Правильный многоугольник как найти радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Радиусы такой окружности, проведенные перпендикулярами ко всем сторонам, делят любой правильный многоугольник на множество равнобедренных треугольников, равных по количеству сторонам многоугольника, каждый из которых разделе радиусом вписанной окружности на две части. В каждом таком треугольнике катетами являются радиус вписанной окружности и половина стороны, а гипотенузой – радиус описанной окружности. Центральный угол равен , где n – количество сторон многоугольника. Радиус вписанной окружности из такого треугольника будет равен отношению половины стороны многоугольника к тангенсу угла α:

В публикации представлена формула, с помощью которой можно найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, а также приведен пример решения задачи для лучшего понимания представленного материала.

• Формула расчета радиуса окружности

• Пример задачи

Формула расчета радиуса окружности

На рисунке изображен правильный шестиугольник со вписанной в него окружностью, но формула ниже подходит для любого правильного n-угольника.

где a – длина стороны.

Примечание: зная радиус вписанного круга можно найти сторону равностороннего n-угольника:

Пример задачи

Вычислите радиус вписанной в правильный восьмиугольник окружности, если длина его стороны составляет 12 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известное значение.

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник, формула

Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами. Угол между двумя соседними вершинами правильного n-угольника равен: [AOB = α = frac{360°}{n}]

Построим треугольник AOB отдельно. Об этом треугольнике мы знаем: он равнобедренный, и высота этого треугольника это радиус вписанной окружности правильного многоугольника. Также нам известна длина основания a этого треугольника — которое является стороной исходного правильного многоугольника.

Также известен угол между бедрами — по формуле (1).
Опустим высоту на основание и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник.
При помощи тригонометрических функций острого угла получим:

[tgbigg(frac{360°}{2n}bigg) = frac{a}{2r}]

отсюда получим формулу радиуса вписанной окружности правильного многоугольника:

[r = frac{a}{2 tg(frac{360°}{2n})}]

(a – сторонa правильного многоугольника; n – число сторон правильного многоугольника; r – радиус вписанной окружности правильного многоугольника)

Вычислить, найти радиус вписанной окружности в правильный многоугольник по формуле (3)

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник	стр. 256

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

a – сторона многоугольника

N – количество сторон многоугольника

Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник, ( r ):

Калькулятор – вычислить, найти радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

Нахождение радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности

В публикации представлена формула, с помощью которой можно найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, а также приведен пример решения задачи для лучшего понимания представленного материала.

Формула расчета радиуса окружности

На рисунке изображен правильный шестиугольник со вписанной в него окружностью, но формула ниже подходит для любого правильного n-угольника.

где a – длина стороны.

Примечание: зная радиус вписанного круга можно найти сторону равностороннего n-угольника:

Пример задачи

Вычислите радиус вписанной в правильный восьмиугольник окружности, если длина его стороны составляет 12 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известное значение.

Правильный многоугольник

Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.

a 1 = a 2 = a 3 = … = a n-1 = a n ,

α 1 = α 2 = α 3 = … = α n-1 = α n

где a₁ … a_n — длины сторон правильного многоугольника,
α ₁ … α _n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны: a 1 = a 2 = a 3 = … = a n-1 = a n
2. Все углы равны: α 1 = α 2 = α 3 = … = α n-1 = α n
3. Центр вписанной окружности O_в совпадает с центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольникаO.
4. Сумма всех углов n-угольника равна: 180° · n – 2
5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β 1 + β 2 + β 3 + … + β n-1 + β n = 360°
6. Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: D n = n · n – 3 2
7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π 4 · a 2
8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O .

Формулы правильного n-угольника

Формулы длины стороны правильного n-угольника

Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности

a = 2 · r · tg 180° n (через градусы),

a = 2 · r · tg π n (через радианы)

Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности

a = 2 · R · sin 180° n (через градусы),

a = 2 · R · sin π n (через радианы)

Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны

r = a : 2 · tg 180° n (через градусы),

r = a : 2 · tg π n (через радианы)

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны

R = a : 2 · sin 180° n (через градусы),

R = a : 2 · sin π n (через радианы)

Формулы площади правильного n-угольника

Формула площади n-угольника через длину стороны

Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности

Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности

Формула периметра правильного многоугольника

Формула периметра правильного n-угольника

Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника

Формула угла между сторонами правильного n-угольника

Правильный треугольник

Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.

Формулы правильного треугольника

Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.

Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.

Формула площади правильного треугольника через длину стороны

Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

Углы между сторонами правильного треугольника

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это квадрат.

Формулы правильного четырехугольника

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.

Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.

Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.

Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны

Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.

Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.

Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.

Углы между сторонами правильного четырехугольника

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.

Формулы правильного шестиугольник

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Углы между сторонами правильного шестиугольника

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.

[spoiler title=”источники:”]

http://urokmatematiki.ru/reference-information/formuly-po-geometrii/pravilny-mnogougolnik.php

[/spoiler]