В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем тетраэдра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Формула вычисления объема тетраэдра
- 1. Общая формула (через площадь основания и высоту)
- 2. Объем правильного тетраэдра
-
Примеры задач
Формула вычисления объема тетраэдра
1. Общая формула (через площадь основания и высоту)
Объем (V) тетраэдра считается также, как и объем любой пирамиды. Он равняется одной третьей произведения площади любой грани и высоты, опущенной на нее:
- S – площадь грани ABC, в данном случае выступающего в роли основания
- h – высота, опущенная на грань ABC
2. Объем правильного тетраэдра
В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Объем данной фигуры равен одной двенадцатой произведения длины его ребра в кубе на квадратный корень из числа 2.
Т.к. это правильный тетраэдр, все его ребра равны (AB = BC = AC = AD = BD = CD).
Примеры задач
Задание 1
Площадь одной из граней тетраэдра равна 24 см2, а высоту, опущенная на нее – 9 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Применим общую формулу и получаем:
Задание 2
Дан правильный тетраэдр, ребро которого равняется 8 см. Найдите его объем.
Решение:
Воспользуемся формулой для расчета объема правильной фигуры:
Как найти ребро тетраэдра
Объемная геометрическая фигура, которую образуют четыре грани, называется тетраэдром. Каждая из граней такой фигуры может иметь только треугольную форму. Любая из четырех вершин многогранника образуется тремя ребрами, а общее число ребер равно шести. Возможность рассчитать длину ребра существует не всегда, но если она есть, то конкретный способ вычислений зависит от имеющихся исходных данных.
Инструкция
Если рассматриваемая фигура является «правильным» тетраэдром, то она составлена из граней, имеющих форму равносторонних треугольников. Все ребра такого многогранника имеют одинаковую длину. Если вам известен объем (V) правильного тетраэдра, то для расчета длины любого его ребра (a) извлеките кубический корень из частного от деления увеличенного в двенадцать раз объема на квадратный корень из двойки: a=?v(12*V/v2). Например, при объеме в 450см? правильный тетраэдр должен иметь ребро, длиной ?v(12*450/v2) ? ?v(5400/1,41) ? ?v3829,79 ? 15,65см.
Если из условий задачи известна площадь поверхности (S) правильного тетраэдра, то для нахождения длины ребра (a) тоже не обойтись без извлечения корней. Поделите единственную известную величину на квадратный корень из тройки, а из полученного значения тоже извлеките квадратный корень: a=v(S/v3). Например, правильный тетраэдр, площадь поверхности которого составляет 4200см?, должен иметь длину ребра, равную v(4200/v3) ? v(4200/1,73) ? V2427,75 ? 49,27см.
Если известна высота (H), проведенная из любой вершины правильного тетраэдра, то этого тоже достаточно для расчета длины ребра (a). Поделите утроенную высоту фигуры на квадратный корень из шестерки: a=3*H/v6. Например, при высоте правильного тетраэдра в 35см длина его ребра должна быть равна 3*35/v6 ? 105/2,45 ? 42,86см.
Если никаких исходных данных самой фигуры нет, но известен радиус вписанной в правильный тетраэдр сферы (r), то найти длину ребра (a) этого многогранника тоже возможно. Чтобы это сделать увеличьте радиус в двенадцать раз и разделите на квадратный корень из шестерки: a=12*r/v6. Например, если радиус равен 25см, то длина ребра будет составлять 12*25/v6 ? 300/2,45 ? 122,45см.
Если известен радиус не вписанной, а описанной около правильного тетраэдра сферы (R), то длина ребра (a) должна быть в три раза меньше. Увеличьте радиус на этот раз только в четыре раза и снова разделите на квадратный корень из шести: a=4*r/v6. Например, чтобы радиус описанной сферы был равен 40см, длина ребра должна иметь величину в 4*40/v6 ? 160/2,45 ? 65,31см.
Источники:
- Правильная четырёхугольная пирамида
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Объем тетраэдра
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC . 
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра
Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.
Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.
Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.
Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
- S – площадь любой грани,
- H – высота, опущенная на эту грань
Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра
Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:
- Все грани равны.
- Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
- Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
- Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).
Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна 
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой
, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= 
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим 
Вынесем 1/2a. Получим
Применим формулу разность квадратов
После небольших преобразований получим
Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле 
,
где 
,
Подставив эти значения, получим 
Таким образом формула объема для правильного тетраэдра
где a –ребро тетраэдра
Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин
Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра 
Из вершины 
проведем векторы 
, 
, 
.
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула
Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем тетраэдра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Формула вычисления объема тетраэдра
1. Общая формула (через площадь основания и высоту)
Объем (V) тетраэдра считается также, как и объем любой пирамиды. Он равняется одной третьей произведения площади любой грани и высоты, опущенной на нее:
-
S – площадь грани ABC, в данном случае выступающего в роли основания
2. Объем правильного тетраэдра
В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Объем данной фигуры равен одной двенадцатой произведения длины его ребра в кубе на квадратный корень из числа 2.
Т.к. это правильный тетраэдр, все его ребра равны (AB = BC = AC = AD = BD = CD).
Примеры задач
Задание 1
Площадь одной из граней тетраэдра равна 24 см 2 , а высоту, опущенная на нее – 9 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Применим общую формулу и получаем:
Задание 2
Дан правильный тетраэдр, ребро которого равняется 8 см. Найдите его объем.
Решение:
Воспользуемся формулой для расчета объема правильной фигуры:
Объем тетраэдра площадь треугольника
Из основной формулы для объёма тетраэдра
(1),
где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD.
(2) ,
где ∠ (AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;
(3) ,
где ∠ (ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;
(4) ,
где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠ (AB,CD) – угол между этими ребрами.
Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.
Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула
(5) ,
где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):
(6) ,
где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB × CD, AC × BD,AD × BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:
(7) ,
где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.
Наконец, приведем векторную формулу:
(8) ,
где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.
[spoiler title=”источники:”]
http://school-collection.edu.ru/dlrstore-wrapper/41cad97f-3245-422f-b97f-30dddea784f0/Obem_tetraedra.html
[/spoiler]
Рассчитать связь стороны а квадрата DEFG, вписанного в равносторонний треугольник АВС со стороной d, так, что точки D и G
принадлежат отрезку АС, можно через пропорции или теорему Пифагора. Стороной EF отсекается равносторонний треугольник EBF. EB
= a
Значит для треугольника AED можно по Пифагору составить
AE^2 = ED^2 + AD^2
(d-a)^2 = a^2 +((d-a)/2)^2
3(d-a)^2 = 4a^2
-3d^2 + 6 da + a^2 = 0
a1,2 = -3d +- sqrt(9d^2 + 3d^2)=(-3+- 2sqrt(3))d минус отбрасываем
a = (2sqrt(3) – 3)d
d= a(2sqrt(3)+3)/3
Теперь возьмём тетраэдр A’B’C’S с ребром L. Треугольник АВС, рассмотренный ранее, находится на высоте а от основания A’B’C’.
В треугольнике SA’C’ проведём высоту SM’, которая пересекает АС в точке М. Поскольку SABC является также тетраэдром, то треугольник SAC равносторонний и его высота SM = d sqrt(3)/2. Высота треугольника SA’C’ SM’ = L sqrt(3) /2. Теперь вспомним, что угол наклона грани имеет косинус равный 1/3, значит синус равен 2sqrt(2)/3. Отрезок MM’ = a / (2sqrt(2)/3) = a 3sqrt(2)/4.
SM’ = SM + MM’
L sqrt(3) /2 = d sqrt(3)/2 + a 3sqrt(2)/4
2L sqrt(3) = 2d sqrt(3) + a 3 sqrt(2);
L = d + a sqrt(3/2) = a ((2sqrt(3)+3)/3) + sqrt(6)/2)
Строить из отрезка L отрезок a = L/((2sqrt(3)+3)/3) + sqrt(6)/2), хоть и громоздко, но реально
Куб является первым представителем в ряду правильных многогранников, благодаря тому, что все его ребра равны между собой. Все грани куба являются квадратами, в которых ребро куба становится стороной квадрата и связано отношениями с его площадью и диагональю. Найти ребро куба, зная диагональ основания, можно разделив ее на корень из двух.
Также можно найти ребро куба, зная площадь основания:
Поскольку у куба могут быть даны площади боковой и полной его поверхности, приведем необходимые формулы ребра куба и для них:
Если исходить из понятия ребра, как части объемного тела, то в таком случае становится возможным вычислить ребро куба, зная его объем:
Одной из немаловажных деталей куба является его диагональ, соединяющая противоположные вершины верхнего и нижнего оснований, впрочем, для куба это могут быть любые два противоположных основания, так как все его грани конгруэнтны. Диагональ куба D, соединенная с диагональю основания d и ребром a дает прямоугольный треугольник, в котором из теоремы Пифагора можно найти ребро куба следующим образом.
a2+d2=D2
3a2=D2
