Сегмент в геометрии как найти – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Эта статья — о сегменте плоской кривой. О сегменте шара см. Сферический сегмент.

Четыре сегмента плоской кривой.

Сегмент плоской кривой — плоская (обычно выпуклая) фигура, заключённая между кривой и её хордой^[1].

Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой: сегмент круга.

Характеристики[править | править код]

Основные характеристики сегмента кривой — его ширина, высота, площадь и длина границы.

Сегмент круга[править | править код]

Сегмент круга закрашен зелёным цветом.

Длина хорды $c$ сегмента круга радиуса $R$ и высоты $h$ вычисляется по теореме Пифагора:

${displaystyle c=2{sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

Площадь $S$ сегмента круга радиуса $R,$ опирающегося на центральный угол $textstyletheta$ (в радианах)^[2]:

$S = frac {1}{2}R^2(theta - sintheta)$

Сегмент параболы[править | править код]

Площадь сегмента параболы

Архимед в III веке до н. э. доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Сегмент эллипса[править | править код]

Сегмент эллипса (выделен зелёным цветом)

Пусть эллипс задан каноническим уравнением:

${frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точку с абсциссой $x,$ можно определить по формуле^[3]:

$S={frac {pi ab}{2}}-{frac {b}{a}}left(x,{sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}arcsin {frac {x}{a}}right).$

Другие виды плоских сегментов[править | править код]

Задача нахождения площади и длины дуги произвольного сегмента требует применения методов интегрального исчисления, которое исторически было создано именно для этой цели.

Площадь[править | править код]

Вычисление площади сегмента кривой

Для вычисления площади сегмента чаще всего удобно выбрать соответствующую хорду кривой в качестве оси абсцисс. Тогда площадь сегмента, то есть площадь под кривой $y=f(x)$ , пересекающей ось абсцисс в точках a и b, равна:

${displaystyle S=int limits _{a}^{b}f(x)dx}$

Например, площадь под первой аркой синусоиды вычисляется как интеграл:

${displaystyle S=int limits _{0}^{pi }{sin xdx}=-cos(pi )+cos(0)=2}$

Другой пример: площадь сегмента (арки) циклоиды, порождённой кругом радиуса $R,$ равна ${displaystyle 3pi R^{2},}$ то есть втрое больше площади порождающего круга^[4].

Длина дуги[править | править код]

Длина произвольной кривой, в том числе дуги сегмента, вычисляется по формуле

${displaystyle L=int limits _{a}^{b}{sqrt {1+left(f'left(xright)right)^{2}}},dx}$

Например, для вычисления длины первой арки синусоиды необходимо вычислить нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, который не берётся явно. Поэтому для вычисления подобных интегралов сегодня обычно сразу используют численное интегрирование.

Примечания[править | править код]

↑ Сегмент // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 1100—1101.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 512.
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 68. — 720 с.
↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 213. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

Литература[править | править код]

Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение сегмента круга и формулы, с помощью которых можно вычислить его площадь (через радиус и центральный угол кругового сектора). Также разберем примеры решения задач для демонстрации практического применения формул.

Определение сегмента круга
Формулы нахождения площади кругового сегмента
- Через радиус и центральный угол в градусах
- Через радиус и угол сектора в радианах
Примеры задачи

Определение сегмента круга

Сегмент круга – это часть круга, которая ограничена дугой окружности и ее хордой.

Хорда – это часть прямой (секущей), которая пересекает круг. Концы хорды соединяются с центром круга, в результате чего образуется равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются радиусом окружности. Если к этом треугольнику добавить сегмент, получится сектор.

Сегмент круга

На рисунке выше:

сегмент круга закрашен зеленым цветом;
отрезок AB – это хорда;
часть окружности между точками AB – дуга окружности;
R – радиус круга;
α – угол сектора.

Формулы нахождения площади кругового сегмента

Через радиус и центральный угол в градусах

α° – угол в градусах.

Примечание: в расчетах используется значение π, приблизительное равное числу 3,14.

Через радиус и угол сектора в радианах

α_рад – угол в радианах.

Примеры задачи

Задание 1
Найдите площадь сегмента круга, если его радиус равен 8 см, а центральный угол сектора, стягивающего сегмент, составляет 45 градусов.

Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Площадь кругового сегмента составляет 24 см², а центральный угол сектора круга, частью которого является сегмент, равняется 1 радиану. Найдите радиус круга.

Решение
В данном случае мы можем получить радиус из формулы, в которой задействован угол в радианах:

Пример нахождения радиуса круга через площадь сегмента и центральный угол в радианах

Источник

Круг

Площадь круга
Сектор круга. Площадь сектора
Сегмент. Площадь сегмента

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:

геометрия площадь круга

O — центр круга, OA — радиус круга.

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

S = πr²,

где S — площадь круга, а r — радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S = π(	D	)² = π	D²	= π	D²	.
2	2²	4

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

сектор круга

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

площадь сектора круга

Формула площади сектора:

S =	πr²	· n =	πr²n	,
360	360

где S — площадь сектора. Выражение

можно представить в виде произведения

πr²n	= n ·	πr	·	r	,
360	180	2

где	nπr	— это длина дуги сектора.
180

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

сегмент круга

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

площадь сегмента круга

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

Источник

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента – по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Длина дуги сегмента круга по хорде и высоте — онлайн-калькулятор

Формулы расчета длины дуги

Длина дуги вычисляется по стандартной формуле (1), однако в этом расчете все переменные неизвестны, соответственно их нужно вывести из других формул геометрии круга. Радиус круга (4) выражается через формулы хорды (2) и высоты сегмента (3), по этим же формулам можно получить значение угла сегмента (5).

R = h/2 + W 2 /(8 × h) (4)
α = 2 × arcsin[W / (2 × R)] (5)

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

[spoiler title=”источники:”]

http://kalk.pro/math/dlina-dugi-segmenta-kruga/

http://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

[/spoiler]

Источник

Определение сегмента круга

Сегмент — это геометрическая фигура, которая получается путем отсечение части круга хордой.

Онлайн-калькулятор площади сегмента круга

Находится эта фигура между хордой и дугой круга.

Хорда

Это отрезок, лежащий внутри круга и соединяющий две произвольно выбранные точки на нем.

При отсечении части круга хордой можно рассмотреть две фигуры: это наш сегмент и равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – радиусы круга.

Площадь сегмента можно найти как разность площадей сектора круга и этого равнобедренного треугольника.

Площадь сегмента можно найти несколькими способами. Остановимся на них более подробно.

Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника

S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅aS=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot a

RR — радиус круга;
ss — длина дуги;
hh — высота равнобедренного треугольника;
aa — длина основания этого треугольника.

Пример

нахождения площади через каноническое уравнение

Дан круг, его радиус, численно равный 5 (см.), высота, которая проведена к основанию треугольника, равная 2 (см.), длина дуги 10 (см.). Найти площадь сегмента круга.

Решение

R=5R=5
h=2h=2
s=10s=10

Для вычисления площади нам не хватает только основания треугольника. Найдем его по формуле:

a=2⋅h⋅(2⋅R−h)=2⋅2⋅(2⋅5−2)=8a=2cdotsqrt{hcdot(2cdot R-h)}=2cdotsqrt{2cdot(2cdot 5-2)}=8

Теперь можно вычислить площадь сегмента:

S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅a=12⋅5⋅10−12⋅2⋅8=17S=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot a=frac{1}{2}cdot 5cdot 10-frac{1}{2}cdot 2cdot 8=17 (см. кв.)

Ответ: 17 см. кв.

Формула площади сегмента круга по радиусу круга и центральном углу

S=R22⋅(α−sin⁡(α))S=frac{R^2}{2}cdot(alpha-sin(alpha))

RR — радиус круга;
αalpha — центральный угол между двумя радиусами, стягивающий хорду, измеряющийся в радианах.

Пример

нахождения площади через каноническое уравнение

Найти площадь сегмента круга, если радиус круга равен 7 (см.), а центральный угол 30 градусов.

Решение

R=7R=7
α=30∘alpha=30^{circ}

Переведем сначала угол в градусах в радианы. Поскольку πpi радиан равен 180 градусов, то:
30∘=30∘⋅π180∘=π630^{circ}=30^{circ}cdotfrac{pi}{180^{circ}}=frac{pi}{6} радиан. Тогда площадь сегмента:

S=R22⋅(α−sin⁡(α))=492⋅(π6−sin⁡(π6))≈0.57S=frac{R^2}{2}cdot(alpha-sin(alpha))=frac{49}{2}cdotBig(frac{pi}{6}-sinBig(frac{pi}{6}Big)Big)approx0.57 (см. кв.)

Ответ: 0.57 см. кв.

Не знаете, как выполнить работу с нахождением площади сегмента круга? Наши эксперты помогут вам решить контрольную по геометрии онлайн!

Тест по теме «Площадь сегмента круга»

Источник

Характеристики[править | править код]

Сегмент круга[править | править код]

Сегмент параболы[править | править код]

Сегмент эллипса[править | править код]

Другие виды плоских сегментов[править | править код]

Площадь[править | править код]

Длина дуги[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Определение сегмента круга

Формулы нахождения площади кругового сегмента

Через радиус и центральный угол в градусах

Через радиус и угол сектора в радианах

Примеры задачи

Круг

Площадь круга

Сектор круга. Площадь сектора

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент круга

Формулы вычисления параметров сегмента

Длина дуги сегмента круга по хорде и высоте — онлайн-калькулятор

Формулы расчета длины дуги

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

Длина окружности

Длина дуги

Площадь сектора

Площадь сегмента

Онлайн-калькулятор площади сегмента круга

Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника

Формула площади сегмента круга по радиусу круга и центральном углу

Тест по теме «Площадь сегмента круга»

Вам также может понравиться

Как найти рост производительности труда формула

Контейнер ключа электронной подписи как найти

Как составить претензию в согаз

Добавить комментарий Отменить ответ