Прямоугольник с разными сторонами как найти площадь

Сегодня клоун Бим и дрессировщик Бом вместе с ребятами применяют на практике знания, как найти площадь для прямоугольника с разными сторонами.

Площадь фигуры — это размер куска плоскости внутри границ фигуры, измеренный в единицах измерения площади.

Единицы измерения площади — это площади квадратов, у которых стороны равны либо единице измерения длины, либо 10 м, либо 100 м: 1 кв.мм (квадрат со стороной 1 мм), 1 кв.см (квадрат со стороной 1 см), 1 кв.дм (квадрат со стороной 1 дм), 1 кв.м (квадрат со стороной 1 м), 1 кв.км (квадрат со стороной 1 км), 1 ар (квадрат со сторонами 10 м), 1 га (квадрат со стороной 100 м).

Определение. Площадь прямоугольника — это размер куска плоскости, лежащего внутри границ прямоугольника.

Правило. Для вычисления площади прямоугольника (с разными сторонами), если известны длины его сторон, достаточно перемножить длины двух прилежащих сторон. Результат записывается в единицах измерения площади. При необходимости результат укрупняют или раздробляют (см. Статью о переводе из одной единицы измерения площади в другую).

Содержание статьи:

Площадь — это?

Площадь любого куска плоскости (фигуры)— это размер этого куска плоскости (куска плоскости внутри границ фигуры), измеренный в единицах измерения площади.

Бим и Бом пришли на работу в цирк пораньше. Бим зашел к Бому в гримерку.

— Привет, Бим!

— Привет, Бом!

— У нашей Буфетчицы сегодня день рождения. Я купил очень вкусных конфет, только вот упаковка видишь какая длинная. У тебя есть какая-нибудь красивая коробка, куда мы можем сложить конфеты и подарить Буфетчице?

— У меня много разных красивых коробочек. Но как мы узнаем, какая из них подходит, чтобы вместились все конфеты и было красиво?

Бом и Бим задумались.

— Ура!!! Придумал, — нашелся Бим. — У каждой коробки есть плоское донышко. Давай вычислим площади донышек у каждой коробки, то есть измерим площадь донышек в единицах измерения площади — квадратных сантиметрах.

— Тогда найдем, какая коробка подходит больше всего, — подхватил Бом. — Начнем с упаковки, где лежат конфеты. У упаковки донышко в виде прямоугольника. Значит, достаточно измерить длины короткой и длинной стороны.

— А чем будем измерять? — задумался Бим.

— Сейчас поищу, — ответил Бом. — Вот у меня есть сантиметр, линейка и листочек в клеточку.

— Дай, пожалуйста, мне листочек в клеточку, — попросил Бом. — Я проверю, что донышко упаковки — прямоугольник.

Как найти площадь прямоугольника с разными сторонами. Площадь прямоугольника — это?

Определение. Площадь прямоугольника — это размер куска плоскости, лежащего внутри границ прямоугольника.

Правило. Для вычисления площади прямоугольника, если известны длины его сторон, достаточно перемножить длины двух прилежащих сторон. Результат записывается в единицах измерения площади. При необходимости результат можно укрупнить или раздробить (см. Статью о переводе из одной единицы измерения площади в другую).

Бим приложил листочек к углам донышка упаковки.

— Проверил: у упаковки четыре угла, и все они — прямые. Тогда донышко упаковки — прямоугольник.

Бом начал читать свои записи:

“Площадь прямоугольника — это размер куска плоскости, лежащего внутри границ прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника (с разными сторонами), если известны длины его сторон? Достаточно перемножить длины двух прилежащих сторон. Результат записывается в единицах измерения площади”.

— Теперь надо измерить длины двух сторон. Упаковка — длинная, тогда лучше взять сантиметр.

Бим измерил упаковку.

— Короткая сторона 8 см, длинная — 72 см. Вспоминаем, что для вычисления площади прямоугольника надо длину одной стороны умножить на длину прилежащей стороны. Умножаем:

72 х 8 =576 кв.см (см2).

— Сейчас принесу из подсобки коробки, которые у меня есть, — побежал Бом.

И — надо же! — по дороге Бом встретил Олю, Колю и Васю, которые пришли пораньше на представление.

— Ребята, как хорошо, что вы здесь! Идемте, поможете нам с Бимом подобрать Буфетчице на день рождения коробку.

Бом достал из подсобки коробки, и они все вместе вернулись к Биму.

— Ребята, мы с Бимом измерили площадь упаковки конфет, которые мы хотим переложить в более красивую коробку. Красиво сложим и подарим Буфетчице на день рождения, — объяснил Бим.

— Давайте вычислим площадь донышка каждой коробки, — предложил Вася. — В коробку, у которой площадь донышка равна площади донышка упаковки, мы переложим конфеты.

— Как здорово, что Бом принес все коробки, донышки у которых имеют вид прямоугольника! — обрадовался Коля. — Как найти площадь прямоугольника с разными сторонами? Надо измерить длины двух прилежащих сторон в одинаковых единицах измерения длины и их перемножить, — получим площадь прямоугольника в единицах измерения площади. Для коробок удобнее всего измерять длины сторон в сантиметрах, а площадь самих прямоугольников уже будет в квадратных сантиметрах. Оля, давай проверим, что донышки коробок — прямоугольники.

Коля и Оля взяли листочек в клеточку и с помощью него проверили, что у донышек все углы прямые.

Затем Коля, Вася и Оля вооружились листочком в клеточку, линейкой и сантиметровой лентой и измерили в сантиметрах длины прилежащих сторон донышек коробок.

Первым управился Коля:

— У меня большая сторона 36 сантиметров и короткая 16 сантиметров. Получаем площадь моей коробки

36 х 16 = 576 (кв.см).

Следующим был Вася:

— У меня длина коробки 30 см, а ширина — 20 см. Для вычисления площади коробки надо длину умножить на ширину прямоугольника. Получаем:

30 х 20 = 600 (кв.см)

Оля измеряла тщательнее всех, ведь у нее коробка была похожа на квадрат. Но надо было убедиться, точно ли у этой коробки равны обе стороны. Так и оказалось:

— У меня прилежащие стороны одинаковые по длине, обе равны 24 см. Перемножаем длины двух прилежащих сторон, получаем: 24 х 24 = 576 (кв.см).

— Тогда у нас выходят 3 коробки с одинаковыми площадями донышек — у упаковки, — подытожил Бом:

8 х 72 = 576 (кв.см), —

и еще у двух коробок

16 х 36 = 576 (кв.см),

24 х 24 = 576 (кв.см),

а также одна коробка  площадью больше, чем у упаковки

30 х 20 = 600 (кв.см).

— Какую же коробку выбрать? — озадаченно спросил Бим.

— Давай возьмем в виде квадрата, посмотрите какая здесь красивая крышка! — решил Бом.

Ребята выложили конфеты из упаковки в коробку.

— Ага, — посмотрел Бом. — получились три ряда. Какая же площадь донышка одного ряда? Длина ряда 24 см, ширина — 8 см. Значит площадь донышка одного ряда равна:

24 х 8 = 192 (кв.см).

Всего три одинаковых ряда

192 х 3 = 576 (кв.см).

Ура! Все совпадает!

Бим, все же, спросил:

— Сейчас мы измеряли площадь в квадратных сантиметрах. А какие еще есть единицы измерения площади?

Единицы измерения площади

Единицы измерения площади — это площадь квадратов, у которых стороны равны либо единице измерения длины, либо 10 м, либо 100 м: 1 кв.мм (квадрат со стороной 1 мм), 1 кв.см (квадрат со стороной 1 см), 1 кв.дм (квадрат со стороной 1 дм), 1 кв.м (квадрат со стороной 1 м), 1 кв.км (квадрат со стороной 1 км), 1 ар (квадрат со сторонами 10 м), 1 га (квадрат со стороной 100 м). (См. статью “Единицы измерения площади”)

В каких единицах измерения площади мы можем записать площадь донышка одного ряда? — продолжил вопрос Бим.

Оля ответила сразу:

— Если мы будем укрупнять, то в дециметрах и сантиметрах.

576 кв.см = 5 кв.дм 76 кв.см

— А если мы будем раздроблять — в миллиметрах, — добавил Коля. —

576 кв.см =576 х 100 (кв.мм).

А еще единицы измерения площади 1 кв.м (квадрат со стороною 1 м), 1 кв.км (квадрат со стороной 1 км), 1 ар (квадрат со сторонами 10 м), 1 га (квадрат со стороной 100 м).

— Теперь я подпишу открытку. У меня красивый артистический почерк, — вызвался Бом.

— Хорошо, Бом. А мы с ребятами составим вопросы и ответы на них, — согласился Бим.

— Первый вопрос: Что называется площадью? — начал Вася.

— Второй вопрос: Дайте определение прямоугольника. — продолжил Коля. —

И третий вопрос: Что такое площадь прямоугольника?

— Четвертый вопрос: Как найти площадь прямоугольника (с разными сторонами)? — закончила Оля.

— И еще один, пятый, вопрос: Какие вы знаете единицы измерения площади? — добавил Бим.

Теперь я запишу ответы для проверки, — продолжил клоун:

1.      Площадь — это размер куска плоскости внутри фигуры.

2.      Прямоугольник — это фигура с 4-мя прямыми углами и с замкнутой границей из четырех отрезков.

3.      Площадь прямоугольника — это площадь куска плоскости внутри границ прямоугольника.

4.      Как найти площадь прямоугольника? Для нахождения площади прямоугольника перемножаются длины двух прилежащих сторон. Результат записывается в единицах измерения площади.

5.      Единицы измерения площади — это площади квадратов, у которых стороны равны либо единице измерения длины, либо 10 м, либо 100 м: 1 кв.мм (квадрат со стороной 1 мм), 1 кв.см (квадрат со стороной 1 см), 1 кв.дм (квадрат со стороной 1 дм), 1 кв.м (квадрат со стороной 1 м), 1 кв.км (квадрат со стороной 1 км), 1 ар (квадрат со сторонами 10 м), 1 га (квадрат со стороной 100 м).

Итог подвел Бом:

— Мы сегодня узнали :

• что такое площадь
• что такое площадь прямоугольника
• как найти площадь прямоугольника
• единицы измерения площади.

Всем спасибо за помощь.

Заключение

Итак, теперь мы знаем ответ на вопрос: Как найти площадь прямоугольника с разными сторонами. А вам приходилось дарить конфеты в коробочках? Как видим, можно, в случае чего, упаковать подарок более изящно, а заодно — и математику повторить.

Идея необычной подачи материала принадлежит замечательному преподавателю математики Стуловой Лилии Валериевне.

Ждём Ваши оценки и комментарии!)))

Выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.

1. Если известны две соседние стороны

Просто перемножьте две стороны прямоугольника.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a и b — соседние стороны.

2. Если известны любая сторона и диагональ

Найдите квадраты диагонали и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте длину известной стороны на полученное число.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a — известная сторона;
• d — любая диагональ (напомним: обе диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину).

3. Если известны любая сторона и диаметр описанной окружности

Найдите квадраты диаметра и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте известную сторону на полученное число.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a — известная сторона;
• D — диаметр описанной окружности.

4. Если известны любая сторона и радиус описанной окружности

Найдите квадрат радиуса и умножьте результат на 4.

Отнимите от полученного числа квадрат известной стороны.

Найдите корень из результата и умножьте на него длину известной стороны.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a — известная сторона;
• R — радиус описанной окружности.

5. Если известны любая сторона и периметр

Умножьте периметр на длину известной стороны.

Найдите квадрат известной стороны и умножьте полученное число на 2.

От первого произведения отнимите второе и разделите результат на 2.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a — известная сторона;
• P — периметр прямоугольника (равен сумме всех сторон).

6. Если известны диагональ и угол между диагоналями

Найдите квадрат диагонали.

Разделите полученное число на 2.

Умножьте результат на синус угла между диагоналями.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• d — любая диагональ прямоугольника;
• α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

7. Если известны радиус описанной окружности и угол между диагоналями

Найдите квадрат радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Умножьте полученное число на 2, а потом на синус угла между диагоналями.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• R — радиус описанной окружности;
• α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

Читайте также 🎓❓📐

• ТЕСТ:​ ​​Умеете ли вы считать в уме?
• Как легко и быстро считать проценты в уме
• Как найти площадь любого треугольника
• ТЕСТ: Сколько центнеров в тонне? А сантиметров в дециметре? Проверьте, умеете ли вы переводить единицы измерения
• Как освоить устный счёт школьникам и взрослым

Вы наверное имели ввиду произвольный четырёхугольник с разными сторонами. Ибо прямоугольник – четырёхугольник, все внутренние углы которого всегда равны 90 градусам, а противоположные стороны попарно равны и параллельны (если все стороны равны, то это уже квадрат).

Площадь произвольного треугольника можно вычислить двумя способами, в зависимости от начальных данных, которыми мы располагаем.

1) Для этого нам нужно знать длины диагоналей и размер острого угла между ними.

Формула: S=d¹d²sina/2 – площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей и острого угла.

2) Если известны все стороны четырёхугольника, можно вычислить площадь через полупериметр.

Полупериметр четырёхугольника находим следующим образом: p=(a+b+c+d)/2- полупериметр четырёхугольника равен полусумме всех его сторон (a,b,c,d).

S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p­-d) – площадь четырехугольника равна корню из произведения разности полупериметра с каждой из его сторон.

Рассчитать площадь прямоугольника с подробным решением. Калькулятор находит площадь по формуле через длину и ширину прямоугольника. Основные способы и объяснение формул, по которым вы сможете самостоятельно решить свои задачи.

Онлайн-калькулятор площади прямоугольника

Вначале давайте разберемся с определением. У прямоугольника есть 4 стороны. Каждая сторона равна противоположной и параллельна ей. Здесь важно понимать, что все 4 стороны не могут быть равны, иначе получится квадрат. В прямоугольнике будут 2 одинаковые стороны одной длины и 2 одинаковые другой.

Все 4 угла, находящиеся внутри прямоугольника, — прямые. То есть каждый угол равен 90°.

Формула площади прямоугольника через его стороны

Чтобы найти площадь SS прямоугольника, нужно перемножить две его стороны: сторону aa умножаем на сторону bb.

S=a⋅b.S = a cdot b.

Пример

У нас есть прямоугольник ABCDABCD. Одна его сторона ABAB равна 55 см, вторая BCBC равна 33 см. Нам нужно найти его площадь SS.

Решение:

Чтобы найти площадь SS, нужно умножить сторону ABAB на сторону BCBC и получаем: S=5⋅3S = 5 cdot 3.

Ответ: S=15S = 15 см².

Формула площади прямоугольника через диагонали

Площадь прямоугольника можно также рассчитать, зная длину диагоналей и острый угол между ними:

S=12d2sin⁡α.S = frac {1}{2}d^2 sin alpha.

Помним, длины диагоналей в прямоугольнике равны и при пересечении делятся пополам.

Пример

Дан прямоугольник ABCDABCD. Его диагональ ACAC равна 88 см, а острый угол между диагоналями 30°30°. Найдите площадь фигуры.

Используем приведенную выше формулу и получаем:
S=12⋅82⋅sin⁡30∘=12⋅64⋅12=644=16S = frac{1}{2} cdot 8^2 cdot sin 30^{circ} = frac{1}{2} cdot 64 cdot frac{1}{2} = frac{64}{4} = 16

Ответ: S=16S = 16 см².

Не знаете, как решить задачу по геометрии онлайн? Оформите заказ на Студворк!

Тест по теме «Площадь прямоугольника»