Прямоугольный треугольник как найти стороны формула

Прямоугольный треугольник как найти стороны формула

Как найти стороны прямоугольного треугольника

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Геометрия
  6. /
  7. Как найти стороны прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Прямоугольный треугольник

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =

0

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = a² + b²

следовательно: c = √a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Прилежащий угол (β или α) =
Гипотенуза c =

0

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

c = a/cos(β) = b/cos(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Противолежащий угол (α или β) =
Гипотенуза c =

0

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

c = a/sin(α) = b/sin(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Гипотенуза c =
Катет (известный) =
Катет (искомый) =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула

a = √c² – b²

b = √c² – a²

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Гипотенуза c =
Угол (прилежащий катету) = °
Катет =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула

a = c ⋅ cos(β)

b = c ⋅ cos(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Гипотенуза c =
Угол (противолежащий катету) = °
Катет =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула

a = c ⋅ sin(α)

b = c ⋅ sin(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (известный) =
Угол (прилежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула

a = b ⋅ tg(α)

b = a ⋅ tg(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (известный) =
Угол (противолежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =

0

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула

a = b / tg(β)

b = a / tg(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

a = 3 / tg(35) ≈ 3 / 0.7 ≈ 4.28 см

См. также

Источник

Все формулы сторон прямоугольного треугольника

Как найти,

гипотенузу или катеты в прямоугольном треугольнике.

Формулы для прямоугольного треугольника

a, b – катеты

c – гипотенуза

α, β – острые углы

Формулы для катета, (a):

Формулы катета прямоугольного треугольника

Формулы для катета, (b):

Формулы катета прямоугольного треугольника

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы гипотенузы прямоугольного треугольника

формула гипотенузы прямоугольного треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 12 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

  • Сторона прямоугольного треугольника

    В прямоугольном треугольнике стороны связаны между собой наиболее тесным образом. Помимо теоремы Пифагора, которая позволяет найти катет или найти гипотенузу, зная две другие стороны, в прямоугольном треугольнике можно использовать также функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, если известна только одна сторона и любой угол, кроме прямого.

    По теореме Пифагора, для того чтобы вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. Катетами считаются стороны a и b, образующие друг с другом прямой угол, а гипотенузой – сторона, лежащая напротив него.

    Гипотенуза всегда будет длиннее суммы катетов, поэтому в формуле для ее вычисления также будет сумма, а в формуле для нахождения катетов будет разность.

Источник

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

  1. Найти все стороны треугольника.
  2. Найти все углы треугольника.
  3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
  4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
  5. Найти радиус (R) описанной окружности.
  6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними



где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании



где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними



где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании



где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь



где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту



где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности



где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности



где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)



где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)



где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

Прямоугольный треугольник

Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть 90 градусов).

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

Связанные определения[править | править код]

  • Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
  • Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.

Типы прямоугольных треугольников[править | править код]

  • Если катеты равны, то треугольник называется равнобедренным прямоугольным треугольником.
  • Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

Признаки равенства прямоугольных треугольников[править | править код]

  • По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак немедленно следует из первого признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равны по два катета и прямой угол.
  • По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
    Этот признак немедленно следует из второго признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равен один катет, прилежащий к нему угол и прямой угол.
  • По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак следует из второго признака равенства треугольников, так как вторые острые углы будут равны по теореме о сумме углов треугольника и у треугольников будут равны гипотенузы и два прилежащих к ней угла.
  • По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак докажем так. Наложим два треугольника друг на друга так, чтобы получить равнобедренный треугольник, то есть совместим их равными катетами так, чтобы углы, лежащие при этих катетах, лежали в разных плоскостях. Так как гипотенузы равны, получившийся треугольник — равнобедренный, тогда углы при основании равны. Тогда два прямоугольных треугольника будут равны по гипотенузе и острому углу.
  • По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак доказывается так: если один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго треугольника, то второй острый угол будет известен по теореме о сумме углов треугольника. Так как второй острый угол прилегает к катету, то далее равенство треугольников будет доказываться по предыдущей теореме.

Свойства[править | править код]

Далее предполагаем, что a и b длины катетов, а c длина гипотенузы

  • (Теорема Пифагора)
    c^{2}=a^{2}+b^{2}
  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,
    S={tfrac {1}{2}}ab.

Высота[править | править код]

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:[1]

  • Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть
displaystyle f^{2}=de, (иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)
  • Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть
displaystyle b^{2}=ce,
displaystyle a^{2}=cd
  • В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть
displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},

Кроме того, высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:[2][3]

{displaystyle {dfrac {1}{a^{2}}}+{frac {1}{b^{2}}}={dfrac {1}{f^{2}}}.}

и

{displaystyle f={dfrac {ab}{c}}.}

Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

f=rdelta _{S} =r(1+{sqrt {2}}), где r — это радиус вписанной окружности, а delta _{S} — серебряное сечение.

Характеристики[править | править код]

Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из следующих соотношений:[4]

Тригонометрические соотношения[править | править код]

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

sin alpha ={frac {a}{c}},,cos alpha ={frac {b}{c}},,operatorname {tg} alpha ={frac {a}{b}},,operatorname {ctg} alpha ={frac {b}{a}},sec alpha ={frac {c}{b}},,,csc alpha ={frac {c}{a}}.

И таким образом:

  • Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла
a=ccdot sin alpha ,,b=ccdot sin beta .
  • Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла
a=ccdot cos beta ,,b=ccdot cos alpha .
  • Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла
a=bcdot operatorname {tg} alpha ,,b=acdot operatorname {tg} beta .
  • Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла
a=bcdot operatorname {ctg} beta ,,b=acdot operatorname {ctg} alpha .
  • Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними)
c={frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {a}{cos beta }}={frac {b}{cos alpha }}.

Специальные прямоугольные треугольники[править | править код]

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и треугольник 45-45-90 (равнобедренный прямоугольный), который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4.
В частности,

  • Катет, лежащий против острого угла в 30° (и соответственно, прилежащий к углу в 60°), равен половине гипотенузы.

Теорема Фалеса[править | править код]

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

Другие свойства[править | править код]

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

r={frac {a+b-c}{2}}={frac {ab}{a+b+c}}.

Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:[5]:pp. 216-217

p^{2}+q^{2}=5left({frac {c}{3}}right)^{2}.

Прямоугольный треугольник является единственным треугольником с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.[6]

Пусть h и s (h>s) являются сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:

{frac {1}{c^{2}}}+{frac {1}{h^{2}}}={frac {1}{s^{2}}}.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырёх описанных окружностей:

{displaystyle P=2r+4R}

Если заданы S и r, то стороны треугольника находятся по формулам:

{displaystyle a={frac {1}{2}}left(r+{frac {S}{r}}-{sqrt {r^{2}-6S+{frac {S^{2}}{r^{2}}}}}right)}
{displaystyle b={frac {1}{2}}left(r+{frac {S}{r}}+{sqrt {r^{2}-6S+{frac {S^{2}}{r^{2}}}}}right)}
{displaystyle c={frac {S}{r}}-r}

Еще важное соотношение:

{displaystyle a={frac {l_{b}}{4c}},left({l_{b}+{sqrt {8,c^{2}+l_{b}^{2}}}}right),,,} , где {displaystyle l_{b},} – длина биссектрисы, исходящей из острого угла B, с – гипотенуза.

Во всех прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Окружность девяти точек касается описанной окружности того же треугольника в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идёт в вершине прямого угла треугольника.

Вариации и обобщение[править | править код]

  • Четырёхугольники с перпендикулярными парами элементов: с 2 перпендикулярными сторонами и с 2 перпендикулярными диагоналями,- вырождаются в прямоугольный треугольник, если длина одной нужной стороны (из их 4 сторон), лежащей вблизи прямого угла или же опирающейся концами на этот угол, стремится к нулю.
  • Если в прямоугольном треугольнике провести отрезок, параллельный его гипотенузе, то он разрежет этот треугольник на подобный ему же прямоугольный треугольник и трапецию. При этом сумма углов при одном из оснований трапеции будет равна 90°, а продолжения боковых сторон трапеции пересекутся под прямым углом. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований указанной трапеции, равен полуразности оснований. Данное утверждение обобщает свойство: медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине длины гипотенузы.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Wentworth p. 156
  2. ↑ Voles, Roger, «Integer solutions of a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}},» Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.
  3. ↑ Richinick, Jennifer, “The upside-down Pythagorean Theorem, ” Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317.
  4. ↑ Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, «Complex Numbers from A to…Z», Birkhäuser, 2006, pp. 109—110.
  5. ↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
  6. ↑ Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.

Ссылки[править | править код]

  • Calculator for right triangles
  • Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Wentworth, G.A. A Text-Book of Geometry (неопр.). — Ginn & Co., 1895.
Источник

Добавить комментарий