Содержание
- Процедура перемножения матриц
- Способ 1: функция МУМНОЖ
- Способ 2: использование составной формулы
- Вопросы и ответы
Одной из частых операций, которую выполняют при работе с матрицами, является перемножение одной из них на другую. Программа Excel является мощным табличным процессором, который предназначен, в том числе и для работы над матрицами. Поэтому у него имеются инструменты, которые позволяют перемножить их между собой. Давайте узнаем, как это можно выполнить различными способами.
Процедура перемножения матриц
Сразу нужно сказать, что перемножить между собой можно далеко не все матрицы, а только те, которые соответствуют определенному условию: число столбцов одной матрицы должно быть равным числу строк другой и наоборот. Кроме того, исключается наличие в составе матриц пустых элементов. В этом случае тоже выполнить требуемую операцию не получится.
Способов перемножить матрицы в Экселе все-таки не так уж и много — всего два. И оба они связаны с применением встроенных функций Excel. Разберем в деталях каждый из данных вариантов.
Способ 1: функция МУМНОЖ
Наиболее простым и популярным вариантом среди пользователей является применение функции МУМНОЖ. Оператор МУМНОЖ относится к математической группе функций. Как раз его непосредственной задачей и является нахождение произведения двух матричных массивов. Синтаксис МУМНОЖ имеет такой вид:
=МУМНОЖ(массив1;массив2)
Таким образом этот оператор имеет два аргумента, которые представляют собой ссылки на диапазоны двух перемножаемых матриц.
Теперь давайте посмотрим, как используется функция МУМНОЖ на конкретном примере. Имеется две матрицы, число строк одной из которых, соответствует количеству столбцов в другой и наоборот. Нам нужно перемножить два этих элемента.
- Выделяем диапазон, где будет отображаться результат умножения, начиная с его верхней левой ячейки. Размер данного диапазона должен соответствовать числу строк у первой матрицы и числу столбцов у второй. Клацаем по пиктограмме «Вставить функцию».
- Активируется Мастер функций. Перемещаемся в блок «Математические», кликаем по наименованию «МУМНОЖ» и клацаем по кнопке «OK» в нижней части окна.
- Будет выполнен запуск окна аргументов требуемой функции. В этом окне имеется два поля для ввода адресов матричных массивов. Ставим курсор в поле «Массив1» и, зажав левую кнопку мыши, выделяем на листе всю область первой матрицы. После этого её координаты отобразятся в поле. Ставим курсор в поле «Массив2» и аналогичным образом выделяем диапазон второй матрицы.
После того, как оба аргумента внесены, не спешим жать на кнопку «OK», так как мы имеем дело с функцией массива, а это значит, что для получения корректного результата обычный вариант завершения работы с оператором не подойдет. Данный оператор предназначен не для того, чтобы выводить результат в одну ячейку, так как выводит его в целый диапазон на листе. Итак, вместо нажатия кнопки «OK» жмем комбинацию кнопок Ctrl+Shift+Enter.
- Как видим, после этого предварительно выделенный диапазон был заполнен данными. Это и есть результат умножения матричных массивов. Если взглянуть на строку формул, после выделения любого из элементов данного диапазона, то мы увидим, что сама формула обернута в фигурные скобки. Это и есть признак функции массива, который добавляется после нажатия сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter перед выводом результат на лист.
Урок: Функция МУМНОЖ в Экселе
Способ 2: использование составной формулы
Кроме того, существует ещё один способ умножения двух матриц. Он более сложный, чем предыдущий, но тоже заслуживает упоминания, как альтернативный вариант. Данный способ предполагает использование составной формулы массива, которая будет состоять из функции СУММПРОИЗВ и вложенного в неё в качестве аргумента оператора ТРАНСП.
- На этот раз выделяем на листе только левый верхний элемент массива пустых ячеек, который рассчитываем использовать для вывода результата. Щелкаем по значку «Вставить функцию».
- Мастер функций запускается. Перемещаемся в блок операторов «Математические», но на этот раз выбираем наименование СУММПРОИЗВ. Клацаем по кнопке «OK».
- Происходит открытие окна аргументов вышеуказанной функции. Данный оператор предназначен для перемножения различных массивов между собой. Его синтаксис следующий:
=СУММПРОИЗВ(массив1;массив2;…)В качестве аргументов из группы «Массив» используется ссылка на конкретный диапазон, который нужно перемножить. Всего может быть использовано от двух до 255 таких аргументов. Но в нашем случае, так как мы имеем дело с двумя матрицами, нам понадобится как раз два аргумента.
Ставим курсор в поле «Массив1». Тут нам нужно будет ввести адрес первой строки первой матрицы. Для этого, зажав левую кнопку мыши, нужно просто выделить её на листе курсором. Тут же координаты данного диапазона будут отображены в соответствующем поле окна аргументов. После этого следует зафиксировать координаты полученной ссылки по столбцам, то есть, эти координаты нужно сделать абсолютными. Для этого перед буквами в выражении, которое вписано в поле, устанавливаем знак доллара ($). Перед координатами, отображенными в цифрах (строки), это делать не следует. Также, можно вместо этого выделить всё выражение в поле и трижды нажать на функциональную клавишу F4. В данном случае абсолютными тоже станут лишь координаты столбцов.
- После этого устанавливаем курсор в поле «Массив2». С этим аргументом будет посложнее, так как по правилам умножения матриц, вторую матрицу нужно «перевернуть». Для этого используем вложенную функцию ТРАНСП.
Чтобы перейти к ней, клацаем по значку в виде треугольника, направленного острым углом вниз, который размещен слева от строки формул. Открывается список недавно используемых формул. Если вы в нем найдете наименование «ТРАНСП», то щелкайте по нему. Если же вы давно использовали данный оператор или вообще никогда не применяли его, то в этом списке указанное наименование вы не отыщите. В этом случае требуется нажать по пункту «Другие функции…».
- Открывается уже хорошо знакомое нам окно Мастера функций. На этот раз перемещаемся в категорию «Ссылки и массивы» и выбираем наименование «ТРАНСП». Щелкаем по кнопке «OK».
- Производится запуск окна аргументов функции ТРАНСП. Данный оператор предназначен для транспонирования таблиц. То есть, попросту говоря, он меняет местами столбцы и строки. Это нам и нужно сделать для второго аргумента оператора СУММПРОИЗВ. Синтаксис функции ТРАНСП предельно простой:
=ТРАНСП(массив)То есть, единственным аргументом данного оператора является ссылка на тот массив, который следует «перевернуть». Вернее, в нашем случае даже не на весь массив, а только на его первый столбец.
Итак, устанавливаем курсор в поле «Массив» и выделяем первый столбец второй матрицы на листе с зажатой левой кнопкой мыши. Адрес отобразится в поле. Как и в предыдущем случае, тут тоже нужно сделать определенные координаты абсолютными, но на этот раз не координаты столбцов, а адреса строк. Поэтому ставим знак доллара перед цифрами в ссылке, которая отображается в поле. Можно также выделить всё выражение и дважды кликнуть по клавише F4. После того, как нужные элементы стали иметь абсолютные свойства, не жмем на кнопку «OK», а так же, как и в предыдущем способе, применяем нажатие комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.
- Но на этот раз у нас заполнился не массив, а только одна ячейка, которую мы ранее выделили при вызове Мастера функций.
- Нам нужно заполнить данными такой же по размеру массив, как и в первом способе. Для этого следует скопировать формулу, полученную в ячейке, на равнозначный диапазон, который будет равен количеству строк первой матрицы и количеству столбцов второй. В конкретно нашем случае получается три строки и три столбца.
Для копирования прибегнем к использованию маркера заполнения. Наводим курсор на нижний правый угол ячейки, в которой расположена формула. Курсор преобразуется в черный крестик. Это и есть маркер заполнения. Зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем курсор по всему вышеуказанному диапазону. Сама начальная ячейка с формулой должна стать левым верхним элементом данного массива.
- Как видим, выделенный диапазон заполнен данными. Если их сравнить с тем результатом, который мы получили благодаря применению оператора МУМНОЖ, то увидим, что значения полностью идентичны. Это означает, что умножение двух матриц выполнено верно.
Урок: Работа с массивами в Экселе
Как видим, несмотря на то, что был получен равнозначный результат, использовать функцию для умножения матриц МУМНОЖ значительно проще, чем применять для этих же целей составную формулу из операторов СУММПРОИЗВ и ТРАНСП. Но все-таки данный альтернативный вариант тоже нельзя оставить без внимания при изучении всех возможностей перемножения матриц в Microsoft Excel.
Еще статьи по данной теме:
Помогла ли Вам статья?
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel Starter 2010 Еще…Меньше
Функция МУМНОТ возвращает матричное произведение двух массивов. Результатом является массив с таким же числом строк, что и массив1, и с таким же числом столбцов, что и массив2.
Примечание: Если у вас установлена текущая версия Microsoft 365, можно просто ввести формулу в верхней левой ячейке диапазона вывода и нажать клавишу ВВОД, чтобы подтвердить использование формулы динамического массива. Иначе формулу необходимо вводить с использованием прежней версии массива, выбрав диапазон вывода, введя формулу в левой верхней ячейке диапазона и нажав клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД для подтверждения. Excel автоматически вставляет фигурные скобки в начале и конце формулы. Дополнительные сведения о формулах массива см. в статье Использование формул массива: рекомендации и примеры.
Синтаксис
МУМНОЖ(массив1; массив2)
Аргументы функции МУМНОЖ описаны ниже.
-
массив1, массив2 Обязательный. Перемножаемые массивы.
Замечания
-
Число столбцов в массиве1 должно быть таким же, как число строк в массиве “массив2”, и оба массива должны содержать только числа.
-
Массив1 и массив2 могут быть заданы как диапазоны ячеев, константы массива или ссылки.
-
Функция МУМНОЖ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ! в следующих случаях, указанных ниже.
-
Если какая-либо ячейка пуста или содержит текст.
-
Число столбцов в массиве1 отличается от числа строк в массиве “массив2”.
-
-
Массив a, который является произведением двух массивов b и c, определяется следующим образом:
где i — номер строки, а j — номер столбца.
Примеры
Пример 1
Пример 2
Чтобы указанные выше формулы вычислялись правильно, нужно вводить их в виде формул массивов. После ввода формулы нажмите ввод, если у вас есть текущая Microsoft 365 подписка. в противном случае нажмите CTRL+SHIFT+ВВОД. Если формула не будет введена как формула массива, возвращается единственный результат.
Дополнительные сведения
Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.
Нужна дополнительная помощь?
Нужны дополнительные параметры?
Изучите преимущества подписки, просмотрите учебные курсы, узнайте, как защитить свое устройство и т. д.
В сообществах можно задавать вопросы и отвечать на них, отправлять отзывы и консультироваться с экспертами разных профилей.
В этой статье рассмотрены операции умножения матриц с помощью функции
МУМНОЖ()
или англ.MMULT и с помощью других формул, а также свойства ассоциативности и дистрибутивности операции умножения матриц. Примеры решены в MS EXCEL.
Операция умножения двух матриц
А
и
В
определена только для случаев, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведение матрицы
А
порядка P x
N
и матрицы
В
порядка
N
x Q – это такая матрица
С
порядка P x Q, у которой каждый элемент равен сумме произведений элементов
i-ой
строки матрицы
А
на соответствующие элементы
j-ого
столбца матрицы
В
, то есть:
Для умножения матриц в MS EXCEL существует специальная функция
МУМНОЖ()
, которую нужно вводить как
формулу массива
.
Рассмотрим сначала умножение квадратных матриц 2 х 2.
Разместим матрицы в диапазонах
А8:В9
и
D8:E9
(см.
файл примера
).
Результат, также матрицу 2 х 2, будем вводить в диапазон
H8:I9
.
Для этого:
-
выделите указанный диапазон
H8:I9
-
поставьте курсор в
Строку формул
(или нажмите клавишу
F2
) -
введите формулу
=МУМНОЖ(A8:B9;D8:E9)
-
нажмите
CTRL+SHIFT+ENTER
Выделенный диапазон заполнится элементами матрицы. В принципе можно выделить заведомо б
о
льший диапазон, в этом случае лишние ячейки будут заполнены ошибкой #Н/Д.
Удалить отдельный элемент матрицы А*В не удастся – только все элементы сразу (выделите весь диапазон и нажмите клавишу
DEL
).
Чтобы изменить значения аргументов функции (например, поменять матрицы местами), выделите любую ячейку матрицы, нажмите
F2
, исправьте формулу и нажмите
CTRL+SHIFT+ENTER
.
Альтернативной формулой для перемножения матриц является
формула массива
=СУММПРОИЗВ($A8:$B8;ТРАНСП(D$8:D$9))
. Введите формулу в верхнюю левую ячейку диапазона и нажмите
CTRL+SHIFT+ENTER
. Затем скопируйте ее вниз и вправо на нужное количество ячеек.
Если попытаться перемножить матрицы неподходящей размерности (когда число столбцов матрицы А НЕ равно числу строк матрицы В), то функция
МУМНОЖ()
вернет ошибку #ЗНАЧ!
В
файле примера
также продемонстрированы свойства ассоциативности и дистрибутивности операции умножения матриц.
В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.
Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.
Формулы массива
Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).
Порядок применения формулы массива:
- Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
- Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
- Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.
В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.
Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.
Решение матриц в Excel
С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.
Транспонирование
Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.
Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.
- 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
- 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.
Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.
Сложение
Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.
В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.
Умножение матриц в Excel
Условие задачи:
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).
Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.
В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.
Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.
Обратная матрица в Excel
Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).
Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.
Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:
Нахождение определителя матрицы
Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.
Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).
Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.
РХТУ
им. Д.B.
Менделеева
Кафедра
ИКМ Методическое пособие по изучению
Excel
Операции
с матрицами в Excel
Как и над числами, над матрицами можно
проводить ряд операций, причем в случае
с матрицами некоторые из операций
являются специфическими.
-
Транспонирование.
Транспонированной называется матрица
(AT), в которой столбцы исходной
матрицы (А) заменяются строками с
соответствующими номерами.
Пример. Пусть в диапазон ячеек А1:Е2
введена матрица размера 2 x
5. Необходимо получить транспонированную
матрицу.
-
Выделить указателем мыши при нажатой
левой кнопке блок ячеек, где будет
находиться транспонированная матрица.
В нашем примере блок размера 5 x
2 в диапазоне А4:В8. -
Нажать на панели инструментов Стандартная
вставка
функции. -
В появившемся диалоговом окне Мастер
функций в рабочем поле Категория
выбрать Ссылки и массивы, а в рабочем
поле Функция – имя функции ТРАСП
(рис.1)
рис.1
-
Появившееся диалоговое окно ТРАСП
мышью отодвинуть в сторону от исходной
матрицы и ввести диапазон исходной
матрицы А1:Е2 в рабочее поле Массив
(указателем мыши при нажатой левой
кнопке). После чего, не нажимая кнопку
ОК, нажать сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER
(рис.2) -
Если транспонированная матрица не
появилась в заданном диапазоне А4:В8,
то надо щелкнуть указателем мыши в
строке формул и повторить нажатие
клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
В результате в диапазоне А4:В8 появится
транспонированная матрица.
Рис.2
-
Вычисление определителя матрицы
Пусть в диапазон А1:С3 введена матрица.
Необходимо вычислить определитель
матрицы
-
Табличный курсор поставить в ячейку,
в которой требуется получить значение
определителя, например. В А4. -
Нажать на панели инструментов Стандартная
кнопку Вставка функции -
В появившемся диалоговом окне Мастер
функций в рабочем поле Категории
выбрать Математические, а в рабочем
поле Функция – имя функции МОПРЕД.
После этого нажать на кнопку ОК. -
Появившееся диалоговое окно МОПРЕД
мышью отодвинуть в сторону от исходной
матрицы и ввести диапазон исходной
матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив
(указателем мыши при нажатой левой
кнопке). После чего нажать кнопку ОК.
В ячейке А4 появится значение определителя
матрицы.
-
Нахождение обратной матрицы
Пусть в диапазон А1:С3 введена матрица.
Необходимо в диапазоне А5:С7 получить
обратную матрицу.
-
Выделить блок ячеек под обратную
матрицу (в нашем примере А5:С7) -
Нажать на панели инструментов Стандартная
кнопку Вставка функции -
В появившемся диалоговом окне Мастер
функций в рабочем поле Категории
выбрать Математические, а в рабочем
поле Функция – имя функции МОБР.
После этого нажать на кнопку ОК. -
Появившееся диалоговое окно МОБР мышью
отодвинуть в сторону от исходной
матрицы и ввести диапазон исходной
матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив
(указателем мыши при нажатой левой
кнопке). После чего, не нажимая кнопку
ОК, нажать сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER -
Если обратная матрица не появилась в
заданном диапазоне А1:С3, то надо щелкнуть
указателем мыши в строке формул и
повторить нажатие клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
В результате в диапазоне А1:С3 появится
обратная матрица.
-
Сложение и вычитание матриц, умножение
и деление матрицы на число
Складывать (вычитать) матрицы можно
одного размера. В Excel для
выполнения операция сложения (вычитания)
матриц используются формулы, вводимые
в соответствующие ячейки.
Пример. Пусть матрица А введена в диапазон
А1:С2, а матрица В – в диапазон А4:С5.
Необходимо найти матрицу С, являющуюся
их суммой, в диапазоне Е1:G2.
С = А + В
-
Табличный курсор установить в левый
верхний угол результирующей матрицы
– ячейку Е1. -
Ввести формулу для вычисления первого
элемента результирующей матрицы =А1+А4
(предварительно установить английскую
раскладку клавиатуры) -
Скопируйте введенную формулу в остальные
ячейки результирующей матрицы.
В результате в ячейках E1:G2
появится матрица, равная сумме исходных
матриц.
Подобным образом вычисляется разность
матриц, только в формуле вместо знака
+, ставится знак -.
Если необходимо умножить (разделить)
матрицу А на число k, то
формула будет иметь вид =А1*k.
Рис.3
Умножение матриц
Произведение двух матриц определено,
если число столбцов первой матрицы
произведения равно числу строк второй
матрицы произведения.
Пример. Пусть матрица введена в
диапазон A1:D3,
а матрица В – в диапазон А4:В7. Необходимо
найти произведение этих матриц С=А x
В.
-
Выделить блок ячеек указателем мыши
при нажатой левой кнопке под результирующую
матрицу. Если матрица А имеет размерность
3 x 4, а матрица В
имеет размерность 4
x 3, то результирующая матрица С
имеет размерность 3
x 3. Поэтому следует внимательно
следить, чтобы размерность матрицы С
в точности соответствовала определению
произведения двух матриц. Пусть матрица
С будет размещаться в диапазоне F1:G3. -
Нажать на панели инструментов Стандартная
кнопку Вставка функции -
В появившемся диалоговом окне Мастер
функций в рабочем поле Категории
выбрать Математические, а в рабочем
поле Функция – имя функции МУМНОЖ.
После этого нажать на кнопку ОК. -
Появившееся диалоговое окно МУМНОЖ
мышью отодвинуть в сторону от исходной
матрицы и ввести диапазон первой матрицы
А1:D3 в рабочее поле Массив1
(указателем мыши при нажатой левой
кнопке), а диапазон матрицы В – А4:В7
ввести в рабочее поле Массив2. После
чего, не нажимая кнопку ОК, нажать
сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER
(рис.3)
Рис.4
-
Если произведение матриц не появилось
в заданном диапазоне А1:С3, то надо
щелкнуть указателем мыши в строке
формул и повторить нажатие клавиш
CTRL+SHIFT+ENTER.
В результате в диапазоне F1:G3
появится обратная матрица.
Соседние файлы в папке Excel
- #
- #
- #
08.01.201420.99 Кб114Excel-таблицы-простые.xls
- #
- #
- #
