Начнем с довольно простой, но в то же время интересной темы, в которой школьники зачастую делают ошибки – нахождение дроби от числа.
Что такое часть от целого? Если у нас есть некоторое значение и нам необходимо вычислить некоторую долю или дробь от этого значения. Например, зная вес пиццы, найти вес нескольких ее кусочков.
При этом нужная доля может быть выражена как в виде обыкновенной дроби, так и в виде десятичной дроби или процентов. Для нахождения процента от числа стоит предварительно перевести проценты в десятичную дробь, просто разделив на 100. Например, 28 % = 0,28.
Для того, чтобы найти, сколько весят x кусочков пиццы, порезанной на равные y кусков, нужно общий вес пиццы разделить на y и умножить на x. Допустим, пицца весит Q грамм. То есть нам необходимо найти вес x/y части пиццы.
Немного парадоксальная ситуация: нужно найти часть, а мы умножаем, а не делим. Но на самом деле никакого парадокса в этом нет, если вспомнить, что дробь, вернее, горизонтальная черта дроби – это деление.
Да и при умножении на десятичную дробь меньше 1 мы тоже получим значение меньшее, чем исходное.
Немного запутать может ситуация, когда целая часть выражена в виде обыкновенной или десятичной дроби. Не стоит обращать на это внимание. Алгоритм действий точно такой же.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Для закрепления материала предлагаем несколько примеров для самостоятельного решения. Ответы размещайте в комментариях.
Надеемся, эта тема была вам интересна. Если что-то осталось непонятным, задавайте вопросы в комментариях.
Завтра разберемся, как найти число, если нам известна только его часть.
Ставим лайки, подписываемся, в комментариях пишем темы, которые вам хотелось бы разобрать, задаем вопросы.
До скорой встречи!
Задача. В пятом классе (25) учеников.
всех учащихся класса составляют мальчики.
Сколько мальчиков в классе?
| Вопросы к задаче | Ответы |
| 1. Какая величина принята за целое? |
1. За целое принято количество всех учеников класса |
| 2. Известна ли целая величина? | 2. Целое известно: (25) учеников |
| 3. Какую величину нужно найти? | 3. Количество мальчиков в классе, или часть от целого |
| 4. Как найти величину, которая приходится на 15? |
4. (25 : 5 = 5) учеников |
|
5. Как найти величину, которая приходится на 25 ? |
5. (5 · 2 = 10) мальчиков |
Ответ: в пятом классе (10) мальчиков.
Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель
и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.
Пример:
от (39) будет (39 : 3 · 2 = 13 · 2 = 26);
от (60) будет (60 : 4 · 3 = 15 · 3 = 45.)
Математика
5 класс
Урок № 67
Нахождение части целого и целого по его части
Перечень рассматриваемых вопросов
– нахождение целого по его части;
– нахождение части целого;
– моделирование условий задачи с помощью рисунка.
Тезаурус
Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.
Частное дробей – это дробь, которая при умножении на делитель даёт делимое.
Обязательная литература
- Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже рассмотрели, как выполняют умножение и деление дробей. Сегодня с помощью этих действий мы будем решать задачи.
Рассмотрим две задачи.
Теперь определим, какие условия в задачах одинаковы, а какие различаются.
Общее:
- в задачах одинаковые числовые данные;
- за целое принята длина всей ленты.
Разное:
- в первой задаче целое известно (длина ленты – 18 м);
- во второй задаче целое нужно найти.
Значит, в первой задаче нужно найти часть отрезанной ленты, то есть часть от целого; а во второй задаче нужно найти всю длину ленты, то есть целое по его части.
Подобные задачи решаются в соответствие с известными правилами.
- Чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь, соответствующую этой части.
- Чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую дробь.
Если вы затрудняетесь определить тип задачи, обратите внимание на союз «что» и указательное местоимение «это». Они встречаются в задачах на нахождение целого по его части.
Решение.
Смоделируем условие задачи с помощью рисунка.
После этого мы увидим, что длина целой ленты известна, а длину части следует вычислить. Значит, мы будем находить часть от целого. Используем для этого соответствующее правило. Чтобы найти часть числа, нужно число умножить на дробь. Получим:
Решение.
Опять смоделируем условие задачи с помощью рисунка.
Таким образом, мы увидим, что длина целой ленты неизвестна, а длина части указана в условии. Значит, нам надо вычислить целое по его части. Для этого мы используем подходящее правило. Чтобы найти целое, нужно число, соответствующее части, разделить на дробь.
Получится:
Итак, сегодня на уроке мы научились:
-
- моделировать условие задачи с помощью рисунка;
- устанавливать соответствие между математическим выражением и его текстовым описанием;
- решать задачи на нахождение части целого и целого по его части.
Рассмотрим старинную индийскую задачу XII века.
Из множества лотосов были подарены: богу Шиве – треть всех цветов, богу Вишну – пятая часть, а Солнцу – шестая, четвёртую долю получила богиня Бхавани, а остальные шесть частей – уважаемый учитель. Сколько было всего лотосов?
Сегодня мы с вами научимся решать такие задачи с применением действий умножения и деления, изученных ранее.
Решение.
Смоделируем условие задачи с помощью рисунка.
Общее количество лотосов обозначим за единицу. Также укажем части (лотосы), которые распределялись между всеми, кто указан в задании.
Известно, что часть, доставшаяся учителю, равна шести лотосам. Значит, если мы будем знать, какая это доля от общего количества лотосов, то придём ко второму типу задачи – вычислению целого по его части.
Итак, найдём, какая часть от общего количества цветков досталась учителю.
Для этого вычислим сначала, сколько составляют все остальные части. Сложим все дроби, соответствующие частям, приведя их к общему знаменателю 60.
Ответ: 120 цветков.
Тренировочные задания
№ 1. Какие части изображены на рисунках?
Правильные ответы:
№ 2. Подставьте в текст нужные слова:
При решении задач на ___ сначала нужно определить ___ задачи, а потом применить соответствующее правило.
Типы задач:
- нахождение ___ от целого;
- нахождение целого по его ___.
Варианты слов для подстановки в текст: части; тип; целого.
Правильный ответ: при решении задач на части сначала нужно определить тип задачи, а потом применить соответствующее правило.
Типы задач:
- нахождение части от целого;
- нахождение целого по его части.
Нахождение дроби от числа
Чтобы найти часть от целого числа n, которая представлена дробью, нужно умножить эту дробь (например, a/b) на данное число n.
Дробь от числа = n ⋅a / b
= n ⋅ a / b
Пример 1
Найдем5 / 12
от числа 24.
Решение
5 / 12
⋅ 24 =5 ⋅ 24 / 12
=120 / 12
= 10
Пример 2
Найдем4 / 9
от числа 7.
Решение
4 / 9
⋅ 7 =4 ⋅ 7 / 9
=28 / 9
=31 / 9
Таким образом, результат нахождения дроби числа не всегда бывает целым числом.
Примечание: если дробь является смешанной, сперва ее следует представить в виде неправильной и только потом выполнять умножение.
Видео
Нахождение дроби от числа
Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:
Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.
Задача 1. Было 600 рублей, 
этой суммы истратили. Сколько денег истратили?
Решение: Чтобы найти 
от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4 части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:
600 : 4 = 150 (р.).
Ответ: Истратили 150 рублей.
Задача 2. Было 1000 рублей, 
этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?
Решение: Из условия задачи мы знаем, что 1000 рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от 1000, а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:
1) 1000 : 5 = 200 (р.) — одна пятая часть.
2) 200 · 2 = 400 (р.) — две пятых части.
Эти два действия можно объединить:
1000 : 5 · 2 = 400 (р.).
Ответ: Было истрачено 400 рублей.
Второй способ нахождения части целого:
Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.
Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее 
членов организации. В кооперативе 120 членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?
Решение:
Ответ: Отчётное собрание может состояться при наличии 80 членов организации.
Нахождение целого числа по дроби
Зная часть числа и сколько это составляет от целого числа, можно найти изначальное целое число. Это обратная задача к той, которую мы рассматривали в предыдущей теме. Там мы искали дробь от числа, деля это число на знаменатель дроби, и полученный результат умножая на числитель дроби.
А сейчас наоборот, зная дробь и сколько это составляет от числа, найти изначальное целое число.
Например, если 
длины линейки составляют шесть сантиметров и нам говорят найти длину всей линейки, то мы должны понимать, что от нас требуют найти изначальное целое число (длину всей линейки) по дроби 
. Давайте решим эту задачу.
Требуется найти длину всей линейки по дроби 
. Известно, что 
длины всей линейки составляют 6 см.
Мы уже знаем каким образом получились эти 6 см. Имелась какая-то длина, её разделили на пять частей, поскольку знаменатель дроби 
это число 5. Затем было взято две части от пяти частей, поскольку числитель дроби 
это число 2.
Чтобы узнать длину всей линейки, сначала нужно узнать длину одной части. Как это узнать? Попробуем догадаться, внимательно изучив следующий рисунок:
Если две части длины линейки составляют 6 см, то нетрудно догадаться, что одна часть составляет 3 см. А чтобы получить эти 3 см, надо 6 разделить на 2
6 см : 2 = 3 см
Итак, мы нашли длину одной части. Одна часть из пяти или 
длины линейки составляет 3 см. Если частей всего пять, то для нахождения длины линейки, нужно взять три сантиметра пять раз. Другими словами, умножить 3 см на число 5
3 см × 5 = 15
Мы нашли длину линейки. Она составляет 15 сантиметров. Это можно увидеть на следующем рисунке.
Видно, что пять частей из пяти или 
составляют пятнадцать сантиметров.
Чтобы легче было находить число по его дроби, можно пользоваться следующим правилом:
Чтобы найти число по его дроби, нужно известное число разделить на числитель дроби, и полученный результат умножить на знаменатель дроби.
Пример 2. Число 20 это 
от всего числа. Найдите это число.
Знаменатель дроби 
показывает, что число, которое мы должны найти, разделено на пять частей. Если 
этого числа составляет число 20, то для нахождения всего числа, сначала нужно найти 
(одну часть из пяти) от всего числа. Для этого 20 надо разделить на числитель дроби 
20 : 4 = 5
Мы нашли 
от всего числа. Эта часть равна 5. Чтобы найти всё число, нужно полученный результат 5 умножить на знаменатель дроби 
5 × 5 = 25
Мы нашли 
от всего числа. Другими словами, нашли всё число, которое от нас требовали найти. Это число 25.
Пример 3. Десять минут это 
времени приготовления каши. Найдите общее время приготовления каши.
Знаменатель дроби 
показывает, что общее время приготовления каши разделено на три части. Если 
времени приготовления каши составляет десять минут, то для нахождения общего времени приготовления, нужно сначала найти 
времени приготовления. Для этого 10 нужно разделить на числитель дроби 
10 мин : 2 = 5 мин
Мы нашли 
времени приготовления каши. 
времени приготовления каши составляют пять минут. Для нахождения общего времени приготовления, нужно 5 минут умножить на знаменатель дроби 
5 мин × 3 = 15 мин
Мы нашли 
времени приготовления каши, то есть нашли общее время приготовления. Оно составляет 15 минут.
Пример 4. 
массы мешка цемента составляет 30 кг. Найти общую массу мешка.
Знаменатель дроби 
показывает, что общая масса мешка разделена на четыре части. Если 
массы мешка составляет 30 кг то для того, чтобы найти общую массу мешка нужно сначала найти 
массы мешка. Для этого 30 надо разделить на числитель дроби 
.
30кг : 2 = 15кг
Мы нашли 
массы мешка. 
массы мешка составляет 15 кг. Теперь, чтобы найти общую массу мешка, надо 15кг умножить на знаменатель дроби 
15кг × 4 = 60кг
Мы нашли 
массы мешка. Другими словами, нашли общую массу мешка. Общая масса мешка цемента составляет 60 кг.
Нахождение целого по части
Чтобы, найти целое число по значению данной его части, эту величину делят на дробь, которая выражает её часть.
Вес обработанной туши животного составляет три пятых общего живого веса. Нужно определить какой должен быть живой вес животного, чтобы его заготовленная туша весила 420 кг?
Живой вес животного составляет семьсот килограмм по отношению к туше:
Регистрация
Ваше имя
Пароль
Хочу получать рассылку рекламных и информационных сообщений.
Нажимая на кнопку «Регистрация», вы подтверждаете свое согласие сусловиями предоставления услуг (пользовательское соглашение) и условиями обработки персональных данных
Теги
Нахождение части от целого
Найди 2/8 от 80.
80 делим на 8 и умножаем на 2.
80:8=10 – это 1/8
10*2=20 – это 2/8
80:8*2=20
Нахождение целого по его части
Найди целое, если ¾ составляют 15.
15 делим на 3 и умножаем на 4.
15:3=4 – это ¼
5*4=20 – это целое.
15:3*4=20
Нахождение части от целого
Найди 2/8 от 80.
80 делим на 8 и умножаем на 2.
80:8=10 – это 1/8
10*2=20 – это 2/8
80:8*2=20
Нахождение целого по его части
Найди целое, если ¾ составляют 15.
15 делим на 3 и умножаем на 4.
15:3=5 – это ¼
5*4=20 – это целое.
15:3*4=20
