Sinb как найти формулы

Sinb как найти формулы

Основные формулы тригонометрии – это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных тригонометрических формул можно находить и решать практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь все тригонометрические формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую (посредством преобразования).

Тригонометрические тождества

sin2a+cos2a=1tgα=sinαcosα, ctgα=cosαsinαtgα·ctgα=1tg2α+1=1cos2α, ctg2α+1=1sin2α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg) и их свойств.

Основные формулы приведения в тригонометрии

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов, то есть, преобразовывать их.

Формулы приведения

sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα, cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα, ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα, cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα, ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Все формулы сложения в тригонометрии

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβcosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβtgα±β=tgα±tgβ1±tgα·tgβctgα±β=-1±ctgα·ctgβctgα±ctgβ

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла. 

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы двойного и тройного угла

sin2α=2·sinα·cosαcos2α=cos2α-sin2α, cos2α=1-2sin2α, cos2α=2cos2α-1tg2α=2·tgα1-tg2α сtg2α=сtg2α-12·сtgα sin3α=3sinα·cos2α-sin3α, sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=cos3α-3sin2α·cosα, cos3α=-3cosα+4cos3αtg3α=3tgα-tg3α1-3tg2αctg3α=ctg3α-3ctgα3ctg2α-1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosαctg2α2=1+cosα1-cosα

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени

sin2α=1-cos2α2cos2α=1+cos2α2sin3α=3sinα-sin3α4cos3α=3cosα+cos3α4sin4α=3-4cos2α+cos4α8cos4α=3+4cos2α+cos4α8

Часто при расчетах действовать с громоздкими степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

для четных n решение 

sinnα=Cn2n2n+12n-1∑k=0n2-1(-1)n2-k·Ckn·cos((n-2k)α)cosnα=Cn2n2n+12n-1∑k=0n2-1Ckn·cos((n-2k)α)

для нечетных n

sinnα=12n-1∑k=0n-12(-1)n-12-k·Ckn·sin((n-2k)α)cosnα=12n-1∑k=0n-12Ckn·cos((n-2k)α)

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно для применения при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sinα+sinβ=2sinα+β2·cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2·cosα+β2cosα+cosβ=2cosα+β2·cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2·sinα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·sinβ-α2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению или умножению, то формулы произведения (здесь нужно умножать) тригонометрических функций осуществляют обратный переход – от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sinα·sinβ=12·(cos(α-β)-cos(α+β))cosα·cosβ=12·(cos(α-β)+cos(α+β))sinα·cosβ=12·(sin(α-β)+sin(α+β))

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции – тангенс, котангенс, синус, косинус – могут быть выражены через тангенс половинного угла. 

Универсальная тригонометрическая подстановка

sinα=2tgα21+tg2α2cosα=1-tg2α21+tg2α2tgα=2tgα21-tg2α2ctgα=1-tg2α22tgα2

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Теорема синусов. Теорема синусов для треугольника. Теорема синусов формула. Следствия из теоремы синусов

Что такое теорема синусов?

Теорема синусов для треугольника

Теорема синусов формула

Теорема синусов формула:

Теорема синусов доказательство

Теорема синусов доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC

Высота треугольника ABC равна h. Выразим h через синус угла С:

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания b на высоту h:

Аналогично найдём площадь данного треугольника, используя другие его стороны:

Левые части всех трёх равенств для площади одинаковы, ведь мы искали площадь одного треугольника, значит равны и правые части:

Разделим обе части последнего равенства на произведение sinA*sinC:

Аналогично, приравнивая правые части (1/2)bc sinA = (1/2)ac sinB, получаем:

В результате получаем:

Теорема синусов для треугольника широко применяется при решении задач по геометрии, по кинематике и в других областях.

Следствия из теоремы синусов

Следствия из теоремы синусов.

Следствия из теоремы синусов состоят в том, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Синус в треугольнике

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно, синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

Теорема синусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

  • bc sinα = ca sinβ

    • Из этих двух соотношений получаем:

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° – α.

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Также известно, что sin(180° – α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° – α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° – 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° – 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° – α)

    Так как sin(180° – α) = sinα, то sinγ = sin(180° – α) = sinα

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° – 45° – 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:

    • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    [spoiler title=”источники:”]

    Синус в треугольнике

    http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-sinusov

    [/spoiler]

    Источник

    Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

    Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

    Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

    Острый угол — меньший 90 градусов.

    Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

    Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

    Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

    Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha.

    Гипотенуза и катеты

    Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

    Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

    Катет a, лежащий напротив угла alpha, называется противолежащим (по отношению к углу alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла alpha, называется прилежащим.

    Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    sin A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.

    Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

    cos A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.

    Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

    tg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.

    Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

    tg A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.

    Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

    ctg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.

    Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

    sin displaystyle alpha = frac{a}{c} sin{}^2 alpha +cosdisplaystyle {}^2 alpha =1 alpha + beta = 90 ^{circ} 
    cos displaystyle alpha = frac{b}{c} 1+tg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha} cosalpha = sin beta
    tg displaystyle alpha = frac{a}{b} 1+ctg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha} sinalpha = cosbeta
    ctg displaystyle alpha = frac{b}{a} tgalpha = ctgbeta

    Давайте докажем некоторые из них.

    1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{circ}.
    2. С одной стороны, sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}, поскольку для угла beta катет а будет прилежащим. Получаем, что cos beta =sin alpha. Иными словами, cos left( 90^{circ}-A right) = sin A.
    3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2. Поделим обе части на c^2, получаем displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 , то есть sin ^2 A+cos^2 A=1.
      Мы получили основное тригонометрическое тождество.
    4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos^2 A, получим: 1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }. Это значит, что если нам дан тангенс острого угла alpha, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.

    Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

    Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}.

    Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

    Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

    С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

    Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

    Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{circ} до 90^{circ}.

    varphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}
    sinvarphi 0 displaystyle frac{1}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{sqrt{3}}{2} 1
    cosvarphi 1 displaystyle frac{sqrt{3}}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{1}{2} 0
    tgvarphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 1 sqrt{3} −
    ctgvarphi − sqrt{3} 1 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0

    Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

    Докажем теорему:

    Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

    В самом деле, пусть АВС и A_1B_1C_1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

    Треугольники АВС и A_1B_1C_1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .

    Из этих равенств следует, что displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} , т. е. sin А = sin A_1.

    Аналогично, displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1}, т. е. cos А = cosA_1, и displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1}, т. е. tg A = tg A_1.

    Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

    Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

    Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin A = 0,1. Найдите cos B.

    Задача решается за четыре секунды.

    Поскольку A+B = 90^{circ}, sin A = cos B = 0,1.

    Задача 2. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, AB=5, sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

    Найдите AC.

    Решение:

    sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

    Отсюда

    BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.

    Найдем AC по теореме Пифагора.

    AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.

    Ответ: 4,8.

    Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

    Решение:

    Для угла А противолежащий катет – это ВС,

    АВ является гипотенузой треугольника, лежит против angle C. Значит, sin A displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.

    Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.

    Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: AC^2+BC^2=AB^2.

    Тогда AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.

    cos⁡ А displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;

    tg A displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.

    Ответ: 0,92; 0,42.

    Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

    Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 2, sin A= displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .

    Найдите BC.
    Решение:

    AC = b = 2, BC = a, AB = c.

    Так как sin A displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17}, displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} , displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.

    По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2, получим

    a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;

    a^2+4=17a^2;

    16a^2=4, displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;

    BC = 0,5.

    Ответ: 0,5.

    Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 4, tg A = displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} . Найдите AB.

    Решение:

    AC = b = 4, tg A displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},

    displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}}, displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},

    AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.

    Ответ: 7.

    Задача 6.

    В треугольнике АВС угол С равен 90^ circ, CH – высота, AB = 13, tg A = displaystyle frac{1}{5} . Найдите AH.

    Решение:

    AВ = с = 13, tg A = displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} , тогда b = 5a.

    По теореме Пифагора triangleABC: a^2+b^2=c^2,

    a^2+(5a)^2=13^2,

    26 a^2=169,

    displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}}, тогда displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.

    triangle AHC approx triangle ACB (по двум углам), следовательно displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} , откуда

    displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.

    Ответ: 12,5.

    Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ,

    CH – высота, BC = 3, sin A = displaystyle frac{1}{6} .

    Найдите AH.

    Решение:

    Так как sin A = displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6}, тогда displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} , c = АВ = 18.

    sin A = displaystyle frac{a}{c} = cos⁡ B = displaystyle frac{1}{6} .

    Рассмотрим triangle BHC:

    {cos B= }displaystyle frac{BH}{BC} = displaystyle frac{1}{6} , получим displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},

    тогда BH = displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2} = 0,5,

    AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.

    Ответ: 17,5.

    Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BC = 3, cos A = displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.

    Найдите АH.

    Решение:

    Так как для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}= sin В = displaystyle frac{sqrt{35}}{6},

    а для triangle ВНС: sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{sqrt{35}}{6} , откуда СН = displaystyle frac{BC cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},

    По теореме Пифагора найдем ВН:

    BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=

    =sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.

    Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для triangle АВС получим:

    {CH}^2=AH cdot BH, тогда AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.

    Ответ: 17,5.

    Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

    Решение:

    По определению sin A= displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = {cos B}.

    Рассмотрим triangle BHC : {cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}.

    ВС найдем по теореме Пифагора:

    ВС= sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,

    тогда {cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28, а значит и sin A = {cos B }= 0,28.

    Ответ: 0,28.

    Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

    Решение:

    По определению sin A = displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = ; cos A = displaystyle frac{b}{c} = displaystyle frac{AC}{AB} = {sin B },

    тогда tg A = displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB, который найдем из triangle BHC:

    ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.

    Ответ: 0,5.

    Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, tg A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АН.

    Решение:

    По определению tg A= displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.

    Для triangle BHC: ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3} , значит displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3}, СН = displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.

    Для triangle АHC: tg A= displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, то displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, AH = displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.

    Ответ: 27.

    Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, sin A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АВ.

    Решение:

    Так как cos В = displaystyle frac{BC}{AB} = sin A = displaystyle frac{2}{3}.

    Из triangle СВН имеем cos В = displaystyle frac{HB}{BC} = displaystyle frac{2}{3}, тогда ВС = displaystyle frac{3 cdot HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.

    В triangle АВС имеем sinA = displaystyle frac{BC}{AB} = displaystyle frac{2}{3}, тогда AВ = displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.

    Ответ: 27.

    Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

    Решение:

    Найдем НВ по теореме Пифагора из triangle ВСН:

    HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=

    sqrt{8 cdot 32}= sqrt{8 cdot 2 cdot 16}=16.

    sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.

    Для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5}, получили cos A = 0,6.

    Найдем АС и АВ несколькими способами.

    1-й способ.

    Так как cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5}, то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

    тогда по теореме Пифагора {AC}^2+{BC}^2= {AB}^2, получим {(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2
    {25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,

    {16x}^2= {20}^2,

    x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,
    х = 5 ( так как хtextgreater 0). Значит, AC=15, AB=25.

    2-й способ.

    triangle HBC approx triangle CBA (по двум углам), значит displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB} или displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,

    k = displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} , тогда displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5}, АС = displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15; displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5}, АВ = displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.

    3-й способ.

    {CH}^2=AH cdot HB (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда {12}^2=AH cdot 16, АН = 144:16 = 9.

    АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

    По теореме Пифагора найдем АС:

    AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)} = sqrt{5cdot 45}=sqrt{5cdot 5cdot 9}=15.

    Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

    Задача 14.

    Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

    Найдите АВ и cos А.

    Решение:

    Из прямоугольного triangle ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

    ВС = sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}= sqrt{900}=30;

    cos C = displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.

    Для triangle АВС: sin А = displaystyle frac{BC}{AC} = cos C = displaystyle frac{3}{5}.

    Для triangle АНВ: sin А = displaystyle frac{BH}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, то displaystyle frac{24}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, АВ = displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.

    Из основного тригонометрического тождества найдем

    cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.

    Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

    Задача 15.

    Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = displaystyle frac{7}{25}.

    Найдите площадь треугольника.

    Решение:

    В прямоугольном triangle АСЕ sin А = displaystyle frac{CE}{AC},

    значит CE=AC cdot sinA=50 cdot displaystyle frac{7}{25} = 14.

    Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};

    AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.

    Площадь прямоугольного треугольника равна S = displaystyle frac{1}{2}ab,

    поэтому S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.

    Ответ: 336.

    Задача 16.

    В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

    Найдите sin angle ACK. Результат округлите до сотых.

    Решение:

    triangle CAK approx triangle BAC ( angle A-общий, angle AKC=angle ACB=90{}^circ ),

    значит angle ACK=angle ABC, sin angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.

    Найдем АС по теореме Пифагора из triangle САВ:

    AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=

    =sqrt{(13-12)(13+12)}=sqrt{25}= 5.

    Тогда sin angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.

    Ответ: 0,38.

    Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = displaystyle frac{12}{13}. Найдите высоту СН.

    Решение:

    Так как АС = ВС, то triangle АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

    высота СН является медианой, то есть АН = НВ = displaystyle frac{1}{2}AB=36.

    Поскольку triangle АСН — прямоугольный,

    cos A = displaystyle frac{AH}{AC}= displaystyle frac{12}{13}, то есть displaystyle frac{36}{AC}= displaystyle frac{12}{13} Rightarrow АС = displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.

    По теореме Пифагора {AH}^2+{CH}^2={AC}^2, тогда

    CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=

    =sqrt{(39-36)(39+36)}=sqrt{3cdot 3cdot 25}=15.

    Ответ: 15.

    Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, sin A = displaystyle frac{11}{14}, AC = 10sqrt{3}. Найдите АВ.

    Решение:

    1-й способ.

    Поскольку sin A = displaystyle frac{BC}{AB}= displaystyle frac{11}{14}, то можно обозначить

    ВС = 11х, АВ = 14х.

    По теореме Пифагора AC^2+{BC}^2={AB}^2;

    {(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;

    {(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;

    (14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

    3cdot 25 x^2 = 3 cdot 100.

    x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

    следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

    2-й способ.

    Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством {sin}^2A+{cos}^2A=1;

    cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

    По определению cos A = displaystyle frac{AC}{AB}, значит displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

    Так как АС=10sqrt{3}, то displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}, откуда АВ = displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}} = 28.

    Ответ: 28.

    Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4sqrt{3} и 4.

    Решение:

    Пусть angle ВАО = alpha .

    Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, angle DAO=angle BAO = alpha .

    Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3}, а катет ВО = displaystyle frac{1}{2}BD =2.

    Поэтому tgalpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}}, откуда alpha =30{}^circ .

    angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .

    Ответ: {60}^circ, {120}^circ, {60}^circ, {120}^circ .

    Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} или с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

    Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

    Для треугольника с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{circ}, равен половине гипотенузы.

    Треугольник с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

    Задача 20.

    В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, угол А равен 30{}^circ, АВ = 2sqrt{3} .

    Найдите высоту CH.

    Решение:

    Рассмотрим triangle АВС:

    По свойству катета, лежащего против угла {30}^circ, имеем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = sqrt{3}.

    В triangle BHC: angle BHC=90{}^circ ,; angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно, ВН = displaystyle frac{1}{2} BC = displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.

    По теореме Пифагора найдем НС:

    HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=

    =sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.

    Ответ: 1,5.

    Задача 21.

    В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, АВ = 2, angle A=30{}^circ . Найдите АH.

    Решение:

    Из triangle АВС найдем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30{}^circ),

    angle A=30{}^circ , то angle B=60{}^circ .

    Из triangle ВСН: angle BHC=90{}^circ , angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно,

    ВН = displaystyle frac{1}{2} ВС = displaystyle frac{1}{2}.

    АН = АВ — НВ = 2 – displaystyle frac{1}{2} = 1,5.

    Ответ: 1,5.

    Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

    Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

    Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

    Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

    Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
    Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
    Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
    Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

    Публикация обновлена:
    08.05.2023

    Источник

    Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.

    1. Основное тригонометрическое тождество:
      $$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
    2. Определение тангенса и котангенса через синус и косинус:
      $$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};$$
      $$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
    3. Cвязь тангенса и котангенса:
      $$tg(alpha)=frac{1}{ctg(alpha)};$$
      $$tg(alpha)*ctg(alpha)=1;$$
    4. Тангенс через косинус. Котангенс через синус:
      $$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
      $$ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};$$
    5. Синус суммы и разности:
      $$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
      $$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
    6. Косинус суммы и разности:
      $$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
      $$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
    7. Тангенс суммы и разности:
      $$tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};$$
      $$tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};$$
    8. Котангенс суммы и разности:
      $$сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};$$
      $$сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};$$
    9. Двойной угол:
      $$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
      $$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
      $$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
      $$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$
    10. Тройной угол:
      $$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
      $$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
      $$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
      $$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$
    11. Формулы половинного угла:
      $$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
      $$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
      $$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
      $$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
    12. Понижение степени:
      $$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
      $$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
      $$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
      $$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
      $$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
      $$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
    13. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
      $$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
      $$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
      $$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
      $$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
      $$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
      $$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
      $$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
      $$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
      $$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
    14. Преобразование произведения тригонометрических функций:
      $$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
      $$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
      $$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$
    15. Формулы подстановки тангенса:
      $$sin(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
      $$cos(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
      $$tg(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1-tg(frac{alpha}{2})^2};$$
      $$ctg(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{2*tg(frac{alpha}{2})};$$
    16. Формулы приведения можно найти в отдельной статье

    Зачем нужны тригонометрические формулы?

    Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.

    Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.

    Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

    Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.

    Основное тригонометрическое тождество

    $$mathbf{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;}$$

    Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

    При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

    Пример 1
    Найдите (3sqrt{2}*sin(alpha)=?), если (cos(alpha)=frac{1}{3}) и (alphain(0;frac{pi}{2})). (ЕГЭ)

    Чтобы найти значение выражения (3sqrt{2}*sin(alpha)) необходимо сначала найти значение синуса.

    Формула, которая связывает и синус, и косинус – это основное тригонометрическое тождество:
    $$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
    Просто подставим в нее известное значение косинуса
    $$sin(alpha)^2+left(frac{1}{3}right)^2=1;$$
    $$sin(alpha)^2+frac{1}{9}=1;$$
    $$sin(alpha)^2=1-frac{1}{9};$$
    $$sin(alpha)^2=frac{8}{9};$$
    $$sin(alpha)=pmsqrt{frac{8}{9}}=pmfrac{2sqrt{2}}{3};$$
    Обратите внимание на знак (pm), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

    В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

    В этом нам поможет дополнительное условие на (alphain(0;frac{pi}{2})), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз (alpha) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса:
    $$sin(alpha)=frac{2sqrt{2}}{3};$$
    И подставим найденное значение в искомое выражение:
    $$3sqrt{2}*sin(alpha)=3sqrt{2}*frac{2sqrt{2}}{3}=4.$$

    Ответ: (4.)

    Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

    Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

    Основные связи тригонометрических функций

    А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус:

    $$mathbf{tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};}$$
    $$mathbf{ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};}$$

    Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.

    Пример 2
    Найдите (tg(alpha)) и (ctg(alpha)), если (cos(alpha)=frac{sqrt{10}}{10}) и (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)).

    Сначала находим значение синуса:
    $$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
    $$sin(alpha)^2+left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2=1;$$
    $$sin(alpha)^2+frac{1}{10}=1;$$
    $$sin(alpha)^2=1-frac{1}{10};$$
    $$sin(alpha)^2=frac{9}{10};$$
    $$sin(alpha)=pmsqrt{frac{9}{10}}=pmfrac{3}{sqrt{10}};$$
    Так как по условию задачи (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то (sin(alpha)<0). Выбираем отрицательное значение:
    $$sin(alpha)=-frac{3}{sqrt{10}};$$
    Теперь нам известны значения и косинуса, и синуса, можем найти тангенс:
    $$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{-frac{3}{sqrt{10}}}{frac{sqrt{10}}{10}}=-frac{3}{sqrt{10}}*frac{10}{sqrt{10}}=-3;$$
    Котангенс можно найти аналогично по формуле:
    $$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
    Но поступим проще и воспользуемся тригонометрической формулой, связывающей тангенс с котангенсом:
    $$mathbf{сtg(alpha)=frac{1}{tg(alpha)};}$$
    $$сtg(alpha)=frac{1}{-3}=-frac{1}{3};$$

    Ответ: (tg(alpha)=-3;) (ctg(alpha)=-frac{1}{3}.)

    Как видите, чтобы найти тангенс или котангенс через косинус или синус, необходимо воспользоваться сразу двумя тригонометрическими формулами. Это не очень удобно, поэтому очень полезны тригонометрические формулы, связывающие тангенс с косинусом или котангенс с синусом напрямую:
    $$mathbf{tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};}$$
    $$mathbf{ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};}$$

    Вывод связи тангенса с косинусом и котангенса с синусом

    Полезно знать, как они выводятся. Вывод, на самом деле, элементарный, с использованием основного тригонометрического тождества и определения тангенса через синус и косинус:
    $$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
    $$left(frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}right)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
    Приводим левую часть к общему знаменателю:
    $$frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}+frac{cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
    $$frac{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
    В числителе у нас получилось основное тригонометрическое тождество:
    $$frac{1}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
    Получилось верное равенство – формула доказана. Аналогично доказывается формула для котангенса и синуса. (В качестве упражнения докажите ее сами).

    Если решать пример №2 по этим формулам, то решение заметно сокращается:
    $$tg(alpha)^2+1=frac{1}{left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2};$$
    $$tg(alpha)^2+1=10;$$
    $$tg(alpha)^2=9;$$
    $$tg(alpha)=pm3;$$
    Так как (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), то тангенс будет отрицательным:
    $$tg(alpha)=-3;$$

    Формулы суммы и разности тригонометрических функций

    1. Синус суммы и разности:
      $$mathbf{sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);}$$
      $$mathbf{sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);}$$
    2. Косинус суммы и разности:
      $$mathbf{cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);}$$
      $$mathbf{cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);}$$
    3. Тангенс суммы и разности:
      $$mathbf{tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};}$$
      $$mathbf{tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};}$$
    4. Котангенс суммы и разности:
      $$mathbf{сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};}$$
      $$mathbf{сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};}$$

    Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.

    Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:

    Пример 3
    Упростить выражение (sin(frac{pi}{2}+alpha)).

    Воспользуемся формулой синуса суммы:
    $$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
    $$sin(frac{pi}{2}+alpha)=sin(frac{pi}{2})*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(frac{pi}{2})=$$
    $$=1*cos(alpha)+sin(alpha)*0=cos(alpha);$$

    Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

    Пример 4
    Найдите значение (sin(15^o)=?)

    (15^o) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим (15^o) в виде разности стандартных углов (15^o=45^o-30^o). И воспользуемся формулой синуса разности:
    $$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
    $$sin(15^o)=sin(45^o-30^o)=sin(45^o)*cos(30^o)-sin(30^o)*cos(45^o)=$$
    $$=frac{sqrt{2}}{2}*frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
    $$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
    Вот мы наши синус (15^o). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

    Ответ: (sin(15^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

    Пример 5
    Найдите значение (cos(75^o)=?)

    (75^o) можно представить в виде суммы стандартных углов (75^o=30^o+45^o). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
    $$cos(alpha+beta)=cos(30^o)*cos(45^o)-sin(30^0)*sin(45^0)=$$
    $$=frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
    $$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
    У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что (cos(75^o)=sin(15^o)). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

    Ответ: (cos(75^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

    Мы не будем выводить эти формулы – это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

    Формулы двойного угла

    $$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
    $$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
    $$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
    $$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$

    Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол (2alpha) через (alpha). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) :

    $$cos(2alpha)=cos(alpha+alpha)=cos(alpha)*cos(alpha)-sin(alpha)*sin(alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2;$$
    Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу:
    $$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-sin(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2sin(alpha)^2;$$
    $$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=cos(alpha)^2-(1-cos(alpha)^2)=2cos(alpha)^2-1;$$

    Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы:
    $$sin(2alpha)=sin(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(alpha)=2sin(alpha)cos(alpha);$$

    Для вывода формул двойного угла для тангенса нам понадобится представить тангенс в виде отношения синуса к косинуса по определению и только что выведенные формулы синуса и косинуса двойного угла:
    $$tg(2alpha)=frac{sin(2alpha)}{cos(2alpha)}=frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}=frac{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2}}{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{frac{2sin(alpha)}{cos(alpha)}}{1-frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{2tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
    Котангенс двойного угла выводится абсолютно также:
    $$сtg(2alpha)=frac{cos(2alpha)}{sin(2alpha)}=frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{2sin(alpha)cos(alpha)}=frac{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{sin(alpha)^2}}{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{sin(alpha)^2}}=frac{frac{cos(alpha)^2}{sin(alpha)^2}-1}{frac{2cos(alpha)}{sin(alpha)}}=frac{ctg(alpha)^2-1}{2ctg(alpha)};$$

    В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:

    Пример 6
    Найти значение (24cos(2alpha)=?), если (sin(alpha)=-0,2.)

    Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
    $$cos(2alpha)=1-2sin(alpha)^2;$$
    $$24cos(2alpha)=24(1-2sin(alpha)^2)=24-48sin(alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$

    Пример 7
    Найти значение (frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=?), если (sin(3alpha)=0,6.)

    Используем синус двойного угла, для этого представим (6alpha=2*(3alpha)):
    $$sin(6alpha)=sin(2*(3alpha))=2sin(3alpha)cos(3alpha);$$
    $$frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{10*2sin(3alpha)cos(3alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{20sin(3alpha)}{3}=frac{20*0,6}{3}=frac{12}{3}=4.$$

    Пример 8
    Найти значение выражения (frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=?)

    Замечаем, что (22^o=2*11^o) и воспользуемся синусом двойного угла:
    $$frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{2sin(11^o)cos(11^o)}=frac{12}{2}=6.$$

    Формулы тройного угла

    Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся.
    $$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
    $$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
    $$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
    $$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$

    Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла:
    $$cos(3*alpha)=cos(2alpha+alpha)=cos(2alpha)*cos(alpha)-sin(2alpha)*sin(alpha)=$$
    $$=(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)*cos(alpha)-2sin(alpha)*cos(alpha)*sin(alpha)=$$
    $$=cos(alpha)^3-sin(alpha)^2*cos(alpha)-2sin(alpha)^2*cos(alpha)=$$
    $$=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha);$$

    Если расписать (sin(alpha)^2=1-cos(alpha)^2), то получим еще один вариант формулы тройного угла:
    $$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha)=cos(alpha)^3-3(1-cos(alpha)^2)*cos(alpha)=$$
    $$=4cos(alpha)^3-3cos(alpha);$$

    Аналогично выводится формула синуса тройного угла:
    $$sin(3alpha)=sin(2alpha+alpha)=sin(2alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(2alpha)=$$
    $$=2sin(alpha)*cos(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)=$$
    $$=2sin(alpha)*cos(alpha)^2+sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3;$$
    Распишем по основному тригонометрическому тождеству (cos(alpha)^2=1-sin(alpha)^2) и подставим:
    $$sin(3alpha)=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=$$
    $$=3sin(alpha)*(1-sin(alpha)^2)-sin(alpha)^3=3sin(alpha)-4sin(alpha)^3;$$

    Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.

    Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.

    Формулы половинного угла (двойного аргумента)

    $$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
    $$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
    $$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
    $$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

    Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол (alpha) всегда можно представить в виде удвоенного угла (frac{alpha}{2}):
    $$alpha=2*frac{alpha}{2};$$

    Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла:
    $$cos(alpha)=1-2*sin(frac{alpha}{2})^2;$$
    Выразим отсюда (sin(frac{alpha}{2})):
    $$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
    Иногда эту формулу записывают без квадрата:
    $$sin(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}};$$
    Плюс минус возникает при избавлении от квадрата.
    Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла:
    $$cos(alpha)=2*cos(frac{alpha}{2})^2-1;$$
    $$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{cos(alpha)+1}{2};$$
    $$cos(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}};$$

    Доказательство формул половинного угла для тангенса и котангенса следует из выше доказанных формул:
    $$tg(frac{alpha}{2})=frac{sin(frac{alpha}{2})}{cos(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=sqrt{frac{frac{1-cos(alpha)}{2}}{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
    Точно так же для котангенса:
    $$сtg(frac{alpha}{2})=frac{cos(frac{alpha}{2})}{sin(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=sqrt{frac{frac{cos(alpha)+1}{2}}{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

    Пример 9
    При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать (cos(15^o)):

    $$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
    $$cos(15^o)^2=frac{1+cos(30^o)}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4};$$
    $$cos(15^o)=sqrt{frac{2+sqrt{3}}{4}}.$$

    Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы (alpha), а левой (frac{alpha}{2}). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза:
    $$sin(5alpha)=pmsqrt{frac{1-cos(10alpha)}{2}};$$

    Формулы понижения степени

    $$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
    $$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
    $$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
    $$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
    $$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
    $$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$

    Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.

    Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.

    Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:

    $$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
    $$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
    $$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$

    Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.

    Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.

    Обратите внимание, что любой угол (alpha) можно представить в таком странном виде:
    $$alpha=frac{alpha}{2}+frac{alpha}{2}+frac{beta}{2}-frac{beta}{2}=frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2};$$
    Аналогично угол (beta):
    $$beta=frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2};$$
    Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание.
    А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла (alpha) и (beta) по формулам выше:
    $$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2}); qquad (*)$$
    Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

    $$sin(gamma+sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)+sin(sigma)*cos(gamma);$$
    $$sin(gamma-sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)-sin(sigma)*cos(gamma);$$

    Только у нас под синусами будут стоять не (gamma) и (sigma), а целые выражения.
    Пусть:
    $$gamma=frac{alpha+beta}{2};$$
    $$sigma=frac{alpha-beta}{2};$$
    Применим формулы синуса суммы и разности в (*):
    $$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2})=$$
    $$=left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)+$$
    $$+left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})-sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)=$$
    $$=2*sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2}); $$
    В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.

    Аналогично выводятся все остальные формулы.

    Пример 10
    Вычислить (sin(165)+sin(75)=?)

    (165^o) и (75^o) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов:
    $$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$sin(165^o)+sin(75^o)=2*sinleft(frac{165^o+75^o}{2}right)*cosleft(frac{165^o-75^o}{2}right)=$$
    $$=2*sin(120^o)*cos(45^o)=2*frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{2}.$$

    Преобразование произведения тригонометрических функций

    $$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
    $$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
    $$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$

    В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.

    Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности:
    $$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
    $$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$

    Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей:

    $$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha)+cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
    Приводим подобные слагаемые:
    $$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2*cos(alpha)*cos(beta);$$
    Отсюда получаем:
    $$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta));$$
    Формула произведения косинусов доказана.

    Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на ((-1)):
    $$-cos(alpha+beta)=-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
    Косинус разности оставим без изменений:
    $$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
    Сложим опять эти две формулы:
    $$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha)-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
    $$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=2*sin(beta)*sin(alpha);$$
    $$sin(beta)*sin(alpha)=frac{1}{2}*(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta));$$
    Произведение синусов тоже доказано.

    Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности:
    $$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
    $$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
    Сложим их:
    $$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
    $$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2*sin(alpha)*cos(beta);$$
    $$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$

    Пример 11
    Вычислить (sin(75^o)*cos(15^o)=?)

    Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
    $$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
    $$sin(75^o)*cos(15^o)=frac{1}{2}*(sin(75^o+15^o)+sin(75^o-15^o))=$$
    $$=frac{1}{2}*(sin(90^o)+sin(60^o))=frac{1}{2}*(1+frac{sqrt{3}}{2})=frac{2+sqrt{3}}{4}.$$

    Источник

    Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 февраля 2022 года; проверки требуют 16 правок.

    Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

    Пример шести тригонометрических функций угла θ = 0.7 радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные 1, Sec(θ) и Csc(θ) равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Sin(θ), Tan(θ) и 1 равны высотам над осью

    x, величины Cos(θ), 1 и Cot(θ) равны длинам сегментов оси

    x от центра окружности.

    Основные тригонометрические формулы[править | править код]

    № Формула Допустимые значения аргумента
    1.1 operatorname {sin}^{2}alpha +operatorname {cos}^{2}alpha =1 forall alpha (то есть любое значение α)
    1.2 operatorname {tg}^{2}alpha +1={frac {1}{cos ^{2}alpha }}=operatorname {sec}^{2}alpha {displaystyle alpha neq {frac {pi }{2}}+pi n} при {displaystyle nin mathbb {Z} }
    1.3 operatorname {ctg}^{2}alpha +1={frac {1}{sin ^{2}alpha }}=operatorname {cosec}^{2}alpha {displaystyle alpha neq pi n,quad nin mathbb {Z} }
    1.4 {displaystyle operatorname {tg} alpha cdot operatorname {ctg} alpha =1} {displaystyle alpha neq {frac {pi n}{2}},quad nin mathbb {Z} }

    Формулы сложения и вычитания аргументов[править | править код]

    Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов

    Иллюстрация форм сложения тангенсов.

    № Формулы сложения и вычитания аргументов
    2.1 sin left(alpha pm beta right)=sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta
    2.2 cos left(alpha pm beta right)=cos alpha cos beta mp sin alpha sin beta
    2.3 operatorname {tg}left(alpha pm beta right)={frac {operatorname {tg}alpha pm operatorname {tg}beta }{1mp operatorname {tg}alpha operatorname {tg}beta }}
    2.4 operatorname {ctg}left(alpha pm beta right)={frac {operatorname {ctg}alpha operatorname {ctg}beta mp 1}{operatorname {ctg}beta pm operatorname {ctg}alpha }}

    Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

    Exclamation mark red.png Формула (2.3) верна при alpha , beta , {displaystyle alpha pm beta }, отличных от {displaystyle {pi over 2}+pi n}, {displaystyle nin mathbb {Z} }.

    Вывод формул для sin(alpha +beta ), cos(alpha +beta )

    Рис 1. К доказательству вывода формулы

    На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

    Принято, что {displaystyle AB=1,angle DAC=alpha ,angle DAB=beta ;}

    По построению: {displaystyle angle ABC=90-alpha -beta ;angle ABD=90-beta ;}

    Тогда: {displaystyle angle OBD=angle ABD-angle ABO=alpha ;}

    Из треугольника ABD:

    {displaystyle BD=sin beta ;AD=cos beta ;}

    Из треугольника BOD:

    {displaystyle OB={frac {BD}{cos alpha }}={frac {sin beta }{cos alpha }};}
    {displaystyle OD=OBcdot sin alpha ={frac {sin alpha cdot sin beta }{cos alpha }}}

    Так как O лежит на отрезке AD:

    {displaystyle AO=AD-OD=cos beta -{frac {sin alpha cdot sin beta }{cos alpha }}={frac {cos alpha cdot cos beta -sin alpha cdot sin beta }{cos alpha }}}

    Тогда сразу:

    {displaystyle cos(alpha +beta )=AC=AOcdot cos alpha =cos alpha cdot cos beta -sin alpha cdot sin beta }

    Из треугольника AOC:

    {displaystyle OC=AOcdot sin alpha ={frac {sin alpha cdot (cos alpha cdot cos beta -sin alpha cdot sin beta )}{cos alpha }}}

    Следовательно:

    {displaystyle sin(alpha +beta )=BC=OB+OC={frac {sin beta }{cos alpha }}+{frac {sin alpha cdot (cos alpha cdot cos beta -sin alpha cdot sin beta )}{cos alpha }}=}
    {displaystyle sin alpha cdot cos beta +{frac {sin beta cdot (1-sin ^{2}alpha )}{cos alpha }}=sin alpha cdot cos beta +cos alpha cdot sin beta }

    Что и требовалось доказать[источник не указан 2610 дней].

    Формулы двойного угла и половинного угла[править | править код]

    Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять α:

    № Формулы двойного угла
    3.1 {displaystyle operatorname {sin} 2alpha =2{sin alpha } {cos alpha }={frac {2operatorname {tg} alpha }{1+operatorname {tg} ^{2}alpha }}}
    3.2 operatorname {cos}2alpha ={cos ^{2}alpha }-{sin ^{2}alpha }
    operatorname {cos}2alpha =2{cos ^{2}alpha }-1=1-2{sin ^{2}alpha }
    3.3 operatorname {tg}2alpha ={frac {2operatorname {tg}alpha }{1-operatorname {tg}^{2}alpha }}
    3.4 operatorname {ctg}2alpha ={frac {operatorname {ctg}^{2}alpha -1}{2operatorname {ctg}alpha }}

    Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

    № Формулы половинного угла
    3.5 {displaystyle sin {alpha over 2}=pm {sqrt {1-cos alpha over 2}}}
    3.6 {displaystyle cos {alpha over 2}=pm {sqrt {1+cos alpha over 2}}}
    3.7 {displaystyle operatorname {tg} {alpha over 2}=pm {sqrt {1-cos alpha over 1+cos alpha }}={sin alpha over 1+cos alpha }={1-cos alpha over sin alpha }={-1pm {sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}alpha }} over operatorname {tg} alpha }}
    3.8 {displaystyle operatorname {ctg} {alpha over 2}=pm {sqrt {1+cos alpha over 1-cos alpha }}={sin alpha over 1-cos alpha }={1+cos alpha over sin alpha }=operatorname {ctg} {alpha }pm {sqrt {1+operatorname {ctg} ^{2}alpha }}}

    (!) В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует брать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

    Exclamation mark red.png В формуле {displaystyle operatorname {tg} {alpha over 2}={1-cos alpha over sin alpha }} и аналогичной для котангенса, левая и правая части имеют разные области определения и, следовательно, их неосторожное использование может приводить к приобретению корней!

    Формулы тройного угла[править | править код]

    Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять 2α:

    № Формулы тройного угла
    4.1 {displaystyle sin 3alpha =3sin alpha -4sin ^{3}alpha }
    4.2 {displaystyle cos 3alpha =4cos ^{3}alpha -3cos alpha }
    4.3 operatorname {tg}3alpha ={frac {3operatorname {tg}alpha -operatorname {tg}^{3}alpha }{1-3operatorname {tg}^{2}alpha }}
    4.4 operatorname {ctg}3alpha ={frac {3operatorname {ctg}alpha -operatorname {ctg}^{3}alpha }{1-3operatorname {ctg}^{2}alpha }}

    Примечания

    для формулы operatorname {tg}3alpha : alpha not ={frac {pi }6}+{frac {pi }3}n,nin {mathbb Z}
    для формулы operatorname {ctg}3alpha : alpha not ={frac {pi }3}n+pi n,nin {mathbb Z};

    Формулы понижения степени[править | править код]

    Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

    № Синус № Косинус
    5.1 sin ^{2}alpha ={frac {1-cos 2alpha }{2}} 5.5 cos ^{2}alpha ={frac {1+cos 2alpha }{2}}
    5.2 sin ^{3}alpha ={frac {3sin alpha -sin 3alpha }{4}} 5.6 cos ^{3}alpha ={frac {3cos alpha +cos 3alpha }{4}}
    5.3 sin ^{4}alpha ={frac {3-4cos 2alpha +cos 4alpha }{8}} 5.7 cos ^{4}alpha ={frac {3+4cos 2alpha +cos 4alpha }{8}}
    5.4 sin ^{5}alpha ={frac {10sin alpha -5sin 3alpha +sin 5alpha }{16}} 5.8 cos ^{5}alpha ={frac {10cos alpha +5cos 3alpha +cos 5alpha }{16}}
    № Произведение
    5.9 sin ^{2}alpha cos ^{2}alpha ={frac {1-cos 4alpha }{8}}
    5.10 sin ^{3}alpha cos ^{3}alpha ={frac {3sin 2alpha -sin 6alpha }{32}}
    5.11 sin ^{4}alpha cos ^{4}alpha ={frac {3-4cos 4alpha +cos 8alpha }{128}}
    5.12 sin ^{5}alpha cos ^{5}alpha ={frac {10sin 2alpha -5sin 6alpha +sin 10alpha }{512}}

    Формулы преобразования произведения функций[править | править код]

    № Формулы преобразования произведений функций
    6.1 sin alpha sin beta ={frac {cos(alpha -beta )-cos(alpha +beta )}{2}}
    6.2 sin alpha cos beta ={frac {sin(alpha -beta )+sin(alpha +beta )}{2}}
    6.3 cos alpha cos beta ={frac {cos(alpha -beta )+cos(alpha +beta )}{2}}

    Вывод формул преобразования произведений функций

    Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2).
    Например, из формулы (2.1) следует:

    sin(alpha +beta )+sin(alpha -beta )=sin alpha cos beta +cos alpha sin beta +sin alpha cos beta -cos alpha sin beta =
    =2sin alpha cos beta .

    То есть:

    sin alpha cos beta ={frac {sin(alpha +beta )+sin(alpha -beta )}{2}}    — формула (6.2).

    Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

    Формулы преобразования суммы функций[править | править код]

    № Формулы преобразования суммы функций
    7.1 sin alpha pm sin beta =2sin {frac {alpha pm beta }{2}}cos {frac {alpha mp beta }{2}}
    7.2 cos alpha +cos beta =2cos {frac {alpha +beta }{2}}cos {frac {alpha -beta }{2}}
    7.3 cos alpha -cos beta =-2sin {frac {alpha +beta }{2}}sin {frac {alpha -beta }{2}}
    7.4 operatorname {tg}alpha pm operatorname {tg}beta ={frac {sin(alpha pm beta )}{cos alpha cos beta }}
    7.5 operatorname {ctg}alpha pm operatorname {ctg}beta ={frac {sin(beta pm alpha )}{sin alpha sin beta }}

    Вывод формул преобразования суммы функций

    Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (6.1)—(6.3) с помощью подстановки:

    alpha ={frac {alpha '+beta '}{2}}

    и

    beta ={frac {alpha '-beta '}{2}}.

    Подставим эти выражения в формулу (6.1):

    sin {frac {alpha '+beta '}{2}}sin {frac {alpha '-beta '}{2}}={frac {cos beta '-cos alpha '}{2}}, то есть
    cos alpha '-cos beta '=-2sin {frac {alpha '+beta '}{2}}sin {frac {alpha '-beta '}{2}}    — опуская штрихи, получаем формулу (7.3).

    Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично.
    Из формулы (2.3) следует:

    operatorname {tg}alpha +operatorname {tg}beta =operatorname {tg}(alpha +beta )(1-operatorname {tg}(alpha )operatorname {tg}(beta ))=
    ={frac {sin(alpha +beta )}{cos(alpha +beta )}}cdot {frac {cos alpha cos beta -sin alpha sin beta }{cos alpha cos beta }}
    ={frac {sin(alpha +beta )}{cos(alpha +beta )}}cdot {frac {cos(alpha +beta )}{cos alpha cos beta }}, то есть
    operatorname {tg}alpha pm operatorname {tg}beta ={frac {sin(alpha pm beta )}{cos alpha cos beta }}qquad qquad   — формула (7.4).

    Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при {displaystyle alpha +beta +gamma =360^{circ }colon }

    {displaystyle sin alpha +sin beta +sin gamma =4sin {frac {alpha }{2}}sin {frac {beta }{2}}sin {frac {gamma }{2}}} (7.6).

    Решение простых тригонометрических уравнений[править | править код]

    • sin x=a.
    Если |a|>1 — вещественных решений нет.
    Если |a|leqslant 1 — решением является число вида {displaystyle x=(-1)^{n}arcsin a+pi n,} где {displaystyle nin mathbb {Z} .}
    • cos x=a.
    Если |a|>1 — вещественных решений нет.
    Если |a|leqslant 1 — решением является число вида {displaystyle x=pm arccos a+2pi n,~nin mathbb {Z} .}
    • operatorname {tg} ,x=a.
    Решением является число вида {displaystyle x={text{arctg}}~a+pi n,~nin mathbb {Z} .}
    • operatorname {ctg} ,x=a.
    Решением является число вида {displaystyle x={text{arcctg}}~a+pi n,~nin mathbb {Z} .}

    Универсальная тригонометрическая подстановка[править | править код]

    Нижеприведённые тождества имеют смысл, только когда тангенс имеет смысл (то есть при {displaystyle alpha neq pi +2pi n}).

    Аналогичные соотношения имеют место и для котангенса ({displaystyle alpha neq 2pi n}):

    Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)[править | править код]

    Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

    {displaystyle asin x+bcos x={sqrt {a^{2}+b^{2}}}sin(x+varphi ),}

    где {displaystyle a,bin mathbb {R} ,} a и b не равны нулю одновременно, varphi — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

    {displaystyle left{{begin{matrix}sin varphi ={dfrac {b}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\cos varphi ={dfrac {a}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.end{matrix}}right.}

    Примечание. Из вышеприведённой системы при {displaystyle aneq 0} следует, что {displaystyle mathrm {tg} ,varphi ,=,{tfrac {b}{a}}}, однако нельзя всегда считать, что {displaystyle varphi ={text{arctg}}~{tfrac {b}{a}}}, так как арктангенс определяет угол от -pi /2 до pi/2, а угол может быть, вообще говоря, любым. Нужно учитывать знаки a и b, чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол varphi , в результате чего добавлять или убавлять pi при необходимости.

    Представление тригонометрических функций в комплексной форме[править | править код]

    Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

    {displaystyle e^{ix}=cos x+isin x,}

    где e — основание натурального логарифма,

    i — мнимая единица.

    При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin x и cos x следующим образом:

    sin x={frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}},qquad qquad cos x={frac {e^{{ix}}+e^{{-ix}}}{2}}.

    Отсюда следует, что

    {displaystyle operatorname {tg} ,x=-i{frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},qquad qquad operatorname {ctg} ,x=i{frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},}
    sec x={frac {2}{e^{{ix}}+e^{{-ix}}}},qquad qquad operatorname {cosec},x={frac {2i}{e^{{ix}}-e^{{-ix}}}}.

    Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

    См. также[править | править код]

    • Гиперболические функции
    • Интегральный синус
    • Интегральный косинус
    • Комплексные числа
    • Многочлены Чебышёва
    • Обратные тригонометрические функции
    • Редко используемые тригонометрические функции
    • Решение треугольников
    • Синус-верзус
    • Сферическая тригонометрия
    • Треугольник § Тригонометрические тождества только с углами
    • Тригонометрические функции
    • Тригонометрические функции от матрицы
    • Тригонометрический ряд Фурье
    • Функция Гудермана
    • Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
    • Эллиптические функции
    Источник

    Добавить комментарий