Произведение чисел как найти множитель

Произведение чисел как найти множитель

Название компонентов при умножении:

3      ·       4    =        12

               
   1 множитель     2 множитель   произведение

Как найти первый множитель?

Чтобы
найти первый множитель, надо произведение разделить на второй множитель.

Как найти второй множитель?

Чтобы
найти второй множитель, надо произведение разделить на первый множитель.

Название компонентов при умножении:

3      ·       4    =        12

               
   1 множитель     2 множитель   произведение

Как найти первый множитель?

Чтобы
найти первый множитель, надо произведение разделить на второй множитель.

Как найти второй множитель?

Чтобы
найти второй множитель, надо произведение разделить на первый множитель.

Название компонентов при умножении:

3      ·       4    =        12

               
   1 множитель     2 множитель   произведение

Как найти первый множитель?

Чтобы
найти первый множитель, надо произведение разделить на второй множитель.

Как найти второй множитель?

Чтобы
найти второй множитель, надо произведение разделить на первый множитель.

Название компонентов при умножении:

3      ·       4    =        12

               
   1 множитель     2 множитель   произведение

Как найти первый множитель?

Чтобы
найти первый множитель, надо произведение разделить на второй множитель.

Как найти второй множитель?

Чтобы
найти второй множитель, надо произведение разделить на первый множитель.

Название компонентов при умножении:

3      ·       4    =        12

               
   1 множитель     2 множитель   произведение

Как найти первый множитель?

Чтобы
найти первый множитель, надо произведение разделить на второй множитель.

Как найти второй множитель?

Чтобы
найти второй множитель, надо произведение разделить на первый множитель.

Название компонентов при умножении:

3      ·       4    =        12

               
   1 множитель     2 множитель   произведение

Как найти первый множитель?

Чтобы
найти первый множитель, надо произведение разделить на второй множитель.

Как найти второй множитель?

Чтобы
найти второй множитель, надо произведение разделить на первый множитель.
Источник

Умножение натуральных чисел

  • Множимое, множитель и произведение
  • Проверка умножения

Умножение — это арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых.

Пример. Во дворе посадили  3  ряда ёлок, по  4  ёлки в каждом ряду. Сколько ёлок посадили во дворе?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти сумму  3  слагаемых, каждое из которых равно  4.

4 + 4 + 4 = 12.

Складывая  3  раза по  4  ёлки, мы получим общее количество ёлок во всех трёх рядах.

Умножить – значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Для записи умножения используется знак  х  (косой крест)  или  ·  (точка),  который ставится между числами. Например:

4 х 3   или   4 · 3

Эта запись означает, что  4  надо умножить на  3.  Справа от записи умножения ставится знак  =  (равно),  после которого записывается полученный результат:

4 · 3 = 12.

Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых.

Пример. Умножить  6  на  5  — это значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно шести:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.

Сократим запись, заменив сложение на умножение:

6 · 5 = 30.

Оба выражения равны:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 5 = 30,

но для краткости записей лучше всегда использовать умножение, когда число одинаковых слагаемых больше двух.

Множимое, множитель и произведение

Множимое — это число, которое умножают. Множитель — это число, на которое умножают. Например, в записи:

4 · 3,

4  — это множимое,  3  — множитель. Множимое является числом, которое выступает в качестве слагаемого. Множитель — это число, которое указывает количество одинаковых слагаемых.

Произведение — это число, которое получается в результате умножения. Например, в записи:

4 · 3 = 12,

12  — это произведение. При этом сама запись  4 · 3  тоже называется произведением.

множимое, множитель и произведение

Эту запись можно прочитать так:  произведение четырёх и трёх равно двенадцати,  четыре умножить на три равно двенадцати,  по четыре взять три раза, получится двенадцать.

Множимое и множитель иначе называются множителями или сомножителями.

Проверка умножения

Рассмотрим выражение:

4 · 3 = 12,

где  4  — это множимое,  3  — это множитель, а  12  — произведение. Чтобы узнать правильно ли было выполнено умножение, можно:

  1. Разделить произведение на множитель, если получится число, равное множимому, то умножение было выполнено верно:

    12 : 3 = 4.

  2. Разделить произведение на множимое, если получится число, равное множителю, то умножение выполнено верно:

    12 : 4 = 3.

Умножение двух чисел можно проверить делением, для этого произведение делят на один из сомножителей, если частное окажется равно другому сомножителю, то умножение выполнено верно.

Источник

Как найти неизвестный множитель? Способ первый — применить правило нахождения неизвестного множителя:

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Как быть, если нужно решить уравнение, а правило позабылось? В этом случае можно придумать пример на умножение, чтобы разобраться с его помощью, что следует сделать, чтобы найти множитель, и так же найти неизвестный множитель в своем уравнении.

Например: 2∙3=6.

Как найти неизвестный первый множитель — 2? Надо 6 разделить на 3. Вывод: чтобы найти первый множитель, нужно произведение разделить на второй множитель.

Как найти второй множитель — 3? Надо 6 разделить на 2. Значит, чтобы найти второй множитель, нужно произведение разделить на первый множитель.

Так как от перемены мест множителей произведение не меняется, для нахождения неизвестного множителя порядок множителей можно не учитывать.

Рассмотрим на примерах, как найти неизвестный множитель.

1)

  8 · x = 72
1мн. 2мн. пр.

Чтобы найти неизвестный множитель, делим произведение на известный множитель:

x=72:8

x=9

Ответ: 9.

2)

  y ·  10 = 280
1мн. 2мн. пр.

Чтобы найти множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

y=280:10

y=28

Ответ: 28.

Более сложные примеры, в которых умножение — только одно из действий, мы рассмотрим позже.

Источник

Содержание:

  • Определение произведения чисел
  • Свойства произведения чисел

Определение произведения чисел

Произведение $p$ чисел
$a_{1}, a_{2}, dots, a_{n}$ есть результат умножения этих чисел: $p=a_{1} cdot a_{2} cdot ldots cdot a_{n}$ .
В частности, если умножаются два числа $a$ и $b$, то

Пример

Задание. Найти произведение чисел:

1)  1.2$cdot 3$   ;   2)  4$cdot 5 cdot 13$ 

Ответ.  

$1,2 cdot 3=3,6$

$4 cdot 5 cdot 13=260$

Свойства произведения чисел

  1. Коммутативность: $n cdot m=m cdot n$

  2. Ассоциативность: $(n cdot m) cdot k=n cdot(m cdot k)$

    На основании этих свойств можем заключить, что при перестановке множителей значение произведения не меняется.

  3. Дистрибутивность: $(n+m) cdot k=n cdot k+m cdot k$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти произведение чисел удобным способом:

1)  5$cdot 17 cdot 2$   ;   2)  7$cdot 2 cdot 15 cdot 5$ 

Решение. По свойства умножения имеем:

$$5 cdot 17 cdot 2=(5 cdot 2) cdot 17=10 cdot 17=170$$

$$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=(7 cdot(2 cdot 15)) cdot 5=(7 cdot 30) cdot 5=210 cdot 5=1050$$

Ответ.  

$5 cdot 17 cdot 2=170$

$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=1050$

Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие
натуральные числа или
десятичные дроби.

Пример

Задание. Найти произведение чисел

1)  156$cdot 32$   ;   2)  $4,71 cdot 3,1$ 

Решение. Запишем умножаемые числа в столбик. Далее умножим сначала единицы второго числа на первое,
полученное произведение запишем под чертой. Затем аналогично умножим десятки второго числа на первое. Результат запишем
под первым произведением только на один разряд левее. В конце найдем сумму полученных произведений по правилу сложения в
столбик

Умножение десятичных дробей во втором примере производится следующим образом: не обращая внимания на запятые, дроби
перемножаются как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа число знаков, равное сумме чисел знаков после
запятой у сомножителей. В нашем случае в первом сомножителе два знака после запятой, во втором – один, значит, в ответе
нужно отделить справа три знака:

Ответ.  

$156 cdot 32=4992$

$4,71 cdot 3,1=14,601$

Читать дальше: что такое простое число.

Источник
Умножение
Изображение
Изображается на знак умножения
Обозначение знак умножения
Противоположно деление
Нейтральный элемент 1
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Умножение 5 яблок на 3, как и умножение 3 яблок на 5, даёт 15 яблок

Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями (иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем). Результат умножения называется их произведением[1].

Для натуральных чисел умножение определяется как многократное сложение[1] — чтобы умножить число a на число b, надо сложить b чисел a (умножение далее обозначено приподнятой точкой между сомножителями):

{displaystyle acdot b=underbrace {a+a+cdots +a} _{b}}.

Умножение можно распространить и на другие типы чисел — на целые, рациональные, вещественные, комплексные путём систематического обобщения[⇨].

В современной математике умножение определяется не только для чисел, оно имеет различный конкретный смысл и соответственно различные определения и свойства для различных математических объектов[2].

Умножение чисел является коммутативной операцией, то есть порядок записи чисел-множителей не влияет на результат их умножения.
Например, умножение чисел 3 и 5 может быть записано как {displaystyle 3cdot 5}, так и 5cdot 3 (произносится также «пятью три», «трижды пять»), и результатом в любом случае является число 15. Проверка через сложение:

{displaystyle underbrace {3+3+3+3+3} _{5}=15},
{displaystyle underbrace {5+5+5} _{3}=15}.

Умножение нечисловых математических, физических и абстрактных величин (например, матриц, векторов, множеств, кватернионов и т. д.) не всегда является коммутативной операцией. При умножении физических величин важную роль играет их размерность[⇨].

Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец[2].

Формы записи и терминология[править | править код]

Умножение записывается с использованием знака умножения (∙, ×, ∗) между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс».

Самый старый из используемых символов — косой крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года.
Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (∙). Звёздочка (∗) используется, как правило, в текстах компьютерных программ.

Результат записывается с использованием знака равенства «=», например:

{displaystyle acdot b=c}
{displaystyle 6cdot 3=18} («шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три — восемнадцать»).

Часто в математических выражениях знак умножения опускается (не записывается), если это не вызывает неоднозначного прочтения. Например вместо {displaystyle y=6cdot x+3cdot z} пишется {displaystyle y=6x+3z}. Как правило, знак умножения опускают, если одним из множителей является однобуквенная переменная, функция или выражение в скобках: {displaystyle b^{2}-4ac}, {displaystyle nsin x}, {displaystyle a(b+c)}.

Традиционно при записи произведения нескольких множителей числа записывают перед переменными,а переменные перед функциями. Так, выражение {displaystyle ncdot sin xcdot 5cdot m} будет записано как {displaystyle 5nmsin x}. Выражения в скобках традиционно записывают последними, то есть выражение {displaystyle xcdot (a+b)cdot 2} будет записано как {displaystyle 2x(a+b)}.

Свойства[править | править код]

Далее описаны основные свойства операция умножения на числовых множествах {displaystyle mathbb {N} ,mathbb {Z} ,mathbb {Q} ,mathbb {R} ,mathbb {C} }.

  • Умножение коммутативно, то есть от перемены мест множителей произведение не меняется. Свойство также известно как переместительный закон умножения[3]:
Коммутативность: {displaystyle acdot b=bcdot a;}
  • Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как сочетательный закон умножения[3]:
Ассоциативность: {displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c);}
  • Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как распределительный закон[3]:
Дистрибутивность: {displaystyle xcdot (a+b)=(xcdot a)+(xcdot b),quad forall a,bin A;}
Нейтральный элемент: {displaystyle xcdot 1=1cdot x=x,quad exists !1in A;}
  • Умножение на 1 идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:
Идемпотентность: {displaystyle x=xcdot 1=(xcdot 1)cdot 1=((xcdot 1)cdot 1)cdot ...cdot 1,quad forall xin A,quad exists !1in A;}
Нулевой элемент: {displaystyle xcdot 0=0cdot x=0,quad exists !0in A.}

Операция умножения чисел, определённых на множествах {displaystyle mathbb {N} ,mathbb {Z} ,mathbb {Q} ,mathbb {R} }, даёт произведение, принадлежащее этому же множеству. Следовательно, операция умножения относится к замкнутым операциям, то есть множества чисел {displaystyle mathbb {Z} ,mathbb {Q} ,mathbb {R} } образуют кольца относительно операции умножения.

На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что {displaystyle mathbb {Z} _{-0},mathbb {Q} _{-0},mathbb {R} _{-0}} являются абелевыми группами относительно операции умножения.

В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними, но менее высокий приоритет, чем операция возведения в степень.

На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.

Выполнение умножения[править | править код]

При практическом решении задачи умножения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое умножение», сложение, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного умножения. При этом следует рассматривать умножение как процедуру (в отличие от операции).

Примерный алгоритм процедуры поразрядного умножения двух чисел

Алгоритм умножения.svg

Процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время.

Пример пошагового умножения 3 ∙ 3 = 9 на числовой прямой.

«Простое умножение» в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к сложению. Является гипероператором сложения:

{displaystyle acdot b=operatorname {hyper2} (a,b)=operatorname {hyper} (a,2,b)=a^{(2)}b.}

{displaystyle a{^{(2)}}b=acdot b=underbrace {a+a+dots +a} _{b}.}

где {displaystyle a+a+dots +a} — последовательное сложение b элементов.

Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод «простого умножения», для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы[4]:

Таблица для умножения в десятичной системе счисления

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Данная процедура применима к умножению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Умножение чисел[править | править код]

Натуральные числа[править | править код]

Первый вариант определения

Умножением натуральных чисел называется такое соответствие, которое с каждой парой натуральных чисел a и b сопоставляет одно и только одно натуральное число acdot b, обладающее следующими свойствами[5]:

1) {displaystyle acdot 1=a}
2) {displaystyle acdot (b+1)=acdot b+a}.
Второй вариант определения

Воспользуемся определением натуральных чисел mathbb {N} как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств {displaystyle C,A,B} порождённых биекциями, с помощью скобок: {displaystyle [C],[A],[B]}. Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:

{displaystyle [C]=[A]cdot [B]=[Atimes B];}

где: {displaystyle Atimes B={(a,b)mid ain A,bin B}} прямое произведение множеств — множество  C, элементами которого являются упорядоченные пары  (a,b) для всевозможных  {displaystyle ain A,bin B}. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества A на отрезок {displaystyle N_{a}} можно понимать как нумерацию элементов множества {displaystyle A:quad Asim N_{a}}.

Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа a и b такие, что:

{displaystyle a=a_{n-1}a_{n-2}dots a_{0},quad b=b_{n-1}b_{n-2}dots b_{0},quad forall a_{k},b_{k}in {P},quad forall a_{n-1},b_{n-1}neq 0,quad exists 0in mathbb {N} ;}

где {displaystyle a_{0dots n-1}=a_{k}P^{k},quad b_{0dots n-1}=b_{k}P^{k}};

n — количество цифр в числе {displaystyle nin {1,2,dots ,n}};
k — порядковый номером разряда (позиции), {displaystyle kin {0,1,dots ,n-1}};
P — основание системы счисления;
{displaystyle {P}} множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:
{displaystyle {P_{2}}={0,1}},
{displaystyle {P_{10}}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}},
{displaystyle {P_{16}}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}}; тогда:

{displaystyle c=acdot b;quad c_{n-1}c_{n-2}dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}dots a_{0}cdot b_{n-1}b_{n-2}dots b_{0};}

умножая поразрядно, получаем n промежуточных результатов:

  • {displaystyle t_{n-1,~0}=mod(a_{n-1}cdot b_{0}+r_{n-1},P),quad r_{n}=div(a_{n-1}cdot b_{0}+r_{n-1},P)~,~~t_{0}cdot ~P^{k};}
  • {displaystyle t_{n-1,~1}=mod(a_{n-1}cdot b_{1}+r_{n-1},P),quad r_{n}=div(a_{n-1}cdot b_{1}+r_{n-1},P)~,~~t_{1}cdot ~P^{k};}
  • {displaystyle ...qquad qquad ...qquad qquad qquad qquad qquad qquad ...qquad qquad qquad qquad qquad qquad ...}
  • {displaystyle t_{n-1,~k}=mod(a_{n-1}cdot b_{k}+r_{n-1},P),quad r_{n}=div(a_{n-1}cdot b_{k}+r_{n-1},P)~,~~t_{k}cdot ~P^{k};}

где: r — значение переноса, {displaystyle mod()} — функция нахождения остатка от деления, {displaystyle div()} — функция нахождения неполного частного.

Затем полученные n промежуточных результатов складываем: {displaystyle c=t_{0}+t_{1}+...+t_{k}.}

Таким образом операция умножения сводится к процедуре последовательного простого умножения одноразрядных чисел {displaystyle a_{k}cdot b_{k}}, с формированием переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо последовательным сложением. И далее к сложению.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию P системы счисления.

Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

{displaystyle {begin{array}{ccccccccccc}&&&&&&&&&\&&&&1&1&0&1&1&0\&&&*&&&1&1&0&1\hline &&&&1&1&0&1&1&0\&&&0&0&0&0&0&0&{color {Gray}0}\&&1&1&0&1&1&0&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}\+&1&1&0&1&1&0&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}\hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0end{array}};quad quad {begin{array}{cccccccccc}&&&&_{2}&_{2}&_{3}&_{3}&\&&&&_{1}&_{2}&_{2}&_{2}&\&&&&8&4&5&6&7\&&&*&&&5&4&1\hline &&&0&8&4&5&6&7\&&3&3&8&2&6&8&{color {Gray}0}\+&4&2&2&8&3&5&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}\hline &4&5&7&5&0&7&4&7end{array}};quad quad {begin{array}{ccccccccc}&&&&_{8}&_{8}&_{2}\&&&&_{D}&_{D}&_{3}\&&&&6&D&E&4\&&&{*}&&A&1&F\hline &&&6&7&0&5&C\&&0&6&D&E&4&{color {Gray}0}\+&4&4&A&E&8&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}\hline &4&5&8&3&6&9&Cend{array}}~~.}

Целые числа[править | править код]

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел mathbb {N} , получаемое добавлением отрицательных чисел [6] вида -n. Множество целых чисел обозначается mathbb{Z}. Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.

Положительное и отрицательное числа на числовой прямой.

Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения. Например, рассмотрим выражение: {displaystyle -6cdot 4=-24}; так как у чисел -6 и 4 разные знаки, то выносим минус за скобки: {displaystyle -6cdot 4=-(6cdot 4)}, вычисляя далее получим ответ: {displaystyle -24}.

Рациональные числа[править | править код]

Множество рациональных чисел обозначается mathbb {Q} (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

{mathbb {Q}}=left{{frac {m}{n}}mid min {mathbb {Z}},nin {mathbb {N}}right}.

Для умножения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: pm {frac {m}{n}}, следует числители и знаменатели дробей умножить друг на друга.

Если даны два рациональных числа a и b такие, что: {textstyle a={frac {m_{a}}{n_{a}}},b={frac {m_{b}}{n_{b}}}quad forall m_{a},n_{a},m_{b},n_{b}in mathbb {N} quad forall {n_{a}},{n_{b}}neq 0} (дроби не сокращаемые), тогда[7]:

{displaystyle c=acdot b={frac {m_{a}}{n_{a}}}cdot {frac {m_{b}}{n_{b}}}={frac {m_{a}cdot m_{b}}{n_{a}cdot n_{b}}}.}

Пример умножения:

{displaystyle {frac {2}{3}}cdot {frac {1}{5}}={frac {2cdot 1}{3cdot 5}}={frac {2}{15}};quad {frac {3}{7}}cdot {frac {4}{6}}={frac {3cdot 4}{7cdot 6}}={frac {12}{42}}={frac {2}{7}}.}

Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа[править | править код]

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[8] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

{displaystyle alpha =pm a_{0},a_{1}a_{2}ldots a_{n}ldots ={a_{n}},}
{displaystyle beta =pm b_{0},b_{1}b_{2}ldots b_{n}ldots ={b_{n}},}

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: alpha =[a_{n}] и beta =[b_{n}], то их произведением называют число {displaystyle gamma =[c_{n}]}, определённое произведением последовательностей {a_{n}} и {b_{n}}:

{displaystyle gamma =alpha cdot beta {overset {text{def}}{=}}[a_{n}]cdot [b_{n}]=[a_{n}times b_{n}];}

вещественное число {displaystyle gamma =alpha cdot beta }, удовлетворяет следующему условию:

{displaystyle forall a',a'',b',b''in mathbb {Q} ;~~~~(a'leqslant alpha leqslant a'')land (b'leqslant beta leqslant b'')Rightarrow (a'cdot b'leqslant alpha times beta leqslant a''cdot b'')Rightarrow (a'cdot b'leqslant gamma leqslant a''cdot b'').}

Таким образом произведением двух вещественных чисел  alpha и beta  является такое вещественное число gamma  которое содержится между всеми произведениями вида {displaystyle a'cdot b'} с одной стороны и всеми произведениями вида {displaystyle a''cdot b''} с другой стороны[9].

На практике для того, чтобы умножить два числа alpha и beta , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами a и b. За приближенное значение произведения чисел alpha cdot beta берут произведение указанных рациональных чисел acdot b. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают alpha и beta . Умножение производится по алгоритму поразрядного умножения.

Абсолютная погрешность произведения приближённых чисел: {displaystyle Delta (acdot b)=|b|cdot Delta a+|a|cdot Delta b+Delta acdot Delta bapprox |b|cdot Delta a+|a|cdot Delta b}, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей аргументов: {displaystyle delta (acdot b)=delta a+delta b}. Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример умножения {displaystyle gamma =pi cdot e}, с точностью до 3-го знака после запятой:

График[править | править код]

На множестве пар вещественных чисел mathbb {R} ^{2} график функции умножения является проходящим через начало координат гиперболическим параболоидом.

График функции с(a,b)=a*b

Комплексные числа[править | править код]

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом mathbb {C} .

Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

{displaystyle c+fi=(a+di)cdot (b+ei)=(acdot b-dcdot e)+(acdot e+bcdot d)i,}

где: {displaystyle c,a,b,d,e,fin mathbb {R} }, i — мнимая единица.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

{displaystyle c=acdot b=r_{1}(cos varphi _{1}+isin varphi _{1})cdot r_{2}(cos varphi _{2}+isin varphi _{2})=r_{1}cdot r_{2}(cos(varphi _{1}+varphi _{2})+isin(varphi _{1}+varphi _{2})),}

Умножение комплексных чисел на комплексной плоскости.

где: {textstyle r=|z|=|a+ib|={sqrt {a^{2}+b^{2}}};~~~varphi =arg(z)=operatorname {arctg} left({frac {b}{a}}right),} модуль и аргумент комплексного числа.

Умножение комплексного числа {displaystyle a=r_{1}e^{ivarphi _{1}}} в показательной форме, на комплексное число {displaystyle b=r_{2}e^{ivarphi _{2}}} сводится к повороту вектора, соответствующего числу a, на угол  {displaystyle arg(b)} и изменению его длины в {displaystyle |b|} раз. Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

{displaystyle c=re^{ivarphi }=acdot b=r_{1}e^{ivarphi _{1}}cdot r_{2}e^{ivarphi _{2}}=r_{1}cdot r_{2}cdot e^{i(varphi _{1}+varphi _{2})},}

где: {displaystyle e=2{,}718281828dots } — число e.

Экспоненциальная запись[править | править код]

В экспоненциальной записи числа записываются в виде {displaystyle a=pm xcdot P^{pm n}}, где x — мантисса, {displaystyle P^{n}} — характеристика числа, P — основание системы счисления, nin mathbb{Z } . Для умножения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо умножить мантиссы и характеристики: {displaystyle (acdot P^{n})cdot (bcdot P^{k})=(acdot b)cdot P^{n}cdot P^{k}=abcdot P^{n+k}.}

Например:

{displaystyle 2{,}34cdot 10^{-5}cdot 5{,}67cdot 10^{6}=2{,}34cdot 5{,}67cdot 10^{-5}cdot 10^{6}approx 13{,}27cdot 10^{(-5+6)}approx 13{,}27cdot 10^{1}approx 1{,}33cdot 10^{2}.}

Умножение произвольных чисел[править | править код]

При умножении чисел, принадлежащих разным множествам, например {displaystyle 1{,}5(in mathbb {Q} )cdot 5(in mathbb {N} )}, необходимо произвести преобразование (приведение) одного из множителей к типу второго (если существует такая возможность). Для этого число из множества с меньшей мощностью «расширяется» в сторону числа из множества с большей мощностью: {displaystyle mathbb {N} subset mathbb {Z} subset mathbb {Q} subset mathbb {R} subset mathbb {C} subset mathbb {H} }. В данном примере следует воспользоваться тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных и трактовать натуральное число 5 как рациональное число {displaystyle 5{,}0}. Исходное выражение превращается в умножение двух рациональных чисел: {displaystyle 1{,}5(in mathbb {Q} )cdot 5{,}0(in mathbb {Q} )=7{,}5(in mathbb {Q} )}.

Умножение физических величин[править | править код]

Единица измерения физической величины имеет определенное наименование (размерность), например, для длины — метр (м), для времени — секунда (с), для массы — грамм (г) и так далее. Результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с размерностью[10], например, 10 м, 145 с, 500 г. Размерность представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции умножения. При умножении физических величин умножаются как сами числовые значения, так и их размерности, порождая новое число с новой размерностью. Например, прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м обладает площадью, получаемой умножением длин сторон:

5 м · 3 м = 5 · 3 м·м= 15 м·м, или 15 м².

Таким образом, умножение физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, отличающейся от величин, которые мы умножаем. Если физически возможно создание такого произведения, например, при нахождении работы, скорости или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин  присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее[11].

Например, если умножить скорость равномерно и прямолинейно движущегося тела, равную 5 м/с, на время, равное 3 с, то получится именованное число (физическая величина), которая называется «длина», или «расстояние» и измеряется в метрах:

5 м/с · 3 с = 15 (м/с) · с = 15 м.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные величины. Безразмерные величины либо просто определяют некоторое количество (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное), либо являются отношениями физических величин одной и той же размерности, например, относительная плотность является отношением плотности тела к эталонной плотности (обычно, плотности воды). При умножении величины с размерностью на безразмерную величину результат сохраняет исходную размерность. Например, если взять 5-метровые рейки в количестве 3 штуки, то в результате умножения получим общую длину реек 15 метров:

5 м · 3 = 15 м.

Количество реек (безразмерная величина) здесь не зависит ни от способа их подсчёта, ни от единицы измерения их длины. Например, если измерить длину не в метрах, а в футах, то длина той же рейки составит 16,4 фута, а общая длина трёх реек:

16,4 фута · 3 = 49,2 фута.

Умножение последовательностей[править | править код]

Произведение элементов последовательности может быть компактно записано с помощью специального символа умножения, восходящего к заглавной букве Π (пи) греческого алфавита, как показано в примере:

{displaystyle prod _{i=1}^{4}i=1cdot 2cdot 3cdot 4=24.}

Снизу записывается символ свободной переменной (в данном случае i), называемой «индексом умножения», вместе с начальным значением (в данном случае 1). Сверху записывается конечное значение (в данном случае 4) в виде числа или переменной, либо символ бесконечности infty , если предполагается бесконечное произведение. Такую запись можно «развернуть» в выражение, в котором последовательно подставляются значения индекса умножения от начального до конечного значения:

{displaystyle prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}cdot x_{m+1}cdot x_{m+2}cdot ,,cdots ,,cdot x_{n-1}cdot x_{n},}

где m и n есть целые числа или выражения, которые вычисляются в целочисленные значения.

Такая запись обладает следующим свойством[5]:104:

{displaystyle prod _{i=1}^{n+1}a_{i}=(prod _{i=1}^{n}a_{i})a_{n+1}.}

Если значения индекса заданы некоторым множеством, то многократное произведение может быть записано с его помощью, например

{displaystyle prod _{iin A}x_{i}}.

Такая запись означает, что переменная i «пробегает» все значения, принадлежащие множеству A.

См. также[править | править код]

  • Бруски Женая — Люка
  • Деление
  • Возведение в степень

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1985.
  2. ↑ 1 2 Умножение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  3. ↑ 1 2 3 Так это свойство обычно называется в школьных учебниках
  4. ↑ Истомина, 2005, с. 165.
  5. ↑ 1 2 Энциклопедия элементарной математики. Книга 1 (арифметика) / Под ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. — М.-Л., ГТТИ, 1951. 448 с.
  6. ↑ Выгодский, 2003, с. 116—117.
  7. ↑ Гусев, 1988, с. 20.
  8. ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида {x:alpha <x<beta }
  9. ↑ Ильин, 1985, с. 46.
  10. ↑ Волинская Н. И. Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста. brestschool7.iatp.by. Дата обращения: 18 апреля 2016. Архивировано из оригинала 7 августа 2016 года.
  11. ↑ Макаров Владимир Петрович. О «размерности» физических величин. lithology.ru, Литология.РФ. Дата обращения: 18 апреля 2016. Архивировано 6 мая 2016 года.

Литература[править | править код]

  • Барсуков А. Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов.. — Просвещение, 1966. — 296 с.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.. — Просвещение, 1988. — 416 с.
  • Ильин В. А. и др. Математический анализ. Начальный курс.. — МГУ, 1985. — 662 с.
  • Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
  • Иванова О. А. Умножение чисел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 495—496. — 1248 с.
  • Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.. — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.

Ссылки[править | править код]

  • Умножение: по-японски, по-итальянски и методом майя
Источник

Добавить комментарий