Расстояние между концами проекций как найти

Главная » Геометрия – 5 – 9 классы

Найти расстояние между концами проекций наклонных.

Ответ №1

Проекция наклонных на плоскость.

Ответ №2

Ответ: во вложении Объяснение:

Оцените статью

Добавить комментарий

Имя *

Email *

Сайт

Комментарий

Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.

jumetam854

jumetam854

Вопрос по геометрии:

Проекции наклонных AD и DC на плоскости α равны соответственно 3 см и 5 см, а угол между ними равен 60°. Вычисли расстояние между концами проекций наклонных.

Изображение к вопросу

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок – бесплатно!

Ответы и объяснения 1

qutserea465

qutserea465

Соедини концы наклонных, получится треугольник, стороны которого 3 см и 5 см, а угол между ними 60°.
 АС ищем по теореме косинусов:
АС² =АВ² + ВС² – 2*АВ*ВС*cosB = 9+25 – 2*3*5* 1/2   = 19.
AC =√19.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Гость

Гость ?

Как написать хороший ответ?

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
    правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
    побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и
    пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
    уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
    знаю» и так далее;
  • Использовать мат – это неуважительно по отношению к
    пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи –
смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Содержание:

В планиметрии угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки – вершины угла (лучи – стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные – дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – угол между скрещивающимися прямыми Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения то углом между прямыми Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения будет угол между прямыми Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, где Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.1,6).

Итак,Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения
Если Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, то Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.
 

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и плоскостью Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

  1. выбирают точку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения;
  2. проводят из точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения перпендикуляр к плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решенияУглы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения;
  3. проводят через точки плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения прямую Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.

Прямую Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения называют проекцией прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения на плоскость Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решенияа.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения перпендикулярна Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то – 0°.
Угол между прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и плоскостью Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения обозначают Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения или Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения или Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Читают: «угол между прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и плоскостью Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения».
 

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.
 

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, напримерУглы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями – это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.3).

Если линейный угол – 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.
 

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Доказательство:

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Выберем точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.4), принадлежащие прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – линии пересечения плоскостей Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, – и построим два линейных угла для плоскостей Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Для этого проведем плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, которые пересекут плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения по прямым Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Прямые Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения лежат в плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и перпендикулярны прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, значит Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Если к плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения применить параллельный перенос, который переводит точку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения в точку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, то прямая Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения совпадет с прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, а прямая Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения — с прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения совпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.
 

Пример №1

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения см. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – отрезок,Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решенияУглы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения
Найти: углы, образованные отрезком Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения с плоскостями Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – проекции точек Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения на плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения соответственно. Поскольку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (или Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения) – прямая пересечения этих плоскостей, то Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.
Итак, Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – прямоугольные, у которых: Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (по условию).
Из Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решенияУглы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения
Из Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решенияУглы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения
Ответ. 30°; 45°.
 

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений: Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения называется длина отрезка Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.14). Расстояние от точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения до прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения равно длине перпендикуляра Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения с концами в точке Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и произвольной точке Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения прямой, отличной от Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, – наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой – это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим плоскость Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и точку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения до плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения следует выбрать длину перпендикуляра Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, где Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – произвольная точка плоскости, отличная от Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, будут наклонными и поэтому их длина больше чем Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Расстояние от точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения до отрезка Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения из точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения к прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения; 2) если основание Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения этого перпендикуляра принадлежит данному отрезку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, то искомое расстояние равно длине отрезка Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения или Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (в зависимости от того, какая из точек – Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения или Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – лежит ближе к точке Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения равны между собой, а каждый отрезок с концами Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения на данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.
 

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.
 

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Доказательство:

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Пусть имеем две параллельные плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, проведенный из произвольной точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения одной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения параллельных плоскостейУглы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения параллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения с концами в данных плоскостях Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.

А это вытекает из того, что перпендикуляр Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, к плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения меньше наклонной Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения к этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека – от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Доказательство:

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, пусть Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, соответственно параллельные Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, так, что прямая Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения пересекается с прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, а прямая Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Через прямые Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения которые попарно пересекаются, проводим плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.
Плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – параллельные. Произвольные прямые Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, которые пересекают прямую Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и перпендикулярны плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, лежат в одной плоскости. Назовем ее Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Эта плоскость пересекает плоскость Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения по прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, параллельной Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Пусть точка Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – точка пересечения прямых Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и некой прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, а точка Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – точка пересечения той же прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Тогда прямая Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, перпендикулярная плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, перпендикулярна и плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, поскольку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда вытекает, что Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.

Отрезок Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – общий перпендикуляр к плоскостям Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, а следовательно, и к прямым Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Докажем, что он единственный. Пусть прямые Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения имеют другой общий перпендикуляр Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Проведем через точку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения прямую Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, параллельную Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Прямая Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения перпендикулярна прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, а следовательно, и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.

Поскольку она перпендикулярна прямым Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения иУглы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, которые проходят через точку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, то она перпендикулярна плоскости Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения параллельна прямой Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Имеем, что через прямые Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.
 

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
 

Пример №2

Отрезок Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения перпендикулярен плоскости треугольника Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, стороны Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения которого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения до стороны Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, если Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.
 

Решение:

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – высота данного остроугольного треугольника Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и длина Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения будет расстоянием от точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения до стороны Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Определим ее из прямоугольного треугольника Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (поскольку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения), то Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения). Для этого предварительно найдем Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.

Из формулы для площади треугольника Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.
Необходимую площадь определим по формуле Герона: Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения
Тогда Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения иУглы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 20 см.

Пример №3

Прямая Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения перпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Докажите, что расстояния от точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения до всех сторон ромба равны между собой.

Доказательство:

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – ромб и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – центр вписанной в ромб окружности. Пусть Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – точки касания сторон к окружности. Тогда Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, то по теореме о трех перпендикулярах Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Итак, Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – расстояния от точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения до сторон ромба. Из равенства треугольников Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения вытекает, что Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. Ч.т.д.

Пример №4

Точка Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения не лежит в плоскости прямоугольного треугольника Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и находится на расстояниях Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения от прямых, содержащих катеты Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.23). Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения -прямоугольник.
 

Доказательство:

Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку отрезки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – расстояния от точки Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения соответственно до прямых Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, то Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения. По условию Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – проекции наклонных Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения на плоскость Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения и Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения (по теореме о трех перпендикулярах). Однако Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения по условию, поэтому Углы и расстояния в пространстве - определение и вычисление с примерами решения – прямоугольник. Ч.т.д.

  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и  теорема косинусов
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы

Теория

1. Перпендикуляр и наклонная
2. Теорема о трёх перпендикулярах

Задания

1. Проекция наклонной

Сложность:
среднее

1

2. Расстояние от точки до плоскости

Сложность:
среднее

2

3. Расстояние от точки до плоскости

Сложность:
среднее

2

4. Наклонные

Сложность:
среднее

3

5. Сравнение проекций наклонных

Сложность:
среднее

1

6. Угол между наклонной и плоскостью

Сложность:
среднее

3

7. Расстояние между концами проекций

Сложность:
среднее

4

8. Теорема о трёх перпендикулярах, расстояние от точки до стороны треугольника

Сложность:
среднее

5

9. Теорема о трёх перпендикулярах, прямоугольный треугольник

Сложность:
среднее

4

10. Свойство точки на одинаковых расстояниях от вершин фигуры

Сложность:
сложное

2

Тесты

1. Тренировка по теме Определение перпендикуляра, наклонной. Теорема о трёх перпендикулярах

Сложность: среднее

13

Материалы для учителей

1. Методическое описание

Добавить комментарий