Синус угла как найти произвольном треугольнике

Как найти синус угла в треугольнике? Не в прямоугольном, в любом

Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно использовать базовое определение тригонометрической функции синуса для острых углов. По определению синусом угла называют соотношение длины катета, лежащего напротив этого угла, к длине гипотенузы этого треугольника. То есть, если катеты имеют длину А и В, а длина гипотенузы равна С, то синус угла α, лежащего напротив катета А, определяйте по формуле α=А/С, а синус угла β, лежащего напротив катета В – по формуле β=В/С. Синус третьего угла в прямоугольном треугольнике находить нет необходимости, так как угол, лежащий напротив гипотенузы всегда равен 90°, а его синус всегда равен единице.

2
Для нахождения синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos(α). Из этой теоремы можно вывести формулу для нахождения косинуса: cos(α)=(В²+С²-А²)/(2*В*С) . А поскольку сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α: sin(α)=√(1-(cos(α))²)= √(1-(В²+С²-А²)²/(2*В*С) ²).

3
Воспользуйтесь для нахождения синуса угла двумя разными формулами расчета площади треугольника, в одной из которых задействованы только длины его сторон, а в другой – длины двух сторон и синус угла между ними. Так как результаты их будут равны, то из тождества можно выразить синус угла. Формула нахождения площади через длины сторон (формула Герона) выглядит так: S=¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С)) . А вторую формулу можно написать так: S=А*В*sin(γ). Подставьте первую формулу во вторую и составьте формулу для синуса угла, лежащего напротив стороны С: sin(γ)= ¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С) /(А*В)) . Синусы двух других углов можно найти по аналогичным формулам.

Синус угла в обычном треугольнике

Синус (sin) – это одна из прямых тригонометрических функций. Подробнее о ней можно узнать из нашей статьи Что такое синус.

Синус угла в прямоугольном треугольнике

Прежде чем выяснять, как найти синус угла, необходимо определиться с условными обозначениями. Пусть в прямоугольном треугольнике:

• α – острый угол, синус которого нужно найти;
• с – гипотенуза;
• b – прилежащий катет;
• a – противолежащий катет.

Тогда чтобы найти синус острого угла прямоугольного треугольника, достаточно посчитать соотношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: sin(α) = a/c. При этом стоит запомнить, что sin 90° всегда равен 1.

Синус угла в произвольном треугольнике

Находить синус угла в произвольном треугольнике проще всего с использованием теоремы косинусов (cos): квадрат длины любой стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон за минусом их удвоенного произведения на косинус угла между ними.

a² = b² + c² – 2*b*c*cos(α)

Из данной формулы можно найти косинус: cos(α) = (b² + c² – a²)/(2*b*c)

А поскольку для одного и того же угла sin(α)² + cos(α)² = 1 и это константа, то можно вывести формулу для определения синуса:

Более детально нахождение синуса угла с использованием косинуса рассмотрено в нашей статье Как найти синус, если известен косинус.

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно, синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

2
Для нахождения синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos(α). Из этой теоремы можно вывести формулу для нахождения косинуса: cos(α)=(В²+С²-А²)/(2*В*С) . А поскольку сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α: sin(α)=√(1-(cos(α))²)= √(1-(В²+С²-А²)²/(2*В*С) ²).

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии “на пальцах”.

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

• Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
• Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
• Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
• Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1	√3	–
ctg	–	√3	1	Принцип повтора знаков тригонометрических функций Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону. В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ. Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны. Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно. Тригонометрический круг Углы в радианах Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан. Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π . Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций. [spoiler title=”источники:”] http://dudom.ru/kompjutery/sinus-ugla-v-obychnom-treugolnike/ http://matematika.club/articles/trigonometry/ [/spoiler]

Содержание:

При изучении геометрии вы рассматривали отношения сторон в прямоугольном треугольнике и познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла (рис. 28).

Построение синуса и косинуса произвольного угла

Построим точку

Рассмотрим прямоугольный треугольник в котором гипотенуза равна 1 (радиусу единичной окружности). По определению синуса и косинуса острого угла получим:

Таким образом, синус угла равен ординате точки а косинус угла равен абсциссе точки

Поскольку в тригонометрии рассматриваются углы то определим синус и косинус для любого угла

Определение синуса произвольного угла

Определение:

Синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол

Определение косинуса произвольного угла

Определение:

Косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол

Для того чтобы найти синус и косинус произвольного угла нужно:

1. Построить точку единичной окружности.
2. Найти ординату точки
3. Найти абсциссу точки

Найдите синус и косинус угла

Значения синуса и косинуса произвольного угла с помощью единичной окружности в основном можно указать только приближенно.

Однако для некоторых углов значения синуса и косинуса можно указать точно. Определим значения синуса и косинуса для углов, которые соответствуют точкам пересечения окружности с осями координат Найдем Углу соответствует точка имеющая координаты По определению синус угла равен ординате точки значит, Косинус угла равен абсциссе точки т.е. (рис. 31).

Пользуясь определением синуса и косинуса угла получим, что:

Так как ординаты и абсциссы точек единичной окружности изменяются от -1 до 1, то значения синуса и косинуса произвольного угла принадлежат промежутку

Например, выясним, может ли принимать значения, равные:

Значения синуса произвольного угла принадлежат отрезку значит, может принимать значения, равные и так как и Поскольку то не может принимать значения, равные

По определению синуса и косинуса угла синус угла равен ординате точки а косинус угла равен абсциссе этой точки. Значит, знаки и совпадают со знаками ординаты и абсциссы точки соответственно.

Пример №1

Определите знак выражения:

Решение:

а) Так как — угол второй четверти (рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся во второй четверти, положительны, то

б) Так как — угол третьей четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то

в) Так как — угол третьей четверти (см. рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то

г) Так как — угол первой четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в первой четверти, положительны, то

Из геометрии нам известны значения синусов и косинусов острых углов (см. табл.).

С помощью этих значений можно находить значения синусов и косинусов некоторых других углов

Пример №2

Вычислите:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Поскольку известно, что а то ордината точки равна а абсцисса этой точки равна

Точки единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс (рис. 33), значит, их ординаты (синусы углов противоположны, а абсциссы (косинусы углов и равны. Таким образом, а

б) Так как то точки единичной окружности симметричны относительно оси ординат (рис. 34). Тогда их ординаты (синусы углов равны, а абсциссы (косинусы углов и противоположны. Значит,

в) Точки единичной окружности симметричны относительно начала координат (рис. 35), поскольку Тогда и их ординаты противоположны, и их абсциссы противоположны, т. е.

г) Поскольку то точки и единичной окружности совпадают (рис. 36), а значит, их координаты равны. Тогда

Пример №3

Вычислите:

Решение:

а) Так как то точка единичной окружности совпадает с точкой (рис. 37).

Поскольку

б) Точки единичной окружности симметричны относительно начала координат (см. рис. 37), а значит, их абсциссы (косинусы углов и отличаются только знаком. Так как

Пример №4

Постройте один из углов, если:

Решение:

а) Так как то на оси ординат отметим Проведем прямую, параллельную оси абсцисс, и найдем на единичной окружности точки ордината каждой из которых равна Отметим один из углов, соответствующих точкам или (рис. 38, а).

б) Так как то на оси абсцисс отметим 0,8. Проведем прямую, параллельную оси ординат, и найдем на единичной окружности точки и абсцисса каждой из которых равна 0,8. Отметим один из углов,соответствующих точкам или (рис. 38, б).

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры заданий и их решения:

Пример №5

Точка единичной окружности имеет координаты Используя определение синуса и косинуса произвольного угла, найдите

Решение:

Синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол По условию ордината точки равна значит,

Косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол По условию абсцисса точки равна значит,

Пример №6

Если то угол может быть равен:

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол то нужно найти точку единичной окружности, ордината которой равна -1. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол (рис. 39). Правильный ответ в).

Пример №7

Если то угол может быть равен:

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол то нужно найти точку единичной окружности, абсцисса которой равна 0. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол (рис. 40). Правильный ответ в).

Пример №8

Найдите значение выражения:

Решение:

а) Абсцисса точки соответствующей углу равна -1 (рис. 41), значит, Ордината точки соответствующей углу равна 1 (см. рис. 41), т. е. Значит,

б) ( рис. 42) тогда

Может ли быть равным:

Решение:

Поскольку

а) не может быть равным 1,2, так как

б) может быть равным 0,89, так как

в) не может быть равным так как

г) может быть равным так как

Пример №9

Определите знак выражения:

Решение:

а) так как — угол четвертой четверти, а косинус в четвертой четверти положителен;

б) так как — угол первой четверти, а косинус в первой четверти положителен;

в) так как угол второй четверти, а синус во второй четверти положителен;

г) так как 6 радиан — угол четвертой четверти, а синус в четвертой четверти отрицателен.

Пример №10

Сравните:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам и сравним ординаты этих точек. Ордината точки больше ординаты точки (рис. 43), значит,

б) Сравним абсциссы точек единичной окружности Так как абсцисса точки больше абсциссы точки (рис. 44), то

Пример №11

С помощью единичной окружности найдите значение:

Решение:

а) Ордината точки равна ординате точки (рис. 45), поэтому

б) Абсцисса точки противоположна абсциссе точки (см. рис. 45), поэтому

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Определение.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   Например,

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

   

   Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно,  синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

   

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Вывод:

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

   

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

Например,

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

Тогда

   

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Тогда

   

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

Угол A в обоих треугольниках одинаков.

Как найти синус угла по сторонам треугольника

Синус – это одна из базовых тригонометрических функций. Первоначально формула ее нахождения была выведена из соотношений длин сторон в прямоугольном треугольнике. Ниже приведены как эти базовые варианты нахождения синусов углов по длинам сторон треугольника, так и формулы для более сложных случаев с произвольными треугольниками.

Инструкция

Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно использовать базовое определение тригонометрической функции синуса для острых углов. По определению синусом угла называют соотношение длины катета, лежащего напротив этого угла, к длине гипотенузы этого треугольника. То есть, если катеты имеют длину А и В, а длина гипотенузы равна С, то синус угла α, лежащего напротив катета А, определяйте по формуле α=А/С, а синус угла β, лежащего напротив катета В – по формуле β=В/С. Синус третьего угла в прямоугольном треугольнике находить нет необходимости, так как угол, лежащий напротив гипотенузы всегда равен 90°, а его синус всегда равен единице.

Для нахождения синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos(α). Из этой теоремы можно вывести формулу для нахождения косинуса: cos(α)=(В²+С²-А²)/(2*В*С). А поскольку сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α: sin(α)=√(1-(cos(α))²)= √(1-(В²+С²-А²)²/(2*В*С)²).

Воспользуйтесь для нахождения синуса угла двумя разными формулами расчета площади треугольника, в одной из которых задействованы только длины его сторон, а в другой – длины двух сторон и синус угла между ними. Так как результаты их будут равны, то из тождества можно выразить синус угла. Формула нахождения площади через длины сторон (формула Герона) выглядит так: S=¼*√((А+В+С)*(В+С-А)*(А+С-В)*(А+В-С)). А вторую формулу можно написать так: S=А*В*sin(γ). Подставьте первую формулу во вторую и составьте формулу для синуса угла, лежащего напротив стороны С: sin(γ)= ¼*√((А+В+С)*(В+С-А)*(А+С-В)*(А+В-С)/(А*В)). Синусы двух других углов можно найти по аналогичным формулам.

Видео по теме

Источники:

• треугольник синус

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?