Примеры как найти синус угла вас

Найдите синус угла AOB изображенного на рисунке?

Геометрия | 5 – 9 классы

Найдите синус угла AOB изображенного на рисунке.

Рисунок во вложении.

Я просто не помню как делать.

Нам обьясняли что сначало нужно достроить до треугольника потом по теореме пифагора.

Ответ должен получится 0, 6.

ОА = 4 клетки, АВ = 3 клетки.

По теореме Пифагора : квадрат гипотенузы ОВ = квадрат катета ОА + квадрат катета АВ

Синус угла АОВ = АВ / ОВ = 3 / 5 = 0, 6.

Найдите синус угла ВАС треугольника АВС, изображенного на рисунке?

Найдите синус угла ВАС треугольника АВС, изображенного на рисунке.

Найдите синус угла ВАС треугольника АВС, изображенного на рисунке?

Найдите синус угла ВАС треугольника АВС, изображенного на рисунке.

Найдите косинус угла AOB, изображенного на рисунке?

Найдите косинус угла AOB, изображенного на рисунке.

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА?

Найти синус угла AOB, изображенного на рисунке , ДОЛЖНО ПОЛУЧИТСЯ 0.

Найдите синус угла, изображенного на рисунке?

Найдите синус угла, изображенного на рисунке.

Определите углы треугольника со сторонами 1, корень из 3, 2 без синусов косинусов по теореме пифагора?

Определите углы треугольника со сторонами 1, корень из 3, 2 без синусов косинусов по теореме пифагора!

Найдите синус угла аов , изображенного на рисунке?

Найдите синус угла аов , изображенного на рисунке.

Найдите синус угла AOB изображенного на рисунке?

Найдите синус угла AOB изображенного на рисунке.

Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке?

Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

Найдите синус угла ВАС треуголника АВС, изображенного на рисунке?

Найдите синус угла ВАС треуголника АВС, изображенного на рисунке.

Вы перешли к вопросу Найдите синус угла AOB изображенного на рисунке?. Он относится к категории Геометрия, для 5 – 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Геометрия. Урок 1. Задания. Часть 2.

№8. Найдите тангенс угла A O B , изображенного на рисунке.

Решение:

Опустим перпендикуляр A H на сторону O B .

Рассмотрим прямоугольный △ A O H :

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg ∠ A O H = A H O H = 4 2 = 2

№9. Найдите тангенс угла A треугольника A B C б изображённого на рисунке.

Решение:

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg ∠ B A C = B C A C = 2 5 = 0,4

№10. На рисунке изображена трапеция A B C D . Используя рисунок, найдите sin ∠ B A H .

Решение:

Рассмотрим прямоугольный △ A B H :

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin ∠ A = B H A B

Найдем A B по теореме Пифагора:

A B 2 = A H 2 + B H 2

A B 2 = 3 2 + 4 2

A B 2 = 9 + 16 = 25

A B = ± 25 = [ − 5 не подходит 5 подходит

sin ∠ A = B H A B = 4 5 = 0,8

№11. На рисунке изображен ромб A B C D . Используя рисунок, найдите tg ∠ O B C .

Решение:

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg ∠ O B C = O C B O = 3 4 = 0,75

№12. На рисунке изображена трапеция A B C D . Используя рисунок, найдите cos ∠ H B A .

Решение:

Рассмотрим прямоугольный △ A B H :

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos ∠ A B H = B H A B

Найдем A B по теореме Пифагора:

A B 2 = A H 2 + B H 2

A B 2 = 6 2 + 8 2

A B 2 = 36 + 64 = 100

A B = ± 100 = [ − 10 не подходит 10 подходит

cos ∠ A B H = B H A B = 8 10 = 0,8

№13. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке.

Решение:

tg β = tg ( 180 ° − α ) = − tg α

Рассмотрим прямоугольный △ B C H .

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg α = C H B H = 3 1

tg β = − tg α = − 3

№14. Найдите тангенс угла A O B .

Решение:

Опустим высоту B H на сторону O A .

Рассмотрим прямоугольный △ O B H :

Найдем B H и O H по теореме Пифагора:

B H 2 = 2 2 + 8 2 = = 4 + 64 = 68

B H = ± 68 = ± 4 ⋅ 17 = ± 4 ⋅ 17 = ± 2 17 = [ − 2 17 не подходит 2 17 подходит

O H 2 = 1 2 + 4 2 = 1 + 16 = 17

O H = ± 17 = [ − 17 не подходит 17 подходит

Синус угла. Таблица синусов.

Синус угла через градусы, минуты и секунды

Синус угла через десятичную запись угла

Как найти угол зная синус этого угла

У синуса есть обратная тригонометрическая функция – arcsin(y)=x

Пример sin(30°) = 1/2; arcsin(1/2) = 30°

Определение синуса

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синусом угла α называется ордината точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Периодичность синуса

Функция y = sin(x) периодична, с периодом 2π

[spoiler title=”источники:”]

http://calc-best.ru/matematicheskie/trigonometriya/sinus-ugla

[/spoiler]

Определение синуса угла

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: синус угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

В случае с рисунком, описанным выше: sin⁡α=acsinalpha=frac{a}{c}

Задача 1

В треугольнике, один из углов которого равен 90 градусам, известен катет при угле αalpha и равен он 3 см3text{ см}. Также дано произведение длин катетов и равно 12 см212text{ см}^2. Найдите синус угла αalpha.

Решение

Сначала нужно найти длину неизвестного нам катета. Для этого воспользуемся данным нам произведением. Обозначим неизвестный катет за xx. Тогда, по условию задачи:

3⋅x=123cdot x=12

x=123=4x=frac{12}{3}=4

a=x=4a=x=4

По теореме Пифагора найдем гипотенузу:

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

42+32=c24^2+3^2=c^2

25=c225=c^2

c=5c=5

sin⁡α=ac=45=0.8sinalpha=frac{a}{c}=frac{4}{5}=0.8

Ответ

0.80.8

Задача 2

Вычислите синус 45 градусов.

Решение

Для этого воспользуемся тригонометрической таблицей углов. Находим, что:

sin⁡45∘=π4=0.785sin 45^circ=frac{pi}{4}=0.785

Ответ

0.7850.785

Если в задаче известен косинус угла и нужно найти его синус, то наличие известных длин катетов и гипотенузы не обязательны. Достаточно просто воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, которое имеет следующий вид:

Основное тригонометрическое тождество

sin⁡2α+cos⁡2α=1sin^2alpha+cos^2alpha=1

αalpha — любой угол.

Задача 3

Квадрат косинуса угла в треугольнике равен 0.8. Найдите синус данного угла.

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin⁡2α+cos⁡2α=1sin^2alpha+cos^2alpha=1

sin⁡2α+0.8=1sin^2alpha+0.8=1

sin⁡2α=0.2sin^2alpha=0.2

sin⁡α=0.2sinalpha=sqrt{0.2}

sin⁡α≈0.447sinalphaapprox0.447

Ответ

0.4470.447

Испытываете проблемы с вычислением синуса? Оформите задачу по математике на заказ у наших экспертов!

Тест по теме «Вычисление синуса»

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке: 

 

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Если А(1, 0) повернуть на 90+360·z°, то она перейдет в А1 (0, 1).  По определению:  sin (90°+360°·z) =1 и cos (90°+360°·z) =0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: ctg (90°+360°·z) =01=0 . 

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z°, она перейдет в A1(−1, 0). Мы находим значения функций кроме тангенса.

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 . 

Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α . 

Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α . 

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 . 

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Сведение к углу 

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 °. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения.  Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

При подготовке к ЕГЭ по математике одиннадцатиклассник должен помнить базовый набор формул, которые помогут решать задачи. Одной из них является синусов теорема, которая отражает взаимосвязь между сторонами и углами треугольника.

Напомним, доказательство теоремы учить не нужно, поскольку экзамен ориентирован на проверку практических навыков. Лучше посвятить время разбору примеров, в которых можно применить указанную математическую закономерность.

Теорема синусов с примерами

Человечество знакомо с теоремой синусов довольно давно — еще в начале XXI века ее доказательство приводил в своей работе «Книга о неизвестных дугах сферы» западноарабский астроном и математик Ибн Муаз аль-Джайяни.

Существует два варианта теоремы синусов:

• обычный — устанавливает соотношения между сторонами треугольника и синусами его углов;
• расширенный — связывает соотношение сторон треугольника с радиусами описанной окружности.

Формулировка обычной синусов теоремы: отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны или стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Пример 1. В треугольнике АВС сторона АВ равна 5 см, а синус противолежащего угла АСВ = 3/5. Найти сторону ВС, если синус угла САВ, прилежащего к стороне АВ, равен 1/2.

Решение

Составим соотношение фигурирующих в условии сторон и синусов их углов:

АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ.

Подставим известные значения:

5 : 3/5 = ВС : 1/2.

Выразим из этого выражения ВС:

ВС = (5 : 3/5) : 1/2 = 5 : 1/2 = 10 см.

Ответ: ВС = 10 см.

Пример 2. В треугольнике АВС сторона АВ равна 10 см, а противолежащий угол АСВ = 30°. Найти остальные стороны, если угол САВ равен 60°.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся прилагаемой таблицей, в которой указаны значения синусов основных углов. В остальном ход решения будет аналогичен предыдущему примеру за исключением одного маленького хода. Для начала составим соотношение сторон и синусов противолежащих углов:

АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ = АС : sin ∠ВАС.

На первом этапе нам известны только три из шести членов этого равенства, причем два из них в косвенном виде:

10 : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin ∠ВАС.

Если вспомнить, что сумма углов треугольника равна 180°, то легко найти оставшийся угол:

∠ВАС = 180° – (∠АСВ + ∠САВ) = 180° – (30° + 60°) = 90°.

Мы уже знаем и третий угол, поэтому уравнение приобретет следующий вид:

10 : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin 90°.

Дальше поступаем, как в предыдущей задаче, выразив стороны через известные члены выражений:

ВС = sin 60° ∙ 10 : sin 30°,

АС = sin 90° ∙ 10 : sin 30°.

Обратимся к таблице, приведенной выше и выберем из нее соответствующие синусы известных углов:

ВС = √3/2∙ 10 : 1/2 = 10√3 см,

АС = 1 ∙ 10 : 1/2 = 20 см.

Ответ: ВС = 10√3 см; АС = 20 см.

Расширенная синусов теорема с примерами

Формулировка расширенной теоремы синусов: отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны друг другу и удвоенному радиусу окружности, описанной вокруг него.

Пример 3. Найти площадь треугольника, если диаметр описанной окружности D равен 20 см. Угол АСВ = 30°, а угол САВ = 60°.

Решение

Для решения воспользуемся расширенной формулировкой теоремы синусов:

АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ = АС : sin ∠ВАС = 2R.

В этой формулировке нам известны два из семи компонентов и еще лва мы можем определить из базовых знаний по геометрии:

• R = ½ D, следовательно 2 R = D = 20 см;
• ∠ВАС = 180° – (∠АСВ + ∠САВ) = 180° – (30° + 60°) = 90°.

Подставим в исходное выражение известные величины и получим соотношение:

АВ : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin 90° = 20.

Основным отличием от предыдущей задачи является то, что нам неизвестна сторона АВ, зато известен удвоенный радиус описанной окружности. Это позволяет составить выражения для нахождения всех сторон треугольника:

ВС = 20 ∙ sin 60°

АС = 20 ∙ sin 90°,

АВ = 20 ∙ sin 30°.

Выберем из таблицы значения синусов углов и вычитаем стороны треугольника:

ВС = 20 ∙ sin 60° = 20 ∙ √3/2 = 10√3 см,

АС = 20 ∙ sin 90° = 20 ∙ 1 = 20 см,

АВ = 20 ∙ sin 30° = 20 ∙ 1/2 = 10 см.

Внимательный читатель заметил, что мы «зашифровали» в этой задаче треугольник из предыдущего примера. Теперь осталось найти его площадь. Для этого берем стандартную формулу площади произвольного треугольника, которая равна половине произведения сторон на синус угла между ними

S = ½ ∙ a ∙ b ∙ sin α

Поскольку нам известны все стороны и все углы, то мы можем выбрать любые из них. Возьмем стороны АС и АВ, а также угол САВ между ними:

S = ½ ∙ АС ∙АВ ∙ sin 60° = ½ ∙ 20 ∙10 ∙ √3/2 = 50√3 см².

Примечание: внимательный читатель заметил, что наш треугольник — прямоугольный, так как один из его углов равен 90°. В таком случае можно обойтись без знания синуса угла, вычислив площадь треугольника как половину площади прямоугольника, длина и ширина которого равна катетам треугольника.

S = ½ ∙ ВС ∙АВ = ½ ∙ 10√3 ∙ 10 = 50√3 см².

Ответ: S = 50√3 см².

---

Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:

Содержание:

Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, один из острых углов равен

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Пример:

Угол К в равен 90° (рис. 7).
Тогда:

Для угла N катет МК — противолежащий, а катет NK — прилежащий (см. рис. 7, с. 11). Поэтому согласно определениям получаем:

Можно заметить, что синус острого угла а прямоугольного треугольника и косинус другого острого угла этого треугольника, содержащего  равны, т. е. . Так же  Например,
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2.

 

Значение синуса острого угла, а также косинуса, тангенса и котангенса зависит только от величины угла и не зависит от размеров и расположения прямоугольного треугольника с указанным острым углом.
Это следует из того, что прямоугольные треугольники с равным острым углом подобны, а у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. Так, в  (рис. 8)

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого  (рис. 9). Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то АВ = 2. По теореме Пифагора 

 Тогда:

 

Так как  (см. рис. 9), то

 

 

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, у которого  (рис. 10). По теореме Пифагора 

Тогда:

 

 

Составим таблицу значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 30°, 45° и 60°.

Нахождение значений тригонометрических функций

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла можно приближенно находить при помощи специальных тригонометрических таблиц* либо калькулятора.

Например, с помощью калькулятора, компьютера или мобильного телефона (смартфона) находим: sin45° = 0,707106… . Приближенное значение тригонометрических функций при решении задач будем брать с округлением до четырех знаков после запятой: sin45° = 0,7071.
Итак, точное значение sin 45° равно  . а приближенное — 0,7071.
Таблицы и калькулятор также позволяют находить величину острого угла по значению синуса, косинуса или тангенса. Например, найдем острый угол, синус которого равен 0,4175. Выбрав на компьютере вид калькулятора «инженерный», далее «градусы», нужно ввести последовательно . На экране появится ответ: 24,676… . Округлим его до десятых долей градуса и получим 24,7°. Учитывая, что 1° содержит 60 угловых минут, получим: 0,7° = 0,7 • 60′ = 42′. Искомый угол, синус которого 0,4175, приближенно равен 24°42′.
А теперь выполните Тест 3.

Тригонометрические функции острого угла

Синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла, так как каждому острому углу  соответствует единственное значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они называются тригонометрическими функциями и записываются так:
Поскольку в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то для острого угла  справедливо:  следовательно синус и косинус острого угла положительны и меньше 1.
Тангенс и котангенс острого угла могут принимать любое положительное значение. Например, tg85° ~ 11,4.

С увеличением острого угла синус и тангенс возрастают, а косинус и котангенс убывают (рис. 11), то есть если  то

 но  (cm. c. 28, задачу 2*). Это гарантирует, что синус (косинус, тангенс и котангенс) острого угла определяют этот угол однозначно.

Пример №1

В прямоугольном треугольнике АВС, где , катет ВС равен 8 см, гипотенуза АВ равна 17 см. Найти косинус угла А (рис. 12).

Решение:

По теореме Пифагора найдем катет  (см). Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен от ношению прилежащего катета к гипотенузе. Тогда 

Ответ: 

Пример №2

Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 20 см,  (рис. 13). Найти площадь треугольника.

Решение:

Так как  Обозначим По теореме Пифагора  Тогда  ВС = 4 • 4 = 16(см),

Ответ: 96

Пример №3

При помощи циркуля и линейки построить угол, синус которого равен 

Решение:

Идея решения. Построим прямоугольный треугольник с катетом, равным 4 единицы, и ги­потенузой, равной 5 единиц. Синус угла, противолежащего указанному катету, будет равен

Построение. 1) Строим прямой угол С (рис. 14), для чего проводим произвольную прямую  отмечаем на ней точку С и строим прямую  проходящую через точку С перпендикулярно прямой  (вспомните по рисунку алгоритм построения). 2) На прямой  от точки С откладываем последова­тельно четыре равных отрезка. Получаем отрезок ВС, который содержит 4 единицы. 3) Строим окружность с центром в точке В радиусом, равным пяти единицам. В пересечении этой окружности и прямой получаем точку А.
Угол ВАС — искомый.

Доказательство:

Из  находим

Алгоритм решения прямоугольного треугольника

Под решением прямоугольного треугольника понимают нахождение его неизвестных сторон и углов по некоторым элементам, определяющим этот треугольник. Рассмотрим три задачи:

1. нахождение катета по гипотенузе и острому углу;
2. нахождение катета по другому катету и острому углу;
3. нахождение гипотенузы по катету и острому углу.

Пример №4

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6, острый угол равен 32° (рис. 23). Найти катет, прилежащий к данному углу. Ответ округлить до 0,1.

Решение:

Примем длину искомого катета за

  

Ответ: 5,1.

Пример №5

Катет прямоугольного треугольника равен 2,5, а прилежащий к нему угол равен 68° (рис. 24). Найти другой катет. Ответ округлить до 0,1.
 

Решение:

Примем длину неизвестного катета за

  

Ответ: 6,2.

Пример №6

Катет прямоугольного треугольника равен 4,2, противолежа­щий ему угол равен 29° (рис. 25). Найти гипотенузу треугольника. Ответ округлить до 0,1.

Решение:

Примем длину гипотенузы за

Ответ: 8,7.

Правила решения прямоугольного треугольника

Преобразуем формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса и запишем результаты для треугольника на рисунке 26:

Удобно пользоваться следующими правилами:

• Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, а).
• Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, б).
• Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к первому катету угла (рис. 27, в).

Пример №7

В  известно: (рис. 28).

Полезно запомнить!
Если в прямоугольном треугольнике с углом 30° (или 60°) дан меньший катет а, то больший
катет  (рис. 29, а). А если дан больший катет  то меньший катет  (рис. 29, б).
Если в прямоугольном треугольнике с углом 45° дан катет а,

то гипотенуза  (рис. 30, а), а если дана гипотенуза с, то ка­тет (рис. 30, б).

Пример №8

В прямоугольном треугольнике АВС известно:  — высота, проведенная к гипотенузе (рис. 31). Найти проекцию НВ катета ВС на гипотенузу.

Решение:

Заметим, что  так как эти углы дополняют Из   Из  

Ответ:

Пример №9

В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 7, боковая сторона АВ равна 10, sinA = 0,8. Найти площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции находится по формуле Найдем большее основание и высоту трапеции. Проведем в трапеции высоты ВН и СК (рис. 32). Так как НВСК — прямоугольник (все углы — прямые), то НК = ВС = 7. Из равенства прямоугольных треугольников АНВ и DKC (по катету и гипотенузе) АН = KD. Из прямоугольного треугольника АНВ находим:  откуда АН = 6 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Тогда

Ответ: 104.

Тригонометрические формулы

Используя формулы где  и  — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника, можно по­лучить формулы, связывающие значения тригонометрических функций острого угла.

1. Основное тригонометрическое тождество

Доказательство:

По теореме Пифагора 

Тогда

Следствие:

Так как синус и косинус острого угла а положительны, то

2. Выражение тангенса и котангенса через синус и косинус

 

Доказательство:

a) б)

Следствие:

 

Проверим справедливость основного тригонометрического тождества.
Верно ли, например, что  Да, это верно, так как 

3. Основная задача

Дано: — острый угол.

Найти: 

Решение:

Способ 1. Используем основное тригонометрическое тождество:  Так как косинус острого угла больше нуля, то откуда 

Способ 2. Изобразим прямоугольный треугольник с катетом 5 и гипотенузой 13 (рис. 41). Синус угла, противолежащего данному катету, равен  Поэтому этот угол равен По теореме Пифагора другой катет равен  Тогда

Способ 3. Пусть катет, противолежащий углу  равен 5х, тогда гипотенуза равна  По теореме Пифагора прилежащий катет равен Отсюда 

Ответ:

Пример №10

В параллелограмме ABCD (рис. 42) сторона ВС = 50 см, высота ВК = 30 см, . Найти периметр параллелограмма.

Решение:

Из треугольника АВК находим: Из основного тригонометрического тождества следует:  (так как угол А — острый, то sinA > 0). Тогда (см )
Ответ: 168 см.

Пример №11

Доказать, что при увеличении угла от 0° до 90°:

а) синус угла увеличивается от 0 до 1, а косинус — уменьшается от 1 до 0;

б) тангенс угла увеличивается от О до бесконечности.

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузой, равной 1. Для этого опишем радиусом ОМ, равным 1, четверть окружности — ду­гу МК (рис. 43). Пусть  Опустим из точки А перпендикуляр АВ на ОМ. Тогда  При повороте радиуса ОМ вокруг центра О против часовой стрелки, начиная от ОМ и заканчивая ОК, угол  будет увеличиваться от 0° до 90° (образуя указанные на чертеже углы:  и т. д.). Величина катета АВ, противолежащего углу  будет увеличиваться от 0 до 1. А величина катета ОВ, наоборот, будет уменьшаться от 1 до 0. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его синус увеличивается от 0 до 1, а косинус уменьшается от 1 до 0.
Из формулы  также следует (учитывая положительность синуса и косинуса острого угла), что с увеличением синуса от 0 до 1 косинус уменьшается от 1 до 0. 

 

б) Для определения изменения тангенса угла удобно рассматривать треугольники, у которых при­лежащий катет не изменяется и остается равным 1, а противолежащий катет изменяется. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОМ, у которого отре­зок ОМ = 1,  (рис. 44). По определению  Угол  станем изменять, перемещая точку А по прямой MN, начиная от точки М и проходя через точки  и т. д. При этом угол  и его тангенс начнут возрастать. Таким образом, когда угол  при движении точки А вверх будет стремиться к углу КОМ, равному 90°, то тангенс этого угла будет неограниченно возрастать.
К такому же выводу можно прийти, рассматривая формулу  При увеличении угла  от 0° до 90° числитель дроби будет увеличиваться от 0 до 1, а знаменатель — уменьшаться от 1 до 0, значит, вся дробь будет увеличиваться от 0 до бесконечности. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его тангенс увеличивается от 0 до бес­конечности.

Пример №12

В основании прямоугольного параллелепипеда  лежит квадрат, диагональ которого  см. Диагональ  боковой грани составляет с ребром основания  угол  (рис. 46). Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле , где а, b и с — его измерения. Так как ABCD — квадрат, то . Из прямоугольного треугольника  находим . Искомый объем .
Ответ: 576 см³.

Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла

1. Определение значений  для любого угла а от 0° до 180°

Ранее мы дали определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла через отношение сторон прямоугольного треугольника. Сделаем теперь это для углов от 0° до 180°.

Рассмотрим полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 48). От положительной полуоси  против часовой стрелки отложим острый угол  сторона которого пересекает полуокружность в точке . Из прямоугольного треугольника OMN, где ОМ = 1, ON = х, MN = у, получаем:  то есть синус, косинус,

тангенс и котангенс острого угла а выражаются через координаты  точки  Точно так же определяются значения  и  для любого угла а из промежутка  Таким образом, синусом угла а называется ордината  косинусом — абсцисса  тангенсом — отношение ординаты к абсциссе   а котангенсом — отношение абсциссы к ординате  точки М единичной полуокружности.

Например, для тупого  (рис. 48), где  получим: 

Для любого положения точки  на единичной полуокружности верно равенство  (докажите самостоятельно). Поэтому для углов  где  верно основное тригонометрическое тождество
Также верны тождества:

Нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса тупых углов

Пусть  откуда  (рис. 49). Так как  по гипотенузе и острому углу, то Точки  имеют координаты:  и  Тогда то есть для углов от 0° до 180° справедливы равенства: 

Можно пользоваться следующим правилом:
 

Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла.
Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».
 

Пример 1.

 Разделив почленно равенство на равенство  а затем наоборот, получим равенства:

Можно пользоваться следующим правилом:
Тангенс (котангенс) тупого угла равен тангенсу (котангенсу) смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».

Пример 2.
Указанные формулы и правила позволяют находить значения триго­нометрических функций тупого угла через значения тригонометрических функций острого угла, который дополняет данный тупой угол до 180°: синусы углов, дополняющих друг друга до 180°, равны между собой, а косинусы, тангенсы и котангенсы — противоположны. Так как синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла по­ложительные, то синус тупого угла положительный, а косинус, тангенс и котангенс — отрицательные.

Значения тригонометрических функций для углов 0°, 90°, 180°

Если луч ОМ совпадет с лучом (рис. 50), то будем считать, что  Тогда:

а)  значение не определено, так как деление на нуль невозможно; 

б) значение  не определено, так как деление на нуль невозможно; в)  значе­ние  не определено, так как деление на нуль невозможно.
Поскольку проекции радиуса, равного 1, на оси координат меньше либо равны 1, то для углов  справедливы неравенства:

Пример №13

Найти  если  – тупой угол.

Решение:

Способ 1. Так как  то  Поскольку угол  — тупой, то его косинус отрицательный. Поэтому Тогда

Способ 2. Синус острого угла  смежного с данным тупым углом  равен также  Построим прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (рис. 52). В нем Так как косинусы смежных углов противоположны, то . Аналогично,

Ответ:

Формулы площади треугольника и площади параллелограмма

Тригонометрические функции позволяют получить формулы для вычисления площади треугольника и площади параллелограмма. Сформулируем их в виде двух теорем.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, т. е.

Доказательство:

Пусть в треугольнике — острый,  — высота (рис. 56, а).

Из  прямоугольного треугольника  Тогда
Если угол  тупой (рис. 56,  то — острый. Из прямоугольно­го треугольника АКС следует, что  Так как то
Если  то  — прямоугольный с катетами  Учитывая, что  получим:
Теорема доказана.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними, т. е.

Используя рисунок 57, докажите эту теорему самостоятельно.

Замечание. Если  то параллелограмм является прямоугольником. Его площадь  так как  Таким образом, формула площади прямоугольника  — частный случай формулы площади параллелограмма

Известно, что слово «синус» в переводе с латинского имеет множество значений: изгиб, дуга, пазуха, бухта, впадина, залив, хорда, забота и нежная любовь. При помощи Интернета выясните:

а) какое из значений подходит к математическому понятию «синуса»;

б) какие из значений относятся к медицине и почему насморк врачи иногда называют синуситом.

Пример №14

Дан параллелограмм ABCD, площадь которого 40 см², а периметр 36 см. Найти стороны параллелограмма, если его угол D равен 150° (рис. 58).

Решение:

Полупериметр параллелограмма ра­вен 18 см. Если см, то  см.
Тогда

Так как  то
По условию  Составим и решим уравнение:  По теореме Виета (обратной) — корни.
Если CD = 8 см, то AD = 10 см, если CD = 10 см, то AD = 8 см.
Ответ: 8 см, 10 см.

Пример №15

Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, т.е. 

Доказательство:

Пусть диагонали  и  четырехугольника ABCD (рис. 59) пересекаются в точке О,  Докажем, что
Обозначим  Заме­тим, что как вертикальные,  по свойству смежных углов. Поэтому  По фор­муле площади треугольника  у получим:

Утверждение доказано

Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

Если для положительных чисел  выполняется пропорция то число  называется средним пропорциональным чисел а и с (между чис­лами а и с). Из указанной пропорции  откуда  В такой форме записи число  еще называют средним геометрическим чисел а и с.
 

Пример №16

Число 4 является средним пропорциональным, или средним геометрическим чисел 2 и 8, так как =  или

В прямоугольном треугольнике АВС, где , проведем высоту СК (рис. 61). Отрезок АК является проекцией катета АС на гипотенузу, а отрезок ВК — проекцией катета ВС на гипотенузу. Катеты, гипотенуза, высота и проекции катетов на гипотенузу связаны отношениями, которые мы сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема (о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике).

а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т. е.  (см. рис. 61).

б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проек­цией этого катета на гипотенузу, т. е.

Доказательство:

а)3аметим, что если  то (эти углы дополняют  до 90°) (рис. 62). Из  из   Отсюда

б) Из , из  откуда 
Аналогично доказывается, что  Теорема доказана.

Обозначив катеты  гипотенузу с, высо­ту  проекции катетов на гипотенузу (рис. 63), получим следующие формулы: 

Пример №17

Найти площадь прямоугольного треугольника, если проекции катетов на гипотенузу равны 2 см и 8 см.

Решение:

Пусть СН — высота прямоугольного треугольника АВС   АН = 2 см — проекция катета АС на гипотенузу, НВ = 8 см —

проекция катета СВ на гипотенузу (рис. 64). Так как высота СН есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу, то

Ответ: 20 см².

Пример №18

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена высота  см, АК = 12 см (рис. 65). Найти гипотенузу АВ.

Решение:

Пусть  см, тогда  см.
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу. Поэтому  т. е.  По теореме Виета (обратной) По смыслу задачи  Значит, КВ = 3 см, АВ = 15 см.
Ответ: 15 см.

Пример №19

При помощи циркуля и линейки построить отрезок, равный среднему геометрическому отрезков т и п .

Решение:

Пусть даны отрезки т и п . Необходимо построить отрезок 

Построение.
1) На произвольной прямой откладываем данные отрезки:

2) На отрезке АВ как на диаметре строим полуокружность, для чего находим середину О отрезка АВ, откуда ОА — радиус данной окружности.

3) Из точки К восстанавливаем перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с полуокружностью в точке М (рис. 66).
Отрезок — среднее пропорциональное отрезков

Доказательство:

— прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр. В прямоугольном треугольнике АМВ высота МК является средним пропорциональным проекций катетов AM и МВ на гипотенузу

Повторение*
В 8-м классе мы доказали следующую теорему:

Теорема (о касательной и секущей). Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной, соединяющего данную точку и точку касания, равен произведению отрезков се­ кущей, соединяющих данную точку и точки пересечения секущей с окружностью, т. е.  (рис. 70).

Как видим, отрезок  является средним пропорциональным между отрезками  секущей. Глядя на рисунок 70, вспомните идею доказательства теоремы.

Теорема о площадях треугольников с общим (равным) углом

Площади треугольников, имеющих общий угол (или равный угол), относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (рис. 75),
т.е.

Доказательство:

Следствие: Верно:

Пример №20

Площадь треугольника АВС равна 16, АК : КС = 3 :1 , AM : МВ = 1 :2 (рис. 76). Найти

Решение:

Способ 1. По следствию из теоремы о площадях треугольников с общим углом получаем:

Способ 2.  

Ответ: 4.

Теорема Менелая

Если дан треугольник АВС и прямая  пересекает стороны ВС, АВ и продолжение стороны АС в точках  соответственно (рис. 79), то

Доказательство:

Проведем отрезок  Так как и (по двум углам), то  и  Перемножив почленно указанные пропорции, получим

откуда
Замечание. При составлении произведения трех отношений теоремы Менелая можно начинать с любой из шести точек (трех вершин треугольника и трех точек пересечения прямой с прямыми, содержащими стороны треугольника) и двигаться по контуру либо по часовой, либо против часовой стрелки. При этом вершины треугольника и точки пересечения должны чередоваться.

Пример №21

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты соответственно точки М и К, такие, что AM : МВ = 2 :1 , АК : КС = 3 :2 . Отрезки СМ и ВК пересекаются в точке О. Найти ВО : ОК.

Решение:

Способ 1 (теорема Менелая). Рассмотрим  (рис. 80). Прямая  пересекает две его стороны АВ и ВК соответственно в точках М и О и продолжение тре­тьей стороны АК в точке С. По теореме Менелая  откуда

Способ 2 (теорема Фалеса обобщенная). Проведем  (рис. 81). По теореме Фалеса  Тогда АЕ — три части, ЕМ — две части, AM — пять частей, откуда
Но  Отсюда  Для
по теореме Фалеса

Ответ:

 

Пример №22

Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС), площадь которого равна 80. Точка К делит высоту ВН в отношении 1 : 3, считая от основания. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке М. Найти площадь четырехугольника НКМС (рис. 82).

Решение:

1)  (ВН — высота и медиана треугольника АВС).

2) Применим теорему Менелая к треугольнику НВС.
Прямая AM пересекает его стороны ВН и ВС соответственно в точках К и М и продолжение стороны НС в точке  Тогда  Откуда

3)

4)

Ответ: 22.

Неравенство Коши

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше либо равно их среднему геометрическому, т. е.

Например,  Действительно,

Алгебраическое доказательство указанного неравенства таково. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства  Получим:  Так как при всех допустимых , то  Следовательно, неравенство  верно.
Неравенство  где  называется неравенством Коши по имени известного французского математика и часто используется при решении олимпиадных задач.

Приведем геометрическое доказательство указанного неравенства. Изобразим окружность с диаметром АВ и центром в точке О (рис. 87). На диаметре возьмем точку К (для определенности левее центра О). Пусть  Из точки К вос­становим перпендикуляр КС, где точка С принад­лежит окружности. Проведем радиус ОС. Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, то  прямоугольный, СК — его высота, проведенная к гипотенузе. По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике . Но радиус ОС равен половине диаметра АВ, т. е. . В  катет меньше гипотенузы, т. е.  так как катет меньше гипотенузы. Отсюда 
Равенство левой и правой частей неравенства достигается, когда точ­ка К совпадает с точкой О и  становится равнобедренным и прямоугольным. Поэтому справедливо неравенство т. е 

ЗАПОМИНАЕМ

2. Значения тригонометрических функций углов 30 45°, 60°: 

3. Тригонометрические формулы (тождества): 

Примеры:  

4. Формулы площади треугольника и параллелограмма: 

5. Среднее пропорциональное в прямоугольном треугольнике: