Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.
Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.
Нахождение неизвестного слагаемого
Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:
Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.
В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.
Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.
Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.
Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:
- Первым пишется исходное уравнение.
- Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
- После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.
Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:
4+x=9,x=9−4,x=5.
Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.
Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого
Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.
Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.
Например, у нас есть уравнение x-6=10. Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6, получим 16. То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:
x−6=10,x=10+6,x=16.
Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16-6=10. Равенство 16-16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.
Воспользуемся правилом для решения уравнения 10-x=8. Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10-8=2. Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:
10-x=8,x=10-8,x=2.
Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10-2=8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.
Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2. Проводим деление натуральных чисел и получаем 10. Запишем последовательность равенств:
x·2=20x=20:2x=10.
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2·10=20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Нахождение неизвестного делимого или делителя
Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.
Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.
Посмотрим, как применяется данное правило.
Решим с его помощью уравнение x:3=5. Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15, которое и будет нужным нам делимым.
Вот краткая запись всего решения:
x:3=5,x=3·5,x=15.
Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5. Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.
Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.
Возьмем простой пример – уравнение 21:x=3. Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7. Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:
21:x=3,x=21:3,x=7.
Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21:7=3, так что корень уравнения был вычислен верно.
Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
У нас есть уравнение вида 3·x+1=7. Вычисляем неизвестное слагаемое 3·x, отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3·x=7−1, потом 3·x=6. Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2:
(2·x−7):3−5=2,(2·x−7):3=2+5,(2·x−7):3=7,2·x−7=7·3,2·x−7=21,2·x=21+7,2·x=28,x=28:2,x=14.
Множитель,
множитель, произведение. Делимое, делитель, частное.
Привет,
ребята!
Сегодня
у нас непростой урок, ведь нам предстоит разобраться, как находить неизвестные: множитель, делимое или делитель.
А для чего это надо уметь? Догадались? Ну конечно для того, чтобы уверенно решать
уравнения! И мы, конечно же, решим несколько уравнений. Но прежде надо
кое-что вспомнить.
Я предлагаю вам посмотреть на буквенную запись
действия умножения.
А и Б в этой записи являются множителями,
Ц – произведением. Понятно, что произведение мы получаем
действием умножения. Это – целое, то есть наибольшее число. А вот множители
являются частями. Значит, их мы находим обратным действием, делением.
То есть, если нужно найти неизвестный
множитель, мы произведение делим на известный множитель.
А теперь посмотрим на буквенную запись деления:
Обычно, целое можно разделить на части. Поэтому
К, делимое, является целым, а М и Н – это части. И, естественно, что целое мы находим
умножением. Поэтому, если надо найти неизвестное делимое, мы
перемножаем делитель с частным.
А вот делитель является частью. И, если надо найти
неизвестный делитель, то его мы найдём, разделив делимое на частное.
Ну а теперь пришло время решать уравнения.
Давайте разберём вот это уравнение:
х · 9 = 126 : 2
Посмотрите, это у нас осложнённое уравнение.
Поэтому, прежде всего, надо его упростить, то есть, выполнить действие в правой
части уравнения. Сто двадцать шесть разделить на два равно шестьдесят три. Переписываем
уравнение, заменив действие деления на его результат. Здесь надо найти
неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, мы
произведение делим на известный множитель.
Шестьдесят
три делим на девять, получается семь.
х
· 9 = 63
х
= 63 : 9
х
= 7
7
· 9 = 126 : 2
63
= 63
Не
забываем выполнить проверку уравнения. Сначала переписываем его, заменив икс на
его значение, которое мы получили – семь. Семью девять – шестьдесят три. Сто
двадцать шесть разделить на два – шестьдесят три. Левая и правая части
уравнения равны, значит, уравнение решено верно. Решаем следующее уравнение:
х
: 7 = 15 · 4
Упрощаем:
х
: 7 = 60
х
= 60 · 7
х
= 420
Неизвестное
делимое находим умножением.
Проверяем.
420
: 7 = 15 · 4
60
= 60
Ну, а следующее уравнение я предлагаю вам решить
самостоятельно.
360 : х = 96 + 24
Какой компонент здесь надо найти? Неизвестный
делитель. А его мы находим
делением.
Проверьте,
ребята, так ли решено у вас уравнение?
360
: х = 90
х
= 360 : 90
х
= 4
360
: 4 = 66 + 24
90
= 90
Видите,
как помогает при решении уравнений знание
правил.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный
множитель.
Чтобы
найти неизвестное делимое, надо делитель
умножить на частное.
Чтобы
найти неизвестный делитель, надо делимое
разделить на частное.
Выучите
их, ребята, и не забывайте пользоваться при решении уравнений. Пока! До новых
встреч!
Содержание материала
- В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
- Получите невероятные возможности
- Видео
- Нахождение неизвестного множителя
- Расширенный алгоритм Евклида*
- Решето Эратосфена
- Задание
- Асимптотика
- Гармонический ряд
- Попытка объяснения асимптотики** (для старших классов)
- Последовательное применение правил
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта. 2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам. 3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Нет, спасибо
Получить доступ
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных , c: a=b, c: b=c и наоборот.
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2. Проводим деление натуральных чисел и получаем 10. Запишем последовательность равенств:
x·2=20x=20:2x=10.
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2·10=20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Видео
Расширенный алгоритм Евклида*
Очень важным для математики свойством наибольшего общего делителя является следующий факт:
Для любых целых (a, b) найдутся такие целые (x, y), что (ax + by = d), где (d = gcd(a, b)).
Из этого следует, что существует решение в целых числах, например, у таких уравнений: * (8x + 6y = 2) * (4x — 5y = 1) * (116x + 44y = 4) * (3x + 11y = -1)
Мы сейчас не только докажем, что решения у таких уравнений существуют, но и приведем быстрый алгоритм нахождения этих решений. Здесь нам вновь пригодится алгоритм Евклида.
Рассмотрим один шаг алгоритма Евклида, преобразующий пару ((a, b)) в пару ((b, a operatorname{%} b)). Обозначим (r = a operatorname{%} b), то есть запишем деление с остатком в виде (a = bq + r).
Предположим, что у нас есть решение данного уравнения для чисел (b) и (r) (их наибольший общий делитель, как известно, тоже равен (d)): [bx_0 + ry_0 = d]
Теперь сделаем в этом выражении замену (r = a — bq):
[bx_0 + ry_0 = bx_0 + (a — bq)y_0 = ay_0 + b(x_0 — qy_0)]
Tаким образом, можно взять (x = y_0), а (y = (x_0 — qy_0) = (x_0 — (a operatorname{/} b)y_0)) (здесь (/) обозначает целочисленное деление).
В конце алгоритма Евклида мы всегда получаем пару ((d, 0)). Для нее решение требуемого уравнения легко подбирается — (d * 1 + 0 * 0 = d). Теперь, используя вышесказанное, мы можем идти обратно, при вычислении заменяя пару ((x, y)) (решение для чисел (b) и (a operatorname{%} b)) на пару ((y, x — (a / b)y)) (решение для чисел (a) и (b)).
Это удобно реализовывать рекурсивно:
Но также полезно и посмотреть, как будет работать расширенный алгоритм Евклида и на каком-нибудь конкретном примере. Пусть мы, например, хотим найти целочисленное решение такого уравнения: [116x + 44y = 4] [(2times44+28)x + 44y = 4] [44(2x+y) + 28x = 4] [44x_0 + 28y_0 = 4] Следовательно, [x = y_0, y = x_0 — 2y_0] Будем повторять такой шаг несколько раз, получим такие уравнения: [116x + 44y = 4] [44x_0 + 28y_0 = 4, x = y_0, y = x_0 — 2y_0] [28x_1 + 16y_1 = 4, x_0 = y_1, y_0 = x_1 — y_1] [16x_2 + 12y_2 = 4, x_1 = y_2, y_1 = x_2 — y_2] [12x_3 + 4y_3 = 4, x_2 = y_3, y_2 = x_3 — y_3] [4x_4 + 0y_4 = 4, x_3 = y_4, y_3 = x_4 — 3 y_4] А теперь свернем обратно: [x_4 = 1, y_4 = 0] [x_3 = 0, y_3 =1] [x_2 = 1, y_2 =-1] [x_1 = -1, y_1 =2] [x_0 = 2, y_0 =-3] [x = -3, y =8]
Действительно, (116times(-3) + 44times8 = 4)
Решето Эратосфена
Часто нужно не проверять на простоту одно число, а найти все простые числа до (N). В этом случае наивный алгоритм будет работать за (O(Nsqrt N)), так как нужно проверить на простоту каждое число от 1 до (N).
Но древний грек Эратосфен предложил делать так:
Запишем ряд чисел от 1 до (N) и будем вычеркивать числа: * делящиеся на 2, кроме самого числа 2 * затем деляющиеся на 3, кроме самого числа 3 * затем на 5, затем на 7, и так далее и все остальные простые до n. Таким образом, все незачеркнутые числа будут простыми — «решето» оставит только их.
Красивая визуализация
Задание
Найдите этим способом на бумажке все простые числа до 50, потом проверьте с программой:
У этого алгоритма можно сразу заметить несколько ускорений.
Во-первых, число (i) имеет смысл перебирать только до корня из (N), потому что при зачеркивании составных чисел, делящихся на простое (i > sqrt N), мы ничего не зачеркнем. Почему? Пусть существует составное (M leq N), которое делится на %i%, и мы его не зачеркнули. Но тогда (i > sqrt N geq sqrt M), а значит по ранее нами доказанному утверждению (M) должно делиться и на простое число, которое меньше корня. Но это значит, что мы его уже вычеркнули.
Во-вторых, по этой же самое причине (j) имеет смысл перебирать только начиная с (i^2). Зачем вычеркивать (2i), (3i), (4i), …, ((i-1)i), если они все уже вычеркнуты, так как мы уже вычеркивали всё, что делится на (2), (3), (4), …, ((i-1)).
Асимптотика
Такой код будет работать за (O(N log log N)) по причинам, которые мы пока не хотим объяснять формально.
Гармонический ряд
Научимся оценивать асимптотику величины (1 + frac{1}{2} + ldots + frac{1}{N}), которая нередко встречается в задачах, где фигурирует делимость.
Возьмем (N) равное (2^i — 1) и запишем нашу сумму следующим образом: [left(frac{1}{1}right) + left(frac{1}{2} + frac{1}{3}right) + left(frac{1}{4} + ldots + frac{1}{7}right) + ldots + left(frac{1}{2^{i — 1}} + ldots + frac{1}{2^i — 1}right)]
Каждое из этих слагаемых имеет вид [frac{1}{2^j} + ldots + frac{1}{2^{j + 1} — 1} le frac{1}{2^j} + ldots + frac{1}{2^j} = 2^j frac{1}{2^j} = 1]
Таким образом, наша сумма не превосходит (1 + 1 + ldots + 1 = i le 2log_2(2^i — 1)). Тем самым, взяв любое (N) и дополнив до степени двойки, мы получили асимптотику (O(log N)).
Оценку снизу можно получить аналогичным образом, оценив каждое такое слагаемое снизу значением (frac{1}{2}).
Попытка объяснения асимптотики** (для старших классов)
Мы знаем, что гармонический ряд (1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ldots + frac{1}{N}) это примерно (log N), а значит [N + frac{N}{2} + frac{N}{3} + ldots + frac{N}{N} sim N log N]
А что такое асимптотика решета Эратосфена? Мы как раз ровно (frac{N}{p}) раз зачеркиваем числа делящиеся на простое число (p). Если бы все числа были простыми, то мы бы как раз получили (N log N) из формули выше. Но у нас будут не все слагаемые оттуда, только с простым (p), поэтому посмотрим чуть более точно.
Известно, что простых чисел до (N) примерно (frac{N}{log N}), а значит допустим, что k-ое простое число примерно равно (k ln k). Тогда
[sum_{substack{2 leq p leq N \ text{p is prime}}} frac{N}{p} sim frac{1}{2} + sum_{k = 2}^{frac{N}{ln N}} frac{N}{k ln k} sim int_{2}^{frac{N}{ln N}} frac{N}{k ln k} dk =N(lnlnfrac{N}{ln N} — lnln 2) sim N(lnln N — lnlnln N) sim N lnln N]
Но вообще-то решето можно сделать и линейным.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
У нас есть уравнение вида 3·x+1=7. Вычисляем неизвестное слагаемое 3·x, отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3·x=7−1, потом 3·x=6. Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2:
(2·x−7):3−5=2,(2·x−7):3=2+5,(2·x−7):3=7,2·x−7=7·3,2·x−7=21,2·x=21+7,2·x=28,x=28:2,x=14.
Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги
Теги
Памятка по нахождению неизвестных компонентов действий.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- Мне нравится
Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения
Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.
Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.
Нахождение неизвестного слагаемого
Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9 . Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9 , значит, можно записать уравнение 4 + x = 9 . Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x ? Для этого надо использовать правило:
Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.
В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a + b = c , то c − a = b и c − b = a , и наоборот, из выражений c − a = b и c − b = a можно вывести, что a + b = c .
Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.
Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4 + x = 9 . Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9 , известное слагаемое, равное 4 . Вычтем одно натуральное число из другого: 9 – 4 = 5 . Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5 .
Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:
- Первым пишется исходное уравнение.
- Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
- После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.
Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:
4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .
Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4 + x = 9 и получим: 4 + 5 = 9 . Равенство 9 = 9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.
Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого
Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.
Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.
Например, у нас есть уравнение x – 6 = 10 . Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6 , получим 16 . То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:
x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .
Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16 – 6 = 10 . Равенство 16 – 16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.
Воспользуемся правилом для решения уравнения 10 – x = 8 . Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10 – 8 = 2 . Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:
10 – x = 8 , x = 10 – 8 , x = 2 .
Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10 – 2 = 8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.
Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x · 2 = 20 и 3 · x = 12 . В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a · b = c при a и b , не равных 0 , c : a = b , c : b = c и наоборот.
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2 . Проводим деление натуральных чисел и получаем 10 . Запишем последовательность равенств:
x · 2 = 20 x = 20 : 2 x = 10 .
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2 · 10 = 20 . Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x · 0 = 11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0 , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0 . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Нахождение неизвестного делимого или делителя
Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.
Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.
Посмотрим, как применяется данное правило.
Решим с его помощью уравнение x : 3 = 5 . Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15 , которое и будет нужным нам делимым.
Вот краткая запись всего решения:
x : 3 = 5 , x = 3 · 5 , x = 15 .
Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5 . Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.
Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.
Возьмем простой пример – уравнение 21 : x = 3 . Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7 . Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:
21 : x = 3 , x = 21 : 3 , x = 7 .
Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21 : 7 = 3 , так что корень уравнения был вычислен верно.
Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0 . Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0 : x = 0 , то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0 , с делимым, отличным от 0 , решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5 : x = 0 , которое не имеет ни одного корня.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
У нас есть уравнение вида 3 · x + 1 = 7 . Вычисляем неизвестное слагаемое 3 · x , отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3 · x = 7 − 1 , потом 3 · x = 6 . Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения ( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 :
( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 2 + 5 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 7 , 2 · x − 7 = 7 · 3 , 2 · x − 7 = 21 , 2 · x = 21 + 7 , 2 · x = 28 , x = 28 : 2 , x = 14 .
Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения
Долгий путь наработки навыков решения уравнений начинается с решения самых первых и относительно простых уравнений. Под такими уравнениями мы подразумеваем уравнения, в левой части которых находится сумма, разность, произведение или частное двух чисел, одно из которых неизвестно, а в правой части стоит число. То есть, эти уравнения содержат неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или делитель. О решении таких уравнений и пойдет речь в этой статье.
Здесь мы приведем правила, позволяющие находить неизвестное слагаемое, множитель и т.п. Причем будем сразу рассматривать применение этих правил на практике, решая характерные уравнения.
Навигация по странице.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…
Женя с Колей решили покушать яблок, для чего начали их сшибать с яблони. Женя добыл 3 яблока, а в конце процесса у мальчиков оказалось 8 яблок. Сколько яблок сшиб Коля?
Для перевода этой типично задачи на математический язык, обозначим неизвестное число яблок, которые сшиб Коля, через x . Тогда по условию 3 Жениных яблока и x Колиных вместе составляют 8 яблок. Последней фразе соответствует уравнение вида 3+x=8 . В левой части этого уравнения находится сумма, содержащая неизвестное слагаемое, в правой части стоит значение этой суммы – число 8 . Так как же найти интересующее нас неизвестное слагаемое x ?
Для этого существует следующее правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Это правило объясняется тем, что вычитанию придается смысл, обратный смыслу сложения. Иными словами, между сложением и вычитанием чисел существует связь, которая выражается в следующем: из того, что a+b=c следует, что c−a=b и c−b=a , и наоборот, из c−a=b , как и из c−b=a следует, что a+b=c .
Озвученное правило позволяет по одному известному слагаемому и известной сумме определить другое неизвестное слагаемое. При этом не имеет значения, какое из слагаемых неизвестно, первое или второе. Рассмотрим его применение на примере.
Вернемся к нашему уравнению 3+x=8 . Согласно правилу, нам надо из известной суммы 8 вычесть известное слагаемое 3 . То есть, выполняем вычитание натуральных чисел: 8−3=5 , так мы нашли нужное нам неизвестное слагаемое, оно равно 5 .
Принята следующая форма записи решения подобных уравнений:
- сначала записывают исходное уравнение,
- ниже – уравнение, получающееся после применения правила нахождения неизвестного слагаемого,
- наконец, еще ниже, записывают уравнение, полученное после выполнения действий с числами.
Смысл такой формы записи заключается в том, что исходное уравнение последовательно заменяется равносильными уравнениями, из которых в итоге становится очевиден корень исходного уравнения. Подробно об этом говорят на уроках алгебры в 7 классе, а пока оформим решение нашего уравнения уровня 3 класса:
3+x=8 ,
x=8−3 ,
x=5 .
Чтобы убедиться в правильности полученного ответа, желательно сделать проверку. Для этого полученный корень уравнения надо подставить в исходное уравнение и посмотреть, дает ли это верное числовое равенство.
Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5 , получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.
Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?
Связь между сложением и вычитанием чисел, про которую мы уже упоминали в предыдущем пункте, позволяет получить правило нахождения неизвестного уменьшаемого через известное вычитаемое и разность, а также правило нахождения неизвестного вычитаемого через известное уменьшаемое и разность. Будем формулировать их по очереди, и сразу приводить решение соответствующих уравнений.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Для примера рассмотрим уравнение x−2=5 . Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2 , имеем 5+2=7 . Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.
Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .
Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5 . Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.
Можно переходить к нахождению неизвестного вычитаемого. Оно находится с помощью сложения по следующему правилу: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4 , имеем 9−4=5 . Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.
Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .
Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5 , при этом получаем числовое равенство 9−5=4 . Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.
И прежде чем переходить к следующему правилу заметим, что в 6 классе рассматривается правило решения уравнений, которое позволяет выполнять перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Так вот все рассмотренные выше правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого с ним полностью согласованы.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо…
Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6 . В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c , в котором a≠0 и b≠0 следует, что c:a=b и c:b=c , и обратно.
Для примера найдем неизвестный множитель уравнения x·3=12 . Согласно правилу нам надо разделить известное произведение 12 на известный множитель 3 . Проведем деление натуральных чисел: 12:3=4 . Таким образом, неизвестный множитель равен 4 .
Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .
Желательно еще сделать проверку результата: подставляем в исходное уравнение вместо буквы найденное значение, получаем 4·3=12 – верное числовое равенство, поэтому мы верно нашли значение неизвестного множителя.
Отдельно нужно обратить внимание на то, что озвученное правило нельзя применять для нахождения неизвестного множителя, когда другой множитель равен нулю. Например, это правило не подходит для решения уравнения x·0=11 . Действительно, если в этом случае придерживаться правила, то чтобы найти неизвестный множитель нам надо выполнить деление произведения 11 на другой множитель, равный нулю, а на нуль делить нельзя. Эти случаи мы подробно обсудим при разговоре о линейных уравнениях.
И еще один момент: действуя по изученному правилу, мы фактически выполняем деление обеих частей уравнения на отличный от нуля известный множитель. В 6 классе будет сказано, что обе части уравнения можно умножать и делить на одно и то же отличное от нуля число, это не влияет на корни уравнения.
Как найти неизвестное делимое, делитель?
В рамках нашей темы осталось разобраться, как найти неизвестное делимое при известном делителе и частном, а также как найти неизвестный делитель при известном делимом и частном. Ответить на эти вопросы позволяет уже упомянутая в предыдущем пункте связь между умножением и делением.
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Рассмотрим его применение на примере. Решим уравнение x:5=9 . Чтобы найти неизвестное делимое этого уравнения надо согласно правилу умножить известное частное 9 на известный делитель 5 , то есть, выполняем умножение натуральных чисел: 9·5=45 . Таким образом, искомое делимое равно 45 .
Покажем краткую запись решения:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45 .
Проверка подтверждает, что значение неизвестного делимого найдено верно. Действительно, при подстановке в исходное уравнение вместо переменной x числа 45 оно обращается в верное числовое равенство 45:5=9 .
Заметим, что разобранное правило можно трактовать как умножение обеих частей уравнения на известный делитель. Такое преобразование не влияет на корни уравнения.
Переходим к правилу нахождения неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
Рассмотрим пример. Найдем неизвестный делитель из уравнения 18:x=3 . Для этого нам нужно известное делимое 18 разделить на известное частное 3 , имеем 18:3=6 . Таким образом, искомый делитель равен шести.
Решение можно оформить и так:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .
Проверим этот результат для надежности: 18:6=3 – верное числовое равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.
Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0:x=0 , то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5:x=0 , оно не имеет решений.
Совместное использование правил
Последовательное применение правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя позволяет решать и уравнения с единственной переменной более сложного вида. Разберемся с этим на примере.
Рассмотрим уравнение 3·x+1=7 . Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x , для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1 , получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6 . Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3 , имеем x=6:3 , откуда x=2 . Так найден корень исходного уравнения.
Для закрепления материала приведем краткое решение еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2 .
(2·x−7):3−5=2 ,
(2·x−7):3=2+5 ,
(2·x−7):3=7 ,
2·x−7=7·3 ,
2·x−7=21 ,
2·x=21+7 ,
2·x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .
Конспект и презентация урока математики на тему “Нахождение неизвестного множителя”
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Нахождение неизвестного множителя.docx
Тема урока: «Нахождение неизвестного множителя»
Учитель: Ермак Н.Ф.
Тип урока: урок открытия нового знания.
Цель : организовать совместную деятельность учащихся с целью знакомства с нахождением неизвестного множителя.
Предметные: сформировать умение решать уравнения с нахождением неизвестного множителя; умение решать задачи с помощью уравнения; составлять уравнения с неизвестным множителем.
Познавательные : развивать умение самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель; строить речевое высказывание в устной форме; выдвигать гипотезу; устанавливать причинно-следственные связи; делать обобщение; искать и выделять необходимую информацию; моделировать информацию;
Коммуникативные: формировать умение договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности; учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве;
Регулятивные: учить ставить новую учебную задачу в сотрудничестве с учителем; принимать и сохранять учебную задачу; осуществлять контроль по результату и способу действия;
Личностные: ф ормировать внутреннюю позицию школьника на уроке, положительного отношения к школе; учебно – познавательный интерес к новому материалу; способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
По характеру учебно –познавательной деятельности: проблемно-поисковые.
По способу организации и осуществления познавательной деятельности: словесные, наглядные, практические.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.
Материально-техническое обеспечение : учебник «Математика» 3класс, 2 часть А.Л. Чекин, тетрадь для самостоятельной работы 3 класс, 2часть, рабочая тетрадь, компьютер, проектор, экран.
I . Мотивационный этап (орг. момент)
– Давайте наш урок начнем с пожелания друг другу добра.
Я желаю тебе добра, ты желаешь мне добра, мы желаем друг другу добра. Если будет трудно – я тебе помогу. Если будет трудно мне, ты мне поможешь. Улыбнитесь друг другу, улыбнитесь мне, улыбнитесь нашим гостям.
– Я рада видеть ваши улыбающиеся лица. Покажите какой смайлик соответствует вашему настроению в начале нашего урока. Надеюсь, что урок пройдет интересно и увлекательно. Шаг за шагом мы будем подниматься с вами к вершине успеха.
– Записали число, классная работа.
II . Минутка каллиграфии.
– Начинаем наш урок с минутки каллиграфии.
– Продолжите числовой ряд, установив закономерность.
– Что помогло вам справиться с этим заданием?
– Чтобы спорилась работа проведём «разминку» для ума – устный счёт.
1) 1 множитель 7, второй – 9. Найти значение произведения.
2) восемью девять
3) 6 увеличить в 9 раз
4) найти значение произведения чисел 3 и 9
6) по 4 взять 9 раз
7) девятью девять
8) 1 множитель 2, второй множитель – 9. Найти значение произведения.
(4слайд (щелчок) : самопроверка, ответы математического диктанта )
2. Математический ребус.
– Следующее задание, разгадывание математического ребуса, будем выполнять в группах. Перед выполнением вспомним правила дружной работы.
Выслушай мнение соседа;
Придите к единому мнению;
– Возьмите карточку для работы в группе.
– Как получили первое неполное произведение?
– Как определили количество десятков во втором множителе?
– Как нашли значение произведения?
Слайд 7. Проверьте какая группа справилась правильно.
– Оцени свои первые 3 шага по карте «Успеха».
IV . Актуализация опорных знаний.
1. Продолжим нашу работу. Возьмите карточку для работы в паре . Исследуйте выражения и соедините выражение с его названием.
3 · х = 9 числовые выражения
– – На какие две группы можно разделить данные записи? Слайд 9.
– Что такое уравнение?
(Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число.)
– Рассмотрите уравнения. Что общего?
– – Назовите компоненты действия умножения.
( Первый множитель, второй множитель, значение произведения)
– Как вы думаете какие же главные слова будут звучать на уроке математики сегодня?
2 . Создание проблемной ситуации.
–– Рассмотрите данные уравнения.
х · 2 = 6 3 · х = 9
– Какой компонент умножения неизвестен?
VI . Определение темы урока, постановка учебной задачи.
– Как вы считаете, какая тема нашего урока?
– Откройте учебник на странице26. Оправдались ли ваши предположения.
– Поставьте перед собой учебную цель .
(Научиться находить неизвестное делимое, решать уравнения и задачи.)
VII . Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала.
1. Работа с учебником
– Найдите значения данных выражений (самостоятельно, в тетрадях).
– Выполним проверку. (самопроверка)
6 · 9 = 54 54 : 6 = 9 54 : 9 = 6
– Назовите компоненты первого выражения. Чему равно значение произведения?
– Что получится, если значение произведения разделить на первый множитель? (Второй множитель.)
– Что получится, если значение произведения разделить на второй множитель? (Первый множитель.)
– Сформулируйте правило, которое связывает умножение с делением.
– Оцени свой 4 шага по карте «Успеха».
– Первый множитель – 6, второй – неизвестное число х, а значение произведения – 54. Составьте и запишите уравнение.
– Какое число является корнем этого уравнения?
– Как нашли корень уравнения?
– Как нашли 2 множитель?
– Как проверить правильно ли найден корень уравнения?
Слайд 13 (щелчок) Проверка по образцу .
– Какие трудности возникли у вас при выполнении этого задания?
(Дети проговаривают вслух: что и как они делали. Фиксируют момент на котором они «споткнулись»)
– Те ребята у кого возникли затруднения просигнальте красной карточкой.
4. Построение проекта выхода из затруднения
– Какой компонент умножения является неизвестным в данном уравнении? (Первый множитель.)
– Как можно найти первый множитель, если известны значение произведения и второй множитель? (Значение произведения разделить на второй множитель.)
– Выполните соответствующие вычисления.
х · 8 = 72 У доски работает ребёнок у которого были
х = 72 : 8 трудности при выполнении №60.
– Сделайте вывод, как найти неизвестный множитель?
– Сравните свой вывод с выводом учебника на стр. 27.
– Оцени свой 5 шага по карте «Успеха».
Раз – подняться, потянуться,
Два – согнуться, разогнуться.
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре – руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть – за парту сесть опять
VIII . Первичное закрепление.
Слайд 16. Задание 62
1. Первый столбик решают у доски (дети у которого были трудности при выполнении №60.
2. Самостоятельно решают 2 столбик (по вариантам)
– Какая пара готова?
– Какое правило помогло выполнить это задание?
– Чему равен корень первого уравнения? Второго?
– Сверьте правильно ли вы выполнили взаимопроверку.
– Оцени свой 6 шага по карте «Успеха».
IX . Самостоятельное, творческое использование сформированных умений и навыков
– Корень какого уравнения можно найти данным образом? Запишите это уравнение.
– Сравните свое уравнение с уравнением соседа по парте.
– Могут ли ваши уравнения отличаться при правильном выполнении задания? (Могут. Другой вариант: 8 · х = 48.)
– У кого различаются?
– Сколько человек в классе записали уравнение х · 8 = 48?
– А уравнение 8 · х = 48?
– Какое уравнение встретилось чаще?
– Почему у того и другого уравнения корень равен 6?
– Оцени свой 7 шага по карте «Успеха».
2. Работа над задачами № 64.
– Что требуется узнать?
– Составь уравнение для решения данной задачи, обозначив искомое через х . Проверь.
– Если уравнение составлено правильно, запиши решение самостоятельно.
(Группа детей, работающих по зелёной карточке.)
– Найдите корень данного уравнения. Запишите ответ данной задачи.
– Ребята, составившие уравнение не правильно, продолжают работу со мной.
(Группа детей, работающих по красной карточке, анализируют подобную задачу с изменёнными числовыми данными и решают её коллективно.)
Каким правилом пользовались для нахождения корня составленного уравнения?
(Тем учащимся, которые работали по зелёной карточке, предлагаются карточки для самостоятельной работы.)
– Оцени свой 8 шага по карте «Успеха».
– Как составить задачу обратную данной?
(Известное делаем неизвестным, а неизвестное – известным)
– Что такое кратное сравнение? (Надо узнать во сколько раз одно число больше или меньше другого)
– Попробуйте сформулировать задачу.
(До осенних каникул краеведческий музей посетили 9 учащихся. За осенние каникулы число учащихся данной школы, посетивших краеведческий музей составило 72 человека. Во сколько раз больше учащихся посетило краеведческий музей за осенние каникулы, чем до каникул?)
Д/з. с.26 №62, 3 столбик; с. 27 №64, составить и решить обратную задачу.
XI . Рефлексия деятельности (итог урока)
– Какую учебную цель ставили перед собой в начале урока?
– Что было трудно?
– Придя домой, каким новым открытием вы поделитесь со своими родителями.
– Как бы вы закончили фразу «Чтобы найти неизвестный множитель……»
– Посмотрите на свои карты «успеха» и оцените свою работу на уроке. А поможет вам в этом «Лесенка успеха».
– Спасибо за урок. Я горжусь вами, потому что сегодня вы сделали еще один шаг к успеху. Покажите какой смайлик соответствует вашему настроению.
– Изменилось ли ваше настроение? У кого оно стало лучше?
– А за что бы вы хотели похвалить себя?
КАРТА «УСПЕХА» _______________________________ 
[spoiler title=”источники:”]
http://www.cleverstudents.ru/equations/finding_of_unknown_addend_minuend_factor.html
http://infourok.ru/konspekt-i-prezentaciya-uroka-matematiki-na-temu-nahozhdenie-neizvestnogo-mnozhitelya-2520095.html
[/spoiler]
