Сила реакции стержня как найти

Определением реакций опор называют расчет величины и направления реактивных (т.е. ответных) сил и моментов, возникающих в опорах конструкций под действием системы заданных внешних нагрузок.

В рассмотренных ниже примерах, для наглядности, заданные внешние нагрузки показаны синим или зеленым цветом, а реакции опор — красным или оранжевым.

При решении задач, определяемые реакции опор могут обозначаться по разному:

1. буквой R (от англ. Reaction). В этом случае, для уточнения точки приложения и направления силы могут добавляться соответствующие индексы (например, R_A^y — это реакция в точке A направленная вдоль оси Y);
2. буквами V (Vertical) и H (Horizontal) обозначаются соответственно вертикальная и горизонтальная составляющие полной реакции (например, H_B — это реакция в точке B направленная вдоль оси балки);
3. Также возможно обозначение реакций по осям координат — Y_A, X_B и т.д.

Рассмотрим решение всех типов задач по расчету величины и направления опорных реакций в заделках, шарнирных опорах и стержнях:

Примеры нахождения реакций опор

Примеры нахождения реакций опор для различных способов закрепления и нагружения бруса, балок, рам и других элементов конструкций.

Реакции опоры и стержня системы

Невесомая балка удерживается в горизонтальном положении шарнирно-неподвижной опорой в т. A и вертикальным стержнем BC.
В точке D к балке приложена сосредоточенная сила F=30кН под углом 50°.

Требуется найти реакции, возникающие в опоре A и стержне BC.

Решение
Для решения задачи, покажем систему координат x-y и зададим произвольное направление реакций.

В точке A реакция в опоре раскладывается на две составляющие — вертикальную V_A и горизонтальную H_A.
Реакция в стержне (R_B) всегда направлена вдоль самого стержня.

Для определения трех реакций требуется три уравнения равновесия.
Это будут два уравнения суммы моментов относительно точек в опорах и сумма проекций всех сил на ось x равные нулю.
Составим их:

Из полученных уравнений выражаем и находим искомые реакции опор

Вертикальная реакция в опоре A получилась отрицательной, это значит что она направлена в противоположную сторону.
Направляем ее вниз, изменив знак на «плюс».

Выполним проверку найденных реакций, проецируя все силы на ось y.

Равенство нулю суммы проекций всех сил и реакций показывает то, что реакции опор найдены верно.

Таким образом, заданная балка удерживается в равновесии под действием одной активной и трех реактивных сил.

Расчет реакций опор балки

Простая балка на двух шарнирных опорах нагружена системой усилий, включающей силу F=60кН, приложенную под углом 40°, момент M=45кНм и равномерно распределенную нагрузку q=18кН/м.

Требуется определить реакции в опорах A и C.

Решение
Вычерчиваем заданную схему в масштабе, показываем численные значения нагрузок, систему координат x-y и задаем произвольное направление реакций.

Здесь, в шарнирно-подвижной опоре будет только одна составляющая реакции.

Для упрощения решения, распределенную нагрузку можно заменить её равнодействующей, которая при равномерном распределении q будет приложена по её центру


а силу F можно разложить на составляющие, спроецировав её на оси x и y.

В следющих примерах эти действия выполнять не будем, проводя вычисления напрямую со значениями q и F.

Аналогично тому, как это делалось при решении предыдущей задачи, записываем уравнения равновесия балки: нулевые суммы моментов всех нагрузок и искомых реакций относительно опор

и проекций сил на ось балки

Откуда находим все три опорные реакции

Все результаты положительны, следовательно, направление реакций было выбрано верно.

Проверяем найденные значения.

Величина реакций рассчитана правильно.

Подробное решение данного типа задач

Остальные задачи по определению опорных реакций с детальным разбором выполняемых действий:

При растяжении-сжатии стержней

Определение реакций в опорах стержней и стержневых систем при действии продольных сил.

• Расчет опорной реакции при растяжении-сжатии
• Расчет опорной реакции ступенчатого бруса
• Опорная реакция в заделке стержня с продольно распределенной нагрузкой

При кручении

Примеры расчета опорных моментов и реакций в подшипниках вала при кручении.

• Определение неизвестного крутящего момента вала
• Определение реакций подшипников пространственно нагруженного вала
• Расчет уравновешивающего момента вала

При изгибе балок и рам

Определение реакций в шарнирных опорах и заделках консольных балок и рам при действии систем внешних сил, моментов и распределенных нагрузок.

• Определение реакций в опорах двухопорной балки
• Расчет опорных реакций консольной балки
• Определение опорных реакций в жесткой заделке при изгибе
• Определение реакций опор балки, когда сила приложена под углом
• Проверка опорных реакций балки
• Расчет реакций в опорах рамы
• Определение опорных реакций балки (Видео)

Наш короткий видеоурок по расчету реакций опор балки:

Другие видео

Другие примеры определения реакций опор

Расчет реакций в опорах нестандартных систем.

• Определение реакции шарнира и опоры
• Реакции в шарнирах
• Реакции опор и шарнира
• Расчет веса противовеса и реакций в шарнирах
• Величина груза обеспечивающая равновесие и реакции в подшипниках
• Определение усилий в стержнях
• Натяжение троса и реакция опоры
• Реакции опор в точках системы
• Опорные реакции невесомой конструкции
• Опорные реакции в скользящей заделке
• Давление в шарнире и реакции в бискользящей заделке
• Реакции в скользящей заделке
• Расчет усилия в стержне

Типы опор и их реакции

В механике различают тела свободные: возможность перемещения, которых в любом направлении ничем не ограничена, и несвободные, когда перемещение данного тела ограничивают другие тела.

Сами тела ограничивающие свободу перемещения данного тела называют опорами (связями), а силы, с которыми опоры удерживают данное тело в равновесии, называют реакциями опор.

Направление реакций зависит от вида опор и схемы нагружения.

При решении задач очень важно правильно заменить опоры их реакциями, иначе записанные уравнения равновесия окажутся неверными.

И здесь важно помнить о том, что реакции могут появляться только по тем направлениям, в которых перемещение невозможно.

Рассмотрим определение реакций в основных типах опор:

Другие видео

Реакция гладкой поверхности

Пусть некоторое тело опирается на гладкую поверхность.

Здесь перемещение тела возможно только вдоль поверхности.
Движение перпендикулярно ей исключено.

Потому что перемещению в сторону поверхности препятствует сама поверхность, а при движении от нее нарушится сама связь.
Таким образом, гладкая поверхность препятствует перемещению тела только в направлении нормали, поэтому реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности.

При взаимодействии криволинейных поверхностей аналогично, реакция направлена нормально к касательной в точке контакта тел.

То же самое будет при контакте в двух точках.

Реакция ребра

В случае, когда прямая балка опирается на ребро, реакции будут направлены перпендикулярно опираемой или опирающейся плоскости в точке их касания.

При повороте балки реакция всегда будет оставаться нормальной к соответствующей поверхности.

Гибкая связь

Для тела, подвешенного на нерастяжимой нити или тросе, связь не позволяет телу удаляться от точки подвеса в направлении самой нити.
Поэтому реакция гибкий связи будет направлена всегда только вдоль самой нити.

Реакции в стержнях

Как и в предыдущем пункте, в стержнях, которые с помощью шарниров соединяют какие-либо элементы с опорами, реакции направлены вдоль самих стержней.

Но в отличие от нитей, здесь может быть одно из двух направлений: растягивающее стержень или сжимающее его.

Реакции в шарнирных опорах

На плоскости возможны только три направления перемещения:
Линейные — вдоль осей x и y, и вращение относительно оси Z.

Поэтому в двумерных системах каждая опора может давать не более трех реакций.
Если свободное тело закрепить шарнирно-неподвижной опорой, которая допускает вращение, но исключает любые линейные перемещения, то в такой опоре могут возникать две реакции.

Они являются осевыми проекциями полной реакции опоры, которая может быть найдена как корень из суммы квадратов её составляющих.
Направление вектора полной реакции зависит от схемы нагружения элемента.

Встречаются разные способы изображения шарнирно-неподвижных опор в расчетных схемах.
В шарнирно-подвижных опорах, помимо вращения возможно линейное перемещение вдоль поверхности, поэтому здесь будет только одна, нормальная к поверхности, составляющая реакции, которая по направлению и величине будет совпадать с полной.

У таких опор так же существуют дополнительные варианты схематичного изображения.
Пример направления реакций опор для балки на двух шарнирных опорах.

Реакции в заделках

Вид связи, при котором брус жестко закреплен в опоре называется глухой заделкой.
В этом случае исключены любые перемещения элемента.

Поэтому в плоских заделках может возникать до трех реакций: горизонтальная и вертикальная составляющие полной реакции, а также момент.
Скользящая заделка допускает линейное перемещение вдоль одной из осей.

Следовательно, по этой оси реакции не будет.
В бискользящей заделке исключается только угловое перемещение элемента.

Здесь из реакций будет один момент.

Реакции опор в трехмерных системах

В пространстве возможно уже шесть направлений движения:
Поступательные вдоль каждой из осей и вращение относительно них.

Поэтому в трехмерных системах опоры могут давать до шести реакций.
Шкив на валу, закрепленном подшипниками, может вращаться относительно продольной оси вала.

Любые другие перемещения невозможны.
В силу конструктивных особенностей подшипников моментов в них не возникает.
Здесь имеют место только реактивные силы.
В радиальном подшипнике (который справа) все реакции поперечны оси вала.
В радиально-упорном (который слева) добавляется еще и продольная.

В трехмерном шарнире исключены любые линейные перемещения и возможны только повороты относительно трех осей, что дает до трех составляющих полной реакции R.

В жесткой заделке при общем случае нагружения может возникать до шести реакций: трёх сил и трех моментов.

Пример замены опор их реакциями для трехмерной системы:

Порядок расчета опорных реакций

В рассмотренных выше примерах при определении реакций в опорах выполняется следующая последовательность действий:

1. Вычерчивается (в масштабе) расчетная схема элемента с указанием всех размеров и приложенных внешних нагрузок;
2. Выбирается система координат и обозначаются характерные сечения бруса;
3. Определяется количество и возможное направление связей;
4. Записываются уравнения статики (по количеству неизвестных реакций);
5. Из уравнений равновесия находим величину и направление (по знаку) опорных реакций.

После расчетов выполняется проверка найденных значений.
Более подробно порядок расчета опорных реакций рассматривается в разделе «Статика» теоретической механики.

Другие примеры решения задач >

Сила реакции опоры — это сила, с которой опора действует на тело. Она направлена перпендикулярно поверхности, поэтому такую силу называют силой нормальной реакции. Обозначают ее символом N и измеряют в Ньютонах.

Тело находится на выпуклой или вогнутой поверхности

Рассмотрим рисунок 1. Тело находится на опоре и давит на нее своим весом. Опора реагирует на воздействие тела и отвечает ему силой (vec{N}). Эта сила направлена перпендикулярно поверхности, вдоль вектора нормали, поэтому ее называют нормальной силой.

Примечания:

• Нормаль – значит, перпендикуляр.
• Искривленную, т.е., выпуклую, или вогнутую поверхность, можно считать частью сферы. Центр сферы – точка, она находится внутри сферы, от этой точки к поверхности сферы можно провести радиус.

(vec{N} left( H right) ) – сила, с которой опора действует на тело.

Когда тело находится на выпуклой поверхности (рис. 1а), реакция направлена вдоль радиуса от центра сферы наружу, за ее пределы.

Если же тело находится на вогнутой части (рис. 1б) поверхности, реакция (vec{N}) направлена по радиусу внутрь сферической поверхности к ее центру.

Тело опирается на поверхность в двух точках

На рисунках 2а и 2б изображено продолговатое тело (к примеру, стержень), опирающееся на поверхности двумя своими точками.

В точках соприкосновения поверхность отвечает телу силой (vec{N}) своей реакции. Видно, что в каждая сила реакции направлена перпендикулярно поверхности.

Cилы реакции (vec{N_{1}}) и (vec{N_{2}})  имеют различные направления и в общем случае не равны по модулю.

[large vec{N_{1}} ne vec{N_{2}}]

Примечание: Сила — это вектор. Между векторами можно ставить знак равенства, только, когда совпадают характеристики векторов.

Как рассчитать силу нормальной реакции

Пусть тело давит на опору своим весом. В местах соприкосновения тела с опорой наблюдается упругая деформация. При этом опора стремится избавиться от возникшей деформации и вернуться в первоначальное состояние. Силы, с которыми опора упруго сопротивляется воздействию тела, имеют электромагнитную природу. Когда сближаются электронные оболочки атомов тела и опоры, между ними возникает сила отталкивания. Она и является силой реакции опоры на воздействие тела.

Примечание: Сила реакции (vec{N}) распределяется по всей площади соприкосновения тела и опоры. Но для удобства ее обычно считают сосредоточенной силой. Ее изображают на границах соприкасающихся поверхностей исходящей из точки, расположенной под центром масс тела.

Для того, чтобы рассчитать силу реакции, нужно понимать законы Ньютона, уметь составлять силовые уравнения и знать, что такое равнодействующая.

На рисунке 3 изображены тела, находящиеся на горизонтальной – а) и наклонной – б) поверхностях.

Рассмотрим подробнее рисунок 3а. Тело на горизонтальной поверхности находится в покое. Значит, выполняются условия равновесия тела.

По третьему закону Ньютона, сила, с которой тело действует на опору, равна по модулю весу тела и направлена противоположно весу.

[large boxed{ N = m cdot g }]

(m vec{g} left( H right) ) – сила, с которой тело действует на опору;

(vec{N} left( H right) ) – сила, с которой опора отвечает телу;

Рисунок 3б иллюстрирует тело на наклонной поверхности. Перпендикулярно соприкасающимся поверхностям проведена ось Oy. Проекция силы (m vec{g}) на ось — это (mg_{y}), она будет направлена противоположно реакции опоры (vec{N}) и численно равна ей.

Примечание: Выражение «численно равна» нужно понимать, как «длины векторов равны».

[large boxed{ N = m cdot g cdot cos(alpha) }]

(alpha  left(text{рад} right) ) – угол между силой (mg) и осью Oy.

Итоги

1. Сила, с которой опора сопротивляется воздействию тела, называется силой реакции опоры, она имеет электромагнитную природу.
2. Ее, как и любую силу, измеряют в Ньютонах, обозначают так: (vec{N}).
3. Реакция опоры направлена перпендикулярно поверхности, поэтому ее называют силой нормальной реакции.
4. Сила (vec{N}) распределена по площади соприкосновения, но для удобства ее обычно считают сосредоточенной силой. Ее изображают исходящей из точки, расположенной под центром масс тела на границах между поверхностями тела и опоры.
5. Чтобы рассчитать силу реакции, нужно знать законы Ньютона, уметь составлять силовые уравнения и понимать, что такое равнодействующая.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕЙ

(аналитический способ)

Последовательность решения задачи

1. Выбрать тело (точку), равновесие
которого следует рассматривать.

2. Освободить тело (шарнир В) от связей
и изобразить действующие на него силы и реакции отброшенных связей. Причем
реакции стержней следует направить от шарнира В, так как принято предлагать,
что стержни растянуты.

3. Выбрать оси координат и составить
уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на
плоскости.

å F_{i х}  = 0;

å F_i
у  = 0

Выбирая оси координат, следует
учитывать, что полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей
направить перпендикулярно одной из неизвестных сил.

4. Определить реакции стержней из
решения указанной системы уравнений.

5. Проверить правильность полученных
результатов, решив уравнения равновесия относительно заново выбранных координат
Х и У.

Пример. Определить реакции стержней,
удерживающих грузы

F₁=70 кН и F₂=100 кН (рис. 1). Массой стержней пренебречь.

Рис. 1
– Схема задачи

Решение:

1. Рассматриваем равновесие шарнира
В (рис. 1).

2. Освобождаем шарнир
В от связей и изображаем
действующие на него активные силы и реакции связей (рис. 2).

3. Выбираем систему координат,
совместив ось У
по направлению с
реакцией R₂ (рис. 2) и составляем
уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

Рис. 2
– Выбор систем координат

å F_{i х} 
= 0;   – R₁
× cos 45° + F₂ × cos
30°
= 0                       (1)

å F_{i у} 
= 0;   R₁
× cos 45° + R₂ + F₂ × cos
60° – F₁ = 0          (2)

4. Определяем реакции стержней R₁ и R₂ решая уравнения.

Из
уравнения ( 1 ) получаем

Подставляя
найденное значение R₁ в уравнение ( 2 ), получаем

R₂ = F₁ – F₂ × cos 60° – R₁ × cos 45° = 70 – 100× 0,5 – 122 × 0,707 = – 66,6 кН

Знак минус перед значением
R₂ указывает на то, что
первоначально выбранное направление реакции неверное – следует направить
реакцию R₂ в противоположную сторону, то
есть к шарниру В (на
рис. 3 истинное направление реакции R₂ показано штриховым вектором).

Рис. 3
– Истинное направление
реакций

5. Проверяем правильность полученных
результатов, выбрав новое расположение осей координат Х и У (рис. 4). Относительно этих
осей составляем уравнения равновесия:

Рис. 4
– Выбор систем координат

å F_{i х} 
= 0;   – R₂
× cos 45° + F₂ × cos
15° – F₁ × cos
45° = 0          (3)

å F_{i у} 
= 0;   R₁
 – F₁ × cos 45° – R₂ × cos
45° – F₂ × cos
75°
= 0      (4)

Подставляем значения
реакций R₁ и R₂, полученные при решении
уравнений (1) и (2), в уравнения (3) и (4).

Условия равновесия å F_{i х} =
0;å F_{i у} = 0
выполняется следовательно, задача решена правильно.

Задача. Определить
реакции стержней, удерживающих грузы F₁ и F₂. Массой
стержней пренебречь. Схему своего варианта смотри на рисунке 5. Числовые данные
своего варианта взять из таблицы 1.

Таблица 1 – Исходные данные

Рис. 5
– Схема задачи