Равномерное прямолинейное движение
Всё в мире находится в движении.
Каждый день, когда мы выходим из дома, мы стараемся рассчитать, насколько быстро доберемся до школы или работы.
Может, однажды мы захотим научиться чему-то новому и купим машину.
А физика объяснит тебе, как не попасть в аварию и как всюду успевать.
Приступим!
Равномерное прямолинейное движение — коротко о главном
Сегодня ты узнал:
- Как решить основную задачу механики в общем виде;
- Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения;
- Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло;
- Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна;
- Как решить основную задачу механики для равномерного прямолинейного движения;
- Как строить и анализировать графики равномерного прямолинейного движения;
- Графиком равномерного прямолинейного движения является прямая;
- Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают;
- Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела;
- Как строить траекторию движения тела;
- Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено;
- Средняя путевая скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден;
- Траектория движения тела зависит от выбора системы отсчета;
- Как доказать закон сложения скоростей;
- Абсолютная скорость есть векторная сумма относительной и переносной скоростей;
А еще ты научился решать задачи разного уровня сложности!
Ой, я что, не сказал? Там сложные были!
Ты, наверное, и не заметил 😉
О том, как решить основную задачу механики
Мы помним, что основная задача механики – указать положение тела в пространстве в любой момент времени, не только в настоящем, но и в будущем.
Мы узнали это, когда только начали изучать кинематику.
Итак, что нужно знать для того, чтобы найти положение тела в пространстве?
Неплохо было бы знать, где оно находилось в начале своего движения, его начальные координаты. Ведь нам важно, откуда мы выдвигаемся в путь.
Зависят ли начальные координаты тела от времени? Совсем нет: мы просто принимаем то, что тело где-то есть.
А еще нам важно знать, как далеко оказалось тело от своего начального положения и куда вообще двигалось. Важно знать перемещение этого тела.
Давай опробуем свои силы! Думаю, мы уже готовы решить главную задачу!
Рассмотрим какое-то тело. Оно подвигалось, изменило свое положение, оказалось в другой точке.
Назовем ее конечной и постараемся найти ее координаты, то есть узнать положение тела после совершенного им перемещения.
Помним, что перемещение – вектор, поэтому изобразим его:
Уже сейчас мы можем указать начальные координаты тела! Нет чисел – не пугаемся, используем буквы:
Нам нужно узнать конечное положение тела. Отметим координаты тела в конце, их нам и нужно найти, чтобы определить положение тела в конце:
Но как найти эти координаты, зная лишь начальное положение тела и его перемещение? Как нам попасть из ({{x}_{0}}) в (x) и из ({{y}_{0}}) в (y) ?
Все очень просто! Если есть вектор, то какая-нибудь проекция-то найдется, правда?
Отметим их:
Теперь ответить на вопрос, как добраться из начала в конец становится очень легким: просто нужно прибавить к начальной точке проекцию перемещения для нужной оси!
То есть положение точки в любой момент времени можно записать так:
(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}}) — для оси Х
(y={{y}_{0}}+{{S}_{y}}) — для оси Y
Поздравляю! Мы только что решили основную задачу механики!
Правда, сделали это в общем виде… Но перемещение ведь может быть очень разнообразным! Как вообще его найти? Не всегда же оно будет дано!
Это зависит от движения тела.
Равномерное прямолинейное движение
Определение равномерного прямолинейного движения
Самым простым движением по праву считается равномерное прямолинейное движение. Мы начнем с него.
Давай попробуем дать ему определение.
Всегда стоить помнить, что знать определения наизусть вовсе не обязательно. Главное – научиться строить его самостоятельно.
Успех любого хорошего определения заключается в правильной его структуре.
Равномерное прямолинейное движение – это движение. Мы нашли главное слово нашего определения. Давай развивать его.
Мы уже знаем, что такое движение. Давай дополним это определение.
Что значит равномерное? Равная мера… Но что является этой самой равной мерой?
Тело проходит равные пути. Логично, что происходит это за какие-то промежутки времени.
А за какие промежутки? За равные. За секунду, за минуту, за час. Не обязательно за ОДНУ секунду, ОДНУ минуту, ОДИН час. Равными промежутками времени могут быть, например, три часа или две секунды.
Но что значит прямолинейное? Можно сказать, что это движение по прямой. Но давайте объясним это, исходя из уже знакомых нам понятий.
Представь: какое-то тело движется, у нас в руках секундомер.
Прошла секунда – тело переместилось на метр. Еще секунда – еще метр. В том же направлении.
То есть тело совершает равные перемещения!
Поэтому…
Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.
С перемещением намного проще объяснить, почему за равные промежутки времени можно принимать абсолютно любое количество единиц времени.
Пусть тело совершает за 1 секунду перемещение (vec{S}).
Тогда за две секунды совершает перемещение (2vec{S}):
Будет ли тело все еще совершать равные перемещения за каждые 2 секунды? Конечно! Давай посмотрим:
Скорость
Равномерное прямолинейное движение тоже бывает разным: быстрым и медленным. Чтобы охарактеризовать его, существует скорость.
Чем большее перемещение совершает тело за промежуток времени, тем больше его скорость. Это очевидно: за одно и то же время гепард преодолевает расстояние во много раз большее, чем термит.
То есть скорость прямо пропорциональна перемещению!
А еще мы помним, что нам действительно важно направление скорости, ведь нам важно направление движения. То есть скорость – величина векторная. Давай убедимся в этом.
Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло.
Запишем это в виде формулы:
(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t})
Векторы с обеих сторон, верно, но… Мы ведь учились умножать векторы, а не делить их. При делении тоже вектор получается?
Да. Ведь любое деление можно представить в виде умножения, смотри:
(vec{V}=frac{1}{t}cdot vec{S})
Время – скалярная величина. Оно не имеет направления. Поэтому можно сказать, что скорость есть перемещение, умноженное на скаляр, то есть тоже вектор! Более того, вектор перемещения и скорости сонаправлены.
Подробнее о свойствах векторов можно прочитать в Большой теории по векторам.
Помнишь, мы чуть выше выясняли, будет ли тело все так же совершать одинаковые перемещения за 2 секунды, а не за одну? Причем эти перемещения сами будут в два раза больше. Значит отношение останется прежним, вот так:
(vec{V}=frac{2vec{S}}{2t}=frac{{vec{S}}}{t})
Отсюда делаем вывод:
Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна.
Как это записать? Кажется, очевидно, но это «задачка со звездочкой». Вот так:
(vec{V}=overrightarrow{const})
Мы не можем приравнять векторную величину к скалярной. Поэтому над константой тоже нужно ставить вектор.
Решение основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения
Из уравнения скорости можно легко выразить перемещения, что сделает нас на шаг ближе к конкретному решению основной задачи. Давай сделаем это:
(vec{S}=vec{V}cdot t)
Из свойств векторов мы помним, что это будет справедливо и для проекций:
({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t)
({{S}_{y}}={{V}_{y}}cdot t)
Стоп-стоп-стоп… Мы что, можем уже с помощью этого определить положение точки?
Да, почему нет? Просто подставим это вместо проекций перемещения туда, где мы решали основную задачу механики в общем виде:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
(y={{y}_{0}}+{{V}_{y}}cdot t)
Обычно в задачах по физике мы стараемся выбрать оси так, чтобы было проще работать с проекциями. Мы стараемся расположить их так, чтобы как можно больше векторов располагалось параллельно один осям и перпендикулярно другим, вот так:
Проекция перемещения на ось Y будет равняться нулю, мы можем не обращать на нее внимания.
По оси Y тело вообще не меняло своего положения, верно?
Именно поэтому в задачах чаще всего мы будем использовать упрощенный вариант нахождения конечного положения тела. Его координата будет описана лишь одним числом.
То есть используем лишь одну ось:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
Работаем с проекциями. Настораживаемся. Вспоминаем о знаках.
Здесь все просто: если проекция скорости положительна, тело движется вдоль оси. Если она отрицательна, тело движется против оси.
Помни, что работаем мы с координатной осью! Начальное положение тела тоже может быть отрицательным. Это зависит лишь от того, как расположено тело относительно начала координат:
Графики равномерного прямолинейного движения
Построение графика
Очень важно уметь описывать движение графиком. Это может значительно упростить решение задачи.
Давай посмотрим, как с помощью графика описать равномерное прямолинейное движение.
Любой график – множество точек, который показывает зависимость одного значения от другого. Эта зависимость определяется каким-то уравнением.
Например, когда мы строим параболу, мы руководствуемся уравнением (y={{x}^{2}}). Как еще это можно записать?
Вот так: (f(x)={{x}^{2}}). Это показывает, что функция (f) зависит от значения (x).
Давай аналогично составим график движения тела. Вспомним то главное уравнение:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
Иными словами, это график зависимости координаты тела от времени. Давай так и запишем:
(x(t)={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
Начинаем работать с уравнением. Предположим, что нам известна проекция скорости и начальное положение тела. Работать с конкретными числами удобнее.
Пусть: ({{V}_{x}}=0.5)м/с и ({{x}_{0}}=3)м
Тогда уравнение имеет вид: (x=3+0.5cdot t)
Нарисуем оси и обозначим их. Так как у нас даны единицы измерения (метры и секунды), мы обязательно должны подписать их рядом с названиями осей!
Теперь можем взять и рассмотреть положение тела в любую секунду: хоть в первую, хоть в двенадцатую!
Отметим точки и соединим их. Получим график движения.
А теперь вопрос на засыпку: может ли время быть отрицательным?
Могу ли я указать положение тела в минус третью секунду? Могу.
Для этого стоит помнить, что «нулевая» секунда – момент, когда мы запускаем секундомер, когда мы только начинаем наблюдать за телом. Но оно могло двигаться и до того, как мы включили таймер, верно?
Давай покажем движение тела до наших наблюдений пунктирной линией:
Зачастую точки пересечения графика с осями несут в себе очень важную информацию!
Например, когда мы только включили секундомер ((t=0)с), тело находилось в начальном положении (({{x}_{0}}=3)м), и это видно по графику!
А когда координата тела была равна нулю?
Все очень просто: за 6 секунд до того, как мы включили секундомер! Прямая пересекает ось времени в точке -6.
Итак, мы выяснили, что…
График равномерного прямолинейного движения представляет собой прямую.
Точка пересечения ее с осью Х есть координата в начальный момент времени.
Точка пересечения с осью времени показывает ту секунду, когда тело находится в начале координат.
И действительно, само уравнение (x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t) уже напоминает стандартное уравнение прямой, которое мы изучаем на математике: (y=kx+m), где (m) — точка пресечения графика с осью Х, а (k) — коэффициент наклона прямой.
В нашем случае роль коэффициента наклона играет проекция скорости.
Зависимость графика от проекции скорости
Давай изобразим несколько графиков в общем виде, то есть без каких-либо конкретных значений. Например, пусть у нас есть два движущихся тела, вот так:
Чем отличаются движения этих двух тел?
Ну, прежде всего, у них разные начальные положения. Ладно.
А что насчет проекции скорости?
Рассмотрим первое тело. С течением времени оно все больше удаляется от начала координат. А вот второе к нему приближается: оно даже достигает начала координат через некоторое время (когда пересекает ось).
Значит, первое тело идет вдоль оси, а второе против нее, то есть к началу! Мы помним, что это определяет знак проекции скорости.
А именно: проекция скорости первого тела положительна. Проекция скорости второго тела отрицательна.
Со знаками разобрались. А как быть, если попросят узнать, какая проекция скорости больше?
Рассмотрим следующий график. Чтобы было легче его анализировать, представим, что два тела имеют одинаковое положение, когда мы включаем секундомер:
Чтобы понять, чья скорость больше, рассмотрим определенный промежуток времени, отделим его вертикальной пунктирной линией. А еще обозначим начальную и конечную координаты тел в этот промежуток времени:
Теперь посмотрим, чем отличаются графики. Ну так, навскидку. Они отличаются наклоном.
График движения второго тела расположен к оси Х значительно ближе. Что это значит?
Рассмотрим, какое расстояние прошло первое тело, обозначим его на рисунке. Оно численно равно проекции перемещения, убедимся с помощью формулы:
(Delta {{x}_{1}}={{x}_{1}}-{{x}_{01}}={{S}_{x}}_{1})
Теперь рассмотрим расстояние, которое преодолело второе тело:
(Delta {{x}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{02}}={{S}_{x}}_{2})
Видим, что за одинаковый промежуток времени второе тело прошло значительно большее расстояние! Это значит, что его скорость больше.
Чем ближе к оси Х расположена прямая, тем больше скорость движения тела.
А что будешь делать с таким графиком?
Координата тела с течением времени не меняется. Значит ли это, что тело не движется вовсе?
Нет. Тело не движется лишь по этой оси. Но по какой-нибудь другой оси оно двигаться может.
Например, вот так:
Тело не меняет координаты по оси Х, однако движется по оси Y.
Если мы видим такой график, мы можем лишь утверждать, что проекция скорости равна нулю. О самой скорости говорить не можем.
Встреча
Помнишь самый первый рисунок с двумя телами? Вот этот:
В нем есть одна интересная деталь. Графики движения тел пересекаются.
Со временем все понятно: оно для всех идет одинаково, ничего не поделаешь.
А вот с координатой интереснее: ведь мы можем утверждать, что в какой-то момент тела встретились. То есть в какой-то момент их координаты на оси Х стали равны. Обозначим момент встречи и координату («место») встречи:
Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.
Это еще один момент, о котором стоит помнить при решении задач на графики.
А еще стоит обратить внимание на то, что координаты тел должны совпадать в один момент времени! Если в лесу мимо дуба пробежала лань, а через несколько дней мимо этого же дуба пробежал енот, мы не можем сказать, что они встретились.
Просто у них совпала траектория.
График зависимости проекции скорости от времени. Нахождение проекции перемещения
Рассмотрим несколько другой график. График зависимости проекции скорости от времени при равномерном прямоли…
Стоп, чего? Какой зависимости? Скорость ведь постоянная и не меняется со временем.
Ты абсолютно прав. А график-то начертить можем, вот так:
Скучный график. Просто прямая, параллельная оси времени. Проекция скорости не меняется, а время всё идет и идет.
Давай хоть что-то найдем по графику. Хоть площадь под ним. Обозначим эту область:
Получили прямоугольник. Его площадь ищем путем перемножения двух соседних сторон, то есть мы берем проекцию скорости и умножаем еще на время.
Где-то мы это слышали.
Верно, ведь именно так ищется проекция перемещения!
({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t)
Совпадение? Не думаю.
Искать проекцию перемещения таким способом можно не только для равномерного прямолинейного движения, но и для других его видов!
Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела.
Решение простейших задач и задач на графики равномерного прямолинейного движения
Текстовые задачи
Задача 1. Охарактеризуйте движение соседки, которая спускается по лестнице и одновременно с этим закатывает рукава, услышав в 11 часов вечера громкую музыку из квартиры снизу, если уравнение ее движения: (x=2cdot t), а ось направлена вниз по лестнице.
Решение:
Итак, для начала вспомним уравнение движения в общем виде:
(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}})
Соответствует ли уравнение движения соседки уравнению выше? Конечно!
Почему? По глазам вижу, догадываешься! Потому что его можно записать так:
(x=0+2cdot t)
Начальная координата соседки равна нулю: соседка двигалась из начала координат. С этим разобрались. Осталось определить тип ее движения.
Она движется вниз по лестнице. Значит, идет по прямой в одном направлении. Это прямолинейное движение.
Она свирепеет и ускоряется? Нет. Она движется равномерно. Давай вспомним уравнение движения для равномерного прямолинейного движения:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
И еще раз посмотрим на наше:
(x=0+2cdot t)
Сопоставляем их и понимаем, что рядом с временем расположена проекция скорости. Она, как видим, положительна и равна 2 м/с. Соседка двигается вдоль оси. Ось направлена вниз и соседка движется туда же!
Подробно мы разбирали зависимость направления от знака проекции в Большой теории по векторам.
Таким образом, соседка совершает равномерное прямолинейное движение вдоль оси из начала координат, а проекция ее скорости на эту ось равняется 2 м/с.
Задача 2. Таракан Вася совершает равномерное прямолинейное движение вдоль линейки (соответствующей оси Х) на столе семиклассника Вовы, который, старательно уча уроки, уже неделю не выносит из комнаты мусор. Проекция скорости таракана на эту ось 0.1 м/с. Вова берет секундомер и начинает отсчет в тот момент, когда таракан находится на втором сантиметре линейки.
На каком сантиметре линейки окажется таракан через две секунды?
Решение:
Первое правило решающих физику: увидеть тему и писать формулы по теме.
Второе правило решающих физику: увидеть тему и писать ВСЕ формулы по теме. Могут пригодиться.
Знаем тип движения! Равномерное прямолинейное!
Знаем уравнение равномерного прямолинейного движения! Пишем:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
Делов-то! Начнем подставлять известные величины для таракана. Из задачи знаем, что в начале отсчета таракан находится на втором сантиметре линейки…
Стоп. «Сантиметре…»
Никогда не теряй бдительность, боец. Всегда проверяй величины.
Переведем все, что есть, в СИ. Скорость – в м/с. Отлично, уже есть. Как быть с линейкой? Просто перевести сантиметры в метры!
Таракан был на втором сантиметре, а значит на 0.02 метре линейки!
Теперь можем записать уравнение его движения:
(x=0.02+0.1cdot t)
Чтобы узнать, где окажется таракан через 2 секунды, просто подставим цифру 2 в это уравнение:
(x=0.02+0.1cdot 2=0.22)м
На 0.22 метре линейки! Получили ответ. Но в задаче спрашивается, на каком сантиметре будет находится таракан. Переводим наш ответ в сантиметры и получаем, что таракан будет находится на 22-ом сантиметре линейки!
Задача 3. По коридору мчится восьмиклассник Петя, уравнение его движения можно описать следующим уравнением: (x=6+2cdot t). За ним несётся разъяренный директор Максим Михайлович, уравнение его движения: (x=3+3cdot t).
Догонит ли директор Петю и, если догонит, когда и на каком метре коридора это произойдет? Скорость измерять в м/с, время в секундах.
Решение:
Итак, давай разберемся. Что вообще значит «догонит»? То же самое, что «встретит», верно?
Мы знаем, что такое встреча. Это такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.
Чтобы понять, встретятся ли они вообще, давай построим графики движения Пети (П) и директора (Д):
Видим, что прямые пересекаются. В какой-то момент времени их координаты действительно одинаковы.
Но как узнать, в какой?
Что-что? Видно по графику? Ну уж нет! Думаешь, там координата 12? А вдруг там 11.999?
Всегда нужно проверять себя аналитически.
Запишем два уравнения:
({{x}_{P}}=6+2cdot t) — Пети
({{x}_{D}}=3+3cdot t) — директора
При встрече у них одинаковые координаты: ({{x}_{P}}={{x}_{D}})
Да… Наверное, другие части уравнений приравнять будет полезнее:
(6+2cdot t=3+3cdot t)
Отсюда легко вычислить время встречи:
(t=3) c
Значит, через три секунды после начала отсчета их координаты будут одинаковы, они встретятся. Найдем место встречи, просто подставив время в одно из двух (какое больше нравится 🙂 ) уравнений:
({{x}_{B}}=6+2cdot 3=12) м
Директор догонит Петю через 3 секунды. Это произойдет на 12-ти метрах от начала коридора.
Задачи на графики
Задача 4. Написать уравнение движение тела, если график этого движения:
Решение:
Какое это движение? Видим, что графиком движения является прямая. Значит, это равномерное прямолинейное движение.
Удивительно, но начнем с уравнения:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
График очень информативный. По крайней мере мы уже знаем начальную координату: ({{x}_{0}}=8) м
Имеем:
(x=8+{{V}_{x}}cdot t)
Как найти проекцию скорости? Ну, давай ее выразим для начала.
({{V}_{x}}=frac{x-8}{t}) м/с
Дальше все очень просто: сделаем так, чтобы она осталось единственной неизвестной. Подставим в уравнение координату и время из графика, абсолютно любую пару, вот так:
Считаем:
({{V}_{x}}=frac{6-8}{2}=-1) м/с
Проекция скорости отрицательна. И правда: с течением времени тело приближается к началу координат, то есть движется против оси.
Подставим в уравнение:
(x=8-t) — уравнение движения тела.
Задача 5. Тело движется вдоль оси Х. Описать движение на каждом участке графика. Найти проекции скоростей. Построить графики проекции скорости и пройденного пути от времени.
Решение:
Опишем движение. Какое оно?
«Ха! Это не прямая, — скажешь ты, — а ломаная!»
И будешь абсолютно прав.
А я скажу: «А что такое ломаная? Это просто соединенные между собой отрезки! А отрезки — части прямых!»
Поэтому давай рассматривать этот график частями!
С первым отрезком все понятно: равномерное прямолинейное движения, ведь эта часть графика – прямая. С течением времени тело приближается к началу координат, значит движется против оси.
Найдем проекцию скорости.
Для начала, что есть скорость?
Мы помним, что скорость – отношение перемещения к промежутку времени.
(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t})
Знаем, что это справедливо и для проекций:
({{V}_{x}}=frac{{{S}_{x}}}{t})
Ну, время у нас есть. А проекцию перемещения откуда взять?
Давай вспомним, что это такое. Перемещение – вектор, проведенный из начального положения тела в конечное. А проекция перемещения – проекция этого вектора. Логично, правда? То есть:
({{S}_{x}}=x-{{x}_{0}})
Подробнее о проекциях можно узнать в Большой теории по векторам.
Вот и нашли проекцию скорости:
({{V}_{x}}=frac{x-{{x}_{0}}}{t})
Подставим в уравнение выше значения необходимых величин:
({{V}_{x}}=frac{4-10}{2}=-3) м/с
Проекция скорости на первом участке графика равна -3м/с.
Второй отрезок необычнее: тело не меняет координату. Тело на этом участке неподвижно.
Так как в условии сказано, что тело движется именно вдоль оси Х, модуль проекции скорости на эту ось равен длине вектора скорости.
Так как тело не меняет координату, проекция его перемещения равна нулю. А значит и проекция скорости равна нулю.
Третий отрезок описывает равномерное прямолинейное движение. Тело отдаляется от начала координат и движется туда же, куда направлена ось.
Найдем проекцию скорости на третьем участке:
({{V}_{x}}=frac{9-4}{12-7}=1) м/с
Так. Давай разберемся, почему там 12-7.
Помнишь, мы считаем отношение проекции перемещения к ПРОМЕЖУТКУ времени. А от 7 до 12 секунды промежуток времени составляет 5 секунд.
Проекция скорости на третьем участке равна 1м/с.
Всё нашли, осталось лишь построить графики! Начнем с графика зависимости проекции скорости от времени. Начертим и обозначим оси, обязательно обозначив единицы измерения и помня, что проекция может быть отрицательна:
Работаем с первой частью:
Мы выяснили, что в течение первых двух секунд проекция скорости была постоянна (как-никак, равномерное прямолинейное движение 🙂 ) и равна -3 м/с.
Давай нарисуем!
На втором участке проекция скорости равна нулю, а на третьем – единице.
Избавимся от вспомогательных линий и получим:
Что-то мне подсказывает, что на графике пути тоже будет три участка. Приступим.
Нарисуем оси и обозначим их:
Логично будет утверждать, что, пока тело не начало двигаться, оно и путь никакой не прошло. Отметим это точкой на графике:
Первые две секунды тело двигалось равномерно со скоростью 3 метра в секунду. Значит, за две секунды тело прошло (3cdot 2=6) метров! Отметим это!.. Нет, не так, на графике отметим:
Движемся дальше. Мы знаем, что на втором участке тело было неподвижно, а значит путь никакой не проходило. За промежуток времени второго участка тело не прошло никакой путь.
Однако суммарно за всё свое движение тело все так же прошло 6 метров:
На третьем участке тело движется. Значит, суммарно пройденный путь увеличится. Оно двигалось со скоростью 1м/с. Посмотрим сколько оно прошло за 5 (12-7) секунд.
Оно пройдет 5 метров.
Добавим их к нашим уже пройденным 6 метрам и получим 11 метров:
Остается только соединить точки прямой:
Задача 6. Найти проекцию перемещения тела по графику
Решение:
Определимся, из чего вообще складывается то, что нам нужно найти. В разные промежутки времени тело двигалось с разными постоянными скоростями.
Значит, проекция перемещения складывается из проекций перемещения в разных промежутках времени! Их 6:
({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}}+{{S}_{x3}}+{{S}_{x4}}+{{S}_{x5}}+{{S}_{x6}})
Попробуем найти первую проекцию. Помнишь, мы знаем, что проекция перемещения есть площадь под графиком?
«Под графиком» означает «между графиком и осью», то есть вот эта:
Что ж, давай найдем перемещение:
Проекция скорости есть -2м/с, а промежуток времени – 3с.
Поэтому: ({{S}_{x1}}=-2cdot 3=-6)м
Попробуем найти площадь второго прямоугольника:
Сразу обрати внимание на то, что промежуток времени – с третьей по пятую секунду, то есть 2 секунды!
({{S}_{x2}}=2cdot 2=4)м
Аналогично для остальных:
({{S}_{x3}}=3cdot 3=9)м
({{S}_{x4}}=2cdot 1=2)м
({{S}_{x5}}=1cdot 1=1)м
({{S}_{x6}}=-3cdot 2=-6)м
Посмотрим, чему равна проекция перемещения:
({{S}_{x}}=-6+4+9+2+1-6=4)м
Тяжело в учении – легко в бою. Давай поднажмём и составим график зависимости проекции перемещения от времени.
Когда мы включили таймер, она была равна нулю:
В конце первого промежутка времени она становится равна -6м:
А, ну дальше-то все легко: отмечаем 4, потом отмечаем 9… Нет!
Мы ведь работаем с ОБЩЕЙ проекцией. А общая проекция есть сумма.
Тогда в конце второго промежутка проекция будет равна:
({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}})
Дальше – больше слагаемых.
Следующая точка: (-6+4=-2) м
А после нее:(-6+4+9=7) м и т.д.
Теперь соединяем точки по порядку:
Задача 7. Постройте траекторию движения колибри, если начальное положение его по оси Х – 1 м, по оси Y – 3 м, а проекция его скорости на оси, расположенные перпендикулярно друг другу, описывается следующими графиками:
Решение:
Увидел сложную задачу – пиши всё, что знаешь! Зачем? Так надо! Пиши!
Скорость изменяется скачками, но на отдельных промежутках она постоянна. Тело движется равномерно.
Тело изменяет свое положение в пространстве. Изменяет свою координату.
Вспомним, как записывается уравнение координаты тела при равномерном прямолинейном движении:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
(y={{y}_{0}}+{{V}_{y}}cdot t)
Мы учились делать это раньше. Построим графики зависимости координаты от времени.
Итак, по оси Х у нас 3 участка, обозначим их вспомогательными линиями на нашем новом графике:
Начнем с первого участка. Знаем проекцию скорости и даже начальную координату! Подарок судьбы.
(x=1+2cdot t)
Строим его на первом промежутке:
Теперь координата тела – 17м и тело начинает двигаться с другой скоростью. Из координаты 17 тело движется со скоростью… А, ни с какой скоростью. Проекция скорости на эту ось равна нулю, поэтому:
(x=17+0cdot t)
Координата не меняется. Рисуем:
Тело на 17 м. Оттуда продолжаем движение с проекцией скорости -2 м/с. Тогда: (x=17-2cdot t)
Аналогично строим график для оси Y. Теперь у нас есть два графика:
Построим траекторию движения в плоскости. Для этого нам нужны оси Х и Y одновременно!
Давай построим их:
Всегда бери длину с запасом! Чтобы потом не перечерчивать оси. Наибольшее значение по Х – 17м. По Y – 15м. На всякий случай будем брать 20Х20.
Давай будем анализировать по секундам. Каковы были координаты тела в момент начала отсчета? Давай посмотрим.
В начальный момент времени координата по Х равна 1м, по Y – 3м. В конечный момент по Х координата равна 13, по Y – 15м.
Отметим эти точки:
Дальше будем рассматривать «переломные моменты». Для первого графика это 8 и 10с, для второго – 4 и 6с.
То есть секунды: 4, 6, 8, 10.
Запишем координаты точек для нужных нам секунд:
4: (9;15)
6: (13; 9)
8: (17;11)
10: (17;13)
Отметим их и соединим прямой, укажем последовательность:
Задача решена!
Теперь ты знаешь, как работать с графиками равномерного прямолинейного движения и их уравнениями! Движемся дальше. Иронично звучит 🙂
Средняя скорость по перемещению. Средняя путевая скорость
Хочешь, покажу фокус?
Смотри.
Из горной пещеры вылетает дракон, а за ним в ту же секунду выбегает доблестный рыцарь. Дракон хочет разрушить замок, находящийся от пещеры на расстоянии 7 километров. Задача рыцаря – добраться до замка первым и остановить дракона.
Рыцарь скачет на лошади прямо к замку по равнине в течении 20 минут. Он обнаруживает, что мост через реку на пути к замку разрушен, поэтому решает переплыть реку, и (спасибо его хорошей подготовке) у него уходит лишь 5 минут на то, чтобы снять с себя доспехи и сделать это. Затем в течении 10 минут он продолжает движение к замку.
Дракон после вылета из пещеры движется вперед и вверх, на это у него уходит 15 минут. На какой-то высоте он останавливается, потому что видит стаю пролетающих мимо уток. Драконы, динозавры, птицы… Смекаешь, да? Он решает поиграться со своими «родственниками», на что у него уходит 15 минут. Затем он вспоминает о замке и стремительно пикирует к нему на протяжении 5 минут.
Давай всё это изобразим для наглядности:
Дракон и рыцарь совершили одинаковые перемещения, так? 7 км, ведь они оказались у замка, двигаясь из пещеры.
Давай посчитаем время каждого в пути. И для дракона, и для рыцаря оно составило 35 минут. Они прибыли к замку одновременно.
Так что ж получается… Они совершили одинаковое перемещение за одинаковый промежуток времени.
Но их траектории были очень различны! И двигались они по-разному!
Для того, чтобы описать это, существует средняя скорость по перемещению.
Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено.
Можно в виде формулы: ({{vec{V}}_{cp}}=frac{{vec{S}}}{t})
Средняя скорость дракона и рыцаря по перемещению одинакова, ведь они пришли одновременно в одно и то же место.
Есть подвох, о котором тебе на математике не рассказали. Ты все время работал не с этой средней скоростью. А с этой:
Средняя путевая скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.
Понял, да? Путевая – про путь, а не про перемещение. Средняя путевая скорость совпадает (по модулю) со средней скоростью по перемещению только в том случае, если тело двигалось по прямой в одном направлении.
Средняя путевая скорость дракона сильно отличается от средней путевой скорости рыцаря.
Если не помнишь, в чем отличие пути от перемещения, советую посмотреть основные определения кинематики!
Относительность движения. Операции над скоростями
Давай вспомним одну из важнейших вещей, когда мы говорим про движение. Мы давали ему определение, когда говорили о кинематике в целом.
Это тело отсчета. То тело, относительно которого мы рассматриваем движение.
Мы уже знаем, что относительно одного тела тело может нестись с бешеной скоростью, а относительно другого не двигаться вовсе.
От системы отсчета зависит изменение положения тела. А что еще от нее зависит? Траектория зависит?
Оказывается, да!
Однажды человек изобрел колесо и изменил мир. Давай воспользуемся этим изобретением для того, чтобы найти ответ на вопрос выше.
Возьмем какую-то точку на колесе и пусть оно катится по дороге! Как движется эта точка относительно оси колеса? По кругу.
А относительно Земли?
Вот так:
Круто, да?
Эта кривая называется циклоида. И она точно отличается от траектории движения точки относительно оси колеса.
Сегодня мы научимся определять и связывать скорости в разных системах отсчета.
А еще на относительности основан главный закон скоростей – закон об их сложении.
Поступим как настоящие ученые. Готовые формулы – для слабаков. Мы будем выводить их сами.
Рассмотрим ситуацию.
По реке плывет плот (П) со спортсменом (С). На берегу реки сидит рыбак (Р) и наблюдает за этим. В какой-то момент пловец прыгает с плота и движется к другому берегу реки. Их несёт течение реки.
Давай изобразим это:
Давай нарисуем вектор перемещения спортсмена относительно плота и назовем его относительным перемещением:
Теперь нарисуем вектор перемещения плота, которого несет течение. Назовем этот вектор переносным:
А теперь посмотрим, как спортсмен двигался относительно рыбака, и назовем вектор этого перемещения абсолютным:
Ты только посмотри! У нас тут треугольник!
Нет, оставь свои теории заговора и иллюминатов. Не тот треугольник. Треугольник суммы векторов!
Переносное перемещение и относительное в сумме дают абсолютное!
({{vec{S}}_{a}}={{vec{S}}_{n}}+{{vec{S}}_{o}})
Как связать перемещение со скоростью? Нужно поделить его на время!
Та-а-ак… А его откуда брать?
Оно для всех течёт одинаково. Смело делим:
(frac{{{{vec{S}}}_{a}}}{t}=frac{{{{vec{S}}}_{n}}}{t}+frac{{{{vec{S}}}_{o}}}{t})
И получаем:
({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}})
А теперь давай разбираться.
Что такое абсолютная скорость? В нашем случае это скорость пловца относительно берега.
Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета.
Что такое переносная скорость? Скорость плота, скорость течения реки относительно берега.
Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Что такое относительная скорость? Это скорость спортсмена относительна плота.
Относительная скорость – скорость движения тела относительно подвижной системы отсчета.
Таким образом,
Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно движущейся системы отсчета и скорости движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Иначе говоря:
Абсолютная скорость есть векторная сумма относительной и переносной скоростей.
Чем хороши векторные уравнения? Они не заставляют тебя думать о знаках.
Знаки ты определишь в проекциях. Это будет зависеть от условия задачи.
Внимание, практика!
Решение задач на среднюю скорость и действия со скоростями
Задача 8 (продолжение задачи 3 🙂 ). Поймавший Петю директор пишет замечание в его дневник, его ручка движется по листу бумаги со скоростью 0.05 м/с. Через 3 секунды Петя взмолится перед Максимом Михайловичем, его ручка станет двигаться со скоростью 0.03 м/с на протяжении 4 секунд.
А если бедному ученику повезёт и ручка начнет плохо писать, то, чтобы расписать ее, директор будет давить на нее сильнее в течение 5 секунд и скорость ее станет равна 0.01 м/с.
Найдите среднюю путевую скорость ручки. Зная, что длина красноречивого замечания равна 24 см, найдите среднюю скорость ручки по перемещению.
Решение:
Если в задаче много букв – составляй ее план. Давай это сделаем и переведем все в СИ, если необходимо.
3с – 0.05 м/с
4с – 0.03 м/с
5с – 0.01 м/с
24см=0.24м
Что значит «длина замечания»? Фактически, расстояние от начала до конца, то есть это кратчайшая ПРЯМАЯ. Запишем ее как вектор – получим перемещение.
Ведь перемещение есть вектор, проведенный из начального положение в конечное.
Давай посчитаем, сколько времени директор писал замечание:
(3+4+5=12) с
Значит, мы уже можем найти среднюю скорость по перемещению!
Сделаем это:
({{V}_{cp}}=frac{0.24}{12}=0.02) м/с
Почему там не вектор? Помни: мы не можем приравнивать векторные величины к скалярным. Когда нам сказали, чему равно перемещение, нам дали ДЛИНУ вектора перемещения. А длина есть величина скалярная.
Приступим к средней путевой скорости. Для начала нам нужно найти путь, время у нас уже есть.
Путь будет состоять из трёх участков, в которых тело двигалось с разными скоростями:
(L={{L}_{1}}+{{L}_{2}}+{{L}_{3}})
Каждый из них можно найти умножением скорости на участке на время движения с этой скоростью. Вот так:
(L={{V}_{1}}cdot {{t}_{1}}+{{V}_{2}}cdot {{t}_{2}}+{{V}_{3}}cdot {{t}_{3}})
Давай подставим:
(L=0.05cdot 3+0.03cdot 4+0.01cdot 5=0.32)
А теперь можем найти среднюю путевую скорость:
({{V}_{cpL}}=frac{0.32}{12}approx 0.027) м/с
Задача решена!
Задача 9. В небе летят два вертолёта. Скорость одного из них – 350 км/ч, другого – 400 км/ч. Найти скорость второго вертолёта относительно первого.
Решение:
Вот тебе дело: найди одно очень важное потерянное условие.
Дело в том, что в задаче не сказано, летят ли они в одном направлении или в разных. Рассмотрим оба случая.
Случай 1. Вертолеты движутся в одном направлении.
Давай вспомним главное уравнение:
({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}})
Мы ищем скорость одного вертолета относительно другого. Скорость одного движущегося тела относительно другого движущегося тела называется относительной. Выразим ее:
({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{a}}-{{vec{V}}_{n}})
Помним, что с векторами рука об руку идут их проекции. Давай начертим схему задачи и построим ось, на которую будем проецировать векторы скорости:
Всё это, конечно, здорово, но какая скорость абсолютная, а какая переносная?
Давай разбираться.
Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
В система отсчета, которую требует задача, все происходит относительно первого вертолета. Он – тело отсчета.
Значит, переносная скорость – скорость первого вертолета относительно земли.
Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета. То есть это скорость второго вертолета, данная в задаче.
Вернемся к уравнению и запишем его по-новому:
({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{a}}-{{vec{V}}_{n}})
({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{2}}-{{vec{V}}_{1}})
Мы помним, что с векторами рука об руку идут проекции. Давай запишем это уравнение в проекции на ось Х.
Обе этих скорости направлены по направлению оси. Значит, их проекции положительны:
({{V}_{ox}}={{V}_{2x}}-{{V}_{1x}})
Мы выбрали ось так, чтобы векторы были ей параллельны, поэтому мы смело можем утверждать, что проекции по модулю равны длинам векторов:
({{V}_{o}}={{V}_{2}}-{{V}_{1}})
Считаем:
({{V}_{o}}=400-350=50) км/ч
Случай 2. Вертолеты движутся в разных направлениях.
Нарисуем схему снова:
Нетрудно догадаться, что теперь проекция уравнения на ось будет иметь другой вид. Проекция скорости первого вертолета будет отрицательна: она направлена против оси.
({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{2}}-{{vec{V}}_{1}})
({{V}_{o}}={{V}_{2}}-(-{{V}_{1}})={{V}_{2}}+{{V}_{1}})
Скорости складываются. И правда: оба вертолета стремятся отдалиться друг от друга, никто никого не догоняет.
({{V}_{o}}=400+350=750) км/ч
Таким образом, скорость второго вертолета относительно первого равна 50 км/ч, если они движутся в одном направлении, и 750 км/ч, если движутся в разных.
Задача 10. Дядя Стэн, с уверенностью открыв сезон рыбалки, мчится на моторной лодке против течения реки в течение 3 ч и преодолевает 4 км, пока не вспоминает, что забыл дома свой любимый сборник анекдотов. Скорость течения реки – 2.5 км/ч.
Сколько времени понадобится Стэну, чтобы преодолеть то же самое расстояние, возвращаясь обратно?
Решение:
Давай сделаем рисунок. Это в большинстве случаев упрощает задачу!
Сначала нарисуем реку с течением:
А теперь лодку Стэна, которая плывет против течения. Обозначим ее собственную скорость.
Давай посмотрим, как мы можем связать эти две скорости с путем и временем.
Для начала вспомним формулу:
({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}})
Пройденный путь и время будет определять абсолютная скорость – та, что характеризует движение тела относительно неподвижной системы отсчета. В нашем случае – берега.
Можно объяснять проекциями, а можно просто понять. Куда легче плыть? По течению или против? Конечно, по течению! Оно подгоняет тебя.
В нашей ситуации Стэн сначала плывет против течения. Абсолютная скорость будет меньше собственной скорости лодки, ведь ее тормозит течение.
Давай запишем:
({{V}_{a1}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}}) или (frac{L}{{{t}_{1}}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}}), где ({{t}_{1}}) — время против течения.
Хорошо. Посмотрим, что может дать нам вторая часть задачи.
Здесь лодка идет по течению. Уравнение имеет вид:
(frac{L}{{{t}_{2}}}={{V}_{L}}+{{V}_{T}}), где ({{t}_{2}}) — время по течению
Таким образом, у нас есть система уравнений:
(frac{L}{{{t}_{2}}}={{V}_{L}}+{{V}_{T}})
(frac{L}{{{t}_{1}}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}})
Нам неизвестна собственная скорость лодки. А нам она и не нужна! Вычтем одно уравнение из другого и получим:
(frac{L}{{{t}_{2}}}-frac{L}{{{t}_{1}}}=2cdot {{V}_{T}})
Отсюда нужно выразить время по течению:
({{t}_{2}}=frac{L}{2cdot {{V}_{T}}+frac{L}{{{t}_{1}}}})
Считаем:
({{t}_{2}}=frac{4}{2cdot 2.5+frac{4}{3}}approx 0.6) ч
36 минут потребуется Стэну, чтобы приплыть обратно.
Задача 11. По узкой лесной тропе колонной длиной в 30 метров идут туристы со скоростью 5 км/ч. Замыкающий посылает одного туриста в начало строя, чтобы тот передал гиду карту местности. Турист бежит в начало строя со скоростью 8 км/ч и, выполнив поручение, тут же бежит обратно с той же скоростью.
Сколько времени потребуется туристу, чтобы добежать до начала строя и вернуться обратно?
Решение:
Начнем с рисунка. Есть колонна определенной длины (пусть будет l), она движется с определенной скоростью. Из начала выходит турист (Т) и движется с другой скоростью:
Смотри. Пока турист движется, колонна тоже движется. Значит туда он пробежит путь больше, чем обратно:
Выглядит сложно.
Ну да, конечно! Это как идти в школу в соседнем дворе и для этого каждый раз покупать билет в Антарктиду.
Нужно выбрать удобную систему отсчета!
Сделаем так, чтобы колонна была неподвижна. Будем рассматривать все относительно нее. Можно даже представить, что ты один из туристов 🙂
Сделаем другую картинку!
Если ты один из туристов, будет очевидно, что туда и обратно «посыльный» будет двигаться с разной скоростью.
Например, когда ты едешь по шоссе, кто кажется быстрее: машины, которые обгоняют твою или машины, которые едут на встречу? Очевидно, что те, кто едут навстречу.
Теперь осталось определить, с какой скоростью турист движется туда и обратно.
Изначально он движется с колонной в одном направлении, то есть пытается ее обогнать. Результирующая скорость будет меньше его собственной:
({{V}_{1}}={{V}_{T}}-{{V}_{K}})
({{V}_{1}}=8-5=3) км/ч
Когда он движется обратно, колонна будет идти ему навстречу. Результирующая скорость будет больше:
({{V}_{2}}={{V}_{T}}+{{V}_{K}})
({{V}_{2}}=8+5=13) км/ч
Слишком быстро? Посиди и подумай. Мне не удастся просто вложить знания в твою голову. Ты сам тоже должен стараться!
Итак, из чего складывается время, затраченное туристом? Из времени туда и обратно!
(t={{t}_{1}}+{{t}_{2}})
Время в пути есть путь, деленный на скорость. Давай подставим:
(t=frac{l}{{{V}_{1}}}+frac{l}{{{V}_{2}}}=frac{l}{{{V}_{T}}-{{V}_{K}}}+frac{l}{{{V}_{T}}+{{V}_{K}}})
Теперь можем посчитать!
(t=frac{0.03}{3}+frac{0.03}{13}approx 0.0123)ч
Или приблизительно 44 секунды!
Задача решена! Оказывается, она очень простая, если верно выбрать систему отсчета.
Задачи в плоскости
Задача 12. Индейцы переплывают реку. Один из них, Красный Джо, встает напротив маленького причала и прыгает в воду, начиная плыть в его сторону со скоростью 2 м/с. Расстояние от причала до берега – 120 м. Течение реки имеет скорость 3 км/ч.
Куда на самом деле приплывет Красный Джо, позабывший духовную (и не только) связь своей скорости с рекой, и сколько времени на это уйдет?
Решение.
Итак, в мыслях индейцах он плыл бы так:
И это было бы верно, если бы он плыл в стоячей воде! Но течение изменяет его движение:
Он движется вперед и его еще переносит река! Обозначим расстояние, на которое его перенесет от причала, за Х. Его и нужно найти.
Еще нам дано расстояние до причала. Покажем на рисунке:
Как можно найти Х? Давай посмотрим, как движется тело по горизонтали. Оно просто смещается со скоростью течения, верно?
Значит, Х можно найти самым простым уравнением пути, которое мы знаем еще с пятого класса!
(X={{V}_{T}}cdot t)
Но как найти время?
Для этого нужно понять, что сносить его будет ровно столько времени, сколько он движется вперед.
То есть это то же время, что он затратил бы в стоячей воде, чтобы переплыть реку!
(t=frac{l}{{{V}_{K}}})
Подставим в уравнение выше:
(X={{V}_{T}}cdot frac{l}{{{V}_{K}}})
Теперь можем ответить на все вопросы задачи! Только не забудь перевести все в единую систему единиц измерения.
В задачах на движение не особенно важно (если не сказано иное), какие использовать единицы измерения. Главное, чтобы везде в решении они были одинаковые, например, везде километры или везде метры, везде часы или везде секунды. Как тебе удобно.
3 км/ч примерно равняется 0.83 м/с.
Подставляем значения в формулы:
(X=0.83cdot frac{120}{2}=49.8)м
Найдем время:
(t=frac{120}{2}=60)c
Таким образом, Красному Джо потребуется 1 минута на то, чтобы переплыть реку и оказаться на расстоянии 49.8 метров от причала.
Но есть и другой способ решения, если этот кажется тебе подозрительно легким 🙂
Попробуем решить эту задачу геометрией!
Вектор скорости течения параллелен отрезку Х, который нам нужно найти. Давай используем параллельный перенос и поставим его в более удобное место:
Сумма векторов скорости Красного Джо и течения даст нам абсолютную скорость – скорость, с которой тело движется относительно берега.
Вектор абсолютной скорости будет лежать на пунктире, конец которого – положение Джо после преодоления реки.
А теперь рассмотрим подобные треугольники:
Теперь запишем для них уравнение подобия, используя известные нам величины:
(frac{l}{{{V}_{K}}}=frac{X}{{{V}_{T}}})
Отсюда можем легко найти Х:
(X=frac{lcdot {{V}_{T}}}{{{V}_{K}}})
У нас получилась та же самая формула!
Задача 13. При скорости ветра 12 м/с капли дождя падают под углом 30 градусов к вертикали. При какой скорости ветра они будут падать под углом 45 градусов?
Решение:
Приятно и легко смотреть на дождь в окне. А еще легче решить эту задачу.
Если в физике видишь углы, ты точно будешь использовать тригонометрию. От нее не убежишь.
Начертим рисунок. Прежде всего, у нас есть вектор скорости ветра и какая-то вертикаль:
Как бы падали капли без ветра? Просто вниз:
Для удобства будем рассматривать одну каплю.
В этой задаче ветер можно сравнить с течением реки! Давай сделаем рисунок по этому сравнению!
Но где тут угол? Все просто: это будет угол вектора суммы!
Именно этот вектор принадлежит абсолютной скорости – той, что описывает движение капли относительно земли (и вертикали)
Давай разбираться. Скорость капли при отсутствии ветра нам неизвестна.
Не пугайся. Надежда на то, что неизвестные сократятся, всегда умирает последней.
Нам известна скорость ветра. И угол.
Рассмотрим получившийся у нас треугольник: он прямоугольный, его гипотенуза – абсолютная скорость. Она тоже неизвестна.
Давай попробуем с помощью угла связать два катета этого треугольника! Здесь поможет тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть:
(tgalpha =frac{{{V}_{B}}}{{{V}_{K}}})
Без векторов, потому что мы рассматриваем их длины и работаем с треугольником!
Давай выразим скорость капли в безветренную погоду, она ведь не изменится, она просто дана (вообще-то не дана, ну ладно) нам как факт.
({{V}_{K}}=frac{{{V}_{B}}}{tgalpha })
То есть когда скорость ветра и угол изменятся, мы все еще можем записать:
({{V}_{K}}=frac{{{{{V}’}}_{B}}}{tgbeta })
Давай приравняем:
(frac{{{V}_{B}}}{tgalpha }=frac{{{{{V}’}}_{B}}}{tgbeta })
Нужно найти новую скорость ветра. Выразим ее:
(frac{{{V}_{B}}cdot tgbeta }{tgalpha }={{V}_{B}}^{prime })
Можем подставить значения:
({{{V}’}_{B}}=frac{12cdot tg{{45}^{o}}}{tg{{30}^{o}}}=frac{12cdot 3}{sqrt{3}}approx 20.8) м/с
Задача решена!
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Заключение
Мы разобрались с самым простым видом движения.
Необходимо очень хорошо разбираться даже в тех вещах, которые кажутся очевидными.
Дальше будет легче, ведь у нас уже есть хорошая база! Теперь будут меняться лишь характеристики движения.
Надеюсь, тебе понравились задачи 🙂
Все ли было понятно? Узнал ли ты что-то, о чем не рассказывали в школе?
Равномерное прямолинейное движение — это такое движение, при котором тело совершает за любые равные промежутки времени равные перемещения.
Скорость при прямолинейном равномерном движении
Если тело движется равномерно и прямолинейно, его скорость остается постоянной как по модулю, так и по направлению. Ускорение при этом равно нулю.
Векторный способ записи скорости при равномерном прямолинейном движении:
s — вектор перемещения, ΔR— изменение радиус-вектора, t — время, а ∆t — его изменение.
Проекция скорости на ось ОХ:
sx — проекция перемещения на ось ОХ, ∆x — изменение координаты точки (ее абсциссы).
Знак модуля скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:
Основная единица измерения скорости — 1 метр в секунду. Сокращенно — 1 м/с.
Дополнительные единицы измерения
- 1 км/ч (километр в час) = 1000 м/3600 с.
- 1 км/мин (километр в минуту) = 1000 м/60 с.
- 1 км/с (километр в секунду) = 1000 м/с.
- 1 м/мин (метр в минуту) = 1 м/60 с.
- 1 см/с (сантиметр в секунду) = 0,01 м/с.
Спидометр — прибор для измерения модули скорости тела.
График зависимости скорости от времени представляет собой прямую линию, перпендикулярную оси скорости и параллельную оси времени. Выглядит он так:
Определение направления движения по графику скорости
- Если график скорости лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
- Если график скорости лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
- Если график скорости совпадает с осью времени, тело покоится.
Чтобы сравнить модули скоростей на графике, нужно оценить их удаленность от оси времени. Чем дальше график от оси, тем больше модуль.
Пример №1. Найти модуль скорости и направление движения тела относительно оси ОХ. Выразить скорость в км/ч.
График скорости пересекает ось в точке со значением 10. Единица измерения — м/с. Поэтому модуль скорости равен 10 м/с. График лежит выше оси времени. Это значит, что тело движется по направлению оси ОХ. Чтобы выразить скорость в км/ч, нужно перевести 10 м в километры и 1 с в часы:
Теперь нужно разделить километры на часы:
Перемещение и координаты тела при равномерном прямолинейном движении
Геометрический смысл перемещения заключается в том, что его модуль равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осями скорости и времени, а также линией, проведенной перпендикулярно оси времени.
При прямолинейном равномерном движении эта фигура представляет собой прямоугольник. Поэтому модуль перемещения вычисляется по следующей формуле:
Вектор перемещения равен произведению вектора скорости на время движения:
Внимание!
При равномерном прямолинейном движении путь и перемещение совпадают. Поэтому путь, пройденный телом, можно найти по этим же формулам.
Формула проекции перемещения:
График проекции перемещения
График проекции перемещения показывает зависимость этой проекции от времени. При прямолинейном равномерном движении он представляет собой луч, исходящий из начала координат. Выглядит он так:
Определение направления движения по графику проекции перемещения
- Если луч лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
- Если луч лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
- Если луч совпадает с этой осью, тело покоится.
Чтобы по графику проекции перемещения сравнить модули скоростей, нужно сравнить углы их наклона к оси sx.Чем меньше угол, тем больше модуль. Согласно рисунку выше, модули скорости тел, которым соответствуют графики 1 и 3, равны. Они превосходят модуль скорости тела 2, так как их угол наклона к оси sx меньше.
График координаты
График координаты представляет собой график зависимости координаты от времени. Выглядит он так:
Так как график координаты представляет собой график линейной функции, уравнение координаты принимает вид:
Определение направления движения тела по графику координаты
- Если с течением времени координата увеличивается (график идет снизу вверх), тело движется в направлении оси ОХ. На картинке выше этому соответствуют графики тел 1 и 2.
- Если с течением времени координата уменьшается (график идет сверху вниз), тело движется противоположно направлению оси ОХ. На картинке выше этому соответствует график тела 3.
- Если координата не изменяется, тело покоится.
Чтобы сравнить модули скоростей тел по графику координат, нужно сравнить углы наклона графика к оси координат. Чем меньше угол, тем больше модуль скорости. На картинке выше наибольший модуль скорости соответствует графику 1. У графиков 2 и 3 модули равны.
Чтобы по графику координат найти время встречи двух тел, нужно из точки пересечения их графиков провести перпендикуляр к оси времени.
Пример №2. График зависимости координаты тела от времени имеет вид:
Изучите график и на его основании выберите два верных утверждения:
- На участке 1 скорость тела постоянна, а на участке 2 равна нулю.
- Проекция ускорения тела на участке 1 положительна, а на участке 2 — отрицательна.
- На участке 1 тело движется равномерно, а на участке 2 оно покоится.
- На участке 1 тело движется равноускорено, а на участке 2 оно движется равномерно.
- Проекция ускорения тела на участке 1 отрицательна, а на участке 2 — положительна.
На участке 1 координата растет, и ее график представляет собой прямую. Это значит, что на этом участке тело движется равномерно (с постоянной скоростью). На участке 2 координата с течением времени не меняется, что говорит о том, что тело покоится. Исходя из этого, верными утверждениями являются номера 1 и 3.
Пример №3. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта А (х=0 км) в пункт В (х=30 км). Чему равна минимальная скорость автомобиля на всем пути движения туда и обратно?
Согласно графику, с начала движения до прибытия автомобиля в пункт 2 прошло 0,5 часа. А с начала движения до возвращения в пункт А прошло 1,5 часа. Поэтому время, в течение которого тело возвращалось из пункта В в пункт А, равно:
1,5 – 0,5 = 1 (час).
Туда и обратно автомобиль проходил равные пути, каждый из которых равен 30 км. Поэтому скорость во время движения от А к В равна:
Скорость во время движения от В к А равна:
Минимальная скорость автомобиля на всем пути движения составляет 30 км/ч.
Задание EF17553
На рисунке представлены графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. Скорость второго тела v2 больше скорости первого тела v1 в n раз, где n равно…
Алгоритм решения
- Выбрать любой временной интервал.
- Выбрать для временного интервала начальные и конечные пути для каждого из графиков.
- Записать формулу скорости и вычислить ее для 1 и 2 тела.
- Найти n — отношение скорости второго тела к скорости первого тела
Решение
Рассмотрим графики во временном интервале от 0 до 4 с. Ему соответствуют следующие данные:
- Для графика 1: начальный путь s10 = 0 м. Конечный путь равен s1 = 80 м.
- Для графика 2: начальный путь s20 = 0 м. Конечный путь равен s2 = 120 м.
Скорость определяется формулой:
Так как начальный момент времени и скорость для обоих тел нулевые, формула примет вид:
Скорость первого тела:
Скорость второго тела:
Отношение скорости второго тела к скорости первого тела:
Ответ: 1,5
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18768
На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при прямолинейном движении тела по оси Ox.
Какой из графиков соответствует зависимости от времени для проекции υx скорости этого тела на ось Ox?
Алгоритм решения
- Записать уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении.
- Выразить из уравнения проекцию скорости.
- Определить начальную и конечную координаты, а также время, в течение которого двигалось тело.
- Вычислить проекцию скорости.
- Выбрать соответствующий график.
Решение
Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении имеет вид:
Отсюда проекция скорости равна:
Начальная координата xo = 10 м, конечная x = –10 м. Общее время, в течение которого двигалось тело, равно 40 с.
Вычисляем проекцию скорости:
Этому значению соответствует график «в».
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18831
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1=20 с до t2=50 с.
Алгоритм решения
- Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
- Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
- Записать исходные данные.
- Записать формулу определения искомой величины.
- Произвести вычисления.
Решение
Весь график можно поделить на 3 участка:
- От t1 = 0 c до t2 = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
- От t1 = 10 c до t2 = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).
По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1 = 20 c до t2 = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:
- От t1 = 20 c до t2 = 30 с — с равномерным движением.
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с — с равнозамедленным движением.
Исходные данные:
- Для первого участка. Начальный момент времени t1 = 20 c. Конечный момент времени t2 = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
- Для второго участка. Начальный момент времени t1 = 30 c. Конечный момент времени t2 = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.
Записываем формулу искомой величины:
s = s1 + s2
s1 — путь тела, пройденный на первом участке, s2 — путь тела, пройденный на втором участке.
s1 и s2 можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:
Теперь рассчитаем пути s1 и s2, а затем сложим их:
s1 + s2 = 100 + 100 = 200 (м)
Ответ: 200
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 13.5k
Проекции скорости и ускорения
Для выполнения
расчетов скоростей и ускорений необходимо
переходить от записи уравнений в
векторной форме к записи уравнений в
алгебраической форме.
Векторы начальной
скорости
и ускорения
могут иметь различные направления,
поэтому переход от векторной записи
уравнений к алгебраической может
оказаться весьма трудоемким.
Известно, что
проекция суммы двух векторов на какую-либо
координатную ось равна сумме проекций
слагаемых векторов на ту же ось.
|
|
Поэтому для Проекцию |
|
|
вектора скорости
на произвольную ось OX нужно найти
и
на ту же ось.
График скорости
Из уравнения
следует, что графиком зависимости
проекции скорости равноускоренного
движения от времени является прямая.
Если проекция начальной скорости на
ось OX равна нулю, то прямая проходит
через начало координат.
|
|
|
Основные
виды движения
-
аn
= 0, a
= 0 –
прямолинейное равномерное движение; -
аn
= 0, a
= const
– прямолинейное равнопеременное
движение; -
аn
= 0, a
0 – прямолинейное
с переменным ускорением; -
аn
= const,
a
= 0 – равномерное
по окружности -
аn
= const,
a
= const
– равнопеременное по окружности -
аn
const,
a
const
– криволинейное с переменным ускорением.
Вращательное движение твердого тела.
Вращательное
движение твердого тела относительно
неподвижной оси
– движение, при котором все точки
твердого тела описывают окружности,
центры которых лежат на одной прямой,
называемой осью
вращения.
Равномерное движение по окружности
Рассмотрим наиболее
простой вид вращательного движения, и
уделим особое внимание центростремительному
ускорению.
При равномерном
движении по окружности значение скорости
остается постоянным, а направление
вектора скорости
изменяется в процессе движения.
|
|
За |
.
и
в точкахA
и
равен углу между радиусамиOA
и определим отношение изменения
Из подобия
треугольников OAB и BCD следует
Если интервал
времени ∆t
мал, то мал и угол .
При малых значениях угла
длина хорды AB примерно равна длине дуги
AB, т.е.
.
Т.к.
,
,
то получаем
.
Поскольку
,
то получаем
Период и частота
Промежуток времени,
за который тело совершает полный оборот
при движении по окружности, называется
периодам
обращения
(Т).
Т.к. длина окружности равна 2R,
период обращения при равномерном
движении тела со скоростью v
по окружности радиусом R
равняется:
Величина, обратная
периоду обращения, называется частотой.
Частота показывает, сколько оборотов
по окружности совершает тело в единицу
времени:
(с-1)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
01.06.2015304.13 Кб31KP.doc
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Как определить скорость по графику?
Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.
Как определить скорость тела при равномерном движении?
Скорость при прямолинейном движении — величина постоянная. Для того, чтобы найти скорость, необходимо пройденный путь разделить на время, за которое он был пройден.
Как составить уравнение скорости по графику?
График скорости График скорости — графическое представление уравнения скорости тела v = v(t). График v(t) служит для описания движение тела. На этом графике представлено равноУскоренное движение.
Что называется скоростью тела при равномерном движении?
Скорость при равномерном прямолинейном движении. Скорость и (м/с) — векторная физическая величина, которая показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени.
Как изменяется скорость тела при равномерном движении?
Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0). Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.
Как составить уравнение движения тела?
х=х +vхt. Это уравнение есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в координатной форме. Оно позволяет найти координату х тела при этом движении в любой момент времени, если известны проекция его скорости на ось ОX и его начальная координата х .
Как записать уравнение проекции скорости?
Зависимость проекции скорости движущегося тела от времени имеет вид: vx = 2 + 3t (м/с).
Как написать уравнение зависимости?
Уравнение зависимости скорости от времени при движении с ускорением имеет вид:
- v(t) = vo + at = 20 + 1.5t. Производная функции зависимости координаты от времени равна функции зависимости скорости от времени:
- x’ (t) = v (t). …
- x(t) = 0.75t 2 + 20t.
Как написать уравнение скорости по графику
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:
V (t) – изменение скорости со временем
S(t) – изменение перемещения (пути) со временем
a(t) – изменение ускорения со временем
За висимость ускорения от времени. Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) – прямая линия, которая лежит на оси времени.
Зависимость скорости от времени. Так как тело движется прямолинейно и равномерно ( v = const ), т.е. скорость со временем не изменяется, то график с зависимостью скорости от времени v(t) – прямая линия, параллельная оси времени.
Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника АОВС под графиком, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.
Правило определения пути по графику v(t): при прямолинейном равномерном движении модуль вектора перемещения равен площади прямоугольника под графиком скорости.
Зависимость перемещения от времени. График s(t) – наклонная линия :
Из графика видно, что проекция скорости равна:
Рассмотрев эту формулу, мы можем сказать, чем больше угол, тем быстрей движется тело и оно проходит больший путь за меньшее время.
Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.
Неравномерное прямолинейное движение.
Равномерное движение это движение с постоянной скоростью. Если скорость тела меняется, говорят, что оно движется неравномерно.
Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным или переменным движением.
Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости.
Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой к промежутку времени, за который этот путь пройден.
В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt:
Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.
Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.
Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рисунке.
Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением.
Ускорение — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.
Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле:
Vx — Скорость тела при равноускоренном движении по прямой
Vx o — Начальная скорость тела
ax — Ускорение тела
t — Время движения тела
Ускорение показывает, как быстро изменяетcя скорость тела. Если ускорение положительно, значит скорость тела увеличивается, движение ускоренное. Если ускорение отрицательно, значит скорость уменьшается, движение замедленное.
Единица измерения ускорения в СИ [м/с 2 ].
Ускорение измеряют акселерометром
Уравнение скорости для равноускоренного движения: vx = vxo + axt
Уравнение равноускоренного прямолинейного движения (перемещение при равноускоренном движении):
Sx — Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой
Vx o — Начальная скорость тела
Vx — Скорость тела при равноускоренном движении по прямой
ax — Ускорение тела
t — Время движения тела
Еще формулы, для нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:
– если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.
– если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения
Графическое представление неравномерного прямолинейного движения
Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:
V(t) – изменение скорости со временем
S(t) – изменение перемещения (пути) со временем
a(t) – изменение ускорения со временем
Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) – прямая линия, параллельная оси времени.
Зависимость скорости от времени. При равномерном движении скорость изменяется, согласно линейной зависимости vx = vxo + axt . Графиком является наклонная линия.
Правило определения пути по графику v(t): Путь тела – это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.
Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела – это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.
Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости:
В координатах зависимость имеет вид:
Уравнение движения, графики равномерного прямолинейного движения
п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой
Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.
Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.
Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:
| t, c | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x, м | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
Стартуя с точки x0=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: begin x=x_0+s=x_0+vt\ x=20+10t end
Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:
| t, c | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x, м | 20 | 10 | 0 | -10 | -20 |
В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: begin x=x_0-st=x_0-vt\ x=20-10t end Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x0 в любой момент времени t.
п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения
Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.
п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении
При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.
При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.
Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.
п.4. График движения x=x(t)
Сравним полученное уравнение движения (x(t)=x_0+v_x t) с уравнением прямой (y(x)=kx+b) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).
В уравнении движения роль углового коэффициента (k) играет проекция скорости (v_x), а роль свободного члена (b) – начальная координата (x_0).
 |
Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера: |
x=20+10t – машина движется вправо (в направлении оси OX)
x=20-10t – машина движется влево (в направлении, противоположном оси OX)
x=20 – машина стоит
п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?
п.6. График скорости vx=vx(t)
Для рассмотренного примера:
п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени (t_1) координата равна (x_1=x_0+v_x t_1).
Несколько позже, в момент времени (t_2gt t_1) координата равна (x_2=x_0+v_x t_2).
Если (v_xgt 0), то пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x triangle t $$ В общем случае, т.к. (v_x) может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости: 
Проекция скорости (v_x) может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ triangle x=v_x triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.
Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.
п.8. Задачи
Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите (x_0=0) и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения (x=x(t)) и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за (t_1=5 с), за (t_2=10 с);
б) постройте график скорости (v=v(t)) и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1)?
По условию (x_0=0, v_x=8).
Уравнение движения: (x=x_0+v_x t=0+8t=8t)
а) Строим график прямой (x=8t) по двум точкам:
По графику находим: begin x_1=x(5)=8cdot 5=40 text<(м)>\ x_2=x(10)=8cdot 10=80 text <(м)>end
б) Скорость (v_x=8) м/с – постоянная величина, её график:
$$ t_1=5 с, t_2=10 с $$ Пройденный путь за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x triangle t=8cdot (10-5)=40 text <(м)>$$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м
Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?
а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения (x=x(t)).
Найдем скорость корабля (v_x): $$ v_x=frac=frac<56-38><2-1>=18 (text<тыс.км/ч>) $$ Найдем начальную координату (x_0): $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18cdot v_1=20 (text<тыс.км/ч>) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t, x(t)=20+18t $$ где (x) – в тыс.км, а (t) – в часах.
б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии (x_0=20) тыс.км от астероида.
в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18cdot 4=92 (text<тыс.км>) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000frac<text<км>><text<ч>>=frac<18000 text<км>><1 text<ч>>=frac<18000 text<км>><3600 text>=5 text <км/c>$$ Ответ:
а) (x(t)=20+18t) ((x) в тыс.км, (t) в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с
[spoiler title=”источники:”]
http://www.sites.google.com/site/opatpofizike/teoria/teoria-10-klass/graficeskoe-predstavlenie-dvizenia
http://reshator.com/sprav/fizika/7-klass/uravnenie-dvizheniya-grafiki-ravnomernogo-pryamolinejnogo-dvizheniya/
[/spoiler]
3.1. Равнопеременное движение по прямой.
3.1.1. Равнопеременное движение по прямой — движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением: 
3.1.2. Ускорение (
) — физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.
В векторном виде:
где 
— начальная скорость тела, 
— скорость тела в момент времени t.
В проекции на ось Ox:
где 
— проекция начальной скорости на ось Ox, 
— проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t.
Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox.
3.1.3. График проекции ускорения от времени.
При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):
Значение ускорения: чем дальше от оси времени лежит прямая, тем больше модуль ускорения 
3.1.4. Скорость при равнопеременном движении.
В векторном виде:
В проекции на ось Ox:
Для равноускоренного движения:
Для равнозамедленного движения:
3.1.5. График проекции скорости в зависимости от времени.
График проекции скорости от времени — прямая линия.
Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox.
Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения; 
где 
— изменение скорости за время 
Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).
3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях 
Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox — время — это путь, пройденный телом.
На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции:
(3.9)
3.1.7. Формулы для расчета пути
| Равноускоренное движение
|
Равнозамедленное движение
|
|---|---|
 (3.10) |
 (3.12) |
 (3.11) |
 (3.13) |
 (3.14) |
Все формулы, представленные в таблице, работают только при сохранении направления движения, то есть до пересечения прямой с осью времени на графике зависимости проекции скорости от времени.
Если же пересечение произошло, то движение проще разбить на два этапа:
до пересечения (торможение):
После пересечения (разгон, движение в обратную сторону)
В формулах выше — время от начала движения до пересечения с осью времени (время до остановки), 
— путь, который прошло тело от начала движения до пересечения с осью времени, 
— время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, 
— путь, который прошло тело в обратном направлении за время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, 
— модуль вектора перемещения за все время движения, L — путь, пройденный телом за все время движения.
3.1.8. Перемещение за -ую секунду.
За время 
тело пройдет путь:
За время 
тело пройдет путь:
Тогда за -ый промежуток 
тело пройдет путь:
За промежуток 
можно принимать любой отрезок времени. Чаще всего 
с.
Если 
то
Тогда за 1-ую секунду тело проходит путь:
За 2-ую секунду:
За 3-ю секунду:
и т. д.
Если внимательно посмотрим, то увидим, что 
и т. д.
Таким образом, приходим к формуле:
Словами: пути, проходимые телом за последовательные промежутки времени соотносятся между собой как ряд нечетных чисел, и это не зависит от того, с каким ускорением движется тело. Подчеркнем, что это соотношение справедливо при 
3.1.9. Уравнение координаты тела при равнопеременном движении
Уравнение координаты
Знаки проекций начальной скорости и ускорения зависят от взаимного расположения соответствующих векторов и оси Ox.
Для решения задач к уравнению 
необходимо добавлять уравнение изменения проекции скорости на ось:
3.2. Графики кинематических величин при прямолинейном движении
3.3. Свободное падение тела
Под свободным падением подразумевается следующая физическая модель:
1) Падение происходит под действием силы тяжести:
2) Сопротивление воздуха отсутствует (в задачах иногда пишут «сопротивлением воздуха пренебречь»);
3) Все тела, независимо от массы падают с одинаковым ускорением (иногда добавляют — «независимо от формы тела», но мы рассматриваем движение только материальной точки, поэтому форма тела уже не учитывается);
4) Ускорение свободного падения направлено строго вниз и на поверхности Земли равно 
(в задачах часто принимаем 
для удобства подсчетов);
3.3.1. Уравнения движения в проекции на ось Oy
В отличии от движения по горизонтальной прямой, когда далеко не всех задач происходит смена направления движения, при свободном падении лучше всего сразу пользоваться уравнениями, записанными в проекциях на ось Oy.
Уравнение координаты тела:
Уравнение проекции скорости:
Как правило, в задачах удобно выбрать ось Oy следующим образом:
Ось Oy направлена вертикально вверх;
Начало координат совпадает с уровнем Земли или самой нижней точкой траектории.
При таком выборе уравнения 
и 
перепишутся в следующем виде:
3.4. Движение в плоскости Oxy.
Мы рассмотрели движение тела с ускорением вдоль прямой. Однако этим равнопеременное движение не ограничивается. Например, тело, брошенное под углом к горизонту. В таких задачах необходимо учитывать движение сразу по двум осям:
Или в векторном виде:
И изменение проекции скорости на обе оси:
3.5. Применение понятия производной и интеграла
Мы не будем приводить здесь подробное определение производной и интеграла. Для решения задач нам понадобятся лишь небольшой набор формул.
Производная:
где A, B и 
то есть постоянные величины.
Интеграл:
Теперь посмотрим, как понятие производной и интеграла применимо к физическим величинам. В математике производная обозначается «’», в физике производная по времени обозначается «∙» над функцией.
Скорость:
то есть скорость является производной от радиус-вектора.
Для проекции скорости:
Ускорение:
то есть ускорение является производной от скорости.
Для проекции ускорения:
Таким образом, если известен закон движения 
то легко можем найти и скорость и ускорение тела.
Теперь воспользуемся понятием интеграла.
Скорость:
то есть, скорость можно найти как интеграл по времени от ускорения.
Радиус-вектор:
то есть, радиус-вектор можно найти, взяв интеграл от функции скорости.
Таким образом, если известна функция 
то легко можем найти и скорость, и закон движения тела.
Константы в формулах определяются из начальных условий — значения 
и 
в момент времени 
3.6. Треугольник скоростей и треугольник перемещений
3.6.1. Треугольник скоростей
В векторном виде при постоянном ускорении закон изменения скорости имеет вид (3.5):
Эта формула означает, что вектор равен векторной сумме векторов 
и 
Векторную сумму всегда можно изобразить на рисунке (см. рис.).
В каждой задаче, в зависимости от условий, треугольник скоростей будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.
3.6.2. Треугольник перемещений
В векторном виде закон движения при постоянном ускорении имеет вид:
При решении задачи можно выбирать систему отсчета наиболее удобным образом, поэтому не теряя общности, можем выбрать систему отсчета так, что 
то есть начало системы координат помещаем в точку, где в начальный момент находится тело. Тогда
то есть вектор 
равен векторной сумме векторов 
и 
Изобразим на рисунке (см. рис.).
Как и в предыдущем случае в зависимости от условий треугольник перемещений будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.
