Производная функции как найти решение на графике

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

15 марта 2011

В задаче 6 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x₀,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x₂ − x₁ и приращение функции Δy = y₂ − y₁.
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = −1 − (−3) = 2; Δy = y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 3 − 0 = 3; Δy = y₂ − y₁ = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 5 − 0 = 5; Δy = y₂ − y₁ = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x).
2. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f’(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x₀) ≥ 0 или f’(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l₁ = − 6 − (−8) = 2;
l₂ = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l₂ = 5.

Смотрите также:

1. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции
2. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции
3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
4. Решение задач B6: №362—377
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Исследовать функцию — это значит установить её свойства: указать её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция приобретает положительные значения, на которых — отрицательные; выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т. д.

Содержание:

Что такое исследование функции

Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная {рис. 70).

Правильными будут следующие утверждения.

• Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
• Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
• Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция

Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции  нужно решить неравенства  или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.    

Пример:

Найдите промежутки возрастания и убывания функции 

Решение:

 

Уравнение  имеет корни  Это — критические точки. Область определения данной функции — множество  — они разбивают на три промежутка:  (рис. 72). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки:  Следовательно, данная функция на промежутках  возрастает, а на  убывает.

Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция  в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках   на  — убывает.

Пример:

Найдите промежутки убывания функции 

Решение:

 

Критические точки:  Они всю область определения функции разбивают на интервалы:  (рис. 73). Производная  на этих промежутках имеет соответственно такие знаки:  Следовательно, функция убывает на промежутках  Поскольку в точках  данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так: 

Пример:

Найдите критические точки функции  

Решение:

 Найдем произвольную функции: 
Найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует:  — не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда  и  Точка  не входит в область определения функции. Следовательно, функция имеет две критические точки: 

Ответ. 0 и 4.

Пример:

Докажите, что функция  возрастает на 

Решение:

  При любом значении  выражение  имеет положительное значение. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения, т.е. на множестве 

Пример:

Установите, на каком промежутке функция  возрастает, а на каком убывает.

Решение:

Способ 1.  Найдём производную функции:

Найдём критические точки функции:

Эта точка разбивает область определения функции на два промежутка (рис. 74). Определим знак производной на каждом из них. 

Следовательно, функция  возрастает на промежутке  а убывает на 

Способ 2. Решим неравенство  и 

Ответ. Возрастает, если  убывает если 

Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков

При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной. Вспомним, что такое вторая производная.

Пусть функция  является дифференцируемой,  её производная  — функция, которая также дифференцируема. Тогда можно найти производную  Это производная второго порядка, или вторая производная функции 

Например, найти производную 2-го порядка функции означает найти производную этой функции  и полученную функцию продифференцировать: 

Кривая  называется выпуклой на интервале  если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 1).

Кривая  называется вогнутой на интервале  если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 2).

Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции  отрицательна  на интервале  то кривая выпуклая на данном интервале; если вторая производная функции положительная  то кривая вогнутая на 

Из теоремы следует, что точками перегиба кривой  могут быть только точки, в которых вторая производная  равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.

Установим до статочное условие существования точки перегиба.

Теорема. Пусть  — критическая точка второго рода функции  Если при переходе через точку  производная  меняет знак, то точка является точкой перегиба кривой 

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

1. найти область определения функции;
2. найти критические точки второго рода;
3. определить знак второй производной на образованных интервалах. Если  то кривая выпуклая; если  — кривая вогнутая;
4. если производная  меняет знак при переходе через точку  то точка  является точкой перегиба кривой 

Пример №1

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой 

Решение:

1) Область определения функции: 

2) Найдём вторую производную:  Критические точки второго рода:  Других критических точек нет.

3)    Разбиваем область определения на интервалы  и определяем знак второй производной на каждом из них.

Если  поэтому кривая вогнутая.

Если  поэтому кривая выпуклая.

Если  — кривая вогнутая.

Следовательно, точки  — точки перегиба кривой. Рассмотрим ещё один компонент в исследовании функций, благодаря которому упрощается построение некоторых графиков. Это асимптоты. В предыдущих параграфах рассматривались горизонтальные и вертикальные асимптоты. Повторим, расширим и обобщим это понятие. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 87).

Напомним, что прямая  будет вертикальной асимптотой кривой  если при  (справа или слева) значение функции  стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий: 

Уравнение наклонной асимптоты: 

Если записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота; если хотя бы один из них не существует или равен  то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Если  поэтому  — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Рассмотренные пределы могут быть односторонними, а под символом  следует понимать и  При этом указанные пределы могут быть разными при

Пример №2

Найдите асимптоты кривых:

Решение:

а)  Найдём вертикальные асимптоты. Поскольку функция не определена в точках  и  то прямые  — вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту:  Кривая имеет горизонтальную асимптоту, её уравнение: 

Следовательно, заданная кривая имеет три асимптоты: 

 Найдем вертикальные асимптоты.

Поскольку функция не определена в точках  и  то прямые  — вергикальные асимптоты.

Для наклонной асимптоты 

Значит прямая  — наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет.

Итак, асимптоты кривой: 

 Будем искать наклонные асимптоты:

Следовательно,  — наклонная асимптота, если 

2) если  (проверьте самостоятельно), отсюда  — наклонная асимптота, если 

Следовательно, заданная кривая имеет две асимптоты:

Определение точек перегиба, интервалов выпуклости и асимптот существенно помогает в построении графиков различных функций.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Интервалы возрастания и убывания функции

возрастающая функция

Если для любых и из некоторого промежутка области определения при выполняется условие то на этом промежутке функция возрастающая.

убывающая

Если для любых и из некоторого промежутка области определения при выполняется условие на этом промежутке функция убывающая.

Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция возрастает.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция убывает.

Промежутки возрастания и убывания функции

Пусть на определенном промежутке производная функции положительна, т. е. Так как то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график “поднимается “, т. е. функция возрастает. Если тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график “спускается”, т. е. функция убывает.

Теорема. Если функция дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:

Примечание: если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

По графику функции исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.

На интервалах и угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков и функция возрастает.

На интервале угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке функция убывает.

Пример №3

При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции

Решение: 1. Алгебраический метод.

Найдем производную функции

Функция на промежутке удовлетворяющем неравенству т. е. возрастает.

Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение

Значит, при и Точки разбивают область определения функции на три интервала: и В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.

Из таблицы и непрерывности функции видно, что данная функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутке Из графика так же видно, что задания решение верно.

2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить но графику производной. На рисунке изображен график производной

График производной при и расположен выше оси значит, При график производной расположен ниже оси значит Так как функция в точках и непрерывна, то на промежутках и она возрастает, а на промежутке убывает.

Пример №4

Изобразите схематично график непрерывной функции согласно еле дующим условиям:

a) при при

b) при или при

Решение:

а) при знак производной положительный: значит,

функция возрастает. При знак производной отрицательный: значит, функция убывает, при значение функции равно 5.

b) При и знак производной положительный: значит, функция возрастает. При знак производной отрицательный: значит, функция убывает, при значение функции равно 0.

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т. e.Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки – критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума( и ) производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т. е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1. слева от точки положительна, а справа – отрицательна, то точка является точкой максимума.
2. слева от отрицательна, а справа – положительна, то точка является точкой минимума
3. с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Пример №5

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение: Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

для интервала

для интервала

При имеем максимум

При имеем минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Пример №6

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Решение: Сначала найдем критические точки.

Так как то критические точки можно найти из уравнения и Критическая точка не принадлежит данному отрезку и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее – 4, наибольшее 12. Таким образом:

Пример №7

Найдите экстремумы функции

Решение: 1. Производная функции:

2. Критические точки:

и

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

и

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Для промежутка возьмем

Для промежутка возьмем

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

Пример №8

Найдите экстремумы функции

Решение: 1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем

Для возьмем

Пример №9

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция/на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка Соответствующий график представлен на рисунке.

• Заказать решение задач по высшей математике

Построение графиков функции с помощью производной

Функция – многочлен определена и непрерывна на всей числовой оси.

Чтобы построить график функции- многочлен надо выполнить следующие шаги.

• Определите точки пересечения с осями координат.
• Найдите критические точки.
• Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
• Найдите максимумы и минимумы.
• Постройте график.

Пример:

Постройте график функции

1) Точки пересечения с осями координат :

2) Критические точки ( точки, в которых производная равна нулю):

значит, точки и расположены на графике.

3) Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.

Критические точки деляг область определения функции на четыре промежутка. Проверим знаки производной

4) Используя полученную информацию, построим график функции.

Чтобы построить график рациональной функции надо выполнить следующие шаги.

• Найдите область определения.
• Найдите асимптоты (если они есть).
• Определите точки пересечения с осями координат.
• Найдите критические точки.
• Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы.
• Постройте график.

Пример:

Постройте график функции

1) Область определения функции:

2) Асимптоты:

Прямая вертикальная асимптота функции.

Так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, рациональная функция не имеет горизонтальной асимптоты. Однако, записав следующее:

условии имеем т. е. график функции бесконечно приближается к прямой В этом случае прямая является наклонной асимптотой функции Вообще, если степень многочлена на 1 единицу больше степени многочлена то рациональная функция имеет наклонную асимптоту.

3) Точки пересечения с осями координат:

4) Критические точки:

5) Промежутки возрастания и убывания: в точке функция не определена, точки и являются критическими точками функции. Определим знаки производной в каждом полученном интервале.

6) Построим график. Отметим на координатной плоскости точки относящиеся к графику. Проведем вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту Используя полученные результаты, изобразим график функции.

Обратите внимание! В области, близкой к точке график функции ведет себя как парабола

Задачи на экстремумы. Оптимизации

В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.

Замечание 1: На интервале должны учитываться предельные значения функции на концах.

Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума – наименьшее значение.

Пример 1. Максимальный объем. Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?

Решение:

Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную Вычислим площадь поверхности коробки. Она равна и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.

Тогда выразим подставим в формулу Зависимость объема коробки от переменной можно выразить следующим образом:

Теперь найдем область определения функции согласно условию задачи.

Понятно, что длина не может быть отрицательной, т. е. Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т. е.

или Значит,

Найдем максимальное значение функции на интервале

Для этого используем производную первого порядка:

При и имеем, что

Однако. Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является

При имеем при имеем функция

в точке принимает максимальное значение.

Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна

Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами

Построив при помощи графкалькулятора график функции также можно увидеть, что при объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.

Пример 2. Минимальное потребление. Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.

Решение: 1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.

2) Аналитически выразим зависимость между переменными.

По теореме Пифагора:

зависимость функции от переменной будет

Производная функции

Найдем критические точки функции

Сравнивая значения функции в точках (это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при (метр)

При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!

1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.

2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.

3. Выберите соответствующий параметр и выразите искомую величину функцией Найдите экстремумы данной функции.

4. Полученные значения объясните экспериментально.

Пример: Минимальное потребление материала. Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250

a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?

b) Для круглого основания используется материал, цена 1 которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?

Решение: а) По условию задачи объем равен 250 Эти данные дают нам возможность найти зависимость между и

Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении где функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции

Критическая точка функции: При имеем при

Значит,

Подставим значение в формулу для высоты получим

Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами и

Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными

На этой странице вы узнаете

• Где проходит граница между теплом и холодом? 
• Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
• Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье. 

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям. 

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции. 

Возьмем график произвольной функции. 

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным. 

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт. 

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума. 

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке. 

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум. 

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х. 

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан 

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х. 

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график. 

Вспомним, что:

• производная положительна на промежутках возрастания функции;
• производная отрицательна на промежутках убывания функции. 

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются. 

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у. 

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней. 

Подведем итоги:

• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной. 

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

• В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума. 
• На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать. 
• На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать. 

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания. 

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки. 

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Ответ: 2

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2. 

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Ответ: -2

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию. 

F'(x) = f(x)

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются. 

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу. 

	Было	Взяли производную	Стало
Функция и производная	f(x)	f'(x)	f'(x)
Функция и первообразная	F(x)	F'(x)	f(x)

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной. 

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров. 

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? 

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x). 

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным. 

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.  

Ответ: 3. 

Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4]. 

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума. 

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0. 

Ответ: 9

Фактчек

• Графики функции, производной и первообразной связаны между собой. 
• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 
• Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

1. На промежутках убывания функции.
2. На промежутках возрастания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 2. 
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

1. На промежутках возрастания функции.
2. На промежутках убывания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 3. 
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)? 

1. Точка максимума функции.
2. Точка минимума функции.
3. Любая произвольная точка на функции.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 4. 
Выберите верный вариант:

1. F(x) = f'(x)
2. F(x) = f(x)
3. F'(x) = f'(x)
4. F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4