Содержание:
- Определение произведения чисел
- Свойства произведения чисел
Определение произведения чисел
Произведение $p$ чисел
$a_{1}, a_{2}, dots, a_{n}$ есть результат умножения этих чисел: $p=a_{1} cdot a_{2} cdot ldots cdot a_{n}$ .
В частности, если умножаются два числа $a$ и $b$, то
Пример
Задание. Найти произведение чисел:
1) 1.2$cdot 3$ ; 2) 4$cdot 5 cdot 13$
Ответ.
$1,2 cdot 3=3,6$
$4 cdot 5 cdot 13=260$
Свойства произведения чисел
- Коммутативность: $n cdot m=m cdot n$
-
Ассоциативность: $(n cdot m) cdot k=n cdot(m cdot k)$
На основании этих свойств можем заключить, что при перестановке множителей значение произведения не меняется.
- Дистрибутивность: $(n+m) cdot k=n cdot k+m cdot k$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти произведение чисел удобным способом:
1) 5$cdot 17 cdot 2$ ; 2) 7$cdot 2 cdot 15 cdot 5$
Решение. По свойства умножения имеем:
$$5 cdot 17 cdot 2=(5 cdot 2) cdot 17=10 cdot 17=170$$
$$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=(7 cdot(2 cdot 15)) cdot 5=(7 cdot 30) cdot 5=210 cdot 5=1050$$
Ответ.
$5 cdot 17 cdot 2=170$
$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=1050$
Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие
натуральные числа или
десятичные дроби.
Пример
Задание. Найти произведение чисел
1) 156$cdot 32$ ; 2) $4,71 cdot 3,1$
Решение. Запишем умножаемые числа в столбик. Далее умножим сначала единицы второго числа на первое,
полученное произведение запишем под чертой. Затем аналогично умножим десятки второго числа на первое. Результат запишем
под первым произведением только на один разряд левее. В конце найдем сумму полученных произведений по правилу сложения в
столбик
Умножение десятичных дробей во втором примере производится следующим образом: не обращая внимания на запятые, дроби
перемножаются как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа число знаков, равное сумме чисел знаков после
запятой у сомножителей. В нашем случае в первом сомножителе два знака после запятой, во втором – один, значит, в ответе
нужно отделить справа три знака:
Ответ.
$156 cdot 32=4992$
$4,71 cdot 3,1=14,601$
Читать дальше: что такое простое число.
Содержание
Определение действия умножение, компоненты произведения
Переместительный и сочетательный закон умножения
Особые случаи умножения
Умножение однозначных чисел
Умножение многозначного числа на однозначное
Умножение в столбик многозначного и однозначного чисел
Особые случаи умножения многозначных чисел
Общее правило умножения многозначных чисел
Умножение в столбик многозначных чисел
Некоторые особенности записи умножения в столбик
Изменение произведения при изменении сомножителей
Умножение числа на произведение и произведения на число
Распределительный закон умножения (умножение суммы на число)
Я сперва покажу на примере, для чего нужно умножение, а после дам определение умножения и подробно расскажу об этом действии.
Допустим, мы хотим купить 14 тетрадей по 22 рубля каждая. Планируя покупку, нам нужно знать, сколько мы заплатим за всю покупку?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно сложить стоимость каждой тетради, которую мы хотим купить. А, так мы запланировали покупку 14 тетрадей, тогда мы складываем 22 рубля 14 раз, то есть, находим сумму 14 слагаемых, каждое из которых равно 22:
22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22=308 (то есть, 308 рублей).
Если размер и количество одинаковых слагаемых небольшие, мы без особого труда можем найти их сумму. Но что же делать, если слагаемые многозначные и их количество велико?
Для ускорения подсчетов используется действие умножения.
Умножение – это арифметическое действие сложения определенного количества одинаковых слагаемых.
Действие умножение – это частный случай действия сложение.
Когда нам нужно сложить несколько одинаковых слагаемых, мы, вместо утомительного вычисления суммы одинаковых чисел, умножаем это слагаемое на количество его повторений. Если взять наш пример, то мы слагаемое 22 умножаем на количество – 14.
Еще раз: умножить 22 на 14 – это означает, что нам нужно сложить 14 чисел, каждое из которых равно 22.
Число, которое является повторяющимся слагаемым, называется множимое (то, что множится, умножается).
Число, которое указывает на количество одинаковых слагаемых, называется множитель.
Множимое и множитель имеют общее название – сомножители.
Результат действия умножения называется произведением.
Так, в нашем примере мы складываем цену одной тетради (22 рубля) столько раз, сколько тетрадей хотим купить (14 штук). Значит, 22 – это множимое, 14 – это множитель. Стоимость покупки, полученная в результате умножения 22 на 14 (308 рублей) – это произведение.
На записи действие умножения обозначается точкой (∙) или косым крестом (x), которые ставятся между сомножителями. В отдельных случаях допускается обозначение звездочкой (*). Результат действия умножение, то есть, найденное произведение записывается в виде равенства. Если, к примеру, нужно умножить 22 на 14, то записать это действие и его результат можно так:
22 ∙14=308,
или
22x14=308,
или
22*14=308.
При записи от руки действие умножение принято обозначать при помощи точки, косой крест используется в основном при печати, а звездочка – в компьютерном наборе. Но даже и во время компьютерного набора грамотнее использовать точку или косой крест (букву х).
Прочитать действие умножения и результат можно такими способами:
- двадцать два умножить на четырнадцать будет триста восемь;
- двадцать два, умноженное на четырнадцать, равно триста восемь;
- двадцать два на четырнадцать – триста восемь;
- произведение двадцати двух и четырнадцати равно триста восемь.
Компоненты действия умножение для двух сомножителей:
Компоненты умножения для трех сомножителей и более:
Основные свойства умножения
Поскольку действие умножение является частным случаем действия сложение, то основные свойства сложения распространяются и на умножение.
Действие умножение, как и сложение, можно выполнить всегда, и при этом получается единственный результат этого действия.
Законы умножения и их следствия
Умножение обладает такими основными свойствами, называемые законами умножения, из которых вытекают остальные свойства и следствия:
- переместительный закон умножения;
- сочетательный закон умножения.
Переместительный закон умножения.
Произведение двух или нескольких сомножителей от изменения их порядка не меняется.
Это значит, что значение произведения не зависит от порядка перемножения сомножителей, то есть, от порядка выполнения действия умножение.
Для двух сомножителей мы можем записать переместительный закон умножения в общем виде так:
ab=ba.
Допустим, нам нужно подсчитать количество отделений в шкафу (рис. 1).
Рисунок 1.
В верхнем ряду их 5, в среднем и нижнем тоже по 5 отделений. Нетрудно посчитать, что всего во всех рядах их: 5+5+5=15, или 5 ∙3=15.
Но эти же самые отделения можно считать и по вертикали, по столбцам: в первом их 3, во втором тоже 3, в третьем, четвертом и пятом столбцах их также по 3 штуки. То есть, в каждом столбце по 3 отделения. Всего столбцов 5, поэтому: 3+3+3+3+3=15, или 3 ∙5=15.
Это означает, что 5 ∙3=3 ∙5.
Это свойство также верно для трех и более сомножителей.
К примеру, нам нужно подсчитать количество отделений в двух одинаковых шкафах (рис. 2).
Рисунок 2.
В первом шкафу количество отделений, как мы уже выяснили, можно узнать, умножив количество отделений в одном ряду на количества рядов: 5 ∙3.
Во втором шкафу количество отделений точно такое же (5 ∙3), поскольку два шкафа полностью одинаковые.
Общее количество отделений в двух шкафах можно найти, сложив количество отделений в каждом шкафу: 5 ∙3+5 ∙3.
Выражение 5 ∙3 – это не что иное, как повторяющееся слагаемое, поэтому мы можем заменить эту сумму произведением, умножив слагаемое 5 ∙3 на количество его повторений, то есть, на 2:
5 ∙3+5 ∙3 =5 ∙3 ∙2.
Найдя результаты левой и правой части этого равенства, мы убедимся, что они одинаковые, а значит, мы произвели замену суммы произведением верно:
15+15=15 ∙2,
30=30.
Но количество отделений в одном шкафу мы также можем найти, умножив количество рядов на количество отделений в одном ряду: 3∙5. Тогда в двух шкафах у нас будет:
3 ∙5+3 ∙5=3 ∙5 ∙2,
15+15=15 ∙2,
30=30.
Значит, 5 ∙3 ∙2=3 ∙5 ∙2=30.
Также мы можем сразу умножить количество шкафов на количество отделений в одном шкафу. Тогда мы получим: 2 ∙5 ∙3=30 или 2 ∙3 ∙5=30, в зависимости от того, каким способом мы посчитали, сколько отделений содержит один шкаф.
Поэтому, для трех сомножителей переместительный закон умножения в общем виде выглядит так:
abc=acb=bac=bca=cab=cba.
Сочетательный закон умножения.
Результат умножения трех и более чисел не изменяется, если любые из этих сомножителей заменить их произведением.
Следовательно, мы можем группировать множители между собой каким угодно образом, и выполнять действие умножения с этими группами.
В общем виде для трех сомножителей сочетательный закон умножения можно выразить так:
abc=a(bc)=(ab)c=b(ac).
Этот закон можно назвать следствием переместительного закона умножения.
Действительно, согласно переместительному закону, мы можем перенести множители, стоящие в конце выражения a ∙b ∙c ∙d, в его начало, и объединить их в одну группу (c ∙d) ∙a∙b, то есть, найти их произведение c∙d. А так как при изменении порядка сомножителей, результат действия умножение не изменяется, то и изменение порядка групп сомножителей одного произведения, также не влияют на результат.
Так, при подсчете количества отделений в двух шкафах на рисунке 2, мы можем сперва найти число отделений в одном шкафу, а потом умножить результат на 2:
(5 ∙3) ∙2=15 ∙2=30,
или
(3 ∙5) ∙2=15 ∙2=30,
а можем сперва найти общее количество рядов отделений в обоих шкафах, а после умножить их на количество отделений в ряду:
(3 ∙2) ∙5=6 ∙5=30.
Как видите, результат во всех случаях одинаковый.
Особые случаи умножения: умножение единицы и нуля
Если в произведении двух чисел один из сомножителей единица, то произведение равно второму сомножителю:
a ∙1=1 ∙a=a.
Действительно, при умножении любого числа на 1, мы берем это число 1 раз, а значит, получаем только это число.
А при умножении единицы на любое число (например, 1∙7) мы находим сумму семи единиц, то есть, то количество единиц, из которых состоит данное число. Следовательно, сумма этих единиц равна самому данному числу:
1+1+1+1+1+1+1=7.
Если в произведении любого количества сомножителей одним из сомножителей является нуль, то и произведение равно нулю:
a∙b∙0=0∙a∙b=a∙0∙c=0.
Так, при умножении любого числа на 0, мы берем это число 0 раз, то есть, не берем ни разу. А если ничего не брать, то ничего и не получится.
А при умножении нуля на любое число, мы находим сумму нулей, которая, как вам известно, равна 0.
Умножение однозначных чисел
Умножение двух однозначных натуральных чисел a и b – это нахождения суммы b слагаемых, каждое из которых равно числу a, и при этом a и b являются натуральными числами.
Если a и b – числа, находящиеся в самом начале натурального ряда, то найти такую сумму особого труда не составляет: 1 ∙2=1+1=2. Но если взять числа, которые замыкают первый десяток, например, 8 и 9, то для вычисления 8 ∙9, а именно, суммы 8+8+8+8+8+8+8+8+8=72, то в этом случае вычисление результата потребует от нас определенного времени.
Для облегчения вычисления, были посчитаны результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга, и сведены в специальные таблицы умножения.
Умножение однозначных чисел – это основа быстрого и точного вычисления произведений любых чисел, поэтому очень важно знать на память все таблицы умножения.
Умножение многозначного числа на однозначное
Допустим, нам нужно умножить 985 на 4. Умножить 985 на 4 – это сложить 4 раза число 985, то есть, 985+985+985+985. Мы можем представить каждое из слагаемых 985 в виде суммы его разрядных слагаемых, а именно: 900+80+5. Получится такое выражение:
900+80+5+900+80+5+900+80+5+900+80+5.
Воспользуемся законами сложения и сгруппируем одинаковые слагаемые этого выражения вместе:
900+900+900+900+80+80+80+80+5+5+5+5,
(900+900+900+900)+(80+80+80+80)+(5+5+5+5).
Суммы в скобках мы можем заменить на произведение одинаковых слагаемых и числа этих слагаемых в каждых скобках:
900 ∙4+80 ∙4+5 ∙4.
Таким образом, чтобы умножить многозначное число на однозначное, достаточно умножить это однозначное число на количество единиц в каждом разряде многозначного числа, и сложить полученные результаты.
Умножение в столбик многозначного числа на однозначное
Удобно и быстро умножить многозначное число на однозначное, и при этом не запутаться в расчете помогает запись вычисления в столбик.
Для этого пишем множимое 985, и под цифрой его разряда единиц записываем множитель 4. Проводим под множителем горизонтальную черту, ставим между сомножителями знак умножения (точку или косой крест), и получаем такую запись:
4 раза по 5 единиц – это будет 20 единиц, то есть, 2 десятка и 0 простых единиц. Поэтому, пишем под чертой в разряде единиц 0, а 2 десятка запоминаем или записываем маленькую цифру 2 над разрядом десятков множимого 985:
4 раза по 8 десятков – это 32 десятка. Прибавим к ним 2 десятка, которые получились после умножения однозначного числа на единицы, получим 32 десятка, то есть, 3 сотни и 2 десятка. Цифру 2 пишем под чертой в разряде десятков, а над разрядом сотен множимого 975 (в уме) ставим маленькую цифру 3:
4 раза по 9 сотен – это 36 сотен. Прибавим к ним 3 сотни, которые держим в уме, получаем 39 сотен, или 3 тысячи и 9 сотен. Значит, пишем под горизонтальной чертой в разряде сотен цифру 9 и, поскольку в множимом 985 нет ни одной тысячи, то сразу запишем в результате под чертой цифру 3 в разряде тысяч:
Умножение многозначных чисел
Прежде чем рассказать, как в общем случае умножить одно многозначное число на другое, я расскажу о двух частных случаях умножения многозначных чисел:
- умножение на число, которое начинается на единицу, и заканчивается любым количеством нулей;
- умножение на число, которое начинается на любые, отличные от нуля, цифры, и заканчивается одним или несколькими нулями.
Умножение на число, состоящее из единицы и любого количества нулей
Пусть необходимо умножить 327 на 10. Это означает, что мы должны 10 раз взять (сложить) число 327. Известно, что если мы возьмем (сложим) одну единицу 10 раз, то мы получим 1 десяток, значит, взяв 327 единиц 10 раз, у нас будет 327 десятков, то есть, 3270 единиц. Значит:
327 ∙10 =3270
Рассмотрим еще один пример. Умножим 327 на 100, то есть, 100 раз возьмем (сложим) число 327. Если единицу повторить 100 раз, получится 100 единиц, или одна сотня. Значит, 327 единиц, повторенные 100 раз, дадут нам 327 сотен, что можно записать так: 32700.
327 ∙100 =32700
Итак, чтобы умножить какое-нибудь число на другое, которое начинается на единицу, и заканчивается любым количеством нулей, достаточно к концу первого числа дописать столько нулей, сколько содержится во втором числе.
Умножение на число, которое начинается цифрами, и заканчивается любым количеством нулей
Например, умножим то же самое число 327, но уже на 20. Это означает, что мы должны сложить одно и то же число 327 друг с другом 20 раз:
327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327.
Воспользуемся сочетательным законом умножения, и представим эти слагаемые в виде 10 одинаковых групп, каждая из которых содержит два слагаемых 327:
(327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327).
Сумму в скобках мы можем, согласно определению действия умножение, заменить на произведение, поскольку слагаемые суммы у нас одинаковые. Получим следующее:
(327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2).
Но здесь мы опять видим, что выражение состоит из десяти одинаковых слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение. Значит, мы и это выражение можем представить в виде произведения:
(327 ∙2) ∙10.
Рассмотрим другой пример: 764 ∙300.
Здесь нам нужно найти сумму 300 чисел, каждое из которых – это число 764. Эти 300 слагаемых мы группируем в 100 групп, в каждой из которых содержится 3 слагаемых 764. Можем ли мы узнать, какое число единиц содержит каждая из 100 групп? Да, можем. Для этого нам нужно найти сумму трех слагаемых 764, или просто 764 умножить на 3.
764 ∙3 =2292.
Зная, сколько единиц содержится в одной группе и количество этих одинаковых групп, мы можем найти, сколько единиц находится во всех этих группах. Групп у нас 100, значит, мы находим сумму 100 слагаемых, каждое из которых – это найденное нами число 2292. То есть, 2292 умножаем на 100. Для этого достаточно просто приписать справа к числу 2292 два нуля:
2292 ∙100 =229200.
Итак, чтобы умножить какое-нибудь число на другое, начинающееся любыми цифрами и заканчивающееся нулями, достаточно умножить первое число на число, образованное первыми цифрами второго, а к результату приписать справа столько нулей, сколько их было в конце второго числа.
Иными словами: нужно от второго числа отбросить нули в конце, умножить получившиеся числа, а к результату приписать справа столько нулей, сколько изначально отбросили.
Общее правило умножения чисел
Допустим, необходимо найти произведение двух многозначных чисел 2834 и 168. Это означает, что нам нужно сложить 168 одинаковых чисел, каждое из которых равно 2834:
Количество слагаемых (168) мы можем разложить на разрядные слагаемые (100+60+8) и согласно сочетательному закону сложения сгруппировать их следующим образом: сто слагаемых плюс шестьдесят слагаемых плюс восемь слагаемых.
Исходя из определения умножения, выражения в скобках мы можем представить не в виде суммы большого количества слагаемых, а как сумму произведений:
Таким образом, чтобы умножить два многозначных числа, достаточно последовательно умножить одно из этих чисел на количество единиц каждого из разрядов второго числа, и сложить полученные результаты.
Частное произведение – это число, полученное после умножения одного из сомножителей на количество единиц какого-либо разряда другого сомножителя.
Умножение в столбик многозначных чисел
При записи действия умножения в столбик сомножители располагаются друг под другом таким образом, чтобы совпадали соответствующие разряды обоих чисел; под множителем проводим горизонтальную черту, и ставим между сомножителями знак действия умножения:
Далее, умножаем множимое 2834 последовательно на количество единиц каждого разряда множителя справа налево, то есть, начиная с младшего разряда.
Умножаем 2834 на 8 единиц, получается 22672 единиц. Результат умножения, то есть, первое частное произведение, записываем под горизонтальной чертой.
Далее, нам нужно умножить множимое на 6 десятков; для этого умножаем 2834 на 6, а к результату приписываем 0, получается 170040.
В частных произведениях обычно не пишут (опускают) нули в конце числа для упрощения записи. При этом следует не забывать, что, первую полученную цифру частного произведения нужно писать в том разряде, цифру которого мы умножаем на множимое.
В нашем случае это выглядит так. Цифра 6, которую мы умножаем на множимое 2834, находится в числе 168 в разряде десятков, то есть, обозначает количество десятков. Следовательно, первую полученную цифру частного произведения нужно записать в разряде десятков, потому что сейчас мы именно количество десятков умножаем на множимое.
Итак, 6 ∙4 =24, значит мы пишем в строке под первым частным произведением в разряде десятков цифру 4, а 20 десятков, то есть, 2 сотни, запоминаем. Дальше считаем и записываем так же, как и любое другое умножение многозначного и однозначного чисел. После нахождения второго частного произведения, у нас получилась такая запись:
Теперь умножаем множимое на 1 сотню. Для этого достаточно умножить 2834 на 1 и приписать справа два нуля, получится 283400. Но в записи мы нули не пишем, поэтому начинаем писать третье частное произведение с разряда сотен.
Нам осталось только сложить три полученные частные произведения.
Итак, результат умножения 2834 ∙168 = 476112.
Некоторые особенности записи умножения в столбик
При записи нахождения произведения двух чисел в столбик существуют некоторые особенности, которые помогают сократить запись и упростить наглядность вычисления. Все они являются следствием свойств умножения.
Если у первого сомножителя количество цифр, составляющих его, меньше, чем у второго, то удобно при записи в столбик поменять сомножители местами, записав число с большим количеством цифр первым. Например, произведение 284 ∙12093 находят как 12093 ∙284. Это делается, чтобы избавиться от необходимости находить много частных произведений.
Если в множителе некоторые цифры являются нулями, то можно не записывать соответствующие промежуточные произведения, которые, что очевидно, будут равняться также нулю. При этом промежуточное произведение, полученное от умножения следующей значащей цифры (то есть, отличной от нуля) на множимое, начинают записывать с разряда, соответствующего положению этой значащей цифры. Например:
Если один из сомножителей представляет собой число, которое оканчивается любым количеством нулей, то мы записываем сомножители в столбик так, как будто этих нулей нет, находим произведение, мысленно отбросив эти нули, а потом к получившемуся после умножения числу приписываем отброшенные нули и получаем окончательный результат.
Если оба сомножителя – это числа, оканчивающиеся любым количеством нулей, то мы записываем их в столбик так, как будто этих нулей нет, а после нахождения произведения чисел без нулей, приписываем к ним столько нулей, сколько их было изначально.
Попробуйте самостоятельно доказать справедливость этого утверждения. Пишите в комментариях, получилось ли это у вас или нет.
Изменение произведения чисел при изменении его сомножителей
Чтобы понять, что происходит с произведением чисел при изменении одного или нескольких сомножителей, нужно вспомнить, что действие умножения – это частный случай действия сложения, а также переместительный и сочетательный законы сложения.
Если увеличить один из сомножителей в несколько раз, произведение также увеличится в это же число раз.
Рассмотрим пример 18 ∙2. Увеличив второй сомножитель, к примеру, в 3 раза, мы получим другое выражение: 18 ∙6.
Действительно:
18 ∙2 =36
18 ∙6 =108.
Если мы увеличим 36 в 3 раза, то мы получим как раз 108.
По-другому и быть не может, и вот почему.
Первое произведение представляет собой сумму двух слагаемых:
18+18.
Второе произведение – это сумма шести таких же слагаемых:
18+18+18+18+18+18.
Если мы, воспользовавшись сочетательным законом умножения, сгруппируем эти слагаемые по 2, то получим следующее:
(18+18)+(18+18)+(18+18).
Как видите, у нас получилось 3 одинаковых слагаемых, каждый из которых равен первому произведению. А это значит, что полученное произведение состоит из трех, которые были даны изначально, то есть, в 3 раза больше начального. Что и требовалось доказать.
Для второго сомножителя справедливость этого свойства доказывается на основе переместительного закона умножения.
Если уменьшить один из сомножителей в несколько раз, произведение также уменьшится в это же число раз.
Попробуйте самостоятельно доказать правильность этого свойства. Пишите в комментариях, получилось ли это у вас?
Если увеличить один из сомножителей в несколько раз, а второй в это же число раз уменьшить, то произведение при этом не поменяется.
Действительно, при увеличении одного из сомножителей произведение увеличивается, а при уменьшении другого сомножителя произведение уменьшается. Поэтому, если увеличить одно и одновременно уменьшить другое число, то эти изменения компенсируют друг друга, и произведение останется неизменным:
32 ∙8 =256,
Увеличим первый сомножитель в 4 раза, а второй во столько же раз уменьшим:
128 ∙2 =256.
Теперь уменьшим первый сомножитель произведения 32 ∙8 в 4 раза, а второй уменьшим в это же число раз:
8 ∙32 =256.
Умножение произведения на число и числа на произведение
Если необходимо умножить произведение на число, нужно любой сомножитель этого произведения умножить на данное число, а результат умножить последовательно на оставшиеся сомножители.
(a ∙b ∙c) ∙d =(a ∙d) ∙b ∙c =(b ∙d) ∙a ∙c =(c ∙d) ∙a ∙b
Действительно, пусть требуется найти результат (7 ∙9 ∙2) ∙5. Мы можем сперва вычислить произведение в скобках (оно равно 126), а потом умножить его на 5 (результат 630). А можем, чтобы быстрее вычислить результат в уме, сперва умножить 5 на 2, чтобы получить круглое число 10, и потом легко вычислить ещё два произведения, воспользовавшись частными правилами умножения, описанными выше:
10 ∙7 =70 (просто приписываем к семерке нуль),
70 ∙9 =630 (находим по таблице умножения 7 ∙9 =63 и приписываем в конце нуль).
То есть, мы видим, что (7 ∙9 ∙2) ∙5 = (5 ∙2) ∙7 ∙9.
Когда я пишу «находим по таблице умножения», это означает, что мы вспоминаем эту строку из таблицы, а не ищем её там на самом деле. Таблицу умножения нужно знать наизусть!
Если необходимо умножить число на произведение, нужно умножить данное число на любой сомножитель, а результат умножить на оставшиеся сомножители.
a ∙(b ∙c ∙d) =(a ∙b) ∙c ∙d =(a ∙c) ∙b ∙d =(a ∙d) ∙b ∙c.
Рассмотрим такой пример: 6 ∙(3 ∙5 ∙2). Если найти значение произведения в скобках (30), а потом умножить на него число 6, результатом будет 180. А можно сначала умножить число 6 на 5 (будет 30), а потом результат умножить с остальными сомножителями:
30 ∙3 =90,
90 ∙2 =180.
Оба эти свойства являются очевидными следствиями переместительного и сочетательного законов умножения.
Распределительный закон умножения (умножение суммы на число)
Когда мы рассматривали умножение многозначного и однозначного чисел, мы раскладывали число 975 на его разрядные слагаемые (900+70+5), а потом умножали на 4 отдельно каждое это слагаемое. Аналогично можно поступать при умножении числа на любую сумму.
Например, найдем произведение суммы 5+2+4+9 и числа 3. Это означает, что нужно найти такую сумму:
(5+2+4+9)+(5+2+4+9)+ (5+2+4+9).
Все эти слагаемые представляют собой одну сумму чисел, сгруппированных в определенные группы. Запишем их без скобок:
5+2+4+9+5+2+4+9+5+2+4+9,
а затем, используя переместительный и сочетательный законы сложения, сгруппируем одинаковые слагаемые:
(5+5+5)+(2+2+2)+(4+4+4)+(9+9+9).
Основываясь на определении действия умножение, так как мы имеем в каждых скобках одинаковые слагаемые, переписываем это выражение следующим образом:
5 ∙3+2 ∙3+4 ∙3+9 ∙3.
Распределительный закон умножения: для умножения суммы на любое число, необходимо каждое слагаемое этой суммы умножить на данное число, а затем сложить полученные произведения.
Согласно переместительному закону умножения, это свойство справедливо и при умножении числа на сумму.
Для умножения числа на сумму, необходимо умножить данное число на каждое слагаемое этой суммы, а результаты полученных произведения сложить.
(a+b+c+d)∙z =z∙(a+b+c+d) =a ∙z+b ∙z+c ∙z+d ∙z.
Название распределительный происходит от того, что действие умножения на сумму распределяется между каждым из слагаемых этой суммы.
Как найти произведение двух чисел
Существуют методики, позволяющие развивать математические возможности человеческого мозга вообще и методики вычисления произведений многоразрядных чисел в частности. Равно как и существуют люди с мозгами, которые от рождения имеют такие возможности. Однако в абсолютном большинстве случаев находить произведения чисел приходится людям без продвинутых математических способностей. Ниже описаны наиболее простые и эффективные возможности, которые им доступны.
Инструкция
Используйте знание таблицы умножения и свою краткосрочную память – зачастую этого достаточно для нахождения произведения двух двухзначных чисел в уме. При необходимости можно множитель разбить на несколько разрядов, умножить множимое на получившиеся числа и сложить результаты. Например, если надо умножить 325 на 115, то множитель можно разбить на числа 100, 10 и 5. Не старайтесь удерживать все в памяти, записывайте промежуточные результаты, ведь ваша цель – решить задачу, а не соблюсти принцип умножения в уме.
Воспользуйтесь школьными навыками умножения в столбик, если они еще не выветрились из головы и под рукой есть пишущий инструмент и бумага.
Если у вас есть доступ к компьютеру, то это означает, что вам доступен и стандартный калькулятор, встроенный в операционную систему. В ОС Windows для его запуска нажмите клавишу win, перейдите в раздел «Все программы», раскройте подраздел «Стандартные», войдите в секцию «Служебные» и выберите пункт «Калькулятор». Интерфейс этого приложения очень прост и операция нахождения произведения двух чисел с его помощью сложности не представляет – введите множимое, нажмите клавишу со звездочкой, введите множитель и нажмите enter.
Если у вас есть доступ в интернет, то можно обойтись не только без калькулятора, но и без компьютера – вполне достаточно мобильного телефона. Перейдите на главную страницу поисковой системы Google и введите вместо поискового запроса арифметическую операцию, результат которой вам требуется узнать. Например, если надо найти произведение чисел 325 и 115, то введите 325 * 115. Встроенный в поисковик калькулятор рассчитает и покажет вам результат операции. Такой же калькулятор встроен и в поисковую систему Nigma.
Не забывайте и о наличии встроенного в мобильный телефон калькулятора – сегодня редко какая модель этого устройства его не имеет. Нахождение произведения двух чисел в этом случае осуществляется нажатием тех же клавиш, что и в описанном выше программном калькуляторе.
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Имея общее представление об умножении натуральных чисел и их свойств, легче понять принцип выполнений действий над ними. Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.
Таблица умножения
Умножая два натуральных числа, получаем результат, который производится при умножении однозначных натуральных чисел. Произведение чисел 6 и 3 приравнивается к сумме, состоящей из трех слагаемых, равных числу 6. Иначе это запишем: 6·3=6+6+6=18. Таким же образом получены все результаты умноженных однозначных натуральных чисел. Все занесены в таблицу, приведенную ниже.
| 1·1=1 | 2·1=2 | 3·1=3 |
| 1·2=2 | 2·2=4 | 3·2=6 |
| 1·3=3 | 2·3=6 | 3·3=9 |
| 1·4=4 | 2·4=8 | 3·4=12 |
| 1·5=5 | 2·5=10 | 3·5=15 |
| 1·6=6 | 2·6=12 | 3·6=18 |
| 1·7=7 | 2·7=14 | 3·7=21 |
| 1·8=8 | 2·8=16 | 3·8=24 |
| 1·9=9 | 2·9=18 | 3·9=27 |
| 4·1=4 | 5·1=5 | 6·1=6 |
| 4·2=8 | 5·2=10 | 6·2=12 |
| 4·3=12 | 5·3=15 | 6·3=18 |
| 4·4=16 | 5·4=20 | 6·4=24 |
| 4·5=20 | 5·5=25 | 6·5=30 |
| 4·6=24 | 5·6=30 | 6·6=36 |
| 4·7=28 | 5·7=35 | 6·7=42 |
| 4·8=32 | 5·8=40 | 6·8=48 |
| 4·9=36 | 5·9=45 | 6·9=54 |
| 7·1=7 | 8·1=8 | 9·1=9 |
| 7·2=14 | 8·2=16 | 9·2=18 |
| 7·3=21 | 8·3=24 | 9·3=27 |
| 7·4=28 | 8·4=32 | 9·4=36 |
| 7·5=35 | 8·5=40 | 9·5=45 |
| 7·6=42 | 8·6=48 | 9·6=54 |
| 7·7=49 | 8·7=56 | 9·7=63 |
| 7·8=56 | 8·8=64 | 9·8=72 |
| 7·9=63 | 8·9=72 | 9·9=81 |
Это и есть таблица умножения. Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.
Чтобы выяснить, как пользоваться таблицей, приведем пример. Если необходимо найти произведение 6 и 8, необходимо отметить столбец верхней ячейки, где имеем 6 (8), и строку левой ячейки, где число 8 (6). Чтобы найти результат, следует найти их общую ячейку, то есть пересечение столбца и строки. На рисунке ниже изображен пример нахождения искомого умножения 6 и 8.
Умножение трех и более количества чисел
Мы дали определение понятию умножения двух чисел. Теперь поговорим об умножении трех и более имеющихся чисел. Таким образом, в такой ситуации применимо сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения показывает равнозначность двух произведений a·(b·c) и (a·b)·c, где a, b и c могут быть любыми числами. Результат умножения данных чисел не будет зависеть от местоположения скобок. Поэтому чаще всего при произведении скобки отсутствуют, а запись имеет вид a·b·c. Данное выражение называют произведением трех чисел, причем все входящие в него числа – множители.
Сочетательное свойство умножения необходимо для того, чтобы легче было выявлять равные произведения. Это значит, что из приведенных (a·b)·(c·d), (a·(b·c))·d, ((a·b)·c)·d, a·(b·(c·d)) и a·((b·c)·d) можно сделать вывод, что они все равные. Положение скобок при умножении не играет роли. Это произведение может быть записано в виде a·b·c·d.
Обычно скобки опускаются при умножении. Произведение нескольких трех и более чисел без скобок приводит к последовательной замене двух соседних множителей до получения необходимого результата. Скобки могут быть расставлены произвольно, так как итог произведения не изменится.
Если взять пять натуральных чисел и записать их в виде произведения, то получим 2·1·3·1·8. Имеется два основных способы решения.
Первый способ заключается в том, что два множителя слева будут последовательно заменяться произведением. Тогда получим, что 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Так как 2·3=6, то 2·3·1·8=6·1·8. Далее имеем, что 6·1=6, тогда в итоге получим результат 6·8=48. Умножение пяти заданных чисел будет равняться 48. Этот способ записывается, как (((2·1)·3)·1)·8.
Второй способ заключается в том, что скобки располагаются таким образом ((2·1)·3)·(1·8). Имеем, что 2·1=2 и 1·8=8, то ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8. При 2·3 равном 6 получим, что (2·3)·8=6·8. В итоге получим, что 6·8=48. Отсюда следует, что 2·1·3·1·8=48.
Порядок следования множителей не влияет на результат. Множители могут быть записаны в любом порядке. Это следует из свойств умножения натуральных чисел.
Даны четыре числа для умножения: 3, 9, 2, 1. Их произведение записывается в виде 3·9·2·1.
При замене произведения множителей 3 и 9 или 9 и 2 получим, что следующий этап необходимо будет произвести умножение двузначных чисел 27 и 18.
Чтобы избежать это, необходимо поменять слагаемые местами, иначе расставить скобки.
Тогда получим: 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.
При перемене мест множителей можно производить наиболее удобные комбинирования для вычисления. Рассмотрим задание, где решение приводит к умножению нескольких чисел.
Каждая коробка имеет по 3 предмета. В ящики положили 2 коробки. Какое количество предметов будет в 4 ящиках?
Решение
Нам дано, что в одном ящике 2 коробки, а в них соответственно по 3 предмета.
Тогда в одном ящике 3·2=6 предметов. Отсюда получим, что в 4 ящиках 6·4=24 предмета. Можно рассуждать иным образом. Один ящик вмещает в себя 2 коробки, отсюда в 4 ящиках 2·4=8 коробок. Каждая из коробок имеет 3 предмета, тогда имеем, что 8 коробок содержат 3·8=24 предмета.
Эти решения можно записать таким образом (3·2)·4=6·4=24 или 3·(2·4)=3·8=24.
Делаем вывод, что искомое количество предметов – это произведение 3,2,4, а значит, что 3·2·4=24.
Ответ: 24.
Подведем итоги.
При умножении трех и более чисел действия производятся последовательно. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.
Умножение суммы на натуральное число и наоборот
Благодаря распределительному свойству умножения сложение и умножение связаны. Это помогает в изучении сложения и умножения. Свойство способствует углубиться в изучение всех действий.
Если рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, то получим такой вид записи с двумя слагаемыми: (a+b)·c=a·c+b·c, где a, b, c являются произвольными натуральными числами. Исходя из данного равенства при помощи метода математической индукции докажем справедливость предложенного (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d, (a+b+c+d)·h=a·h+b·h+c·h+d·h и т.д., где a, b, c, d, h являются натуральными числами.
Отсюда следует, что произведение суммы нескольких чисел и данного числа равна сумме произведений каждого из слагаемых с данным числом. Это правило применимо при умножении на заданное число.
Если взять сумму из пяти чисел 7, 2, 3, 8, 8 на 3, получим, что (7+2+3+8+8)·3=7·3+2·3+3·3+8·3+8·3. Отсюда имеем, что 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, то 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24, после чего находим сумму чисел 21+6+9+24+24=84.
Можно было сделать вычисления иначе, тогда следовало посчитать сумму, после чего умножение. Этот случай менее удобен, так как умножение двухзначного числа 7+2+3+8+8=28 на 3 мы пока не выполняли. Умножение двухзначных чисел – это тема, показанная в разделе умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.
Используя переместительное свойство, мы можем переформулировать правило умножения суммы чисел на заданное число таким образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равняется сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это правило умножения данного числа на заданную сумму.
Например, 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20. Здесь применяем правила умножения числа на сумму.
Рассмотрим конкретный пример, где умножение решение сводится к умножению суммы чисел на данное число.
В коробке находятся по 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Какой количество предметов имеется во всех четырех коробках?
Решение
Для определения количества предметов в одной коробке, вычислим 3+7+2. Отсюда следует, что четыре коробки содержат в 4 раза больше, значит, (3+7+2)·4 предметов.
Находим произведение суммы на число, применив полученное правило, тогда (3+7+2)·4=3·4+7·4+2·4=12+28+8=48.
Ответ: 48 предметов.
Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и так далее
Чтобы получить правило произвольного умножения натурального числа на 10, рассмотрим подробно.
Натуральные числа вида 20, 30, 40, …, 90 соответствуют 2, 3, 4, …, 9 десяткам. Это значит, что 20=10+10, 30=10+10+10, … отсюда следует, что умножением двух натуральных чисел их смысл суммы должен быть идентичным, тогда получим 2·10=20, 3·10=30, …, 9·10=90.
Таким же образом можно прийти к следующим неравенствам:
2·100=200, 3·100=300, …, 9·100=900; 2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, …, 9·1 000=9 000; 2·10 000=20 000, 3·10 000=30 000, …, 9·10 000=90 000; …
Выходит, что десяток десятков – это сотня, то 10·10=100;
что десяток сотен – это тысяча, тогда 100·10=1 000;
что десяток тысяч – это десять тысяч, то 1 000·10=10 000.
Исходя из рассуждений, получим 10 000·10=100 000, 100 000·10=1 000 000, …
рассмотрим пример для формулировки правила умножения произвольного натурального числа на 10.
Необходимо произвести умножение натурального числа 7032 на 10.
Решение
Чтобы быстрее подсчитать, необходимо представить число 7032 в виде суммы разрядных слагаемых.
Применим правило умножения суммы на число из предыдущего пункта, тогда получим 7 032·10=(7 000+30+2)·10=7 000·10+30·10+2·10. Число 7000 можно представить в виде произведения 7·1 000, число 30 произведением 3·10.
Отсюда получим, что сумма 7 000·10+30·10+2·10 будет равна сумме (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10. Тогда сочетательное свойство умножения можно зафиксировать, как (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10=7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10.
Отсюда получим, что 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10=7·10 000+3·100+2·10=70 000+300+20. Сумма, полученная в результате, представляет собой разложение по рядам числа 70320: 70 000+300+20.
Ответ: 7 032·10=70 320.
Аналогичным способом мы можем умножить любое натуральное число на 10. В таких случаях запись всегда будет оканчиваться на 0.
Приведенные примеры и рассуждения дают возможность перейти к правилу умножения произвольного натурального число на 10. Если в конце записи дописать цифру 0, тогда заданное число будет служить результатом умножения на 10. Когда в записи натурального числа дописывают 0, то полученное число применяется как результат умножения на 10.
Приведем примеры: 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79 020·10=790 200 и так далее.
Основываясь на правиле умножения натурального числа на 10, можно получить умножение произвольного числа на 100, 1000 и выше.
Если 100=10·10,тогда умножение натурального числа на 100 приводит к умножению числа на 10 и еще одному умножению на 10.
Тогда получим:
17·100=17·10·10=170·10=1 700; 504·100=504·10·10=5 040·10=50 400; 100 497·100=100 497·10·10=1 004 970·10=10 049 700.
Если полученная запись имеет на 2 цифры 0 больше, тогда считается, что это результат умножения всего числа на 100. Это и называется правилом умножения числа на 100.
Произведение 1 000=100·10, тогда умножение любого натурального числа на 1000 приводит к умножению заданного числа на 100 и еще одному умножению на 10. Отсюда следует, что это правило умножения произвольного натурального числа на 1000. Когда в записи имеется 3 цифры 0, тогда считают, что это результат умножения числа на 1000.
Таким же образом производится умножение на 10000, 100000 и так далее. Идет дописывание нулей в конце числа.
В качестве примера запишем:
58·1 000=58 000; 6 032·1 000 000=6 032 000 000; 777·10 000=7 770 000.
Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел
Имея навыки для выполнения умножения, разберем все правила на примере.
Найти произведение трехзначного числа 763 на 5.
Решение
Для начала представляем число в виде суммы разрядных слагаемых. Здесь получим, что 763=700+60+3. Отсюда получим, что 763·5=(700+60+3)·5.
Используя правило умножения суммы на число, получим, что:
(700+60+3)·5=700·5+60·5+3·5.
Произведения 700=7·100 и 60=6·10 и сумма 700·5+60·5+3·5 записывается, как (7·100)·5+(6·10)·5+3·5.
Применив переместительное и сочетательное свойство, получим (7·100)·5+(6·10)·5+3·5=(5·7)·100+(5·6)·10+3·5.
Так как 5·7=35, 5·6=30 и 3·5=15, то (5·7)·100+(5·6)·10+3·5=35·100+30·10+15.
Выполняем умножение на 100, на 10. После этого выполняем сложение 35·100+30·10+15=3 500+300+15=3 815
Ответ: произведение 763 и 5= 3815.
Чтобы закрепить материал, необходимо рассмотреть пример умножения.
Найти произведение 3 и 104558.
Решение
3·104 558=3·(100 000+4 000+500+50+8)==3·100 000+3·4 000+3·500+3·50+3·8==3·100 000+3·(4·1 000)+3·(5·100)+3·(5·10)+3·8==3·100 000+(3·4)·1 000+(3·5)·100+(3·5)·10+3·8==3·100 000+12·1 000+15·100+15·10+3·8==300 000+12 000+1 500+150+24=313 674.
Ответ: результат умножения 3 и 104558 = 313674.
Умножение двух многозначных натуральных чисел
Умножение двух многозначных натуральных чисел производится таким образом, что один из множителей раскладывается по разрядам, после этого применяют правило умножения на сумму. Изучение предыдущих статей позволит быстрее разобраться с имеющимся разделом.
Вычислить произведение 41 и 3806.
Решение
Необходимо произвести разложение числа 3806 по разрядам 3000+800+6, тогда 41·3 806=41·(3 000+800+6).
Правило умножения применимо для 41·(3 000+800+6)=41·3 000+41·800+41·6.
Так как 3 000=3·1 000 и 800=8·100, тогда справедливо равенство 41·3 000+41·800+41·6=41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.
Сочетательное свойство способствует записи последней суммы (41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6.
Вычисляя произведения 41·3, 41·8 и 41·6, представляем его в виде суммы
41·3=(40+1)·3=40·3+1·3=(4·10)·3+1·3=(3·4)·10+1·3=12·10+3=120+3=123; 41·8=(40+1)·8=40·8+1·8=(4·10)·8+1·8=(8·4)·10+1·8=32·10+8=320+8=328; 41·6=(40+1)·6=40·6+1·6=(4·10)·6+1·6=(6·4)·10+1·6=24·10+6=240+6=246
Получим, что
(41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6=123·1 000+328·100+246=123 000+32 800+246
Вычислим сумму натуральных чисел:
123 000+32 800+246=156 046
Ответ: Произведение 41 и 3806 = 156046.
Теперь умеем умножать два любых натуральных числа.
Проверка результата умножения натуральных чисел
Умножение всегда требует проверки. Она производится при помощи деления по правилу: полученное произведение делят на один из множителей. Если полученное число равно одному из множителей, тогда вычисление произведено правильно. Если нет, то допущена ошибка.
Произвести умножение 11 на 13, равное 143. Необходимо выполнить проверку.
Решение
Проверка производится посредством деления 143 на 11. Тогда получим, что 143:11=(110+33):11=110:11+33:11=10+3=13.
Если получим число, равное одному из множителей, тогда задание решено верно.
Произведено умножение 37 на 14. Результат равен 528. Выполнить проверку.
Решение
Для выполнения проверки необходимо разделить 528 на 37. Должны получить число 14. Производится делением столбиком:
При делении мы выявили, что 528 делится на 37, но с остатком. Отсюда следует, что умножение 37 на 14 было выполнено неверно.
Ответ: проверка показала, что умножение было выполнено неверно.
Вычислить произведение чисел 53 и 7, после чего выполнить проверку.
Решение
Представляем число в виде суммы 50+3. Применим свойство умножения суммы двух чисел на натуральное число. Получим, что 53·7=(50+3)·7=50·7+3·7=350+21=371.
Для выполнения проверки, разделим 371 на 7: 371:7=(350+21):7=350:7+21:7=50+3=53. Значит, умножение произведено верно.
Ответ: 53·7=371.
Математика
6 класс
Урок № 25
Произведение целых чисел. Часть 1.
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Научится формулировать правила нахождения произведения двух чисел одного знака, двух чисел разных знаков.
- Применять эти правила для вычисления значений выражений и решения разного рода математических задач.
Глоссарий по теме
Чтобы умножить два числа с разными знаками нужно умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «минус».
Произведение двух положительных чисел, находится так же, как произведение двух натуральных чисел.
Чтобы умножить два отрицательных числа, надо поставить знак плюс, а модули перемножить.
Основная литература
Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
Дополнительная литература
Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142с.
Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На прошлых уроках мы изучали, действия сложения и вычитания целых чисел.
Сегодня сформулируем правила умножения целых чисел с одинаковыми и разными знаками.
Произведение целых чисел зависит от знаков множителей.
Рассмотрим несколько случаев
Первый случай. В школьной столовой продавали пирожки по 20 рублей, но у четырёх друзей не было с собой денег, и буфетчица дала им пирожки в долг. Как найти их общий долг?
Решение.
Надо сложить долг каждого мальчика:
– 20 + (– 20) + (– 20) + (– 20) = – 80
можно записать как произведение 4 ∙ (– 20) = – 20 + (– 20) + (– 20) + (– 20) = – 80
Получается отрицательное число (– 80), обозначающее долг мальчиков.
Второй случай.
Фабрика выпускает в день 300 мужских костюмов. Когда стали выпускать подростковые костюмы, расход ткани на один костюм изменился на минус два квадратных метра, то есть уменьшился на два квадратных метра. Насколько изменился расход ткани на костюмы за день?
Решение
Расход ткани на костюм уменьшился на 2 м2,
на все костюмы тогда
2 ∙ 300 = 600, то есть уменьшился на 600 м2.
Это значит, что изменился на – 600 м2
Получается, что
– 2 ∙ 300 = – 600
Обобщим всё вышесказанное:
4 ∙ (– 20) = – 80
– 2 ∙ 300 = – 600
Сформулируем общее правило умножения чисел с разными знаками:
Чтобы умножить два числа с разными знаками нужно умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «минус».
Получаем, что умножение отрицательного числа на положительное или положительного числа на отрицательное даёт в результате отрицательное число.
Формулы правил умножения для чисел с разными знаками.
Если а > 0, b < 0, то
+ a ∙ (– b) = – (|a| ∙ |b|)
Если а < 0, b > 0, то
– a ∙ (+ b) = – (|a| ∙ |b|)
Рассмотрим правила умножения для чисел с одинаковыми знаками.
Если числа положительные, то их произведение находится так же как, произведение натуральных чисел.
Чтобы умножить два отрицательных числа, надо поставить знак плюс, а модули перемножить.
Значит, при умножении чисел одного знака получаем положительное число.
Формулы правил умножения для чисел с одинаковыми знаками.
Если а > 0, b > 0, то
+ a ∙ (+ b) = a ∙ b
Если а < 0, b < 0, то
– a ∙ (– b) = + (|a| ∙ |b|)
Рассмотрим, как вычислять произведение целых чисел, пользуясь сформулированными правилами.
- – 13 ∙ 20 = – (13 ∙ 20) = – 260
- 24 ∙ (– 12) = – (24 ∙ 12) = – 288
- 38 ∙ 10 = 380
- – 150 ∙ (– 3) = + (150 ∙ 3) = 450
Таким образом, на этом уроке мы сформулировали правила умножения.
Рассмотрели, как умножаются числа с одинаковыми и разными знаками. Научились находить значения выражений, используя эти правила.
Мы изучили правила умножения целых чисел.
Используя эти правила, сформулируем правила знаков, которые будем применять для упрощения выражений:
(+) · (+) = (+)
(+) · (–) = (–)
(–) · (+) = (–)
(–) · (–) = (+)
Эти правила известны ещё с древности:
друг моего друга – мой друг (+) · (+) = (+)
друг моего врага – мой враг (+) · (–) = (–)
враг моего друга – мой враг (–) · (+) = (–)
враг моего врага – мой друг (–) · (–) = (+)
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
Какие правила представлены в формулах?
+ a ∙ (+ b) = a ∙ b
– a ∙ (– b) = + (|a| ∙ |b|)
Варианты ответов:
Произведение отрицательных чисел
Произведение положительных чисел
Для ответа на вопрос задания, обратимся к теоретическому материалу сегодняшнего урока.
Правильный ответ:
+ a ∙ (+ b) = a ∙ b – произведение положительных чисел
– a ∙ (– b) = + (|a| ∙ |b|) – произведение отрицательных чисел
Тип 2. Вставьте в текст нужные слова.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, нужно …… их ……. и перед полученным произведением поставить знак …….
Варианты слов для вставки:
сложить
вычесть
умножить
модули
«плюс»
«минус»
Для ответа на вопрос задания, обратимся к теоретическому материалу сегодняшнего урока.
Правильный ответ:
Чтобы умножить два числа с разными знаками, нужно умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «минус».
