Решение уравнений как найти делитель

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9 . Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9 , значит, можно записать уравнение 4 + x = 9 . Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x ? Для этого надо использовать правило:

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a + b = c , то c − a = b и c − b = a , и наоборот, из выражений c − a = b и c − b = a можно вывести, что a + b = c .

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4 + x = 9 . Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9 , известное слагаемое, равное 4 . Вычтем одно натуральное число из другого: 9 – 4 = 5 . Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5 .

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

1. Первым пишется исходное уравнение.
2. Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
3. После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4 + x = 9 и получим: 4 + 5 = 9 . Равенство 9 = 9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Например, у нас есть уравнение x – 6 = 10 . Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6 , получим 16 . То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:

x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .

Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16 – 6 = 10 . Равенство 16 – 16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Воспользуемся правилом для решения уравнения 10 – x = 8 . Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10 – 8 = 2 . Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:

10 – x = 8 , x = 10 – 8 , x = 2 .

Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10 – 2 = 8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x · 2 = 20 и 3 · x = 12 . В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a · b = c при a и b , не равных 0 , c : a = b , c : b = c и наоборот.

Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2 . Проводим деление натуральных чисел и получаем 10 . Запишем последовательность равенств:

x · 2 = 20 x = 20 : 2 x = 10 .

Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2 · 10 = 20 . Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x · 0 = 11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0 , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0 . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Решим с его помощью уравнение x : 3 = 5 . Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15 , которое и будет нужным нам делимым.

Вот краткая запись всего решения:

x : 3 = 5 , x = 3 · 5 , x = 15 .

Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5 . Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Возьмем простой пример – уравнение 21 : x = 3 . Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7 . Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:

21 : x = 3 , x = 21 : 3 , x = 7 .

Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21 : 7 = 3 , так что корень уравнения был вычислен верно.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0 . Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0 : x = 0 , то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0 , с делимым, отличным от 0 , решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5 : x = 0 , которое не имеет ни одного корня.

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

У нас есть уравнение вида 3 · x + 1 = 7 . Вычисляем неизвестное слагаемое 3 · x , отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3 · x = 7 − 1 , потом 3 · x = 6 . Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.

Вот краткая запись решения еще одного уравнения ( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 :

( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 2 + 5 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 7 , 2 · x − 7 = 7 · 3 , 2 · x − 7 = 21 , 2 · x = 21 + 7 , 2 · x = 28 , x = 28 : 2 , x = 14 .

Решение уравнений вида х : 6 = 18 – 5 и 48 : х = 92 : 46

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим решение уравнений с неизвестным делимым и неизвестным делителем. Повторим, что такое уравнение и что такое «решить уравнение». Вспомним компоненты деления и их связи между собой. Решим несколько уравнений на нахождение неизвестного делимого и нахождение неизвестного делителя.

Урок математики “Нахождение неизвестного делимого, неизвестного делителя”

Цели урока:

1. Учить детей решать уравнения, в которых неизвестны делимое и делитель, а частное представлено в виде выражения.

2. Закрепить знания, умения и навыки учащихся по решению уравнений, в которых неизвестным может быть компонент любого арифметического действия.

3. Совершенствовать:

• умение выполнять письменное деление на однозначное число, закрепить знания учащихся о геометрических фигурах;
• умения и навыки по решению задач, по составлению программ к задачам.

4. Развивать:

• навыки сотрудничества между учащимися и учителем, взаимопомощь при работе в группах, учиться сообща находить выход из проблемных ситуаций;
• устные и письменные вычислительные навыки, навыки самостоятельности, логическое мышление, внимание, смекалку, сообразительность.

5. Активизировать работу учащихся через игровую деятельность.

6. Воспитывать чувство коллективизма, чуткое отношение друг к другу, чувство гордости за свою страну, любовь к математике.

Оборудование: картина “Москва-столица нашей Родины”, картина “Весёлый ёжик”, конверт с отдельными частями фигуры Снеговика, клей, альбомные листы, песочные часы, опорные схемы, карточки с заданиями, поделка Снеговика, письмо сказочного героя – Снеговика, программы решения задач, кружочки красного, синего, чёрного цветов, оценочный лист.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

Вот опять прозвенел звонок, приглашает на урок.
Ну-ка, проверь, дружок, ты готов начать урок?
Всё ль на месте, всё ль в порядке: книжка, ручка и тетрадка?
Все ли правильно сидят, все ль внимательно глядят?
Начинается урок, он пойдёт, ребята, впрок.
Постарайтесь всё понять, будете правильно считать.
Наверное, каждый хочет получать только лишь оценку “5”.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛЕЙ УРОКА.

– Ребята, сегодня я пришла очень рано в класс и на столе обнаружила письмо. Оно адресовано нашему классу. Давайте прочтём письмо.

Я пришёл к вам в класс за помощью, чтобы вы научили меня решать уравнения, в которых неизвестны компоненты: делимое и делитель. Также я хочу поучиться у вас решению задач. Но я таю! У вас очень жарко! Ой! Помогите!”.

– Догадались, от кого это письмо? (От Снеговика).

– Снеговик попал в беду. Пришёл к нам поучиться чему и для чего? (решению задач, уравнений, чтобы его приняли в школу “Снеговиков”). Но от жары рассыпался на части. Нужно его собрать. В каждой группе есть конвертик, в котором находятся части от фигуры Снеговика, альбомные листы, клей. Чтобы помочь бедолаге, надо проверить, как вы сами можете считать, решать уравнения, задачи, можете ли вы работать в группах дружно, понимать друг друга, сообща находить выход из проблемных ситуаций. Кто догадался, какая тема урока, основные цели?

– Сегодня на уроке, как вы уже догадались, мы будем решать уравнения на нахождение неизвестных делимого и делителя. И конечно, будем решать задачи, примеры.

Все задания будете выполнять коллективно. После каждого задания, правильно выполненного, группа имеет право приклеить на альбомный лист часть от Снеговика. Какая же группа это сделает быстрее?

От вашей активности зависит жизнь этого милого существа. Выберете в группе главного консультанта.

И, так, за работу!

3. УСТНЫЙ СЧЁТ.

Ну-ка, в сторону карандаши. Ни костяшек, ни ручек, ни мела.
Устный счёт! Мы творим это дело только силой ума и души.
Числа сходятся где-то во тьме, и глаза начинают светиться.
И кругом только умные лица, потому что считаем в уме!
А на сегодня – задания, разные шутки, только на 3-4 минутки.

Сколько?

• Пальцев на двух руках? (10).
• Лет было двадцатилетнему человеку восемь лет назад? (12).
• Ножек достаточно стулу, чтобы он не качался? (3).
• Букв в названии самого длинношеего животного? (5, жираф).
• Недель в месяце? (4).
• Месяцев в году? (12).
• Месяцев между сентябрём и январём? (октябрь, ноябрь, декабрь, 3).
• Букв в слове вьюга? (5). А звуков? (5, буква “Ю” – два звука).
• Козлят хотел съесть волк? (7).
• Ножек у трёх стульев? (12).

– Ребята, а как вы думаете, почему Снеговик пришёл именно сейчас к нам, а не осенью и не весной? (Время года – зима.)
– Посмотрите на первый рисунок, что вы видите? Какой это город? Как вы догадались? Что знаете о Москве?

“Столица – мать! Тебе хвала, в веках ты видела не мало,
Когда б ты говорить могла, ты многое бы рассказала”.

– В каком году основана Москва? (1147)
– Какие символы Российского Государства вы видите на рисунке? (Герб, Флаг)
– Какие ещё символы существуют? (Гимн.)

– Ребята, мы из истории знаем, сколько различных испытаний пришлось перенести нашей стране. Многие люди хотели, чтобы наше Отечество расцветало, гибли за Родину. Благодаря таким патриотам, любящим свою многострадальную Русь, мы сейчас имеем возможность учиться в школе, в любом ВУЗе, работать. Помните это, ребята, всегда и гордитесь своим Отечеством. Стремитесь к знаниям, докажите, что государство, учителя, ваши родители не зря о вас заботятся, создают хорошие условия для жизни и учёбы.

– Кто изображён на втором рисунке? Какое у него настроение и почему? Дети, как вы думаете, что объединяет эти два рисунка? (Наступает Новый год, все радуются наступлению весёлого праздника).

– Чем этот праздник особенный, чем отличается от других праздников?

– Действительно, на Новый год все поздравляют друг друга и желают всего самого наилучшего в жизни, дарят подарки. Давайте и мы поздравим гостей с наступающим Новым годом. (“Поздравляем! Поздравляем! Поздравляем!”).

2. Игра “ Я люблю свою Россию”.

– Сейчас мы проведём игру “Я люблю свою Россию”. Своими правильными ответами покажете, что вы действительно любите свою страну, стремитесь приобрести как можно больше знаний, чтобы быть умными, мудрыми, чтобы в случае необходимости прийти на помощь своему Отечеству, чтобы уметь принимать правильные и нужные решения для выхода из проблемных ситуаций.

а) Каждая группа устно составляет задачу по первой картине. (2 минуты). (Молодцы! Я думаю, что все группы имеют право приклеить 1 часть от Снеговика, нижнюю часть туловища).

б) Какая группа больше видит геометрических фигур в построении зданий города Москвы. Посовещайтесь и напишите ответы в тетрадях. (1 минута для выполнения этого задания). (Прямоугольники, треугольники, отрезки, круг, окружность, квадраты, трапеции).

ВЫВОД: Ребята, своими ответами, знаниями вы доказали, что государство не зря заботится о вас и даёт вам возможность приобретать знания для того, чтобы в дальнейшем вы могли приобрести специальность, найти работу по душе. (Приклеиваем среднюю часть туловища).

3. Задания Ёжика.

Ёжик принёс задания, чтобы тоже помочь Снеговику.

– Назовите самый большой остаток при делении чисел на:

1 группа	2 группа	3 группа
4, 7, 11.	5, 9, 15.	6, 8, 10.

– Назовите неизвестный компонент и найдите, чему он равен.

1 группа	2 группа	3 группа
78 – Х = 50	Х + 36 = 106	30 * Х= 150

– Ну, что ж, ребята, я думаю, что каждая группа может продолжить собирать Снеговика. Приклейте на альбомный лист следующую часть фигуры.

4. РАБОТА НАД НОВОЙ ТЕМОЙ.

– Вспомните, как называются числа при делении? (Делимое, делитель, частное. Д., д., ч..)
– Какое из этих чисел самое большое? (Д)
– С каким арифметическим действием связано деление? (Умножением)

Д : д = ч

Д = ч* д

д = Д :ч

– Как найти большое число – делимое, – если оно неизвестно? (Умножением).
– Как найти делитель, если он неизвестен? (Делением).
– Можно ли делитель назвать самым большим числом? (Нет).

б) Работа по учебнику на странице 88.

1. Работа с таблицей устно.
2. Объяснение решения уравнений учащимися.

– Чем третье уравнение отличается от двух первых?

3. Работа в группах № 481.

1 группа	2 группа	3 группа
48 : Х = 92 : 46	Х : 10 = 600 :6	69 : Х = 30 : 10

(Приклейте головной убор Снеговику).

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА “МОЗГОВАЯ ГИМНАСТИКА”.

1. Качания головой (упражнение стимулирует мыслительные процессы): дышите глубоко, расслабьте плечи и уроните голову вперёд. Позвольте голове медленно качаться из стороны в сторону, пока при помощи дыхания уходит напряжение. Подбородок вычерчивает слегка изогнутую линию на груди по мере расслабления шеи. Выполнять 30 секунд.

2. “Ленивые восьмёрки” (упражнение активизирует структуры мозга, обеспечивающие запоминание, повышает устойчивость внимания): нарисуйте в воздухе в горизонтальной плоскости “восьмёрки” по три раза каждой рукой, а затем обеими руками.

3. “Шапка для размышлений” (улучшает внимание, ясность восприятия и речь): “наденьте шапку”, то есть мягко заверните уши от верхней точки до мочки три раза.

4.“ Зоркие глазки” (упражнение служит для профилактики нарушений зрения): глазами нарисуйте 6 кругов по часовой стрелке и 6 кругов против часовой стрелки.

5.“ Стрельба глазами” (упражнение служит для профилактики нарушения зрения): двигайте глазками вправо-влево, вверх-вниз по 6 раз.

“ВЕСЁЛАЯ ПЕРЕМЕНКА”

Встаньте все. Отдохнём.

1) Отдых будет активным и даже полезным. Упражнение рассчитано на координацию движений. Итак, начали: вначале левой рукой дотроньтесь до правого уха, а потом правой рукой – до кончика носа; затем быстро поменяйте положение рук: правая рука – левое ухо, левая рука – нос. (5 раз).

2) Наложите левую руку на голову и погладьте себя от затылка ко лбу. В это время правой рукой делайте круговые движения по животу. Действия выполняйте одновременно.

5. РАБОТА НАД ПРОЙДЕННЫМ МАТЕРИАЛОМ.

а) Работа над задачей №482.

– Работа в группах: самостоятельное чтение, составление программы решения, решение (5 минут).
– Индивидуальная помощь группе, испытывающей затруднение в решении задачи.
– Проверка.

1. Работа над содержанием задачи. Краткий устный разбор.

– Что привезли для ремонта школы?
– Что можете сказать о зелёной краске? (90кг – 18 банок).
– Что известно про белую краску? (150 кг – ? банок).
– Что говорится о банках вообще? (Одинаковые по массе; надо узнать, сколько банок привезли).

2. Краткая запись в виде таблицы, составление программы.

Масса 1 банки.	Количество банок.	Масса всех банок.
З.	1) :

3) +
90 кг

Б.
? 2) :
150 кг

(Приклеивание кружочка, обозначающего левую руку, в которой метла).

б) Работа над задачей №483.

Работа в группах:

– Чтение задачи.
– Выбор программы решения задачи из нескольких вариантов, предложенных учителем.
– Обоснование выбора программы решения.
– Решение задачи.

(Приклеивание кружочка, обозначающего правую руку).

в) Игра “Умники и умницы” (Решение проблемной ситуации).

– Ребята, прочитайте задание на карточках. Что вы можете сказать по этому заданию? К какому виду заданий можно его отнести? Сможете ли вы выполнить его? Почему нет? Чтобы выполнить это задание, что для этого необходимо? Когда мы поставим вопрос, что это будет? Поставьте вопрос к задаче такой, чтобы она решалась в два действия и решите устно её, назовите ответ.

– А сейчас поставьте вопрос к задаче такой, чтобы она решалась в три действия и решите устно её, назовите ответ.

– Да, ребята, вас действительно можно назвать умниками и умницами, вы справились с заданием.

(Приклейте в правую руку Снеговика открытку).

6. РЕФЛЕКСИЯ.

– Ребята, а сейчас мы оценим урок. У вас на партах лежат кружочки: красный, синий и чёрный. Если вам удалось все проблемы решить на уроке, интересно было, что-то полезное для себя приобрели, то в оценочный лист поместите красный кружочек. Если вам не всё удалось решить на уроке и не очень понравился урок, то поместите синий кружочек. А если совсем неинтересно было на уроке, то поместите чёрный кружочек на оценочный лист. Обоснуйте свои действия. Чем понравился урок? Почему не понравился?

– Ребята, посмотрите ещё раз на Снеговика. Что написано у него на открытке, прочитайте. Я присоединяюсь к словам Снеговика и хочу поблагодарить вас за работу на уроке, за помощь в его организации. Вы – молодцы! Большое спасибо вам всем!

7. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

[spoiler title=”источники:”]

http://interneturok.ru/lesson/matematika/4-klass/reshenie-uravneniy/reshenie-uravneniy-vida-h-6-18-5-i-48-h-92-46

http://urok.1sept.ru/articles/526118

[/spoiler]

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

1. Первым пишется исходное уравнение.
2. Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
3. После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4+x=9,x=9−4,x=5.

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Х · 5 = 15 Х = 15 : 5 Х = 3 3 · 5 = 15 15 = 15 Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель. Х : 4 = 3 Х = 3 · 4 Х = 12 12 : 4 = 3 3 = 3 Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на значение частного. 14 : Х = 7 Х = 14 : 7 Х = 2 14 : 2 = 7 7 = 7	Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Х · 5 = 15 Х = 15 : 5 Х = 3 3 · 5 = 15 15 = 15 Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель. Х : 4 = 3 Х = 3 · 4 Х = 12 12 : 4 = 3 3 = 3 Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на значение частного. 14 : Х = 7 Х = 14 : 7 Х = 2 14 : 2 = 7 7 = 7
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Х · 5 = 15 Х = 15 : 5 Х = 3 3 · 5 = 15 15 = 15 Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель. Х : 4 = 3 Х = 3 · 4 Х = 12 12 : 4 = 3 3 = 3 Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на значение частного. 14 : Х = 7 7 = 7 Х = 14 : 7 Х = 2 14 : 2 = 7	Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Х · 5 = 15 Х = 15 : 5 Х = 3 3 · 5 = 15 15 = 15 Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель. Х : 4 = 3 Х = 3 · 4 Х = 12 12 : 4 = 3 3 = 3 Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на значение частного. 14 : Х = 7 7 = 7 Х = 14 : 7 Х = 2 14 : 2 = 7

Множитель,
множитель, произведение. Делимое, делитель, частное.

Привет,
ребята!

Сегодня
у нас непростой урок, ведь нам предстоит разобраться, как находить неизвестные: множитель, делимое или делитель.
А для чего это надо уметь? Догадались? Ну конечно для того, чтобы уверенно решать
уравнения! И мы, конечно же, решим несколько уравнений. Но прежде надо
кое-что вспомнить.

Я предлагаю вам посмотреть на буквенную запись
действия умножения.

А и Б в этой записи являются множителями,
Ц – произведением. Понятно, что произведение мы получаем
действием умножения. Это – целое, то есть наибольшее число. А вот множители
являются частями. Значит, их мы находим обратным действием, делением.

То есть, если нужно найти неизвестный
множитель, мы произведение делим на известный множитель.

А теперь посмотрим на буквенную запись деления:

Обычно, целое можно разделить на части. Поэтому
К, делимое, является целым, а М и Н – это части. И, естественно, что целое мы находим
умножением. Поэтому, если надо найти неизвестное делимое, мы
перемножаем делитель с частным.

А вот делитель является частью. И, если надо найти
неизвестный делитель, то его мы найдём, разделив делимое на частное.

Ну а теперь пришло время решать уравнения.
Давайте разберём вот это уравнение:

х · 9 = 126 : 2

Посмотрите, это у нас осложнённое уравнение.
Поэтому, прежде всего, надо его упростить, то есть, выполнить действие в правой
части уравнения. Сто двадцать шесть разделить на два равно шестьдесят три. Переписываем
уравнение, заменив действие деления на его результат. Здесь надо найти
неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, мы
произведение делим на известный множитель.

Шестьдесят
три делим на девять, получается семь.

х
· 9 = 63

х
= 63 : 9

х
= 7

7
· 9 = 126 : 2

63
= 63

Не
забываем выполнить проверку уравнения. Сначала переписываем его, заменив икс на
его значение, которое мы получили – семь. Семью девять – шестьдесят три. Сто
двадцать шесть разделить на два – шестьдесят три. Левая и правая части
уравнения равны, значит, уравнение решено верно. Решаем следующее уравнение:  

х
: 7 = 15 · 4

Упрощаем:

х
: 7 = 60

х
= 60 · 7   

х
= 420

Неизвестное
делимое находим умножением.

Проверяем.

420
: 7 = 15 · 4

60
= 60

Ну, а следующее уравнение я предлагаю вам решить
самостоятельно.

360 : х = 96 + 24

Какой компонент здесь надо найти? Неизвестный
делитель. А его мы находим

делением.

Проверьте,
ребята, так ли решено у вас уравнение?

360
: х = 90

х
= 360 : 90

х
= 4

360
: 4 = 66 + 24

90
= 90

Видите,
как помогает при решении уравнений знание
правил.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный
множитель.

Чтобы
найти неизвестное делимое, надо делитель
умножить на частное.

Чтобы
найти неизвестный делитель, надо делимое
разделить на частное.

Выучите
их, ребята, и не забывайте пользоваться при решении уравнений. Пока! До новых
встреч!

Мы научим решать уравнения быстро и быть уверенными в правильном и успешном результате. Для начала, выучим простые правила и рассмотрим примеры. Самый лёгкий тип уравнений — это у которых слева размещена разность, произведение, частное или сумма чисел и одно неизвестное, а справа — известное число. Если проще, нам надо найти в уравнении одно неизвестное. Неизвестное делимое с делителем, слагаемое или уменьшаемое с вычитаемым. Такие типы уравнений мы рассмотрим далее в статье.

Распишем основные правила для поиска неизвестных слагаемых, множителей, делимых и так далее. Для закрепления теории, мы подобрали конкретные примеры под каждое правило и каждую ситуацию, с которой вы можете столкнуться при решении уравнений такого типа.

Как найти неизвестное слагаемое, правило

Представим, что на столе стоит две вазы. В этих вазах в общей сложности лежит 7 яблок. В одной вазе лежит 2 яблока. Как узнать сколько яблок лежит во второй вазе и есть ли они там вообще? Посмотрим, как выглядит эта задача в математическом виде, отметив неизвестное число яблок во второй вазе как x. Согласно условиям выше, это неизвестное вместе с числом 2 образовывают 7. Значит, наше уравнение будет выглядеть как: 2 + x = 7. Справа имеем значение суммы, а слева — сумма чисел с одним неизвестным слагаемым. Для решения уравнения надо найти число x. В таких случаях используют правило:

В ситуации, где происходит математическое нахождение неизвестного слагаемого, вычитание является обратный действием по смыслу, относительно сложения. Другими словами, между действиями вычитания и сложения есть математическая связь, и правило нахождения неизвестного слагаемого благодаря этой связи можно отобразить в буквенном виде: если в условии a + b = c, то c − b = a и c − a = b. А если вы видите обратные примеры, такие как c − a = b и c − b = a, то можете быть уверенны в том что a + b = c. Благодаря определению и математической связи, мы можем узнать неизвестное слагаемое, имея только его сумму с известным слагаемым. От перестановки слагаемых, значение не меняется, поэтому неважно какое надо найти слагаемое — первое или второе. Давайте используем это правило на практике, для лучшего понимания теории.

Находим неизвестное уменьшаемое или вычитаемое

Итак, в математических примерах в процессе вычитания и сложения существует нерушимая связь. Эта связь сформулировала правила, благодаря которым можно быстро найти неизвестное — уменьшаемое, если нам известны разность и вычитаемое, или вычитаемое, если мы знаем разность и уменьшаемое. Для каждого случая есть правило, которое мы сейчас рассмотрим вместе с решением примера.

Полученное уравнение верное, значит мы правильно нашли неизвестное вычитаемое. Теперь, когда вы выучили базовые правила нахождения неизвестных, мы поделимся с вами более простым способ решения примеров. Для нахождения неизвестного, нам нужно перенести неизвестное по одну сторону знака равности в уравнении, чаще левую, а известные — по другую, например, правую. При этом, когда переносите известное или неизвестное через знак равности, меняете его знак на противоположный. Если на одной из сторон ничего не остаётся, значит там будет стоять число 0. Мы покажем, как это работает на практике.

Есть пример 5 – x = 2, перенесём известные по правую сторону от знака уравнения:

– x = 2 – 5

При решении, получим уравнение:

– x = – 3

Так как в уравнениях всегда ищется неизвестное с положительным знаком, сменим знаки на противоположные в обеих частях уравнения, как бы перенося известное и неизвестное через знак равности, получим:

x = 3

Как видим, найденное значение неизвестного вычитаемого совпадает с тем значением, которое мы нашли при использовании Определения 3. Правило переноса чисел через знак равности со сменой их знака на противоположный работает для всех уравнений без исключения. Можем использовать это правило вместо всех вышеперечисленных.

Находим неизвестный множитель

Рассмотрим два уравнения: 3 ⋅ x = 9 и x ⋅ 2 = 6. И в первом, и во втором примере нужно найти один из неизвестных множителей. Второй множитель и производное — известны. Давайте запомним правило для решения подобных примеров.

Подобные ситуации детально рассмотрены в статье о линейных уравнениях. В случае использования Определения 4, по факту мы делим обе части примера на известный множитель, за исключением 0. Согласно более сложному правилу, мы можем делить обе части уравнения на любой множитель, отличный от 0 и это не повлияет на правильность уравнения и на значение его корня. Оба правила согласованы между собой и отражают математическую связь между обеими частями уравнения.

Находим неизвестный делитель или делимое

Последний случай, с которым вы можете столкнуться в решении простых математических примеров — как найти неизвестное делимое при известном частном и делителе, и наоборот, как найти делитель, если из уравнения известно значение только делимого и частного. Используя знакомую связь между делением и умножением, сформируем правило для решения подобных примеров.

Определение 5 можно связать с умножением обеих частей уравнения на один и тот же множитель, отличный от 0. Такие изменения в примере никаким образом не повлияют на корни обеих частей уравнения или итоговое значение его неизвестного. Давайте ознакомимся со следующим правилом.

На практике вы будете встречать более сложные примеры и задачи на нахождение неизвестного слагаемого, вычитаемого или множителя/делимого, в которых будете последовательно применять вышеперечисленные правила.