Симплекс метод как найти наименьшее

Подробный разбор симплекс-метода

Пролог

Недавно появилась необходимость создать с нуля программу, реализующую алгоритм симплекс-метода. Но в ходе решения я столкнулся с проблемой: в интернете не так уж много ресурсов, на которых можно посмотреть подробный теоретический разбор алгоритма (его обоснование: почему мы делаем те или иные шаги) и советы по практической реализации — непосредственно, алгоритм. Тогда я дал себе обещание — как только завершу задачу, напишу свой пост на эту тему. Об этом, собственно, и поговорим.

Замечание. Пост будет написан достаточно формальным языком, но будет снабжен комментариями, которые должны внести некоторую ясность. Такой формат позволит сохранить научный подход и при этом, возможно, поможет некоторым в изучении данного вопроса.

§1. Постановка задачи линейного программирования

Определение:

Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n- мерного пространства, задаваемых системами линейными уравнений и неравенств.

Общая задача линейного программирования (далее – ЛП) имеет вид:

§2. Каноническая форма задачи ЛП

Каноническая форма задачи ЛП:

Замечание:

Любая задача ЛП сводится к канонической.

Алгоритм перехода от произвольной задачи ЛП к канонической форме:

1. Неравенства с отрицательными умножаем на (-1).
2. Если неравенство вида (≤), то к левой части добавляем – добавочную переменную, и получаем равенство.
3. Если неравенство вида (≥), то из левой части вычитаем , и получаем равенство.
4. Делаем замену переменных:

Замечание:

Будем нумеровать

по номеру неравенства, в которое мы его добавили.

Замечание:

≥0.

§3. Угловые точки. Базисные/свободные переменные. Базисные решения

Определение:

Точка

называется угловой точкой, если представление

возможно только при

.

Иными словами, невозможно найти две точки в области, интервал проходящий через которые содержит

(т.е.

– не внутренняя точка).

Графический способ решения задачи ЛП показывает, что нахождение оптимального решения ассоциируется с угловой точкой. Это является основной концепцией при разработке симплекс-метода.

Определение:

Пусть есть система m уравнений и n неизвестных (m < n). Разделим переменные на два множества: (n-m) переменные положим равными нулю, а остальные m переменных определяются решением системы исходных уравнений. Если это решение единственно, то тогда ненулевые m переменных называют базисными; нулевые (n-m) переменных – свободными (небазисными), а соответствующие результирующие значения переменных называют базисным решением.

§4. Симплекс-метод

Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение, избегая простой перебор всех возможных угловых точек. Основной принцип метода: вычисления начинаются с какого-то «стартового» базисного решения, а затем ведется поиск решений, «улучшающих» значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-то переменной приведет к увеличению значения функционала.

Необходимые условия для применения симплекс-метода:

1. Задача должна иметь каноническую форму.
2. У задачи должен быть явно выделенный базис.

Определение:

Явно выделенным базисом будем называть вектора вида:

, т.е. только одна координата вектора ненулевая и равна 1.

Замечание:

Базисный вектор имеет размерность (m*1), где m – количество уравнений в системе ограничений.

Для удобства вычислений и наглядности обычно пользуются симплекс-таблицами:

• В первой строке указывают «наименование» всех переменных.
• В первом столбце указывают номера базисных переменных, а в последней ячейке – букву Z (это строка функционала).
• В «середине таблицы» указывают коэффициенты матрицы ограничений — aij.
• Последний столбец – вектор правых частей соответствующих уравнений системы ограничений.
• Крайняя правая ячейка – значение целевой функции. На первой итерации ее полагают равной 0.

Замечание:

Базис – переменные, коэффициенты в матрице ограничений при которых образуют базисные вектора.

Замечание:

Если ограничения в исходной задаче представлены неравенствами вида ≤, то при приведении задачи к канонической форме, введенные дополнительные переменные образуют начальное базисное решение.

Замечание:

Коэффициенты в строке функционала берутся со знаком “-”.

Алгоритм симплекс-метода:

1. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Это делается в соответствии с указанным ранее принципом: мы должны выбрать переменную, возрастание которой приведет к росту функционала. Выбор происходит по следующему правилу:

• Если задача на минимум – выбираем максимальный положительный элемент в последней строке.
• Если задача на максимум – выбираем минимальный отрицательный.

Такой выбор, действительно, соответствует упомянутому выше принципу: если задача на минимум, то чем большее число вычитаем – тем быстрее убывает функционал; для максимума наоборот – чем большее число добавляем, тем быстрее функционал растет.

Замечание:

Хотя мы и берем минимальное отрицательное число в задаче на максимум, этот коэффициент показывает направление роста функционала, т.к. строка функционала в симплекс-таблице взята со знаком “-”. Аналогичная ситуация с минимизацией.

Определение:

Столбец симплекс-таблицы, отвечающий выбранному коэффициенту, называется ведущим столбцом.

2. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Для этого нужно определить, какая из базисных переменных быстрее всего обратится в нуль при росте новой базисной переменной. Алгебраически это делается так:

• Вектор правых частей почленно делится на ведущий столбец
• Среди полученных значений выбирают минимальное положительное (отрицательные и нулевые ответы не рассматривают)

Определение:

Такая строка называется ведущей строкой и отвечает переменной, которую нужно вывести из базиса.

Замечание:

Фактически, мы выражаем старые базисные переменные из каждого уравнения системы ограничений через остальные переменные и смотрим, в каком уравнении возрастание новой базисной переменной быстрее всего даст 0. Попадание в такую ситуацию означает, что мы «наткнулись» на новую вершину. Именно поэтому нулевые и отрицательные элементы не рассматриваются, т.к. получение такого результата означает, что выбор такой новой базисной переменной будет уводить нас из области, вне которой решений не существует.

3. Ищем элемент, стоящий на пересечении ведущих строки и столбца.

Определение:

Такой элемент называется ведущим элементом.

4. Вместо исключаемой переменной в первом столбце (с названиями базисных переменных) записываем название переменной, которую мы вводим в базис.

5. Далее начинается процесс вычисления нового базисного решения. Он происходит с помощью метода Жордана-Гаусса.

• Новая Ведущая строка = Старая ведущая строка / Ведущий элемент
• Новая строка = Новая строка – Коэффициент строки в ведущем столбце * Новая Ведущая строка

Замечание:

Преобразование такого вида направлено на введение выбранной переменной в базис, т.е. представление ведущего столбца в виде базисного вектора.

6. После этого проверяем условие оптимальности. Если полученное решение неоптимально – повторяем весь процесс снова.

§5. Интерпретация результата работы симплекс-метода

1. Оптимальность

Условие оптимальности полученного решения:

• Если задача на максимум – в строке функционала нет отрицательных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала расти не будет).
• Если задача на минимум – в строке функционала нет положительных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала уменьшаться не будет).

2. Неограниченность функционала

Однако, стоит отметить, что заданный функционал может не и достигать максимума/минимума в заданной области. Алгебраический признак этого можно сформулировать следующим образом:

При выборе ведущей строки (исключаемой переменной) результат почленного деления вектора правых частей на ведущий столбец содержит только нулевые и отрицательные значения.

Фактически, это значит, что какой бы рост мы не задавали новой базисной переменной, мы никогда не найдем новую вершину. А значит, наша функция не ограничена на множестве допустимых решений.

3. Альтернативные решения

При нахождении оптимального решения возможен еще один вариант – есть альтернативные решения (другая угловая точка, дающая то же самое значение функционала).

Алгебраический признак существования альтернативы:

После достижения оптимального решения имеются нулевые коэффициенты при свободных переменных в строке функционала.

Это значит, что при росте соответствующей переменной с нулевым коэффициентом значение функционала не изменится и новое базисное решение будет также давать оптимум функционала.

Эпилог

Данная статья направлена на более глубокое понимание теоретической части. В замечаниях и пояснениях здесь можно получить ответы на вопросы, которые обычно опускают при изучении этого метода и принимают априори. Однако, надо понимать, что многие методы численной оптимизации основаны на симплекс-методе (например, метод Гомори, М-Метод) и без фундаментального понимания вряд ли получится сильно продвинуться в дальнейшем изучении и применении всех алгоритмов этого класса.

Чуть позже напишу статью о практической реализации симплекс-метода, а также несколько статей о Методе искусственных переменных (М-Метод), Методе Гомори и Методе ветвей и границ.

Спасибо за внимание!

P.S.

Если уже сейчас Вы мучаетесь с реализацией симплекс-метода, советую почитать книгу А. Таха Введение в исследование операций — там все неплохо разобрано и в теории, и на примерах; а также посмотрите примеры решения задач matburo.ru — это поможет с реализацией в коде.

Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума) линейного программирования называется симплекс-методом. Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования. Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода.

Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи, которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.

Решение задачи табличным симплекс-методом

Решение задачи происходит в несколько последовательных этапов. Разберем их на небольшом примере производственной задачи.

1. Определение исходных данных

В нашем примере, по условиям задачи предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3 станках.

Исходные данные для производственной задачи запишем в формате матриц:

• Матрица A — нормы времени на обработку изделий;
• Матрица B — фонд времени работы станков;
• Матрица C — продажи производимых изделий.

Таким образом, нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:

Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:

Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:

Кроме того, обозначим через X_i планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: X₁, X₂, X₃, X₄.

2. Запись ограничений плана в виде системы неравенств

Запишем ограничения плана в виде системы неравенств:

Коэффициенты при переменных в левой части системы неравенств берем из матрицы A, значения из правой части — из матрицы B.

Неравенства задают для каждого станка ограничение на суммарное время обработки им всех видов изделий, которое не должно превышать соответствующий ему фонд времени (т. к. станок чисто физически не может проработать ни минутой больше).

Также добавляем условие, согласно которому переменные не могут быть меньше нуля, так как произвести отрицательное количество изделий невозможно.

3. Определение целевого показателя

В нашей задаче целевой показатель — прибыль, которую следует максимизировать путем составления оптимального плана производства.

Тогда целевая прибыль может быть записана через следующее равенство:

Коэффициенты при переменных берем из матрицы C. То есть мы перемножаем прибыль от производства единицы изделия каждого вида на их планируемое количество, для получения значения суммарной прибыли (которая должна быть максимальной).

4. Приведение системы неравенств к системе линейных уравнений

Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X₅, X₆, X₇).

Эти переменные являются фиктивными изделиями, на которые мы списываем неиспользованные остатки фондов времени работы станков.

5. Формирование опорного плана

Примем следующий опорный план (предварительный вариант, который в процессе решения задачи будет итерационно улучшаться):

X₁ = 0, X₂ = 0, X₃ = 0, X₄ = 0, X₅ = 252, X₆ = 144, X₇ = 80.

Здесь основным переменным (количеству изделий производимых в рамках плана) сопоставляем нулевые значения, а дополнительным (фиктивным) переменным — соответствующие величины фондов времени работы станков.

6. Составление симплекс-таблицы

Занесем исходные данные в специальную симплекс-таблицу.

В столбец Базис выписываем дополнительные переменные (X₅..X₇). В колонку H вносим величины фонда времени работы станков. В столбцы X₁..X₇ помещаем коэффициенты при этих переменных из составленной ранее системы уравнений (если переменных в уравнении нет, как например, X₆ и X₇ в первом равенстве, то коэффициенты будут равны 0). Кроме того, следует предусмотреть дополнительный столбец (b) для показателя, который мы будем рассчитывать на следующем этапе.

Количество строк в таблице соответствует числу дополнительных переменных (X₅..X₇). В последнюю строку (c) заносим коэффициенты при целевой функции с обратным знаком (коэффициенты при дополнительных переменных X₅..X₇ будут нулевыми).

7. Вычисление показателя b

Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю!) отрицательное число.

В нашем примере это -48 (еще раз подчеркнем, что отрицательные числа сравниваем без учета знака).

Далее вычислим для столбца, которому соответствует выбранное число, специальный показатель b_i = Н_i / a_i, где a_i — значение ячейки выбранного столбца и соответствующей строки.

8. Нахождение разрешающего элемента

Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее.

Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент (РЭ). Меняем базисную переменную (из первой колонки в выбранной строке) на переменную соответствующую разрешающему элементу (X₅ на X₁).

9. Перерасчет элементов симплекс-таблицы

Теперь необходимо пересчитать все элементы симплекс-таблицы, кроме столбца b (который очищается).

При перерасчете элементов симплекс-таблицы следует придерживаться следующих правил:

• Сам разрешающий элемент (РЭ) обращается в единицу;
• Для элементов разрешающей строки применяется формула: a_ij^* = a_ij / РЭ (то есть каждый элемент делим на значение разрешающего элемента и получаем новые данные);
• Для элементов разрешающего столбца — они просто обнуляются;
• Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника:

  

  Формула здесь следующая: a_ij^* = a_ij — ( A × B / РЭ )

  Как видите, мы берем пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника. Это произведение (A × B) делим на разрешающий элемент (РЭ) и вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (a_ij) то, что получилось. В итоге имеем новое значение — a_ij^*.

Полученные в результате перерасчета значения заносим в новую симплекс-таблицу:

10. Проверяем последнюю строку симплекс-таблицы на наличие отрицательных чисел: если их нет — оптимальный план найден (п. 11), если есть — план требует улучшения (п. 7)

Вновь проверяем последнюю строку (c) на наличие отрицательных чисел. Если их нет — оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи (пункт 11). Если есть — план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.

Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию (повторение) вычислений с пункта 7.

В нашем примере мы снова ищем в последней строке наибольшее по модулю отрицательное число, вычисляем для соответствующего ему столбца показатель b, определяем разрешающий элемент, меняем базис и пересчитываем элементы симплекс-таблицы.

Пересчитав таблицу мы видим, что на сей раз в последней строке нет отрицательных чисел, следовательно оптимальный план (позволяющий получить максимальную прибыль) найден и можно переходить к завершающему пункту решения.

Еще раз обращаю ваше внимание, что отсутствие в последней строке отрицательных элементов указывает на то, что нами найден оптимальный план производства позволяющий получить максимально возможную прибыль при заданных условиях.

11. Определение производственного плана и вычисление общей прибыли

В соответствии с найденным планом (смотрим какие переменные перешли в колонку «Базис») выпускать мы будем изделия X₁ и X₂ (X₇ не учитываем, т. к. это фиктивное изделие, не производимое на предприятии и введенное для приведения системы неравенств к системе уравнений).

Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C). Остается перемножить ее с найденными объемами выпуска изделий X₁ и X₂ (значения X₃ и X₄ нулевые, т. к. эти изделия производить оказалось невыгодно), для получения общей (максимально возможной!) прибыли.

Ответ План производства: X₁ = 32 шт., X₂ = 20 шт., X₃ = 0 шт., X₄ = 0 шт., общая прибыль: P = 48 × 32 + 33 × 20 = 2 196 руб.

Статья дополнена и доработана автором 5 ноя 2020 г.

© Копирование любых материалов статьи допустимо только при указании прямой индексируемой ссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.

Понятие и алгоритм

Под симплексным методом понимается последовательный переход от одного базисного нахождения системы решений к другому. Эта перестановка повторяется до тех пор, пока переменная величина цели не достигнет своего наибольшего или наименьшего значения. Такой подход является универсальным, его можно использовать для решения любой задачи последовательного программирования.

Метод был разработан в 1947 году математиком из США Бернардом Данцигом. Предложенный способ оказался весьма эффективным для решения задач, связанных с оптимизацией использования ограниченных ресурсов. То есть он позволяет оценить и откорректировать параметры системы, а также получить качественные аналитические результаты.

Существует два подхода решения задачи:

• графический;
• симплексный.

Первый можно использовать для оптимизационного решения двухмерных задач. Например, существует два производственных цикла по сборке ящиков. Выпуск товара характеризуется ограничением в поставках древесины и временем формовки изделия. Для одного необходимо 30 досок, а для другого — 40. Поставщики доставляют в неделю 2 тыс. единиц материала. Первый ящик собирается за 15 минут, а второй — за 30. Нужно определить, какое количество ящиков необходимо производить за неделю на первом конвейере и на втором. При этом первое изделие приносит 10 рублей прибыли, а второе — пять. Время изготовление ограничено 160 часами.

Решение заключается в принятии за Х1 и Х2 количество выпущенных ящиков. Затем — в нахождении максимальной еженедельной прибыли и описании процесса ограничения в виде уравнения.

Это типовая двухмерная задача, условия неотрицательности которой определяются границами прямых: 30*Х1 + 4 0*Х 2 ≤ 2000 (для досок) и 20*Х 1 ≤ 50*Х 2 = 1600 (для сборки). Отложив по оси ординат Х1, а Х2 по абсцисс, и указав на них точки соответствующие уравнениям, можно будет подобрать оптимальное решение для использования сырья и времени.

Графический метод удобно применять для двухмерных задач, но его невозможно использовать при решениях, связанных с размерностью, превышающей три. При этом во всех алгоритмах оптимальный результат принимается допустимым базисному. Симплекс-метод же является вычислительной процедурой, использующей принятое положение, описываемое в алгебраической форме.

Симплекс-метод при базисном решении

Впервые способ был изложен Данцигом в книге «Линейное программирование, его обобщения и применения», изданной на русском языке в 1966 году. Эта теория основывалась на вычислительной процедуре и представлялась в виде стандартных алгебраических форм. Основное направление метода заключается в указании способа нахождения опорного решения, переходе к другому, более оптимальному расчёту и определении критериев, позволяющих остановить перебор опорных вариантов.

Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс методом следующий:

1. Свести поставленную задачу к канонической форме путём переноса свободных членов в правую часть и ввода дополнительных переменных. В случае отрицательных переменных неравенство умножается на -1. Если в записи используется знак «меньше или равно», переменная используется положительная, в противном случае — отрицательная.
2. В зависимости от количества вводимых значений все переменные принимаются за основные. Их необходимо выразить через неосновные и перейти к базовому решению.
3. Через неосновные переменные выражается функция цели.
4. Если при решении отыскивается ответ с максимумом или минимумом линейной формы и все неосновные переменные получаются только положительными, то задача считается выполненной.
5. Если найденный максимум (минимум) линейной формы в функции имеет одну или несколько неосновных переменных с отрицательными коэффициентами, необходимо перейти к новому базисному решению.
6. Из переменных, входящих в форму с отрицательными или положительными коэффициентами, выбирается наибольшая (по модулю) и переводится в основные.

Другими словами, указывается оптимальное опорное решение, способ перехода от одного нахождения ответа к другому, варианты улучшения расчётов. После нахождения первоначального решения с «единичным базисом» вычисляется оценка разложения векторов по базису и заполняется симплексная таблица.

В тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи, используют метод с искусственным базисом. Это симплекс-метод с так называемой М-задачей (ММЭ), решаемый способом добавления к левой части системы уравнений искусственных единичных векторов. При этом новая матрица должна содержать группу единичных линейно-независимых векторов.

Двухфазный способ

Двойственный метод используется при анализе задач линейного программирования, записанного в форме основной задачи. При этом среди векторов, m уравнений, составленных из коэффициентов, должны быть единичные. Такой метод можно использовать, когда свободные члены уравнений являются любыми числами.

Например, существует ограниченность, описываемая функцией:

F = C 1 X 1+ C 2 X 2+…+ CnXn. Используется условие, что Х1Р1+Х2Р2+…+Х(m +1) P (m +1)+ +… XnPn = Р0, где Х j больше либо равно 0 (j =1, n). Принимается, что среди чисел bi (i =1, m) имеются отрицательные.

Решением будет выражение: х= (b1; b2;…; bm ;0;…;0), однако этот ответ не будет разрешать задание, так как к нему могут относиться и отрицательные числа. Так как векторы Р1, Р2… Рм единичные, то каждый из них можно описать линейной областью, состоящей из них же. При этом коэффициентами разложения векторов Рj по области будут числа: Xij = aij (i =1, m; j =1, n) по модулю.

Выражение х= ( b1; b2;…; bm ;0;…;0) определяется базисом. Называют его псевдоплан. Считается, что если дельта j больше либо равна нулю, то для любого: j ( j =1, n ) по модулю. В то же время если в псевдоплане с находимым базисом существует хотя бы одно отрицательное число, то тогда задача вообще не будет иметь планов. Но когда для этих отрицательных чисел верно, что аij меньше нуля, то можно будет перейти к новому псевдоплану.

Объяснение псевдоплана помогает построить алгоритм двойственного метода. Если взять за основу х = (b1; b2;…; bm ;0;…;0) и представить это выражение псевдопланом, то, учитывая исходные данные, можно составить симплекс-таблицу. В ней часть элементов будет отрицательная. Так как дельта j должна быть больше либо равна нулю, то при отсутствии таких чисел в таблице уже будет записан оптимальный план. В обратном случае выбирается по модулю наибольшее из чисел с минусом.

Принцип решения задачи включает следующее:

• нахождение псевдоплана;
• проверка его на оптимальность;
• выбор разрешающей строки путём нахождения абсолютной величины отрицательного числа, отношения элементов (m+1) и соответствующей им строке;
• нахождение нового псевдоплана.

Если анализ оптимален, считается, что найдено верное решение. В другом случае устанавливается неразрешимость задачи либо составляется новый псевдоплан. Делается это в результате пересчёта табличных данных, например, методом Жордана-Гаусса.

Пример задачи

Использование метода линейного программирования распространено в решениях транспортных задач. Он помогает в целевых расчётах и нужен для минимизации затрат в условиях ограниченной грузоподъёмности и времени обслуживания заказчиков.

Задачи линейного программирования (ЗЛП) позволяют выбрать оптимальную загрузку при перемещении какого-либо товара из одних мест в другие. Во вводных данных указывается число пунктов отправления (м) и количество мест назначения (n). Первые обозначаются как А1, А2…Ам, а вторые – В1, В2…Вn. За аi принимается объём продукции на складе, а bi – потребность. Затраты на перевозку с i пункта в j обозначаются Сij.

Главная задача — составить план таким образом, чтобы общая стоимость была минимальна. Пусть дано четыре песчаных карьера, с которых необходимо поставить песок на четыре склада. При этом осуществляться перевозки должны за определённую стоимость. Составляем таблицу.

Записываем уравнение ограничения. Сумма всего перевезённого песка с первого карьера должна быть меньше или равна 140. Поэтому можно записать: x11+x12+x12+x14+T1 = 140, где Т1 переменная для хранения остатка. Сумма ограничений будет записана как х11+х21+х31 =115. Аналогичные уравнения составляют и для оставшихся карьеров.

Теперь формируют матрицу, на основании которой с помощью свойства матриц ищется единичный базис. Например, вычесть из одной строки другую. Все отрицательные значения последнего столбца убирают. Для этого из каждой строки вычитают наименьшее значение, а последнее отрицательное число умножают на -1. Теперь составляют подробную симплекс-таблицу, где:

• A0 – последний столбец из матрицы;
• Сб – стоимость перевозок;
• Х11, Т3 – данные из полученной матрица.

В последней строчке прямоугольника проставляют сумму произведений Сб на этот столбец и вычитают значение суммы перемножения Сб с А0. Делают дополнительное вычисление. Для каждой строки А0 делят на выделенное число, ищут наименьший результат и умножают его на положительные числа из последней строки.

Наибольшее число определяется пересечением ранее выбранных значений, на базе которых создают новый базис. После в соответствии с единичными базисами меняют Сб и Хб. Операцию повторяют до тех пор, пока не исчезнут все положительные числа из последней строки. Заполняют новую таблицу.

Расчёт в Excel

Для включения пакета анализа в программе необходимо перейти в раздел «Параметры» и выбрать строчку «Перейти». В новом окне найти строчку «Пакет анализа», кликнуть по ней и нажать кнопку ОК.

Затем понадобится загрузить и открыть шаблон для проверки в Excel. Используя манипулятор типа «мышь» или клавиатуру, выбрать ячейку G4 и выполнить команду «Сервис/Поиск решения». Далее указать исходные данные, а после нажать кнопку «Выполнить».

Полученное решение можно представить в форме отчёта, содержащего:

1. Результаты – содержит информацию об исходных и конечных значениях целевой и влияющих ячеек, дополнительные сведения об ограничениях.
2. Устойчивость — отчёт, включающий данные о чувствительности решения к малым изменениям.
3. Пределы – включают исходные и конечные значения, а также верхние и нижние границы значений, которые принимают влияющие ячейки при введённых ограничениях.

Онлайн-сервис для чайников

Метод решения относится к высшей математике, поэтому в нём довольно трудно разобраться даже подготовленному человеку, не говоря уже о чайнике. Существует некоторое количество сайтов с подробным онлайн-решением методом симплекса. На таких сервисах предлагается ввести количество переменных и строк (ограничений). А далее просто заполнить симплекс-таблицу и нажать расчёт. Причём при необходимости вводимые данные можно править, тем самым видеть, как изменяется результат от изменения исходной информации.

Удобным является ещё и то, что обычно на сайтах предлагается создать шаблон решения в Excel или Maple. Решаться любая задача будет почти мгновенно. Подробно можно выполнить расчёт онлайн-калькулятор по методу симплекса на следующих сайтах:

1. «Семестр» (semestr.ru).
2. «Мир математики» (matworld.ru).
3. «Высшая математика» (math-pr.com).
4. «Матзона» (mathzone.ru).
5. «Контрольная работа» (kontrolnaya-rabota.ru).

Выполнить расчёт с помощью онлайн-сервисов сможет любой. При этом вероятность ошибки в ответе стремится к нулю. Тем более что для решения задачи даже необязательно знать принцип симплекс-метода.

Калькулятор симплекс-метода

Как пользоваться калькулятором

• Задайте количество переменных и ограничений
• Введите коэффициенты целевой функции
• Введите коэффициенты ограничений и выберите условия (≤, = или ≥)
• Выберите тип решения
• Нажмите кнопку “Решить”

Что умеет калькулятор симплекс-метода

• Решает основную задачу линейного программирования
• Позволяет получить решение с помощью основного симплекс-метода и метода искусственного базиса
• Работает с произвольным количеством переменных и ограничений

Что такое симплекс-метод

Задача линейного программирования — это задача поиска неотрицательных значений параметров, на которых заданная линейная функция достигает своего максимума или минимума при заданных линейных ограничениях.

Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Алгоритм является универсальным методом, которым можно решить любую задачу линейного программирования.

Если вам тоже ничего не понятно из этого определения, то вы на верном пути. Чаще всего статьи про симплекс-метод очень сильно углубляются в дебри теории задачи линейного программирования, из-за чего очень легко потерять суть и так ничего и не понять. Мы постараемся описать алгоритм симплекс-метода так, чтобы показать, что в нём нет ничего страшного и на самом деле он весьма простой. Но сначала нам всё-таки потребуется ввести несколько определений.

Целевая функция — функция, максимум (или минимум) которой нужно найти. Представляет собой сумму произведений коэффициентов на значения переменных: F = c₁·x₁ + c₂·x₂ + … + c_n·x_n

Ограничение — условие вида a₁·x₁ + a₂·x₂ + … + a_n·x_n v b, где вместо v ставится один из знаков: ≤, = или ≥

План — произвольный набор значений переменных x₁ … x_n.

Алгоритм решения основной задачи ЛП симплекс-методом

Пусть в задаче есть m ограничений, а целевая функция заивисит от n основных переменных. Первым делом необходимо привести все ограничения к каноническому виду — виду, в котором все условия задаются равенствами. Для этого предварительно все неравенства с ≥ умножаются на -1, для получения неравенств с ≤.

Чтобы привести ограничения с неравенствами к каноническому виду, для каждого ограничения вводят переменную, называемую дополнительной с коэффициентом 1. В ответе эти переменные учитываться не будут, однако сильно упростят начальные вычисления. При этом дополнительные переменные являются базисными, а потому могут быть использованы для формирования начального опорного решения.

Формирование начального базиса

После того как задача приведена к каноническому виду, необходимо найти начальный базис для формирования первого опорного решения. Если в процессе приведения были добавлены дополнительные переменные, то они становятся базисными.

Иначе необходимо выделить среди коэффициентов ограничений столбец, который участвует в формировании единичной матрицы в заданной строке (например, если требуется определить вторую базисную переменную, то необходимо искать столбец, в котором второе число равно 1, а остальные равны нулю). Если такой столбец найден, то переменная, соответствующая этому столбцу, становится базисной.

В противном случае можно поискать столбец, в котором все значения кроме числа в заданной строке равны нулю, и, если он будет найден, то разделить все значения строки на число, стоящее на пересечении этих строки и столбца, тем самым образовав столбец, участвующий в формировании единичной матрицы.

Если такой столбец отсутствует, то для формирования базиса необходимо применить исключение Гаусса для первого ненулевого столбца, который ещё не является базисным. Для этого вся строка делится на элемент в найденном столбце, а из остальных строк вычитается полученная строка, разделённая на значение, стоящее в этом же столбце. После этой операции все значения вне данной строки будут обнулены, и столбец можно будет считать базисным.

После того как базис сформирован, нужно построить начальную симплекс-таблицу. Она строится следующим образом:

• Для удобства в первой строке можно записать коэффициенты C_i целевой функции (для дополнительных переменных эти коэффициенты равны нулю)
• Вторая строка формирует шапку таблицы. В ней первый столбец называется базис, а остальные перечисляют основные переменные x₁..x_n и дополнительные x_n+1..x_n+k
• Затем построчно перечисляются базисные переменные и коэффициенты ограничений

Схематично начальная таблица будет выглядеть примерно так:

C	с1	c2	…	cn	0	0	…	0	0
базис	x1	x2	…	xn	xn+1	xn+2	…	xn+k	b
xe1	a11	a12	…	a1n	a1n+1	a1n+2	…	a1n+k	b1
xe2	a21	a22	…	a2n	a2n+1	a2n+2	…	a2n+k	b2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xem	am1	am2	…	amn	amn+1	amn+2	…	amn+k	bm

Избавляемся от отрицательных свободных коэффициентов

После приведения к каноническому виду или после алгебраических преобразований при формировании базиса некоторые из свободных коэффициентов (b_i) могли стать отрицательными, что не позволяет перейти к дальнейшим вычислениям. Чтобы избавиться от отрицательных значений b необходимо:

• Найти строку, в которой находится максимальное по модулю значение b. Пусть это будет строка i;
• Найти максимальный по модулю элемент в этой строке. Пусть он находится в столбце j;
• Строку i разделить на элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца;
• Из каждой оставшейся строки k вычесть строку i, умноженную на элемент строки k и столбца j;
• Переменную, соответствующую найденному столбцу j, сделать базисной (добавить в базис вместо переменной, находящейся в строке i).

Этот шаг необходимо повторять до тех пор, пока все отрицательные b не станут положительными или в строке не останется отрицательных элементов. Если строка с максимальным по модулю b_i не содержит отрицательных элементов, то такая задача не имеет решений и на этом алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае все b_i положительны и алгоритм переходит к следующему этапу — расчёту дельт.

Расчёт дельт

Дельты — это параметры, на основании которых проверяется оптимальность текущего решения и улучшается функция. Они рассчитываются для каждой из переменных ограничений и записываются последней строкой таблицы.

Для расчёта дельт используется следующая формула: Δ_i = c_e1·a_1i + c_e2·a_2i + … + c_em·a_mi – c_i. Проще говоря, чтобы вычислить дельту по заданной i-ой переменной, нужно перемножить коэффициенты условий в i-ом столбце на коэффициенты целевой функции при соответствующих базисных переменных, сложить эти произведения и вычесть из полученной суммы коэффициент целевой функции столбца i.

Проверка плана на оптимальность

После того как дельты рассчитаны, необходимо проверить оптимальность текущего плана. Критерий оптимальности формулируется следующим образом:
При максимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют отрицательные дельты.
При минимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют положительные дельты.

Если текущий план оптимален, то алгоритм завершает свою работу. Значениям переменных соответствуют значения столбца свободных коэффициентов b. Если свободной переменной нет в базисе, то её значение считается нулевым. Значение целевой функции, принимаемой на данном наборе, находится в строке с дельтами в том же столбце. Если какое-либо из значений столбца b отрицательно, то решения задачи не существует.

Переход к более оптимальному решению

Если текущий план оказался не оптимальным, то алгоритм ищет столбец с наименьшей (с наибольшей, если ищется минимум) дельтой. После чего вычисляются симплекс-отношения Q. Для этого значения свободных коэффициентов делятся на ненулевые коэффициенты из найденного столбца. Если результат деления получается отрицательным, то такие отношение игнорируются.

Среди найденных симплекс-отношений ищется строка, в которой находится симплекс-отношение с наименьшим значением. Если таких отношений нет, то алгоритм останавливает свою работу, так как целевая функция не ограничена и решения не существует.

В противном случае строка с наименьшим отношением считается разрешающей и, аналогично избавлению от отрицательных свободных коэффициентов, делится на разрешающий элемент, расположенный в найденных столбце и строке, и из остальных строк вычитается найденная строка, разделённая на значения, стоящие в этом же столбце соответствующей строки. Переменная, стоящая в разрешающем столбце заменяет базисную переменную, находящуюся в найденной строке.

После этого вычисляются новые дельты и проверяется новый план. Так продолжается до тех пор пока не будет выполнен критерий оптимальности плана или не будет установлено, что решение не существует.

Метод искусственного базиса

Очень часто при решении задачи линейной оптимизации бывает довольно сложно выполнять алгебраические преобразования над коэффициентами ограничений для поиска начального базиса. Для упрощения вычислений существует альтернативный метод решения, называемый методом искусственного базиса. Его суть заключается в том, что вместо того, чтобы искать базис среди имеющихся основных и дополнительных переменных, ввести так называемые искусственные переменные, которые сформируют начальный базис. Возможно, звучит сложно и непонятно, но сейчас мы всё объясним.

Подготовительный этап

Аналогично базовому симплекс-методу для всех ограничений с неравентством вводятся дополнительные переменные, причём для ограничений с ≥ они берутся с коэффициентом -1, а для ограничений с ≤ с коэффициентом 1. Ограничения с равенством остаются без изменений. Если свободный коэффициент какого-либо из ограничений меньше нуля, то такое ограничение умножается на -1 (знак неравенства при этом меняется на противоположный). После этого приступают к поиску базиса.

.Решение задачи линейного программирования симплекс-методом.

Прямая задача.

Рассмотрим задачу
линейного программирования в канонической
форме:

Найти максимум (минимум)
функции

при условиях

Предполагается, что
решение этой задачи существует. Чтобы
найти оптимальное решение, надо найти
допустимые базисные решения, а из них
выбрать оптимальное базисное решение.

Симплекс – метод –
это алгебраический метод решения задач
линейного программирования. В процессе
вычислений производиться последовательный
обход вершин многогранника решений
(ОДР.) с проверкой в каждой вершине
условий оптимальности. При этом каждый
переход в смежную вершину сопровождается
улучшением целевой функции.

Вычислительные
процедуры симплекс – метода.

При графическом методе
решения ЗЛП оптимальному решению
соответствует всегда одна из угловых
(экстремальных) точек пространства
решений. Это результат положен в основу
построения симплекс-метода. Симплекс-метод
не обладает наглядностью геометрического
представления пространства решений.
Симплекс-метод реализует упорядоченный
процесс, при котором, начиная с некоторой
исходной допустимой угловой точки,
осуществляются последовательные
переходы от одной допустимой экстремальной
точки к другой, пока не будет найдена
точка оптимального решения.

Обозначим:

–
общее количество переменных в ЗЛП,
представленной в канонической форме;

– количество исходных переменных;

– количество ограничений,

– количество дополнительных переменных,
тогда

.

Каждая вершина
многогранника решений имеет

– ненулевых переменных и (
)
– нулевых переменных.

Ненулевые переменные
называются базисными, нулевые переменные
– небазисными.

Дополним систему
равенств равенством целевой функции,
при этом будем считать, что

является

базисной переменной, которая всегда
присутствует в базисе для любой вершины.

Для получения решения
составляется начальный допустимый
базис, в котором базисные переменные
должны быть представлены в виде единичных
орт. Это означает, что уравнения,
представляющие данную вершину должны
включать каждую базисную переменную
только в одной строке с коэффициентом,
равным 1.

При выборе начального
допустимого базиса для составления
симплекс-таблицы на первом шаге СТ(0)
исходные

переменные приравниваются к нулю и
являются небазисными, среди введённых
дополнительных переменных выбираются
переменные с коэффициентами равными
единице. Переменные

в равенствах (7) – (9) являются базисными
и в

– строку входят с коэффициентами, равными
0. Для заполнения симплекс-таблицы
необходимо целевую функцию преобразовать
к виду

.
Таким образом, окончательно получаем:

(6)

(7)

(8)

(9)

При составлении
симплекс-таблицы придерживаются
следующих правил:

в крайнем левом столбце
располагаются базисные переменные и

;

в крайнем правом
столбце располагаются правые части
ограничений;

в первой строке
располагаются переменные в определённом
порядке:

сначала

,
потом небазисные переменные, базисные
переменные располагаются в последних

столбцах перед правой частью (ПЧ). Запишем
коэффициенты в СТ(0):

							Свободные члены
	1	–	–	0	0	0	0
	0			1	0	0
	0			0	1	0
	0			0	0	1

Оптимальность любой
из вершин определяется коэффициентами
при небазисных переменных в

– строке текущей симплекс-таблицы:

Для задачи максимизации
данная вершина является оптимальной,
если все коэффициенты при небазисных
переменных в

– строке являются неотрицательными
(>0);

Для задачи минимизации
данная вершина является оптимальной,
если все коэффициенты при небазисных
переменных в

–
строке являются неположительными (<
0).

Если в задаче максимизации
(минимизации) у одной небазисной
переменной в

– строке коэффициент <0(>0), то текущая
точка не является оптимальной и необходимо
изменить базис. Для этого выбирают
небазисную переменную, имеющую максимально
отрицательный (положительный) коэффициент
в

– строке. Выбранная небазисная переменная
будет включаться в новый базис, поэтому
называется включаемой переменной.
Базисная переменная, которая будет
выведена из базиса, называется исключаемой
переменной.

Исключаемой переменой
будет та базисная переменная, которая
первой обратится в “0” при переходе
в смежную вершину после ввода включаемой
переменной.

Столбец исключаемой
переменной будем называть разрешающим
столбцом.

Строку исключаемой
переменной будем называть разрешающей
строкой.

Пересечение разрешающего
столбца и строки определяют разрешающий
элемент (РЭ).

Чтобы определить
исключаемую переменную необходимо:

разделить правые части
всех базисных переменных (кроме

– строки) на соответствующие положительные
коэффициенты разрешающего столбца;

выбрать из полученных
отношений наименьшее.

Делить на “0” и
отрицательную величину нельзя, т. к. это
приводит к отсутствию пересекающейся
вершины или к вершине вне ОДР.

Для перехода в смежную
вершину необходимо сформировать матрицу
перехода B(0), которая
определит связь между СТ(0) и СТ(1): СТ(1)
= В(0) СТ(0).

Для произвольной
квадратной матрице размерности n,
имеющей в качестве (n – 1)
столбца единичные орты, расположенные
в соответствии с единичными ортами
единичной матрицы, и одного произвольного
столбца с ненулевым элементом на главной
диагонали, обратная матрица находится
по следующему правилу:

Каждый элемент j
– столбца делится на РЭ и меняет знак
на противоположный, кроме разрешающего
элемента.

Возможен другой
вариант размещения симплекс-таблиц.
Сведем систему ограничений к единичному
базису:

а
линейную форму L –
к виду L+ γ_r+1
x_r+1+…+
γ_j x_j
+…+ γ_n x_n=γ₀.
(10)

В виде таблицы эти
данные можно представить так:

Базисные переменные	Свободные члены	x1	…	xi	…	xr	xr+1	…	xj	…	xn
x1	b1	1	…	0	…	0	a1,r+1	…	A1j	…	a1n
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xi	bi	0	…	1	…	0	ai,r+1	…	aij	…	ain
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xr	br	0	…	0	…	1	ar,r+1	…	arj	…	arn
L	γ0	0	…	0	…	0	γr+1	…	γj	…	γn

Равенство (10) будем
называть приведенным (к свободным
переменным) выражением для функции
L, а коэффициенты γ_j
– оценками (индексами) соответствующих
свободных переменных x_j.

1. Выбираем разрешающий
столбец a_p
из условия: оценка γ_p<0
и хотя бы один элемент a_ip>0.

2. Выбираем q-ю
разрешающую строку из условия
b_q/a_qp=min{b_i
/ a_ip}
для a_ip>0.

3. Производим пересчет
элементов разрешающей q-й
строки по формуле a‘_qk=
a_qk/a_qp
(k=0,1,…,n).

4. Вычисляем элементы
всех остальных строк (при k≠p)
по формуле a‘_ik=
a_ik
– a‘_qk∙a_ip
(i=0,1,…,q-1,q+1,…,r)
.

Следует иметь в виду
следующую теорему.

Теорема. Если после
выполнения очередной итерации:

1. найдется хотя бы
одна отрицательная оценка и в каждом
столбце с такой оценкой окажется хотя
бы один положительный элемент, т.е. γ_k<0
для некоторых k,
и a_ik>0
для тех же k и
некоторого i, то
можно улучшить решение, выполнив
следующую итерацию;

2. найдется хотя бы
одна отрицательная оценка, столбец
которой не содержит положительных
элементов, т.е. γ_k<0,
a_ik<0
для какого-то k и
всех i, то функция
L не ограничена в
области допустимых решений (L_max→
∞);

3. все оценки окажутся
неотрицательными, т.е. γ_k≥0
для всех k, то
достигнуто оптимальное решение.

Рассмотрим реализацию
симплекс-метода на конкретном примере.
Найдем наибольшее значение линейной
функции L=7x₁+5x₂
на множестве неотрицательных решений
системы уравнений

Решение. Ранг матрицы
системы уравнений



равен 4. Ранг расширенной матрицы также
равен 4. Следовательно, четыре переменные
(базисные) можно выразить через две
(свободные), т.е.

Линейная форма
L=7x₁+5x₂
уже выражена через свободные переменные.
В этом равенстве перенесем в левую часть
все члены, содержащие переменные:
L-7x₁-5x₂=0.

Теперь можно составить
исходную симплекс-таблицу:

Базисные переменные	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	19	2	3	1	0	0	0	19/3
х4	13	2	1	0	1	0	0	13/1
x5	15	0	3	0	0	1	0	15/3
x6	18	3	0	0	0	0	1
L	0	-7	-5	0	0	0	0

Выясним, имеются ли в
последней строке (индексной) отрицательные
оценки. Таких оценок две: -7 и -5. Берем,
например, ‑5 и просматриваем столбец
x₂. В этом
столбце имеется три положительных
элемента: 3, 1, 3. Делим на эти числа
соответствующие свободные члены: 19/3,
13/1, 15/3. Из полученных частных выбираем
наименьшее – 15/3. Следовательно, разрешающим
является элемент 3, стоящий на пересечении
столбца x₂ и
строки x₅.
Тогда в новый базис вместо переменной
x₅ войдет
переменная x₂.
Для перехода к следующей симплекс-таблице
умножаем строку x₅
исходной таблицы на 1/3, чтобы получить
на месте разрешающего элемента 1.
Полученную таким образом строку пишем
в новой симплекс-таблице на месте прежней
строки (теперь уже под именем x₂).
К каждой из остальных строк прибавляем
вновь полученную, умноженную на такое
число, чтобы в клетках столбца x₂
появились нули. Записываем преобразованные
строки в новой симплекс-таблице. Этим
завершается первая итерация.

Базисные переменные	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	4	2	0	1	0	-1	0	4/2
x4	8	2	0	0	1	-1/3	0	8/2
x2	5	0	1	0	0	1/3	0
x6	18	3	0	0	0	0	1	18/3
L	25	-7	0	0	0	5/3	0

Теперь все рассуждения
повторяем применительно к полученной
таблице, т.е. выполняем вторую итерацию.
Новый разрешающий элемент, находящийся
на пересечении строки x₃
и столбца x₁,
есть 2. Переходим к следующей таблице.

Базисные переменные	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	2	1	0	1/2	0	-1/2	0
x4	4	0	0	-1	1	2/3	0	4/(2/3)
x2	5	0	1	0	0	1/3	0	5/(1/3)
x6	12	0	0	-3/2	0	3/2	1	12/(3/2)
L	39	0	0	7/2	0	-11/6	0

Проводим преобразования
полученной таблицы. Здесь разрешающим
является элемент 2/3, находящийся на
пересечении столбца x₅
и строки x₄.
Получим:

Базисные переменные	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	5	1	0	-1/4	3/4	0	0
x5	6	0	0	-3/2	3/2	1	0
x2	3	0	1	1/2	-1/2	0	0
x6	3	0	0	3/4	-9/4	0	1
L	50	0	0	3/4	11/4	0	0

Поскольку в индексной
строке нет отрицательных оценок, мы
получили оптимальный план (5,3,0,0,6,3). Он
находится в столбце свободных членов.
Соответствующее этому плану значение
целевой функции равно 50. Итак,
L_max=L(5,3,0,0,6,3)=50.

Симплекс-метод для задачи с
начальным базисом (все знаки
неравенств-ограничений ” ≤ “).

Запишем задачу в канонической форме,
т.е. ограничения-неравенства перепишем
в виде равенств, добавляя балансовые
переменные:

Эта система является
системой с базисом (базис s₁, s₂,
s₃, каждая из них входит только в
одно уравнение системы с коэффициентом
1, x₁ и x₂ – свободные переменные.
Задачи, при решении которых применяется
симплекс-метод, должны обладать следующими
двумя свойствами:

• система
  ограничений должна быть системой
  уравнений с базисом;

• свободные члены всех уравнений в системе
  должны быть неотрицательны.

Полученная система –
система с базисом и ее свободные члены
неотрицательны, поэтому можно применить
симплекс-метод. Составим первую
симплекс-таблицу (Итерация 0) для решения
задачи на симплекс-метод, т.е. таблицу
коэффициентов целевой функции и системы
уравнений при соответствующих переменных.
Здесь “БП” означает столбец базисных
переменных, «свободные члены» – столбец
правых частей уравнений системы. Решение
не является оптимальным, т.к. в z – строке
есть отрицательные коэффициенты.

симплекс-метод итерация
0

БП	x1	x2	s1	s2	s3	свободные члены	Отношение
z	-4	-6	0	0	0	0	–
s1	2	1	1	0	0	64	64/1=64
s2	1	3	0	1	0	72	72/3=24
s3	0	1	0	0	1	20	20/1=20

Для улучшения решения
перейдем к следующей итерации
симплекс-метода, получим следующую
симплекс-таблицу. Для этого надо выбрать
разрешающий столбец, т.е. переменную,
которая войдет в базис на следующей
итерации симплекс-метода. Он выбирается
по наибольшему по модулю отрицательному
коэффициенту в z-строке (в задаче на
максимум) – в начальной итерации
симплекс-метода это столбец x2 (коэффициент
-6).

Затем выбирается
разрешающая строка, т.е. переменная,
которая выйдет из базиса на следующей
итерации симплекс-метода. Она выбирается
по наименьшему отношению столбца
“свободные члены” к соответствующим
положительным элементам разрешающего
столбца (столбец «Отношение») – в
начальной итерации это строка s3
(коэффициент 20).

Разрешающий элемент
находится на пересечении разрешающего
столбца и разрешающей строки, его ячейка
выделена цветом, он равен 1. Следовательно,
на следующей итерации симплекс-метода
переменная x2 заменит в базисе s3. Заметим,
что в z-строке отношение не ищется, там
ставится прочерк ” – “. В случае если
есть одинаковые минимальные отношения,
то выбирается любое из них. Если в
разрешающем столбце все коэффициенты
меньше или равны 0, то решение задачи
бесконечно.

Заполним следующую
таблицу «Итерация 1». Её мы получим из
таблицы «Итерация 0». Цель дальнейших
преобразований – превратить разрешающий
столбец х2 в единичный (с единицей вместо
разрешающего элемента и нулями вместо
остальных элементов).

1)Вычисление строки
х2 таблицы “Итерация 1”. Сначала
делим все члены разрешающей строки s3
таблицы “Итерация 0” на разрешающий
элемент (он равен 1 в данном случае) этой
таблицы, получим строку x2 в таблице
«Итерации 1». Т.к. разрешающий элемент
в данном случае равен 1, то строка s3
таблицы “Итерация 0” будет совпадать
со строкой х2 таблицы “Итерация 1”.
Строку x2 таблицы “Итерации 1” мы
получили 0 1 0 0 1 20, остальные строки
таблицы “Итерация 1” будут получены
из этой строки и строк таблицы “Итерация
0” следующим образом:

2) Вычисление z-строки
таблицы “Итерация 1”. На месте -6 в
первой строке (z-строке) в столбце х2
таблицы “Итерация 0” должен быть 0
в первой строке таблицы “Итерация
1”. Для этого все элементы строки х2
таблицы “Итерация 1” 0 1 0 0 1 20 умножим
на 6, получим 0 6 0 0 6 120 и сложим эту строку
с первой строкой (z – строкой) таблицы
“Итерация 0” -4 -6 0 0 0 0, получим -4 0 0 0
6 120. В столбце x2 появился ноль 0, цель
достигнута.

3) Вычисление строки
s1 таблицы “Итерация 1”. На месте 1 в
s1 строке таблицы “Итерация 0” должен
быть 0 в таблице “Итерация 1”. Для
этого все элементы строки х2 таблицы
“Итерация 1” 0 1 0 0 1 20 умножим на -1,
получим 0 -1 0 0 -1 -20 и сложим эту строку с
s1 – строкой таблицы “Итерация 0” 2 1
1 0 0 64, получим строку 2 0 1 0 -1 44. В столбце
х2 получен необходимый 0.

4) Вычисление строки
s2 таблицы “Итерация 1”. На месте 3 в
s2 строке таблицы “Итерация 0” должен
быть 0 в таблице “Итерация 1”. Для
этого все элементы строки х2 таблицы
“Итерация 1” 0 1 0 0 1 20 умножим на -3,
получим 0 -3 0 0 -3 -60 и сложим эту строку с
s1 – строкой таблицы “Итерация 0” 1 3
0 1 0 72, получим строку 1 0 0 1 -3 12. В столбце
х2 получен нужный 0. Столбец х2 в таблице
“Итерация 1” стал единичным, он
содержит одну 1 и остальные 0.

Для следующих таблиц
пересчет элементов таблицы делается
аналогично.

симплекс-метод итерация
1

БП	x1	x2	s1	s2	s3	Свободные члены	Отношение
z	-4	0	0	0	6	120	–
s1	2	0	1	0	-1	44	44/2=22
s2	1	0	0	1	-3	12	12/1=12
x2	0	1	0	0	1	20	–

Разрешающий столбец
х1, разрешающая строка s2, s2 выходит из
базиса, х1 входит в базис. Совершенно
аналогично получим остальные
симплекс-таблицы, пока не будет получена
таблица со всеми положительными
коэффициентами в z-строке. Это признак
оптимальной таблицы.

симплекс-метод итерация
2

БП	x1	x2	s1	s2	s3	Свободные члены	Отношение
z	0	0	0	4	-6	168	–
s1	0	0	1	-2	5	20	20/5=4
x1	1	0	0	1	-3	12	–
x2	0	1	0	0	1	20	20/1=20

Разрешающий столбец
s3, разрешающая строка s1, s1 выходит из
базиса, s3 входит в базис.

симплекс-метод итерация
3

БП	x1	x2	s1	s2	s3	Свободные члены	Отношение
z	0	0	6/5	8/5	0	192	–
s3	0	0	1/5	-2/5	1	4	–
x1	1	0	3/5	-1/5	0	24	–
x2	0	1	-1/5	2/5	0	16	–

В z-строке все коэффициенты
неотрицательны, следовательно, получено
оптимальное решение x1 = 24, x2 = 16, z_max
= 192.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #