Равномерное распределение как найти дисперсию - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 12 октября 2020 года; проверки требуют 5 правок.

Непрерывное равномерное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры	, — коэффициент сдвига, — коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности	${displaystyle {begin{matrix}{dfrac {1}{b-a}}&aleqslant xleqslant b\\0& x<a , x>bend{matrix}}}$
Функция распределения	${displaystyle {begin{matrix}0&x<a\{dfrac {x-a}{b-a}}&~~~~~aleqslant x<b\1&xgeqslant bend{matrix}}}$
Математическое ожидание	${frac {a+b}{2}}$
Медиана	${frac {a+b}{2}}$
Мода	любое число из отрезка
Дисперсия	${frac {(b-a)^{2}}{12}}$
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса	$-{frac {6}{5}}$
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов	${frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(b-a)}}$
Характеристическая функция	${frac {e^{{itb}}-e^{{ita}}}{it(b-a)}}$

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие некоторому промежутку конечной длины, характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом промежутке почти всюду постоянна.

Определение[править | править код]

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b] , где , если её плотность $f_{X}(x)$ имеет вид:

${displaystyle f_{X}(x)=left{{begin{matrix}{dfrac {1}{b-a}},&xin [a,b]\0,&xnot in [a,b]end{matrix}}right..}$

Пишут: . Иногда значения плотности в граничных точках x=a и x=b меняют на другие, например или ${displaystyle {frac {1}{2(b-a)}}}$ . Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

Функция распределения[править | править код]

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

${displaystyle F_{X}(x)equiv mathbb {P} (Xleqslant x)=left{{begin{matrix}0,&x<a\{dfrac {x-a}{b-a}},&aleqslant x<b\1,&xgeqslant bend{matrix}}right..}$

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка [a,b] , то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

${frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),;forall xin mathbb{R} setminus {a,b}$

Производящая функция моментов[править | править код]

Простым интегрированием получаем производящую функцию моментов:

$M_{X}(t)={frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(b-a)}}$

откуда находим все интересующие моменты непрерывного равномерного распределения:

${mathbb {E}}left[Xright]={frac {a+b}{2}}$

${mathbb {E}}left[X^{2}right]={frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}$

${displaystyle operatorname {D} left[Xright]={frac {(b-a)^{2}}{12}}}$

Вообще,

${mathbb {E}}left[X^{n}right]={frac {1}{n+1}}sum limits _{{k=0}}^{n}{a^{k}b^{{n-k}}}={frac {b^{{n+1}}-a^{{n+1}}}{(b-a)(n+1)}}$

Стандартное равномерное распределение[править | править код]

Если a=0 и b=1 , то есть , то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным.

Имеет место элементарное утверждение:

Если случайная величина

, то

{displaystyle Ysim U[min(a,b),max(a,b)]}

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, можно построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования. Поэтому стандартно равномерно распределённые случайные величины иногда называют базовыми случайными величинами.

Существуют также частные преобразования, позволяющие на основе равномерного распределения получить случайные распределения другого вида. Так, например, для получения нормального распределения служит преобразование Бокса — Мюллера.

См. также[править | править код]

Дискретное равномерное распределение;
Метод обратного преобразования.

Источник

Равномерное случайное распределение

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, если на интервале

, которому принадлежат все возможные
значения

, плотность сохраняет постоянное значение.

Функция распределения
равномерного закона:

Числовые характеристики равномерного распределения

Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины:

Дисперсия
равномерного случайного
распределения:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной равномерно:

Для равномерного распределения коэффициент асимметрии:

Коэффициент эксцесса

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится
сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Кроме равномерного, основные законы распределения непрерывных случайных величин:

Смежные темы решебника:

Непрерывная случайная величина
Нормальный закон распределения случайной величины
Экспоненциальный (показательный) закон распределения случайной величины

Примеры решения задач

Пример 1

Все
значения равномерно распределенной случайной величины X лежат на отрезке [2;8].
Найти вероятность попадания случайной величины X в промежуток (1;5).

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Плотность вероятности
равномерного распределения на интервале

Искомая вероятность:

Ответ:

Пример 2

Случайная
величина X равномерно распределена на интервале (2;7). Составить f(x), F(x),
построить графики. Найти M(X), D(X).

Решение

Плотность
вероятности случайной величины, распределенной равномерно на интервале

В нашем
случае

Получаем:

Функцию
распределения

найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

, сразу можем
отметить, что:

Остается
найти выражение для

, когда х принадлежит интервалу

Получаем:

Построим
графики:

График плотности распределения

График функции распределения

Математическое
ожидание величины, распределенной равномерно:

Дисперсия:

Среднее
квадратическое отклонение:

Пример 3

Минутная
стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти
вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается
от истинного не более чем на 20 с.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Плотность
равномерного распределения:

Вероятность
того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от
истинного не более чем на 20 с:

Ответ:

Пример 4

Пассажир
метро в случайный момент времени приходит на платформу. Известно, что среднее
квадратическое отклонение времени ожидания поезда равно 0,8 мин. Найти интервал
времени следования поездов в метро.

Решение

Дисперсия
равномерного распределения:

при
начале интервала

Искомый
интервал времени:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Случайные
величины X₂, X₃, X₄ имеют равномерное,
показательное и нормальное распределения соответственно. Найти вероятности
P(3<X_i<6), если у этих случайных величин
математические ожидания и средние квадратические отклонения равны 3.

Задача 2

Постройте
интегральную и дифференциальную функции распределения случайной величины X.
Найдите M(X), D(X),σ, x_mod, x_med, если известно, что
случайная величина X имеет равномерное распределение с параметрами a=2 и b=4.

Задача 3

Найти: M(X) НСВ X,
распределенной равномерно в интервале (1;9); функцию распределения F(x) и
функцию плотности вероятности f(x); вероятность попадания
НСВ X в интервал (2;7).

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

Непрерывная случайная величина X равномерно распределена на сегменте [1; 8.5].

Найти:

1) дифференциальную и интегральную
функцию распределения, а также построить их графики.

2) математическое ожидание и
дисперсию;

2) вероятность того, что X примет какое-нибудь значение из интервала (1;20).

Задача 5

Интервал движения парома 3 часа.
Найти: а) числовые характеристики времени ожидания для случайного пассажира; б)
вероятность времени ожидания менее 40 минут.

Задача 6

Равномерно распределенная случайная
величина

задана
плотностью распределения f(x)=0.125 в интервале (1;9) и f(x)=0 вне его.
Найти M(X), D(X), σ(X).

Задача 7

Случайная
величина X равномерно распределена на отрезке [5;11]. Найдите
математическое ожидание X, дисперсию X,
медиану, P(7<X<15), x_0.2.

Задача 8

Случайная
величина

равномерно распределена на отрезке [-1;9].
Запишите функцию плотности распределения, изобразите ее график. Найдите
вероятность того, что X примет значение в
интервале (-3;2). Найдите математическое ожидание X и медиану. Укажите
найденные значения на графике f(x).

Задача 9

Вычислить
вероятность того, что при 10 испытаниях значение X три раза попадет в
интервал [-1;1], если случайная величина X распределена по
равномерному закону на интервале [0;4].

Задача 10

Трамваи
данного маршрута идут с интервалом в 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной
остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не
ранее чем через 1 мин после ухода предыдущего трамвая, но не позднее чем за 2
мин до отхода следующего трамвая?

Задача 11

Найти
функцию распределения, плотность, математическое ожидание и дисперсию случайной
величины, распределенной равномерно на отрезке [2,4].

Задача 12

Цена
деления шкалы прибора равна 0,4. Показания прибора округляют до ближайшего
деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка
округления, большая 0,05.

Задача 13

СВ X
распределена равномерно в промежутке [1∕3,5∕4]. Найти функцию плотности
распределения f(x), функцию распределения F(x),
математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X). Построить
графики функций f(x) и F(x). Найти вероятность того, что x∈[1,5∕4].

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 14

Шкала
рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену делений 1 г. При
измерении массы химических компонентов смеси отсчет делается с точностью до
целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность, что
абсолютная ошибка определения массы будет заключена между значениями σ и 2σ.

Задача 15

Автобусы
некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом 5 мин. Найти
вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке будет ждать очередного
автобуса меньше трех минут.

Задача 16

Все
значения равномерно распределенной случайной величины Х принадлежат отрезку
[2,8]. Найти вероятность попадания случайной величины X в отрезок [3,5].

Задача 17

Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [1,6].
Найти дисперсию D(X) и вероятность попадания случайной величины X в интервал (2,4).

Задача 18

По маршруту
независимо друг от друга ходит два автобуса: №20 –через 10 и №15 –через 7
минут. Студент приходит на остановку в случайный момент. Какова вероятность
того, что ему придется ждать автобус менее трех минут.

Задача 19

Автобусы идут с интервалом 5 минут.
Считая, что случайная величина X – время
ожидания автобуса на остановке, распределена равномерно на указанном интервале,
найти среднее время ожидания и дисперсию времени ожидания.

Задача 20

Шкала
секундомера имеет цену деления 0,2 с. Какова вероятность сделать по этому
секундомеру отсчет времени с ошибкой менее 0,05 с, если отсчет делается наудачу
с округлением в ближайшую сторону, до целого деления?

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Равномерное распределение

Перейдем теперь
к часто используемым на практике
распределениям непрерывной случайной
величины.

Непрерывная с.в.
Х
называется равномерно
распределенной
на отрезке [a,b],
если плотность ее вероятности постоянна
на этом отрезке, а вне его равна 0 (т.е.
случайная величина Х
сосредоточена на отрезке [a,b],
на котором имеет постоянную плотность).
По данному определению плотность
равномерно распределенной на отрезке
[a,b]
случайной величины Х
имеет вид:

где с
есть некоторое число. Впрочем, его легко
найти, используя свойство плотности
вероятности для с.в., сосредоточенных
на отрезке
[a,b]:

.
Отсюда следует, что,
откуда.
Поэтомуплотность
равномерно распределенной на отрезке
[a,b]
случайной величины Х
имеет вид:

Судить о равномерности
распределения н.с.в. Х
можно из следующего соображения.
Непрерывная случайная величина имеет
равномерное распределение на отрезке
[a,b],
если она принимает значения только из
этого отрезка, и любое число из этого
отрезка не имеет преимущества перед
другими числами этого отрезка в смысле
возможности быть значением этой случайной
величины.

К случайным
величинам, имеющим равномерное
распределение относятся такие величины,
как время ожидания транспорта на
остановке (при постоянном интервале
движения длительность ожидания равномерно
распределена на этом интервале), ошибка
округления числа до целого (равномерно
распределена на [−0.5,
0.5]) и другие.

Вид функции
распределения F(x)
равномерно распределенной отрезке
[a,b]
случайной величины Х
ищется по известной плотности вероятности
f(x)
c
помощью формулы их связи
.
В результате соответствующих вычислений
получаем следующую формулу для функции
распределенияF(x)
равномерно распределенной отрезке
[a,b]
случайной величины Х
:

На рисунках
приведены графики плотности вероятности
f(x)
и функции распределения f(x)
равномерно
распределенной отрезке [a,b]
случайной величины Х
:

Математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратическое
отклонение, мода и медиана равномерно
распределенной отрезке [a,b]
случайной величины Х
вычисляются по плотности вероятности
f(x)
обычным образом (и достаточно просто
из-за простого вида f(x)).
В результате получаются следующие
формулы:

а модой d(X)
является любое число отрезка [a,b].

Найдем вероятность
попадания равномерно распределенной
отрезке [a,b]
случайной величины Х
в интервал
,
полностью лежащий внутри [a,b].
Учитывая известный вид функции
распределения, получаем:

Таким образом,
вероятность попадания равномерно
распределенной отрезке [a,b]
случайной величины Х
в интервал
,
полностью лежащий внутри [a,b],
не зависит от положения этого интервала,
а зависит только от его длины и прямо
пропорциональна этой длине.

Пример.
Интервал движения автобуса составляет
10 минут. Какова вероятность того, что
пассажир, подошедший к остановке, прождет
автобус менее 3 минут? Каково среднее
время ожидания автобуса?

Нормальное распределение

Это распределение
наиболее часто встречается на практике
и играет исключительную роль в теории
вероятностей и математической статистике
и их приложениях, поскольку такое
распределение имеют очень многие
случайные величины в естествознании,
экономике, психологии, социологии,
военных науках и так далее. Данное
распределение является предельным
законом, к которому приближаются (при
определенных естественных условиях)
многие другие законы распределения. С
помощью нормального закона распределения
описываются также явления, подверженные
действию многих независимых случайных
факторов любой природы и любого закона
их распределения. Перейдем к определениям.

Непрерывная
случайная величина называется
распределенной по нормальному
закону (или закону Гаусса),
если ее плотность вероятности имеет
вид:

где числа а
и σ
(σ>0)
являются параметрами этого распределения.

Как уже было
сказано, закон Гаусса распределения
случайных величин имеет многочисленные
приложения. По этому закону распределены
ошибки измерений приборами, отклонение
от центра мишени при стрельбе, размеры
изготовленных деталей, вес и рост людей,
годовое количество осадков, количество
новорожденных и многое другое.

Приведенная
формула плотности вероятности нормально
распределенной случайной величины
содержит, как было сказано, два параметра
а
и σ
, а потому задает семейство функций,
меняющихся в зависимости от значений
этих параметров. Если применить обычные
методы математического анализа
исследования функций и построения
графиков к плотности вероятности
нормального распределения, то можно
сделать следующие выводы.

Плотность
вероятности f(x)>0
для всех значений х,
а потому график функции расположен над
осью х.
Ось х
является асимптотой графика при х
→ ± ∞,
поскольку
.
Поэтому на бесконечности график
«прижимается» к осих.
Функция f(х)
имеет единственную точку максимума
х=а,
а максимальное значение
.
График функции
симметричен относительно вертикальной
прямой с уравнением х=а.
С помощью второй
производной можно убедиться, что точки
графика

являются точками
его перегиба.

Исходя из полученной
информации, строим график плотности
вероятности f(x)
нормального распределения (он называется
кривой Гаусса − рисунок).

Выясним, как влияет
изменение параметров а
и σ
на форму кривой Гаусса. Очевидно (это
видно из формулы для плотности нормального
распределения), что изменение параметра
а
не меняет форму кривой, а приводит лишь
к ее сдвигу вправо или влево вдоль оси
х.
Зависимость от σ
сложнее. Из проведенного выше исследования
видно, как зависит величина максимуму
и координаты точек перегиба от параметра
σ
. К тому же надо учесть, что при любых
параметрах а
и σ
площадь под кривой Гаусса остается
равной 1 (это общее свойство плотности
вероятности). Из сказанного следует,
что с ростом параметра σ
кривая становится более пологой и
вытягивается вдоль оси х.
На рисунке изображены кривые Гаусса
при различных значениях параметра σ
( σ₁<
σ< σ₂
) и одном и
том же значении параметра а.

Выясним вероятностный
смысл параметров а
и σ
нормального распределения. Уже из
симметричности кривой Гаусса относительно
вертикальной прямой, проходящей через
число а
на оси х
понятно, что среднее значение (т.е.
математическое ожидание М(Х))
нормально распределенной случайной
величины равно а.
Из этих же соображений мода и медиана
тоже должны быть равны числу а. Точные
расчеты по соответствующим формулам
это подтверждают. Если же мы выписанное
выше выражение для f(x)
подставим в формулу для дисперсии
,
то после (достаточно непростого)
вычисления интеграла получим в ответе
числоσ².
Таким образом, для случайной величины
Х,
распределенной по нормальному закону,
получились следующие основные ее
числовые характеристики:

Поэтому вероятностный
смысл параметров нормального распределения
а
и σ
следующий. Если с.в. Х
распределена нормально с параметрами
а
и σ,
то ее среднее значение равно а,
а среднее квадратическое отклонение
равно σ.

Найдем теперь
функцию распределения F(x)
для случайной величины Х,
распределенной по нормальному закону,
используя выписанное выше выражение
для плотности вероятности f(x)
и формулу
.
При подстановкеf(x)
получается «неберущийся» интеграл.
Все, что удается сделать для упрощения
выражения для F(x),
это представление этой функции в виде:

где Ф(х)
− так называемая функция
Лапласа,
которая имеет вид

Интеграл, через
который выражается функция Лапласа,
тоже является неберущимися (но при
каждом х
этот интеграл может быть вычислен
приближенно с любой наперед заданной
точностью). Однако вычислять его и не
потребуется, так как в конце любого
учебника по теории вероятностей есть
таблица для определения значений функции
Ф(х)
при заданном значении х.
В дальнейшем нам понадобится свойство
нечетности функции Лапласа: Ф(−х)=
−Ф(х)
для всех
чисел х.

Найдем теперь
вероятность того, что нормально
распределенная с.в. Х
примет значение из заданного числового
интервала (α,
β). Из общих
свойств функции распределения Р(α<X<
β)=F(β)
−
F(α).
Подставляя α
и
β в выписанное
выше выражение для F(x),
получим

Как сказано выше,
если с.в. Х
распределена нормально с параметрами
а
и σ,
то ее среднее значение равно а,
а среднее квадратическое отклонение
равно σ.
Поэтому среднее
отклонение значений этой с.в. при
испытании от числа а
равно σ. Но
это среднее отклонение. Поэтому возможны
и бо´льшие отклонения. Узнаем, насколько
возможны те или иные отклонения от
среднего значения. Найдем вероятность
того, что значение распределенной по
нормальному закону случайной величины
Х
отклониться от ее среднего значения
М(Х)=а
менее, чем на некоторое число δ, т.е.
Р(|X−a|<δ
) :
.
Таким образом,

Подставляя в это
равенство δ=3σ,
получим вероятность того, что значение
с.в. Х
(при одном испытании) отклонится от
среднего значения менее чем на утроенное
значение σ
(при среднем отклонении, как мы помним,
равном σ):

(значениеФ(3)
взято из таблицы значений функции
Лапласа). Это почти 1
! Тогда
вероятность противоположного события
(что значение отклонится не менее, чем
на 3σ)
равна 1−0.997=0.003,
что очень близко к 0.
Поэтому это событие «почти невозможно»
−
случается крайне редко (в среднем 3
раза из 1000).
Это рассуждение является обоснованием
широко известного «правила трех сигм».

Правило трех
сигм. Нормально
распределенная случайная величина при
единичном испытании
практически не отклоняется от своего
среднего далее, чем на 3σ.

Еще раз подчеркнем,
что речь идет об одном испытании . Если
испытаний случайной величины много, то
вполне возможно, что какое-либо ее
значение и удалится от среднего далее,
чем 3σ.
Это подтверждает следующий

Пример.
Какова вероятность, что при 100 испытаниях
нормально распределенной случайной
величины Х
хотя бы одно ее значение отклонится от
среднего более, чем на утроенное среднее
квадратическое отклонение? А при 1000
испытаниях?

Решение. Пусть
событие А
означает, что при испытании случайной
величины Х
ее значение отклонилось от среднего
более, чем на 3σ.
Как только
что было выяснено, вероятность этого
события
р=Р(А)=0.003 . Проведено
100 таких испытаний. Надо узнать вероятность
того, что событие А
произошло хотя
бы раз, т.е.
произошло от 1
до 100
раз. Это типичная задача схемы Бернулли
с параметрами n=100
(число независимых испытаний), р=0.003
(вероятность события А
в одном испытании), q=1−p=0.997.
Требуется найти Р₁₀₀(1≤k≤100).
В данном случае, конечно, проще найти
сначала вероятность противоположного
события Р₁₀₀(0)
− вероятность того, что событие А
не произошло ни разу ( т.е. произошло 0
раз) . Учитывая связь вероятностей самого
события и ему противоположного, получим:

Не так уж мало.
Вполне может произойти (происходит в
среднем в каждой четвертой такой серии
испытаний). При 1000
испытаний по такой же схеме можно
получить, что вероятность хотя бы одного
отклонения далее, чем на 3σ,
равно:
. Так что можно с большой уверенностью
дождаться хотя бы одного такого
отклонения.

Пример.
Рост
мужчин определенной возрастной группы
распределен нормально с математическим
ожиданием a,
и среднеквадратическим отклонением σ.
Какую долю костюмов k-го
роста следует предусмотреть в общем
объеме производства для данной возрастной
группы, если k-ый
рост определяется следующими пределами:

1
рост:
158 −
164см

2 рост:
164 − 170см
3 рост:
170 − 176см
4 рост:
176 − 182см

Решение.
Решим задачу при следующих значениях
параметров: а=178,
σ=6, k=3.
Пусть
с.в. Х
−
рост случайно выбранного мужчины (она
распределена по условию нормально с
заданными параметрами). Найдем вероятность
того, что наугад выбранному мужчине
понадобится 3-й
рост. Пользуясь нечетностью функции
Лапласа Ф(х)
и таблицей ее значений:
P(170<X<176)
=Ф((176−178)/6) − Ф((170−178)/6) = Ф(−0.3333)
−Ф(−1.3333)=
Ф(1.3333) −Ф(0.3333)=0.4082−0.1293=0.2789.
Поэтому в общем объеме производства
надо предусмотреть 0.2789*100%=27.89%
костюмов 3-го
роста.

Источник

ЛЕКЦИЯ 9

ТЕМА: ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ

1.
Равномерный закон распределения.

2.
Нормальный закон распределения.

2.1.
Интегральная и дифференциальная функции
распределения. Вероятность попадания в
заданный интервал.

2.2.
Вычисление вероятности заданного
отклонения.

2.3.
Правило трех сигм.

3.
Показательный закон распределения.

3.1.
Интегральная и дифференциальная функции
распределения.

3.2.
Числовые характеристики.

3.3.
Функция надежности.

1.
Равномерный
закон распределения.

На
практике встречаются случайные величины, о
которых заранее известно, что они могут
принять какое-либо значение в строго
определенных границах, причем в этих
границах все значения случайной величины
имеют одинаковую вероятность (обладают
одной и той же плотностью вероятностей).

Например,
при поломке часов остановившаяся минутная
стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью
вероятности) показывать время, прошедшее от
начала данного часа до поломки часов. Это
время является случайной величиной,
принимающей с одинаковой плотностью вероятности
значения, которые не выходят за границы,
определенные продолжительностью одного
часа. К подобным случайным величинам
относится также и погрешность округления.
Про такие величины говорят, что они
распределены равномерно, т. е. имеют
равномерное распределение.

Определение.
Непрерывная случайная величина Х имеет
равномерное распределение на отрезке [а,
в], если на этом
отрезке плотность распределения
вероятности случайной величины постоянна,
т. е. если дифференциальная функция
распределения f(х)
имеет следующий вид:

Иногда
это распределение называют законом
равномерной плотности. Про величину,
которая имеет равномерное распределение на
некотором отрезке, будем говорить, что она
распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем
значение постоянной с. Так как площадь,
ограниченная кривой распределения и осью Ох,
равна 1, то

откуда
с=1/(b–a).

Теперь
функцию f(x)
можно представить в виде

Построим
функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x)
на интервале [a, b]:

Графики
функций f(x)
и F(x)
имеют вид:

Найдем
числовые характеристики.

Используя
формулу для вычисления математического
ожидания НСВ, имеем:

Таким
образом, математическое ожидание случайной
величины, равномерно распределенной на
отрезке [a, b]
совпадает с серединой этого отрезка.

Найдем
дисперсию равномерно распределенной
случайной величины:

откуда
сразу же следует, что среднее
квадратическое отклонение:

Найдем
теперь вероятность попадания значения
случайной величины, имеющей равномерное
распределение, на интервал (a,b),
принадлежащий целиком
отрезку [a,
b]:

Геометрически
эта вероятность представляет
собой площадь
заштрихованного прямоугольника. Числа а
и b называются параметрами
распределения и однозначно
определяют равномерное распределение.

Пример1.
Автобусы некоторого маршрута идут строго
по расписанию. Интервал движения 5 минут.
Найти вероятность того, что пассажир,
подошедший к остановке. Будет ожидать
очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

СВ-
время ожидания автобуса имеет равномерное
распределение. Тогда искомая вероятность
будет равна:

Пример2.
Ребро куба х измерено приближенно. Причем

Рассматривая
ребро куба как случайную величину,
распределенную равномерно в интервале (a,
b),
найти математическое ожидание и дисперсию
объема куба.

Решение:

Объем
куба- случайная величина, определяемая
выражением У= Х³. Тогда математическое
ожидание равно:

Дисперсия:

2.
Нормальный закон распределения.

2.1.Интегральная
и дифференциальная функции распределения.
Вероятность попадания в заданный интервал.

Одним
из наиболее часто встречающихся
распределений является нормальное
распределение. Оно играет большую роль в
теории вероятностей и занимает среди
других распределений особое положение.
Нормальный закон распределения является
предельным законом, к которому
приближаются другие законы распределения
при часто встречающихся аналогичных
условиях.

Если
предоставляется возможность рассматривать
некоторую случайную величину как сумму
достаточно большого числа других случайных
величин, то данная случайная величина
обычно подчиняется нормальному закону
распределения. Суммируемые случайные
величины могут подчиняться каким угодно
распределениям, но при этом должно
выполняться условие их независимости (или
слабой зависимости). При соблюдении
некоторых не очень жестких условий
указанная сумма случайных величин
подчиняется приближенно нормальному
закону распределения и тем точнее, чем
большее количество величин суммируется.

Ни
одна из суммируемых случайных величин не
должна резко отличаться от других, т. е.
каждая из них должна играть в общей сумме
примерно одинаковую роль и не иметь
исключительно большую по сравнению с
другими величинами дисперсию.

Для
примера рассмотрим изготовление некоторой
детали на станке-автомате. Размеры
изготовленных деталей несколько
отличаются от требуемых. Это отклонение
размеров от стандарта вызывается
различными причинами, которые более или
менее независимы друг от друга. К ним могут
относиться:

неравномерный
режим обработки детали; неоднородность
обрабатываемого материала; неточность
установки заготовки в станке; износ
режущего инструмента и деталей станков;

упругие
деформаций узлов станка; состояние
микроклимата в цехе; колебание напряжения в
электросети и т. д. Каждая из перечисленных
и подобных им причин влияет на отклонение
размера изготовляемой детали от стандарта.
Таким образом, общее отклонение размера,
фиксируемое измерительным прибором,
является суммой большего числа отклонений,
обусловленных различными причинами. Если
ни одна из этих причин не является
доминирующей, то суммарное отклонение
является случайной величиной, имеющей
нормальный закон распределения.

Так
как нормальному закону подчиняются только
непрерывные случайные величины, то это
распределение можно задать в виде
плотности распределения вероятности.

Определение:
Непрерывная случайная величина Х имеет
нормальное распределение (распределена по
нормальному закону), если плотность
распределения вероятности f(x) имеет вид

где
а
и s—некоторые
постоянные, называемые параметрами
нормального распределения.

Функция
распределения F(x) в
рассматриваемом случае принимает вид

Параметр
а– есть
математическое ожидание НСВХ, имеющей
нормальное распределение, s –
среднее квадратическое
отклонение, тогда дисперсия равна

Выясним геометрический смысл
параметров распределения а
и s.
Для этого исследуем
поведение функции f(x).
График функции f(x)
называется нормальной кривой.

Рассмотрим
свойства функции f(x):

1°.
Областью определения функции f(x)
является вся числовая ось.

2°.
Функция f{x)
может принимать только положительные
значения, т. е. f(x}>0.

3°.
Предел функции f(x) при
неограниченном возрастании |х| равен нулю,
т. е. ось ОХ является горизонтальной
асимптотой графика функции.

4°. Функция f{x)
имеет в точке х =
a максимум,
равный

5°.
График функции f(x)
симметричен относительно прямой х =
а.

6°.
Нормальная кривая в точках х = а
+s
имеет перегиб,

На
основании доказанных свойств построим
график плотности нормального
распределения f(x).

Использование
формул f(x)
и F(x)
для практических расчетов затруднительно.
Но решение задач по этим
формулам можно
упростить, если от нормального
распределения с произвольными параметрами а и s
перейти
к нормальному распределению с
параметрами а=0, s

= 1.

Функция
плотности нормального распределения f(x)
с параметрами а=0, s
=1 называется плотностью
стандартной нормальной
случайной величины и ее график имеет вид:

Функция
плотности и интегральная функция
стандартной нормальной СВ будут иметь вид:

Для
вычисления вероятности попадания СВ в
интервал (a,
b) воспользуемся
функцией Лапласа:

Перейдем
к стандартной нормальной случайной
величине

Тогда

Значения
функции Ф(u) необходимо взять из таблицы
приложений “Таблица значений функции Ф(х)”
.

Пример.
Случайная величина Х распределена по нормальному
закону. Математическое
ожидание и среднее квадратическое
отклонение этой величины соответственно
равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х
примет значение, принадлежащее интервалу
(10, 50).

Решение:

По
условию:a =10,
b=50, а=30,
s =10,
следовательно,

По
таблице находим Ф
(2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Р(10
< Х < 50) =2×0,4772=0,9544.

2.2.
Вычисление вероятности заданного
отклонения

Часто
требуется вычислить вероятность того, что
отклонение нормально распределенной
случайной величины Х
по абсолютной величине меньше заданного
положительного числа d,
т. е. требуется найти
вероятность осуществления неравенства |x
—а|<d.

Заменим
это неравенство равносильным ему двойным
неравенством

Тогда
получим:

Приняв
во внимание равенство:

(функция
Лапласа—нечетная), окончательно
имеем

Вероятность
заданного отклонения равна

На
рисунке наглядно показано, что если две
случайные величины нормально распределены
и а
= 0, то вероятность
принять значение, принадлежащее интервалу (-d,d),больше у
той величины, которая имеет меньшее
значение d.
Этот факт полностью
соответствует вероятностному смыслу
параметра s
.

Пример.
Случайная величина Х
распределена нормально. Математическое
ожидание и среднее квадратическое
отклонение Х соответственно равны 20 и 10. Найти
вероятность того, что отклонение по
абсолютной величине будет меньше трех.

Решение:
Воспользуемся
формулой

По
условию ,

тогда

2.3.
Правило трех сигм

Преобразуем
формулу

Введем
обозначение

Тогда
получим:

Если
t=3,
то

т.
е. вероятность того, что отклонение по
абсолютной величине будет меньше
утроенного среднего квадратического
отклонения, равна 0,9973.

Другими
словами, вероятность того, что абсолютная
величина отклонения превысит утроенное
среднее квадратическое отклонение, очень
мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973.
Это означает, что лишь в 0,27% случаев так
может произойти. Такие события, исходя из
принципа невозможности маловероятных
событий можно считать практически
невозможными. В этом и состоит сущность
правила трех сигм:

Если случайная величина
распределена нормально, то абсолютная
величина ее отклонения от математического
ожидания не превосходит утроенного
среднего квадратического отклонения.

На
практике правило трех сигм применяют так:
если распределение изучаемой случайной
величины неизвестно, но условие, указанное
в приведенном правиле, выполняется, то есть
основание предполагать, что изучаемая
величина распределена нормально; в
противном случае она не распределена
нормально.

3.
Показательное
распределение.

3.1.
Интегральная и дифференциальная
функции распределения.

Определение:
Непрерывная случайная величина X, функция
плотности которой задается выражением

называется случайной
величиной, имеющей показательное, или
экспоненциальное, распределение.

Величина
срока службы различных устройств и времени
безотказной работы отдельных элементов
этих устройств при выполнении определенных
условий обычно подчиняется показательному
распределению. Другими словами, величина
промежутка времени между появлениями двух
последовательных редких событий
подчиняется зачастую показательному
распределению.

Как
видно из формулы , показательное
распределение определяется только одним
параметром m.

Найдем
функцию распределения показательного
закона, используя свойства
дифференциальной функции распределения:

Графики
дифференциальной и интегральной функций
показательного распределения имеют вид:

3.2.
Числовые характеристики.

Используя
формулы для вычисления математического
ожидания, дисперсии и среднего
квадратического отклонения нетрудно
убедится, что для показательного
распределения

Таким
образом, для показательного распределения
характерно, что среднее квадратическое
отклонение численно равно математическому
ожиданию.

Найдем
вероятность попадания СВ в интервал (a,b):

3.3.
Функция надежности.

Пусть
некоторое устройство начинает работать в
момент времени t₀= 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим
через Т НСВ – длительность времени
безотказной работы устройства. Если
устройство проработало безотказно время
меньшее t,
то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Тогда
функция распределения F(t)=P(T<t)=1- e^–mt определяет
вероятность отказа устройства за время t.

Найдем
вероятность противоположного события-
безотказной работы за время t:

Функция
R(t)
называется функцией надежности.

Выясним
смысл числовых характеристик и параметра
распределения.

Математическое
ожидание – это среднее время между двумя
ближайшими отказами устройства, а величина
обратная математическому ожиданию
(параметр распределения)- интенсивность
отказов, т.е. количество отказов в единицу
времени.

Пример.
Время безотказной работы устройства
распределено по закону

Найти
среднее время безотказной работы
устройства, вероятность того, что
устройство не откажет за среднее время
безотказной работы. Найти вероятность
отказа за время t= 100
часов.

Решение:

По
условию интенсивность отказов m
=0,02. Тогда
среднее время между двумя отказами, т.е.
математическое ожидание М(Х)=1/0,02=50часов.
Вероятность безотказной работы за этот
промежуток времени вычислим по функции
надежности:

По
функции F(t)
вычислим вероятность отказа за время t
=100
часов:

Контрольные
вопросы.

1.
Сформулировать равномерный закон
распределения. Записать дифференциальную и
интегральную функции.

2.
Записать формулы для вычисления
числовых характеристик равномерно
распределенной случайной величины.

3.
Сформулировать нормальный закон
распределения. Записать дифференциальную и
интегральную функции.

4.
Описать свойства дифференциальной
функции нормально распределенной
случайной величины. Пояснить
геометрический смысл параметров
нормального распределения.

5.
При каких значениях параметров функция
плотности нормального распределения
называется плотностью стандартной
нормальной случайной величины?

6.
Записать формулу для вычисления
вероятности отклонения нормально
распределенной СВ от математического
ожидания.

7.
Сформулировать правило трех сигм и
пояснить его суть.

8.
Сформулировать показательный закон
распределения. Записать дифференциальную и
интегральную функции.

9.
Каков смысл параметра показательного
распределения, если в качестве СВ
рассматривать время безотказной работы
устройства? Какими выражениями параметр
распределения связан с числовыми
характеристиками?

10.
Вероятность какого события определяет
функция надежности?

Источник

Определение[править | править код]

Функция распределения[править | править код]

Производящая функция моментов[править | править код]

Стандартное равномерное распределение[править | править код]

См. также[править | править код]

Равномерное случайное распределение

Краткая теория

Числовые характеристики равномерного распределения

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Равномерное распределение

Нормальное распределение

Вам также может понравиться

Если есть середина отрезка как найти вершины

Как найти медиану выборки чисел

Вводная конструкция как ее найти в предложении

Добавить комментарий Отменить ответ