровых троек и тд. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

См. также

• Великая теорема Ферма
• Теорема Пифагора

Ссылки

1. ↑ В. Н. Серпинский Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. — 111 с.

• Е. А. Горин Степени простых чисел в составе пифагоровых троек // Математическое просвещение. — 2008. — В. 12. — С. 105-125.