Площадь треугольника формула как найти основание - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

[spoiler title=”источники:”]

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika

[/spoiler]

Источник

Как найти площадь треугольника

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона
Через основание и высоту
Через две стороны и угол
Через сторону и два прилежащих угла
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

– полупериметр треугольника; a,b,c – стороны треугольника.

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a – основание треугольника; h – высота треугольника.

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b – стороны треугольника; α – угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a– сторона треугольника; α и β – прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b – катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b – стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a – основание равнобедренного треугольника; α – угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a – сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h – высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r – радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r – радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c – стороны треугольника; r – радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p – полупериметр треугольника;a, b, c – стороны треугольника; r – радиус вписанной окружности треугольника.

Источник

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали калькулятор для нахождения площади любого треугольника – равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного (разностороннего) по 22 формулам.

Калькулятор площади треугольника
Площадь треугольника
1. через основание и высоту
2. через две стороны и угол между ними
3. через сторону и два прилежащих угла
4. через радиус описанной окружности и 3 стороны
5. через радиус вписанной окружности и 3 стороны
6. по формуле Герона
Площадь прямоугольного треугольника
1. через катеты
2. через гипотенузу и прилежащий угол
3. через катет и прилежащий угол
4. через радиус вписанной окружности и гипотенузу
5. через вписанную окружность
6. по формуле Герона
7. через катет и гипотенузу
Площадь равнобедренного треугольника
1. через основание и сторону
2. через основание, боковую сторону и угол
3. через основание и высоту
4. через боковые стороны и угол между ними
5. через основание и угол между боковыми сторонами
Площадь равностороннего треугольника
1. через сторону
2. через высоту
3. через радиус описанной окружности
4. через радиус вписанной окружности
Примеры задач

Площадь треугольника

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

a – длина основания

h – высота, проведенная к основанию

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin(alpha)}

a и b – стороны треугольника

α – угол между сторонами a и b

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S = dfrac{a^2}{2} cdot dfrac{sin{(alpha)} cdot sin{(beta)}}{sin{(gamma)}}}
{gamma = 180 – (alpha + beta)}

a – сторона треугольника

α и β – прилежащие к стороне a углы

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S = dfrac{a cdot b cdot c}{4 cdot R}}

a, b и c – стороны треугольника

R – радиус описанной окружности

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S = r cdot dfrac{a + b + c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

r – радиус вписанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона

{S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен 90 градусов).

Площадь прямоугольного треугольника через катеты

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b}

a и b – стороны треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)}}

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

α – прилежащий к гипотенузе c угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot tg{(alpha)}}

a – катет прямоугольного треугольника

α – прилежащий к катету a угол

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S = r cdot (r+c)}

r – радиус вписанной окружности

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S = c_1 cdot c_2}

с₁ и с₂ – отрезки, полученные делением гипотенузы точкой касания окружности

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S = (p-a) cdot (p-b)}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2}}

a – катет прямоугольного треугольника

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin{(alpha)}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между основанием и боковой стороной

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot b cdot h}

b – основание равнобедренного треугольника

h – высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot sin(alpha)}

a – боковые стороны равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S = dfrac{b^2}{4 cdot tg {( dfrac{alpha}{2} )}}}

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}

a – сторона равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}

h – высота равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}

R – радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}

r – радиус описанной окружности

Примеры задач на нахождение площади треугольника

Задача 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}

Для начала нам необходимо найти полупериметр p:

p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21

Теперь можем подставить его в формулу Герона и найти ответ:

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 : см^2

Ответ: 84 см²

Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 100.

Решение

Воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 – 28^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 – 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 : см^2

Ответ: 1344 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.

Решение

Задача аналогична предыдущей, поэтому решение очень похоже.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 – 15^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 – 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 4

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см а острый угол равен 60°.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60°)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см а основание 4 см.

Решение

В этой задаче используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и боковую сторону.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 – 4^2} = sqrt{4 cdot 49 – 16} = sqrt{196 – 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641 : см^2

Ответ: 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, боковая сторона равна 17.

Решение

Решим эту задачу по анологии с предыдущей.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 – 30^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 289 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2

Ответ: 120 см²

Проверка .

Задача 7

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.

Решение

Используем для решения задачи формулу.

S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144}{4} = 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Проверка .

Источник

Как найти основание треугольника

Часто в задачах по планиметрии и тригонометрии требуется найти основание треугольника. Для этой операции существует даже несколько методов.

Вам понадобится

Калькулятор

Инструкция

Строгого определения понятия «основание треугольника» в геометрии не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного в математике под понятием «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
Если известны высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
S=1/2*c*h, где:
S – площадь треугольника,

с – длина его основания,

h – длина высоты треугольника.
Из этой формулы находим:
с=2*S/h.
Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты – 10 см, то основание треугольника будет:
с=2*20/10=4 (см).

Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=Р-2*а, где:
Р – периметр треугольника,

а – длина боковой стороны треугольника,

с – длина его основания.

Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=а*√(2*(1-cosC)), где:
C – величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

а – длина боковой стороны треугольника.

с – длина его основания.
(Формула является прямым следствием теоремы косинусов)
Имеется и более компактная запись этой формулы:
с=2*а*sin(B/2)

Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
с=2*а*cosA
A – величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,

а – длина боковой стороны треугольника.

с – длина его основания.
Эта формула является следствием теоремы о проекциях.

Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=2*R*sinC, где:
C – величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

R – радиус описанной вокруг треугольника окружности,

с – длина его основания.
Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

Обратите внимание

Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.

Полезный совет

Как найти основание равнобедренного треугольника? Смотря, что дано в данном треугольнике. Если в равнобедренном треугольнике дана сторона и угол, который находится напротив основания, то можете провести из этого угла высоту треугольника. В результате, по свойству равностороннего треугольника вы получите два равных прямоугольника.

Источники:

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Теперь вам не нужно тратить время на долгие вычисления, прежде чем вы сможете узнать площадь треугольника. Зная методы расчета, используемые для расчета площади треугольника, вы легко сможете это сделать самостоятельно. Действительно, всегда лучше знать формулы площади треугольника. Треугольники могут быть разными и вы это знаете, но как найти площадь треугольника если вам практически ничего неизвестно о треугольнике? И что нужно знать из размеров треугольника, чтобы найти его площадь. Давайте разбираться. При этом тема не так проста как кажется на первый взгляд, наверное, поэтому задачи нахождения площади треугольника есть и в ОГЭ и в ЕГЭ по математике.

Что такое треугольник
Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон
- Разносторонний треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
Площадь треугольника
- Площадь разностороннего треугольника
- Формула Герона определения площади треугольника
- Площадь равнобедренного треугольника
- Площадь прямоугольного треугольника
- Площадь равностороннего треугольника

Что такое треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Сумма трех углов треугольника должна быть равна 180°.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Мы узнаем разносторонний треугольник по трем сторонам, которые имеют разную длину. Эта треугольная форма может быть построена только с тремя разными углами. Кроме того, один из них может быть прямым углом (или углом 90 °). В общем, название «произвольный треугольник» используется для разностороннего треугольника.

Равнобедренный треугольник

Мы говорим, что треугольник равнобедренный, если он имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла при основании. Равнобедренный треугольник также можно узнать по тому факту, что его высота представляет его ось симметрии, его медиану и биссектрису.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник обязательно имеет прямой угол. Другими словами, сумма двух других его углов должна быть равна 90°. Прямоугольный треугольник также имеет гипотенузу.

Это противоположная сторона вершине с прямым углом. Прямой треугольник может быть разносторонним (или любым), если его три стороны имеют разную длину.

Кроме того, он может быть равнобедренным в том случае, если он имеет два одинаковых катета.

Равносторонний треугольник

Треугольник называется равносторонним, если он имеет три стороны одинаковой длины. Поэтому все его углы также равны и каждый по 60°. В равностороннем треугольнике любая высота также выступает в качестве медианы и биссектрисы.

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Вычисляем площадь треугольника без особенностей – все его стороны разные и все углы разные.

Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь разностороннего треугольника вычисляется по формуле “площадь треугольника через две стороны и угол между ними”:

$S=frac{1}{2} cdot ab cdot sin alpha$

Если известны высота в треугольнике и основание, то используется формула площади треугольника через основание и высоту:

$S=frac{1}{2} ah$

Формула Герона определения площади треугольника

Если известны стороны любого треугольника, то его площадь можно определить по формуле Герона.

, где $p=frac{a+b+c}{2}$

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь треугольника через основание и сторону можно найти, если известны сторона и основания равнобедренного треугольника.

$S=frac{1}{4}b sqrt{4a^2-b^2}$

К равнобедренному треугольнику также применима формула площади треугольника через основание, сторону и угол между ними:

$S=frac{1}{2}ab cdot sin alpha$

Найти площадь равнобедренного треугольника можно также через боковые стороны и угол между ними.

$S=frac{1}{2} a^2 cdot sin alpha$

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

$S=frac{b^2}{4 tg frac{alpha}{2}}$

Площадь прямоугольного треугольника

Приведем формулы площади прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол:

$S=frac{a^2 cdot tg alpha}{2}$

Площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника, если в него вписана окружность:

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника можно найти через радиус описанной окружности.

$S=frac{3 sqrt{3} R^2}{4}$

Если дан радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

$S=3r^2 sqrt{3}$

Площадь равностороннего треугольника, если известна сторона треугольника:

$S=frac{sqrt{3}}{4} cdot a^2$

Площадь равностороннего треугольника, если известна высота треугольника:

$S=frac{h^2}{sqrt{3}}$

Источник