| Земля | 9,81 м/с² | 1,00 g | Солнце | 273,1 м/с² | 27,85 g |
| Луна | 1,62 м/с² | 0,165 g | Меркурий | 3,70 м/с² | 0,378 g |
| Венера | 8,88 м/с² | 0,906 g | Марс | 3,86 м/с² | 0,394 g |
| Юпитер | 24,79 м/с² | 2,528 g | Сатурн | 10,44 м/с² | 1,065 g |
| Уран | 8,86 м/с² | 0,903 g | Нептун | 11,09 м/с² | 1,131 g |
| Эрида | 0,82 ± 0,02 м/с² | 0,084 ± 0,002 g | Плутон | 0,617 м/с² | 0,063 g |
Ускоре́ние свобо́дного паде́ния (ускорение силы тяжести) — ускорение, придаваемое телу силой тяжести (или, иными словами, ускорение тела при свободном падении), при исключении из рассмотрения других сил.
В соответствии с уравнением движения тел в неинерциальных системах отсчёта[2] ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,82 м/с² на полюсах[3]. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет 9,80665 м/с²[4][5]. Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле: оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно округляют до 9,81, 9,8 или даже до 10 м/с².
Физическая сущность[править | править код]
Две компоненты ускорения свободного падения на Земле
g: гравитационная (в приближении сферически симметричной зависимости плотности от расстояния от центра Земли) равна
GM/r2 и центробежная, равная
ω2a, где
a — расстояние до земной оси,
ω — угловая скорость вращения Земли.
Для определённости будем считать, что речь идёт о свободном падении на Земле. Эту величину можно представить как векторную сумму двух слагаемых: гравитационного ускорения, вызванного земным притяжением, и центробежного ускорения, связанного с вращением Земли.
Центробежное ускорение[править | править код]
Центробежное ускорение является следствием вращения Земли вокруг своей оси. Именно центробежное ускорение, вызванное вращением Земли вокруг своей оси, вносит наибольший вклад в неинерциальность системы отсчёта, связанную с Землёй. В точке, находящейся на расстоянии a от оси вращения, оно равно ω2a, где ω — угловая скорость вращения Земли, определяемая как ω = 2π/T, а Т — время одного оборота вокруг своей оси, для Земли равное 86164 секундам (звёздные сутки). Центробежное ускорение направлено по нормали к оси вращения Земли. На экваторе оно составляет 3,39636 см/с², причём на других широтах направление вектора его не совпадает с направлением вектора гравитационного ускорения, направленного к центру Земли.
Гравитационное ускорение[править | править код]
| h, км | g, м/с² | h, км | g, м/с² |
|---|---|---|---|
| 0 | 9,8066 | 20 | 9,7452 |
| 1 | 9,8036 | 50 | 9,6542 |
| 2 | 9,8005 | 80 | 9,5644 |
| 3 | 9,7974 | 100 | 9,505 |
| 4 | 9,7943 | 120 | 9,447 |
| 5 | 9,7912 | 500 | 8,45 |
| 6 | 9,7882 | 1000 | 7,36 |
| 8 | 9,7820 | 10 000 | 1,50 |
| 10 | 9,7759 | 50 000 | 0,125 |
| 15 | 9,7605 | 400 000 | 0,0025 |
В соответствии с законом всемирного тяготения, величина гравитационного ускорения на поверхности Земли или космического тела связана с его массой M следующим соотношением:
,
где G — гравитационная постоянная (6,67430[15]·10−11 м3·с−2·кг−1)[6], а r — радиус планеты. Это соотношение справедливо в предположении, что плотность вещества планеты сферически симметрична. Приведённое соотношение позволяет определить массу любого космического тела, включая Землю, зная её радиус и гравитационное ускорение на её поверхности, либо, наоборот, по известной массе и радиусу определить ускорение свободного падения на поверхности.
Исторически масса Земли была впервые определена Генри Кавендишем, который провёл первые измерения гравитационной постоянной.
Гравитационное ускорение на высоте h над поверхностью Земли (или иного космического тела) можно вычислить по формуле:
,
- где M — масса планеты.
Ускорение свободного падения на Земле[править | править код]
Ускорение свободного падения у поверхности Земли зависит от широты. Приблизительно оно может быть вычислено (в м/с²) по эмпирической формуле[7][8]:
- где
— широта рассматриваемого места,
— высота над уровнем моря в метрах.
Полученное значение лишь приблизительно совпадает с ускорением свободного падения в данном месте. При более точных расчётах необходимо использовать одну из моделей гравитационного поля Земли[en][9], дополнив её поправками, связанными с вращением Земли, приливными воздействиями.
На ускорение свободного падения влияют и другие факторы, например, атмосферное давление, которое меняется в течение суток: от атмосферного давления зависит плотность воздуха в большом объёме, а следовательно и результирующая сила тяжести, изменение которой могут зафиксировать высокочувствительные гравиметры[10].
Пространственные изменения гравитационного поля Земли (гравитационные аномалии) связаны с неоднородности плотности в её недрах, что может быть использовано для поиска залежей полезных ископаемых методами гравиразведки.
Почти везде ускорение свободного падения на экваторе ниже, чем на полюсах, за счёт центробежных сил, возникающих при вращении планеты, а также потому, что радиус r на полюсах меньше, чем на экваторе из-за сплюснутой формы планеты. Однако места экстремально низкого и высокого значения g несколько отличаются от теоретических показателей по этой модели. Так, самое низкое значение g (9,7639 м/с²) зафиксировано на горе Уаскаран в Перу в 1000 км южнее экватора, а самое большое (9,8337 м/с²) — в 100 км от Северного полюса[11].
| Ускорение свободного падения для некоторых городов | ||||
|---|---|---|---|---|
| Город | Долгота | Широта | Высота над уровнем моря, м | Ускорение свободного падения, м/с² |
| Алма-Ата | 76,85 в.д. | 43,22 с.ш. | 786 | 9.78125 |
| Берлин | 13,40 в.д. | 52,50 с.ш. | 40 | 9,81280 |
| Будапешт | 19,06 в.д. | 47,48 с.ш. | 108 | 9,80852 |
| Вашингтон | 77,01 з.д. | 38,89 с.ш. | 14 | 9,80188 |
| Вена | 16,36 в.д. | 48,21 с.ш. | 183 | 9,80860 |
| Владивосток | 131,53 в.д. | 43,06 с.ш. | 50 | 9,80424 |
| Гринвич | 0,0 в.д. | 51,48 с.ш. | 48 | 9,81188 |
| Каир | 31,28 в.д. | 30,07 с.ш. | 30 | 9,79317 |
| Киев | 30,30 в.д. | 50,27 с.ш. | 179 | 9,81054 |
| Мадрид | 3,69 в.д. | 40,41 с.ш. | 667 | 9,79981 |
| Минск | 27,55 в.д. | 53,92 с.ш. | 220 | 9,81347 |
| Москва | 37,61 в.д. | 55,75 с.ш. | 151 | 9,8154 |
| Нью-Йорк | 73,96 з.д. | 40,81 с.ш. | 38 | 9,80247 |
| Одесса | 30,73 в.д. | 46,47 с.ш. | 54 | 9.80735 |
| Осло | 10,72 в.д. | 59,91 с.ш. | 28 | 9,81927 |
| Париж | 2,34 в.д. | 48,84 с.ш. | 61 | 9,80943 |
| Прага | 14,39 в.д. | 50,09 с.ш. | 297 | 9,81014 |
| Рим | 12,99 в.д. | 41,54 с.ш. | 37 | 9,80312 |
| Стокгольм | 18,06 в.д. | 59,34 с.ш. | 45 | 9,81843 |
| Токио | 139,80 в.д. | 35,71 с.ш. | 18 | 9,79801 |
Измерение[править | править код]
Ускорение свободного падения у поверхности Земли может быть измерено посредством гравиметра. Различают две разновидности гравиметров: абсолютные и относительные. Абсолютные гравиметры измеряют ускорение свободного падения непосредственно. Относительные гравиметры, некоторые модели которых действуют по принципу пружинных весов, определяют приращение ускорения свободного падения относительно значения в некотором исходном пункте.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли или другой планеты может быть также вычислено на основе данных о вращении планеты и её гравитационном поле. Последнее может быть определено посредством наблюдения за орбитами спутников и движения других небесных тел вблизи рассматриваемой планеты.
См. также[править | править код]
- Свободное падение
- Гравиметрия
- Гравиразведка
- Перегрузка (летательные аппараты)
Примечания[править | править код]
- ↑ У планет газовых гигантов и звёзд «поверхность» понимается как область меньших высот в атмосфере, где давление равно атмосферному давлению на Земле на уровне моря (1,013×105 Па). Также у звёзд поверхностью иногда считают поверхность фотосферы.
- ↑ Аналог уравнения второго закона Ньютона, выполняющийся для неинерциальных систем отсчёта.
- ↑ Свободное падение тел. Ускорение свободного падения. Архивировано из оригинала 20101219 года.
- ↑ Декларация III Генеральной конференции по мерам и весам (1901) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 9 апреля 2013. Архивировано 8 июля 2018 года.
- ↑ Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Изд-во стандартов, 1990. — С. 237.
- ↑ CODATA Value: Newtonian constant of gravitation. physics.nist.gov. Дата обращения: 7 марта 2020. Архивировано 23 сентября 2020 года.
- ↑ Грушинский Н. П. Гравиметрия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 521. — 707 с. — 100 000 экз.
- ↑ Ускорение свободного падения // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — Т. 4: Пойнтинга — Робертсона — Стримеры. — С. 245—246. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.
- ↑ ICCEM – table of models (англ.). Дата обращения: 10 ноября 2021. Архивировано из оригинала 24 августа 2013 года.
- ↑ GRAVITY MONITORING AT OIL AND GAS FIELDS: DATA INVERSION AND ERRORS // Геология и геофизика. — 2015. — Т. 56, вып. 5. — doi:10.15372/GiG20150507. Архивировано 2 июня 2018 года.
- ↑ Перуанцам живется легче, чем полярникам? Дата обращения: 21 июля 2016. Архивировано 16 сентября 2016 года.
Литература[править | править код]
- Енохович А. С. Краткий справочник по физике. — М.: Высшая школа, 1976. — 288 с.
Ускорение свободного падения характеризует то, как быстро будет увеличиваться скорость тела при свободном падении. Свободным падением называется ускоренное движение тела в безвоздушном пространстве, при котором на тело действует только сила тяжести. Из физики известно, что ускорение свободного падения на Земле составляет (9,8)
мс2
.
Вопрос, почему эта величина именно такая, мы рассмотрим в этой теме.
Ускорение свободного падения в упрощённом виде можно рассчитать по формуле
g=Fm
, которая получается из формулы
F=m⋅g
, где (F) — сила тяжести либо вес тела в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, (m) — масса тела, которое притягивает планета, (g) — ускорение свободного падения.
Сила тяжести, действующая на тело, зависит от массы тела, массы планеты, притягивающей тело, и от расстояния, на котором находится тело от центра массы планеты.
(F) — сила тяжести, Н;
(G) — гравитационная постоянная,
G=6,6720⋅10−11Н⋅м2кг2
;
(R) — расстояние между центрами планеты и объекта в метрах. Если притягиваемое тело находится на поверхности планеты, тогда (R) равен радиусу планеты (если планета имеет сферическую форму);
m1 и
m2
— масса планеты и притягиваемого тела, выраженные в кг.
Обрати внимание!
Если мы объединим обе формулы, тогда получим формулу
g=G⋅mR2
, с помощью которой можно вычислить ускорение свободного падения на любом космическом объекте — на планете или звезде.
Пример:
ускорение свободного падения у поверхности Земли вычисляют таким образом:
, где
(g) — ускорение свободного падения;
(G) — гравитационная постоянная,
G=6,6720⋅10−11Н⋅м2кг2
;
Практически на Земле ускорение свободного падения на полюсах немного больше ((9,832)
мс2
), чем на экваторе ((9,78)
мс2
), так как Земля не имеет форму идеального шара, а на экваторе скорость вращения больше, чем на полюсах. Среднее значение ускорения свободного падения у поверхности Земли равно (9,8)
мс2
.
Ускорение свободного падения у поверхности любого космического тела — на планете или звезде — зависит от массы этого тела и квадрата его радиуса. Таким образом, чем больше масса звезды и чем меньше её размеры, тем больше значение ускорения свободного падения у её поверхности.
При помощи формулы расчёта ускорения свободного падения и измерений, проведённых для удалённых объектов, учёные-физики могут определить величину ускорения свободного падения на любой планете или звезде.
Рис. (1). Планеты Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун; и карликовые планеты: Церера, Плутон, Эрида ((2003) UB (313))
Таблица (1). Ускорение свободного падения и другие характеристики планет Солнечной системы и карликовых планет
|
Небесное тело |
Ускорение свободного падения, мс2 |
Диаметр, км |
Расстояние до Солнца, миллионы км |
Масса, кг |
Соотношение с массой Земли |
|
Меркурий |
(3,7) |
(4878) |
(58) |
(3,3*) 1023 |
(0,055) |
|
Венера |
(8,87) |
(12103) |
(108) |
(4,9*) 1024 |
(0,82) |
|
Земля |
(9,8) |
(12756,28) |
(150) |
(6,0*) 1024 |
(1) |
|
Марс |
(3,7) |
(6794) |
(228) |
(6,4*) 1023 |
(0,11) |
|
Юпитер |
(24,8) |
(142984) |
(778) |
(1,9*) 1027 |
(317,8) |
|
Сатурн |
(10,4) |
(120536) |
(1427) |
(5,7*) 1026 |
(95,0) |
|
Уран |
(8,87) |
(51118) |
(2871) |
(8,7*) 1025 |
(14,4) |
|
Нептун |
(10,15) |
(49532) |
(4498) |
(1,02*) 1026 |
(17,1) |
|
Плутон |
(0,66) |
(2390) |
(5906) |
(1,3*) 1022 |
(0,0022) |
|
Луна |
(1,62) |
(3473,8) |
(0,3844 ) (до Земли) |
(7,35*) 1022 |
(0,0123) |
|
Солнце |
(274,0) |
(1391000) |
— |
(2,0*) 1030 |
(332900) |
Нейтронные звёзды имеют малый диаметр — порядка десятков километров, — а масса их сопоставима с массой Солнца. Поэтому гравитационное поле у них очень сильное.
Пример:
если диаметр нейтронной звезды равен (20) км, а масса её в (1,4) раза больше массы Солнца, тогда ускорение свободного падения будет в (200000000000) раз больше, чем у поверхности Земли.
Его величина приблизительно равна
2⋅1012 мс2
. Значение ускорения свободного падения для нейтронной звезды может достигать значения
7⋅1012 мс2
.
Все тела взаимодействуют друг с другом. Так, две материальные точки, обладающие массой, притягиваются друг к другу с некоторой силой, которую называют гравитационной, или силой всемирного тяготения.
Сила всемирного тяготения — сила, с которой все тела притягиваются друг к другу.
Закон всемирного тяготения
Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
F — сила всемирного тяготения, m1 и m2 — массы двух притягивающихся друг к другу тел, R — расстояние между этими телами, G — гравитационная постоянная (G = 6,67∙10–11 Н ∙ м2/кг2).
Сила всемирного тяготения направлена по линии, соединяющей центры двух тел.
Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя точечными телами массой 1 кг каждое, если расстояние между ними равно 1 м. Если R = 1 м, m1 = 1 кг и m2 = 1 кг, то F = G.
G = 6,67∙10–11 Н ∙ м2/кг2.
Сила тяжести
Согласно закону всемирного тяготения, все тела притягиваются между собой. Так, Земля притягивает к себе падающий на нее мяч, а мяч притягивает к себе Землю.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает к себе тела.
Сила тяжести действует на все тела, находящиеся в поле притяжения Земли. Она всегда направлена к центру нашей планеты.
Расчет силы тяжести на Земле
Силу тяжести можно рассчитать с помощью закона всемирного тяготения. Тогда одна из масс будет равна массе земли. Обозначим ее большой буквой M. Вторая масса будет принадлежать телу, притягивающемуся к Земли. Обозначим его m. В качестве R будет служить радиус Земли. В таком случае сила тяжести будет определяться формулой:
Вывод формулы ускорения свободного падения
Согласно второму закону Ньютона, сила, которая действует на тело, сообщает ему ускорение. Поэтому силу тяжести также можно выразить через это ускорение. Обозначим его g — ускорение свободного падения.
Пример №1. Мальчик массой 50 кг прыгнул под углом 45 градусов к горизонту. Найти силу тяжести, действующую на него во время прыжка.
Сила тяжести зависит только от массы тела и ускорения свободного падения. Направлена она всегда к центру Земли, и от характера движения тела не зависит. Поэтому:
Мы получили две формулы для вычисления силы тяжести: одну — исходя из закона всемирного тяготения, вторую — исходя из второго закона Ньютона. Приравняем правые части формул и получим:
Отсюда:
Формула расчета ускорения свободного падения
Вместо массы и радиуса Земли можно взять массы и радиусы любых планет. Так можно рассчитать ускорение свободного падения для любого космического тела.
Пример №2. Рассчитать ускорение свободного падения на Луне. Считать, что радиус Луны равен 1736 км, а ее масса — 7,35∙1022 кг.
Переведем километры в метры: 1736 км = 1736000 м.
Первая космическая скорость
Исаак Ньютон смог доказать, что причиной падения тел на Землю, движения Луны вокруг Земли и движения Земли вокруг Солнца является сила тяготения. Если камень бросить в горизонтальном направлении, его траектория будет отклонена от прямой линии под действием земной силы тяжести. Если же придать этому камню большую скорость, камень приземлится на большем расстоянии. Значит, существует такая скорость, при которой камень не приземлится, а начнет бесконечно вращаться вокруг Земли.
ОпределениеПервая космическая скорость — минимальная (для заданной высоты над поверхностью планеты) горизонтальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты.
Вывод формулы первой космической скорости
Когда тело массой m вращается на некоторой высоте h, расстояние между ним и центром Земли равно сумме этой высоты и радиуса Земли. Поэтому сила тяготения между этим телом и Землей будет равна:
Движение тела вокруг планеты — частный случай движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью. Мы уже знаем, что такое тело движется с центростремительным ускорением, направленным к центру окружности. В данном случае центростремительное ускорение будет направлено к центру Земли. Это ускорение сообщает телу сила тяготения.
Так как тело движется на некоторой высоте h от поверхности Земли, центростремительное ускорение будет определяться формулой:
Подставив это ускорение в формулу второго закона Ньютона, получим силу, с которой Земля притягивает к себе тело массой m:
Приравняем правые части формул, следующих из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона, и получим:
Отсюда скорость, с которой должно тело массой m бесконечно вращаться вокруг Земли на высоте h, равна:
Скорость бесконечно вращающегося вокруг Земли тела не зависит от его массы. Она зависит только от высоты, на которой оно находится. Чем выше высота, тем меньше скорость его вращения.
Тело, вращающееся вокруг планеты, называется ее спутником. Чтобы любое тело стало спутником Земли, нужно сообщить ему некоторую скорость на поверхности планеты в горизонтальном направлении. Высота h в этом случае равна 0. Тогда эта скорость будет равна:
8 км/с — первая космическая скорость Земли.
Пример №3. Рассчитать первую космическую скорость для Венеры. Считать, что масса Венеры равна 4,87∙1024 кг, а ее радиус равен 6052 км.
Задание EF18521
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами, находящимися на расстоянии 2 м друг от друга, равна 9 нН. Какова будет сила притяжения между ними, если расстояние увеличить до 6 м? Ответ выразите в наноньютонах (нН).
Алгоритм решения
- Записать исходные данные.
- Записать закон всемирного тяготения.
- Установить зависимость между силой гравитационного притяжения и расстоянием между телами.
- На основании вывода о зависимости двух величин вычислить гравитационное притяжение между двумя шарами при изменении расстояния между ними.
Решение
Запишем исходные данные:
- Расстояние между двумя шарами в первом случае: R1 = 2 м.
- Расстояние между двумя шарами во втором случае: R2 = 6 м.
- Сила гравитационного притяжения между двумя шарами в первом случае: F1 = 9 нН.
Запишем закон всемирного тяготения:
Из формулы видно, что сила гравитационного притяжения обратно пропорционально квадрату расстояния между телами массами m1 и m2.
R2 больше R1 втрое (6 больше 2 в 3 раза). Следовательно, расстояние между шарами тоже увеличилось втрое. В таком случае сила гравитационного притяжения между ними уменьшится в 32 раз, или в 9 раз. Так как в первом случае эта сила была равна 1 нН, то во втором она составит в 9 раз меньше, или 1 нН.
Ответ: 1
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17569
Две звезды одинаковой массы m притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю F. Чему равен модуль сил притяжения между другими двумя звёздами, если расстояние между их центрами такое же, как и в первом случае, а массы звёзд равны 3m и 4m?
а) 7F
б) 9F
в) 12F
г) 16F
Алгоритм решения
1.Записать закон всемирного тяготения.
2.Применить закон всемирного тяготения для первой и второй пары звезд.
3.Из каждого выражения выразить расстояние между звездами.
4.Приравнять правые части уравнений и вычислить силу притяжения между второй парой звезд.
Решение
Закон всемирного тяготения выглядит так:
Примерим этот закон для первой и второй пары звезд:
Выразим квадраты радиусов, так как они в обоих случаях одинаковые:
Приравняем правые части выражений и выразим силу притяжения во втором случае:
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18678
Высота полёта искусственного спутника над Землёй увеличилась с 400 до 500 км. Как изменились в результате этого скорость спутника и его потенциальная энергия?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
| 1) | увеличилась |
| 2) | уменьшилась |
| 3) | не изменилась |
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Скорость
спутника |
Потенциальная энергия спутника |
Алгоритм решения
1.Записать закон всемирного тяготения и формулу центростремительного ускорения для движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью.
2.Установить зависимость скорости от высоты спутника над поверхностью Земли.
3.Записать формулу потенциальной энергии и установить, как она зависит от высоты.
Решение
На спутник действует сила притяжения Земли, которая сообщает ему центростремительное ускорение:
F=maц=GmM(R+h)2
Отсюда центростремительное ускорение равно:
aц=GM(R+h)2
Но центростремительное ускорение также равно:
aц=v2(R+h)
Приравняем правые части выражений и получим:
GM(R+h)2=v2(R+h)
v2=MG(R+h)(R+h)2=MG(R+h)
Квадрат скорости спутника обратно пропорционален радиусу вращения. Следовательно, при увеличении высоты увеличивается радиус вращения, а скорость уменьшается.
Потенциальная энергия спутника определяется формулой:
Ep = mgh
Видно, что потенциальная энергия зависит от высоты прямо пропорционально. Следовательно, при увеличении высоты потенциальная энергия спутника тоже увеличивается.
Верная последовательность цифр в ответе: 21.
Ответ: 21
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17578
Искусственный спутник обращается вокруг планеты по круговой орбите радиусом 4000 км со скоростью 3,4 км/с. Ускорение свободного падения на поверхности планеты равно 4 м/с2. Чему равен радиус планеты? Ответ запишите в километрах.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные. Перевести единицы измерения в СИ.
2.Записать формулу ускорения свободного падения и выразить через нее радиус планеты.
3.Записать формулу, раскрывающая взаимосвязь между линейной скоростью и радиусом окружности, по которой движется тело.
4.Записать закон всемирного тяготения применительно к спутнику.
5.Вывести формулу для расчета радиуса планеты.
6.Подставить известные данные и произвести вычисление.
Решение
Запишем исходные данные:
• Линейная скорость спутника: v = 3,4 км/с, или 3,4∙103 м/с.
• Радиус орбиты спутника: Rо = 4000 км, или 4∙106 м.
• Ускорение свободного падения у поверхности планеты: g = 4 м/с2.
Ускорение свободного падения определяется формулой:
Отсюда радиус равен:
Линейная скорость и радиус орбиты связываются формулой:
Используя закон всемирного тяготения, запишем силы, с которой притягивается спутник к планете:
Согласно второму закону Ньютона, сила — это произведение массы на ускорение тела. Следовательно:
Отсюда:
Поделим обе части выражения на массу спутника и радиус его орбиты. Получим:
Из этой формулы выразим массу планеты:
Подставим массу планеты в формулу для нахождения ее радиуса:
Подставляем известные данные и вычисляем:
Этот радиус соответствует 3400 км.
Ответ: 3400
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 18k
Ускорение свободного падения
Ускорение свободного падения — движение объекта, который получает ускорение из-за действующей на него силы тяжести; обозначается буквой g и измеряется в м/с². На поверхности Земли ускорение свободного падения примерно равно 9,81 м/с².
На полюсах (Южном и Северном) ускорение свободного падения будет больше, а на экваторе — меньше. Это происходит из-за двух фактов:
- Земля — не идеальный круг, а приплюснутый шар и её радиус на полюсах меньше, чем на экваторе (ускорение зависит от радиуса),
- центробежные силы (при вращении Земли) минимально компенсируют гравитацию больше на экваторе, чем на полюсах.
В вакууме тела падают с одинаковой скоростью потому, что ускорение свободного падения не зависит от массы.
Таблица ускорения свободного падения небесных тел
| Небесное тело | g (в м/с²) |
|---|---|
| Луна | 1,62 |
| Солнце | 274 |
| Меркурий | 3,72 |
| Венера | 8,87 |
| Земля | 9,81 |
| Марс | 3,711 |
| Юпитер | 24,79 |
| Сатурн | 10,44 |
| Уран | 8,87 |
| Нептун | 11,15 |
От чего зависит ускорение свободного падения?
Ускорение свободного падения зависит от массы планеты и радиуса планеты — чем она тяжелее, тем сильнее притягивает тела (т.е. масса тела не влияет на ускорение).
Возможно для будущих вычислений нужны будут эти данные:
- Масса Земли = 5,98 × (10^24) кг (или 5,972E24 кг)
- Радиус Земли = 6 371 км = 6,37×(10^6) м.
Как найти ускорение свободного падения?
Формула ускорения свободного падения
g — ускорение свободного падения
G — гравитационная постоянная
M — масса планеты
R — радиус планеты
Гравитационная постоянная (“G”, не путайте с “g”) — это фундаментальная физическая константа, которая примерно равна
и связывает силы гравитационного притяжения между двумя телами (G) с их массами (m1 и m2) и расстоянием между ними (R) в формуле:
Пример расчёта ускорения свободного падения (для Земли):
Вспомним формулу:
G — гравитационная постоянная
M — масса планеты
R — радиус планеты
Как узнать время падения тела?
Формула времени свободного падения (когда тело падает вертикально):
t = V / g = √(2h/g)
Где:
- t — время
- V — скорость тела
- g — ускорение ≈ 9,8 м/с²
- h — расстояние
Пример:
Высота (h) = 20 м
Нужно найти скорость и время падения.
Решение:
Формула скорости:
V0 = 0
g ≈ 9,8 м/с²
h = 20 м
V² = 0² + 2 × 9,8 м/с² × 20 м ⇔ V = √392 м/с ≈ 19,8 м/с
Зная скорость, применяем эту формулу:
t = V / g = (19,8 м/с) / (9,8 м/с²) ≈ 2,02 с
Либо используя только высоту и ускорение:
t = √(2h/g) = √(2 × 20 м / 9,8 м/с²) ≈ 2,02 с
Где нужны знания о свободном падении?
Они могут понадобиться:
- в авиации,
- в космонавтике,
- при поиске полезных ископаемых (там, где есть залежи тяжёлых ископаемых, g меняется),
- при разработке новых лыжных трамплинов и полос приземления,
- при разработке новых автомобилей (рассчитываются наилучшие показатели для экономии топлива).
Узнайте также про Закон сохранения энергии, Силу Архимеда, Законы Ньютона и Космологию.
Введение. Опыты Галилея по определению ускорения свободного падения
На предыдущем уроке мы обсудили вопрос, связанный с законом всемирного тяготения. Теперь перед нами стоит задача – рассмотреть, как этот закон связан с уже известным ускорением свободного падения. Ускорение свободного падения впервые определил итальянский ученый Галилео Галилей. Как вы помните, он измерял ускорение движения тел, которые двигались по наклонной плоскости, и ему удалось установить, что предельное ускорение таких тел (а это и есть ускорение свободного падения) составляет 
.
Вывод формулы для ускорения свободного падения на основании закона всемирного тяготения
Однако почему именно такое значение у этого ускорения, стало ясно только после открытия закона всемирного тяготения. Вспомним, что сила тяжести на Земле – это проявление действия закона всемирного тяготения для тел, которые находятся на поверхности Земли.
Рис. 1. Сила тяжести, действующая на тело на Земле
При этом вся масса Земли условно полагается сосредоточенной в ее центре. Радиус Земли – это расстояние между телами (рис. 1). Само тело, которое находится над поверхностью Земли, – то самое тело, которое притягивается. Запишем соответствующие формулы.
Сила тяжести на Земле:
, где 
– масса тела, которое находится на поверхности Земли, 
– ускорение свободного падения.
Закон всемирного тяготения в данном случае имеет вид:
Здесь 
– масса Земли, 
– масса тела, 
– радиус Земли, 
– гравитационная постоянная. Если сравнить выражение для силы тяжести и для гравитационной силы, получим для ускорения свободного падения:
Обратите внимание: ускорение свободного падения зависит от массы Земли и от радиуса Земли. Если они будут изменяться, значит, будет изменяться и ускорение свободного падения.
Зависимость ускорения свободного падения от географической широты и других параметров. Искусственные спутники Земли
Как известно, Земля по форме не идеальный шар, а тело, которое немного сплюснуто с полюсов, поэтому полярный радиус несколько меньше, чем экваториальный (рис. 2). В этом случае надо понимать, что ускорение свободного падения на полюсе будет больше, а на экваторе – меньше. В общем случае ускорение свободного падения зависит от широты местности.
Рис. 2. Разность экваториального и полярного радиусов
Необходимо отметить еще вот что. Земля вращается, и вращательное движение Земли тоже влияет на ускорение свободного падения. Ускорение свободного падения на экваторе будет отличаться еще и по этой причине. Изменение ускорения свободного падения по всем вышеуказанным причинам достаточно незначительное, поэтому мы считаем, что ускорение свободного падения на Земле – величина постоянная и составляет 
.
Как видите, ускорение свободного падения зависит от радиуса Земли, значит, если увеличивать радиус, то ускорение свободного падения будет уменьшаться. Как такое может быть? Если мы поднимаем тело над поверхностью Земли (например, тот же спутник), то расстояние будет определяться суммой радиуса Земли и высоты над ее поверхностью (рис. 3).
Рис. 3. Тело, поднятое над поверхностью Земли.
В этом случае ускорение свободного падения тоже будет уменьшаться.
Ускорение свободного падения обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому если высота будет равна радиусу Земли, то расстояние будет в 2 раза больше от центра Земли, чем для тела на поверхности. В этом случае ускорение свободного падения уменьшится в 4 раза.
Следует заметить, что многие спутники летают на небольшом расстоянии, приблизительно 200–300 км от поверхности Земли. На этом расстоянии ускорение свободного падения изменяется, но незначительно, поэтому мы будем считать, что в этом случае ускорение все-таки величина постоянная.
Обратите внимание на тот факт, что сила тяжести, как и ускорение свободного падения, с высотой будет убывать (по мере удаления от Земли сила тяжести будет убывать).
Как изменение 
делает нас богаче
Дело в том, что измерение ускорения свободного падения в различных точках Земли является мощнейшим способом геологической разведки. Таким способом (без рытья шахт) можно определять наличие полезных ископаемых в толще земной коры. Первый способ: измерение 
при помощи пружинных весов (рис. 4). Они обладают феноменальной чувствительностью.
Рис. 4. Геологические весы
Второй способ: измерение при помощи математического маятника (груз, подвешенный на длинной нити). Оказывается, что период (время одного полного колебания) колебания такого маятника зависит от ускорения свободного падения.
Чем больше ускорение свободного падения, тем меньше период. То есть, измеряя период маятника в разных точках Земли, можно определить изменение ускорения свободного падения. Геологи используют очень точные маятники (рис. 5), которые позволяют измерять ускорение свободного падения с точностью до миллионных долей.
Рис. 5. Прибор с маятником для разведки полезных ископаемых
Что является нормой для величины ускорения свободного падения?
Как известно Земля имеет фору геоида (сплюснута у полюсов). Это значит, что значение ускорения свободного падания у полюсов больше чем на экваторе. Но на одной и той же географической широте ускорение свободного падения, при прочих равных условиях, должно быть одинаково. Измеряя в рамках одной широты ускорение свободного падения в разных точках, можно судит о наличии полезных ископаемых.
Представьте себе, что вы находитесь на широте Москвы. Допустим, норма ускорения свободного падения на этой широте равна 
. В рамках данной широты мы смещаемся западнее или севернее и замечаем, что изменилось, теперь оно равно 
.
Это означает, что мы наткнулись на место с залежами тяжелых ископаемых. Если же ускорение свободного падения уменьшилось, значит, там есть пустоты или залежи легких солей. Как правило, рядом с залежами легких солей находятся залежи нефти. Данный способ называется гравиметрической разведкой. Таким способом были обнаружены залежи нефти в Казахстане и Западной Сибири.
На рис. 6 изображены зоны, где ускорение свободного падения больше 
(красные области) или меньше (синие области).
Рис. 6. Области, где ускорение свободного падения отличается от
Залежи тяжелых веществ или наличие пустот оказывают влияние на направление ускорения свободного падения. Если вы проводите измерение вблизи большой горы, то это массивное тело будет оказывать влияние на направление (рис. 7).
Рис. 7. Маятник в нормальных условиях и под воздействием массивного объекта
Ускорение свободного падения на других небесных телах на примере Луны
Теперь обсудим то, как определяется ускорение свободного падения на других телах.
Обратимся к уравнению, которое мы использовали для определения ускорения свободного падения на поверхности Земли: 
.
В этом уравнении вместо массы и радиуса Земли можно подставить массу и радиус любой другой планеты. Тогда мы получим ускорение свободного падения на любой из интересующих нас планет. В первую очередь нас интересует Луна. Ускорение свободного падения на Луне будет приблизительно равно: 
.
Как видно, ускорение свободного падения на Луне сильно отличается от ускорения свободного падения на Земле. Значит, если вдруг мы окажемся на Луне, мы почувствуем себя гораздо легче, чем на родной Земле. Например, у первых лунных космонавтов скафандр был массой 
.
Сила тяжести, действующая на скафандр на Земле: 
Сила тяжести, действующая на скафандр на Луне: 
Такую силу тяжести, как на Луне, на Земле бы имел скафандр массой 
:
на разных небесных телах: сравнительная таблица
Значение величины ускорения свободного падения равное 
является самым комфортным для человека. Рассмотрим, какие значения принимает ускорение свободного падения на других небесных телах (Солнце, планеты, спутники).
Чем массивнее небесное тело, тем больше .
Рассмотрим таблицу для ускорения свободного падения для различных небесных тел.
|
Небесное тело |
|
|
Луна |
1,62 |
|
Солнце |
273,1 |
|
Меркурий |
3,72 |
|
Земля |
9,81 |
|
Уран |
8,86 |
|
Венера |
8,88 |
|
Сатурн |
10,44 |
Табл. 1. Ускорение свободного падения для различных небесных тел
Как видно, на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. Передвигаться на Луне гораздо легче, чем на Земле. На Солнце в 30 раз больше, чем на Земле. Даже не учитывая больших температур, передвигаться на Солнце с учетом перегрузки в 30 раз невозможно. У Урана, Венеры и Сатурна более близкие значения с Землей. На Уране и Сатурне достаточно холодно. А вот на Венере возможно существование каких-то форм жизни или возможно путешествие человека и организация базы для временного пребывания.
Зная ускорение свободного падения на небесных телах, можно посчитать и их среднюю плотность. Зная среднюю плотность, можно предсказывать то, из чего состоят небесные тела, и определять их строение.
Расчет массы Земли
При помощи полученной формулы мы можем определить массу тех планет и небесных объектов, которые нас интересуют. Посмотрим на формулу, которая позволяет это сделать. Рассмотрим это на примере Земли. Из формулы для ускорения свободного падения несложно получить: 
.
Эта формула позволяет определить массу Земли. Обычно всегда спрашивают, как удалось взвесить Землю?
Никто ее не взвешивал, а, воспользовавшись законом всемирного тяготения и, зная ускорение свободного падения на поверхности Земли, можно легко массу Земли вычислить.
Масса Земли все время уточняется. Все понимают, что эта величина является очень важной. Когда мы знаем массу Земли, то, пользуясь т. н. законами Кеплера, несложно определить массу других небесных тел. Если мы знаем расстояние между Землей и другой планетой, знаем, как они взаимодействуют друг с другом, мы можем легко определить массу других тел.
Поэтому в астрономии очень часто за единицу измерения принимают массу Земли, говорят, что масса Земли равна 1 единице, и все другие массы планет определяют уже в массах Земли.
Определение средней плотности Земли
Знание ускорения свободного падения на поверхности Земли и радиуса Земли дают возможность определить среднюю плотность вещества Земли.
Вспомним формулу для ускорения свободного падения:
Массу можно вычислить через плотность и объем тела:
Земля имеет форму шара, поэтому ее объем можно вычислить по формуле:
Из приведенных выше формул можно получить зависимость 
от плотности:
Выразим из данной формулы плотность и подставим все известные величины:
То есть кубик усредненного земного вещества размерами 1 см·1 см·1 см будет весить 5,5 грамм. Если взять вещество с поверхности Земли, то его плотность будет меньше усредненной (
). Значит, внутри Земли (рис. 8) сосредоточено что-то тяжелое. Например, тяжелые металлы. У них высокая плотность.
Рис.8 Строение Земли
По современным представлениям, в центре Земли находится раскаленное железное ядро. Считается, что Земля могла образоваться из метеоритов. Они сталкивались, постепенно образовывалось земное вещество, гравитационные силы стягивали наиболее тяжелые фракции к центру. В результате образовалось ядро. Более легкие фракции оказались на периферии.
Заключение
Закон всемирного тяготения и ускорение свободного падения имеют большое значение. В первую очередь для запуска искусственных спутников Земли.
Список дополнительной литературы
- Кикоин А. К. Вращение Земли и ускорение свободного падения //Квант. – 1984. – № 1. – С. 32–34.
- Кикоин И. К., Кикоин А. К. Физика: Учебник для 9 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1992.
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 2005. – Т. 1. Механика. – С. 372.
- Смородинский Я. Закон всемирного тяготения //Квант. – 1990. – № 12. – С. 8–13; 51.
- Физика: Механика. 10 кл.: Учебник для углубленного изучения физики / под ред. Г. Я. Мякишева. – М.: Дрофа, 2002.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «class-fizika.narod.ru» (Источник)
- Интернет-портал «100ballov.kz» (Источник)
- Интернет-портал «eduspb.com» (Источник)
Домашнее задание
- Где на Земле ускорение свободного падения выше: на полюсах или на экваторе? Ответ обоснуйте.
- В чем заключались опыты Галилея по определению ускорения свободного падения?
- Определите, на какой высоте над Землей ускорение свободного падения в три раза меньше его значения на поверхности Земли.
- Известно, что Земля имеет определенную массу, но как удалось взвесить планету?
