Ромб – это геометрическая фигура; параллелограмм, имеющие 4 равные стороны.
-
Формула вычисления площади
- По длине стороны и высоте
- По длине стороны и углу
-
По длинам диагоналей
- Примеры задач
Формула вычисления площади
По длине стороны и высоте
Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a ⋅ h
По длине стороны и углу
Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:
S = a 2 ⋅ sin α
По длинам диагоналей
Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.
S = 1/2 ⋅ d1 ⋅ d2
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.
Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см ⋅ 8 см = 80 см2.
Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.
Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см)2 ⋅ sin 30° = 36 см2 ⋅ 1/2 = 18 см2.
Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.
Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 ⋅ 4 см ⋅ 8 см = 16 см2.
В этой статье вы узнаете, как можно найти площадь ромба различными методами. Благодаря этим формулам будет легко решать задачи по геометрии, ведь здесь в статье будет описано, как вычислить площадь ромба, зная величину диагонали большей и меньшей, стороны, углы и диаметр вписанной окружности в ромб.
Содержание
- Как вычислить площадь ромба – свойства фигуры
- Как вычислить площадь ромба?
- Как найти площадь ромба, зная угол и сторону геометрической фигуры?
- Как вычислять площадь ромба, зная его диагонали?
- Как вычислять площадь ромба, зная его сторону и радиус вписанной в него окружности?
- Видео: Пример того, как вычислять площадь ромба
Узнать площадь ромба можно по разным формулам. Достаточно знать свойства это фигуры и свойства других фигур, ведь ромб можно разбить на треугольники, приравнять его к параллелограмму и т.п. Ниже вы увидите такие формулы. Еще необходимо знать, чем отличается ромб от четырехугольника и параллелограмма. По математическому определению. Ромб представляет собой фигуру подобную параллелограмму с равными сторонами, но в отличие от квадрата – у ромба углы не прямые. Зато сумма двух углов у основания ромба будет равняться 180 градусов. Все эти знания пригодятся для расчета площади ромба, далее подробнее.
Как вычислить площадь ромба – свойства фигуры
Прежде, чем вычислить площадь ромба, лучше ознакомиться со свойствами данной фигуры. Ведь благодаря знанию этих характеристик дальше проще будет доказать вероятность той или иной формулы. Ранее упоминалось уже, что такое ромб. Он представляет собой фигуру с равными абсолютно всеми сторонами, равными противоположными острыми и тупыми углами, но не прямыми.
Ромб имеет следующие свойства:
- у него все стороны между собой равны
- углы, лежащие напротив друг друга, тоже равны
- диагонали данной фигуры являются биссектрисами, в точке пересечения делятся на равные отрезки
- также диагонали пересекаются в центре ромба и под прямыми углами
- противоположные стороны фигуры не могут пересекаться, даже если продлить лучи они же параллельны, как у параллелограмма.
ВАЖНО: Обратите внимание, что ромб можно разбить на четыре прямоугольных треугольника, которые будут между собой равны по площади, или на два равносторонних идентичных треугольника, см. изображение выше.
Как вычислить площадь ромба?
Итак, давайте выясним, как вычисляется площадь ромба. Давайте воспользуемся для этого формулой площади прямоугольника, где:
- S = a • b, где a, b – стороны прямоугольника.
Чтобы было понятно, как вывести из этой формулы, формулу площади ромба, смотрите объяснение:
- Нарисуйте ромб, проведите высоту к основанию ромба BH.
- Из точки D на линию AD проведите тоже высоту CH1.
- Выходит что треугольник ABH и треугольник CH1D между собой равны по двум общим сторонам, ∠ углу между ними.
- Значит AH=DH1. Площадь образовавшегося квадрата будет равна площади ромба
- А значит BH • HH1 – это и есть площадь ромба, другими словами произведение высоты BH ромба на сторону AD и будет S площадью ромба, поскольку HH1 = BC, а BH – это высота.
Из доказательства вытекает, что:
- S ромба = a • h и измеряется в квадратных единицах.
Как найти площадь ромба, зная угол и сторону геометрической фигуры?
Теперь мы знаем, как выглядит формула площади ромба, можем по этой же формуле найти и S площадь ромба, зная чему равна сторона ромба и ∠ угол, например, острый у основания, как на фото ниже.
- S = a • h
Но в нашем случае нам неизвестна высота ромба, ее следует найти. Для этого придется рассмотреть треугольник прямоугольный, который получился, когда была проведена высота к основанию ромба.
В этом треугольнике известна гипотенуза и ∠α. Чтобы вычислить площадь всей фигуры, понадобится найти высоту. А h = a • sin∠α. Значит S площадь равностороннего параллелограмма (ромба) равняется:
- S = a • a • sin∠α = a² • sin∠α
Как вычислять площадь ромба, зная его диагонали?
Чтобы узнать формулу площади ромба, когда известны только (a, b) диагонали, следует рассмотреть следующий пример. Дано BCDA – ромб и знаем чему равны диагонали. Теперь следует найти S площадь равностороннего параллелограмма по величинам диагоналей.
Ранее уже рассматривали свойства ромба. Диагонали ромба равны, в точке пересечения делятся на равные отрезки. Из этого следует, что все треугольники, которые вписаны в фигуру в результате пересечения обеих диагоналей тоже равны между собой и они прямоугольные (по трем сторонам). Чтобы найти площадь ромба, достаточно найти площадь одного треугольника и полученные данные умножить на 4.
Итого выходит, что:
- S ромба = 4 (1/2 AO • OB + 1/2 BO • OC + 1/2 OC • OD + 1/2 OD • AO) = 4 • 1/8 AC • BD = 1/2 BD • AC, итого площадь S ромба будет = произведению a • b (диагоналей) деленное на два: S = 1/2 a • b
Как вычислять площадь ромба, зная его сторону и радиус вписанной в него окружности?
Площадь ромба можно рассчитать, зная r – радиус и a – длину стороны фигуры. Уже известно, что S – площадь фигуры будет равна произведению b – стороны на h – высоту. Через центр окружности, он же будет являться и центром пересечения a, b – диагоналей ромба. Проведите высоту и одновременно диаметр ромба. На изображении видно, что высота фигуры – это два радиуса окружности. Теперь легко будет найти и площадь самого ромба:
- S = a • h = a • 2r
Ниже смотрите пример задачи на данную тематику.
Еще смотрите подобные статьи на данную тематику здесь:
- Площадь прямоугольника, как найти?
- Как найти площадь круга?
- Площадь квадрата – формулы.
Видео: Пример того, как вычислять площадь ромба
{S = a^2 cdot sin (alpha)}
На этой странице мы предлагаем вам 7 формул площади ромба. Для каждой формулы можно воспользоваться онлайн калькулятором и мгновенно получить результат, не прибегая к помощи обычного калькулятора
Содержание:
- калькулятор площади ромба
- формула площади ромба через сторону и угол
- формула площади ромба через сторону и высоту
- формула площади ромба через диагонали
- формула площади ромба через угол и диагональ из угла
- формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
- формула площади ромба ромба через радиус вписанной окружности и угол
- формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону
- примеры задач
Формула площади ромба через сторону и угол
S = a^2 cdot sin (alpha)
a – сторона ромба
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через сторону и высоту
S = a cdot h
a – сторона ромба
h – высота ромба
Формула площади ромба через диагонали
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}
d1 и d2 – диагонали ромба
Формула площади ромба через угол и диагональ из угла
S = dfrac{d^2}{2} cdot \tg(dfrac{alpha}{2})
d – диагональ ромба
α – угол между сторонами ромба, из которого выходит диагональ
Формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
S = dfrac{d^2}{2} cdot ctg(dfrac{alpha}{2})
d – диагональ ромба, противоположная углу α
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и угол
S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}
r – радиус окружности
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону
S = 2ar
r – радиус окружности
a – сторона ромба
Примеры задач на нахождение площади ромба
Задача 1
Найдите площадь ромба если его диагонали равны 34 и 4.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой площади ромба через диагонали.
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{34 cdot 4}{2} = 68 : см^2
Ответ: 68 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 2
Найдите площадь ромба если его диагонали равны 4 и 6.
Решение
Задача аналогична предыдущей.
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{4 cdot 6}{2} = 12 : см^2
Ответ: 12 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 3
Найдите площадь ромба стороны которого равны 5, а высота равна 4.
Решение
Воспользуемся формулой площади ромба через высоту и сторону.
S = a cdot h = 5 cdot 4 = 20 : см^2
Ответ: 20 см²
Проверим полученный ответ на калькуляторе .
Ромб — это параллелограмм, в котором все стороны равны друг другу.
Онлайн-калькулятор площади ромба
Если стороны ромба образуют прямой угол, то получим квадрат.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Площадь ромба, как и площади большинства геометрических фигур, можно найти несколькими способами. Разберемся в их сути и рассмотрим примеры решений.
Формула площади ромба по стороне и высоте
Пусть нам дан ромб со стороной aa и высотой hh, проведенной к этой стороне. Так как ромб это параллелограмм, то его площадь мы находим так же, как и площадь параллелограмма.
S=a⋅hS=acdot h
aa — сторона;
hh — высота, опущенная на сторону aa.
Решим простой пример.
Сторона ромба равна 5 (см.). Высота, опущенная к этой стороне, имеет длину 2 (см.). Найти площадь ромба SS.
Решение
a=5a=5
h=2h=2
Пользуемся нашей формулой и вычисляем:
S=a⋅h=5⋅2=10S=acdot h=5cdot 2=10 (см. кв.)
Ответ: 10 см. кв.
Формула площади ромба через диагонали
Здесь все так же просто. Нужно просто взять половину произведения диагоналей и получить площадь.
S=12⋅d1⋅d2S=frac{1}{2}cdot d_1cdot d_2
d1,d2d_1, d_2 — диагонали ромба.
Одна из диагоналей ромба равна 7 (см.), а другая в 2 раза больше первой. Найдите площадь фигуры.
Решение
d1=7d_1=7
d2=2⋅d1d_2=2cdot d_1
Найдем вторую диагональ:
d2=2⋅d1=2⋅7=14d_2=2cdot d_1=2cdot 7=14
Тогда площадь:
S=12⋅7⋅14=49S=frac{1}{2}cdot7cdot14=49 (см. кв.)
Ответ: 49 см. кв.
Формула площади ромба через две стороны и угол между ними
S=a2⋅sin(α)S=a^2cdotsin(alpha)
aa — сторона ромба;
αalpha — любой угол ромба.
Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.
Решение
a=10a=10
α=30∘alpha=30^{circ}
По формуле получаем:
S=a2⋅sin(α)=100⋅sin(30∘)=50S=a^2cdotsin(alpha)=100cdotsin(30^{circ})=50 (см. кв.)
Ответ: 50 см. кв.
Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и углу
S=4⋅r2sin(α)S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}
rr — радиус вписанной окружности в ромб;
αalpha — любой угол ромба.
Найти площадь ромба, если угол между основаниями равен 60 градусов, а радиус вписанной окружности – 4 (см.).
Решение
r=4r=4
α=60∘alpha=60^{circ}
S=4⋅r2sin(α)=4⋅16sin(60∘)≈73.9S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}=frac{4cdot 16}{sin(60^{circ})}approx73.9 (см. кв.)
Ответ: 73.9 см. кв.
Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и стороне
S=2⋅a⋅rS=2cdot acdot r
aa —сторона ромба;
rr — радиус вписанной окружности в ромб.
Возьмем условие из предыдущей задачи, но пусть вместо угла нам известна сторона ромба, равная 5 см.
Решение
a=5a=5
r=4r=4
S=2⋅a⋅r=2⋅5⋅4=40S=2cdot acdot r=2cdot5cdot4=40 (см. кв.)
Ответ: 40 см. кв.
Ищете того, кто сможеит помочь вам решить контрольную работу по геометрии? Наши эксперты окажут вам быструю и качественную помощь с выполнением работы!
Тест на тему “Площадь ромба”
Как рассчитать площадь ромба
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь ромба онлайн. Для расчета задайте длину основания, высоту или длины диагоналей и угол между ними.
Ромб – четырёхугольник, у которого все стороны равны между собой. Ромб является частным случаем параллелограмма. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
Через сторону и высоту
Формула для нахождения площади ромба через сторону и высоту:
a – сторона ромба; h – высота ромба.
Через диагонали
Формула для нахождения площади ромба через диагонали:
d1, d2 – диагонали ромба.
Через сторону и угол
Формула для нахождения площади ромба через сторону и угол:
a – сторона ромба; α – угол между сторонами.
Через угол и диагональ из этого угла
Формула для нахождения площади ромба через угол и диагональ выходящая из этого угла:
d – диагональ ромба; α – угол между сторонами.
Через угол и противолежащию диагональ
Формула для нахождения площади ромба через угол и диагональ противолежащая углу:
d – диагональ ромба; α – угол между сторонами.
Через угол и радиус вписанной окружности
Формула для нахождения площади ромба через угол и радиус вписанной окружности:
r – радиус окружности; α – угол между сторонами.
Через сторону и радиус вписанной окружности
Формула для нахождения площади ромба через сторону и радиус вписанной окружности:
a – сторона ромба; r – радиус вписанной окружности.
