Правильный треугольник как найти радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

– сторона треугольника

– высота

– радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 09 сентября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
Примеры задач

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Источник

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

$[BO = frac{2}{3}BF,]$

$[R = frac{2}{3} cdot frac{{asqrt 3 }}{2} = frac{{asqrt 3 }}{3}.]$

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности —

$[R = frac{{asqrt 3 }}{3}]$

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности —

$[a = frac{{3R}}{{sqrt 3 }} = Rsqrt 3 .]$

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

$[S = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}.]$

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

$[ S = frac{{a^2 sqrt 3 }}{4} = frac{{(Rsqrt 3 )^2 cdot sqrt 3 }}{4} = frac{{R^2 cdot 3sqrt 3 }}{4}. ]$

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности —

$[ S = frac{{3sqrt 3 cdot R^2 }}{4}. ]$

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

$[left. begin{array}{l} BO = R,OF = r\ BO = frac{2}{3}BF,OF = frac{1}{3}BF end{array} right} Rightarrow R = 2r.]$

Источник

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности