Сложение векторов по правилу параллелограмма
Правило параллелограмма — что это такое
Чтобы сложить два вектора можно воспользоваться правилом параллелограмма.
Правило параллелограмма: если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор c=a+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b. Начало вектора c совпадает с началом этих векторов.
Кроме того, по правилу параллелограмма можно осуществлять вычитание.
Сложение векторов по правилу параллелограмма
Для того чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, необходимо:
- Взять произвольную точку А.
- Отложить от точки векторы a и b.
- Построить на векторах a и b параллелограмм.
- Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов a+b
Также существуют еще два правила нахождения векторной суммы:
1. Правило треугольника.
Чтобы сложить два вектора, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор и построить вектор, который соединит начало первого с концом второго. Полученный вектор — искомая сумма.
2. Правило многоугольника.
Чтобы сложить несколько векторов, нужно от произвольной точки отложить первый вектор, из его конца — второй вектор, из конца второго — третий, и так далее. Затем соединить начальную точку с концом последнего вектора, полученный вектор — искомая сумма.
Переместительный и сочетательный законы, доказательство
Для более ясного понимания правила параллелограмма, важно знать законы сложения векторов.
Переместительный закон: от перемены мест слагаемых сумма не меняется a+b=b+a.
От произвольной точки A отложим векторы AB=a и AD=b.
Построим параллелограмм ABCD.
По правилу треугольника заметим: AC=AB+BC, то есть равен сумме векторов a+b.
AC=AB+BC, AC=a+b⇒ a+b=b+a.
С другой стороны, AC=AD+DC, AC=b+a.
Что и требовалось доказать.
Именно переместительный закон применяется в правиле параллелограмма.
Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c).
От произвольной точки A отложим вектор AB=a, от точки B вектор BC=b, от точки C вектор CD=c.
Запишем сумму (a+b)+c через векторы:
Сумма AB+BC=AC (по правилу треугольника).
Запишем сумму a+(b+c) через векторы:
Что и требовалось доказать.
Примеры решения задач
Дан параллелограмм, построенный на векторах AB=6 см, BC=8 см. ∠B=90º. Найти сумму векторов AB+BC.
По правилу параллелограмма сумма векторов AB+BC=BD.
BD-диагональ параллелограмма. Диагональ можно найти по формуле:
B D = √ ( A B ² + B C ² – 2 * A B * B C * cos B ) .
ABCD — прямоугольник, так как ∠B=90º ⇒cosB=0.
Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами
Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .
Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора – по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2 . Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий — перемещение из А в F .
При сложении векторов и получаем:
Вычитание векторов
Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и – это сумма вектора и вектора .
Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.
Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»
— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.
Сложение и вычитание векторов
Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .
Существование: Имеем два следующих случая:
Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .
Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.
Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )
Отметим несколько свойств сложения двух векторов:
Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство
Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство
Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.
Разность векторов. Вычитание векторов
Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec – vec = vec <0>)
Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec <0>right| = 0 )
Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec – vec = left( <- , – , – > right) )
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .
Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:
Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;
Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )
Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .
[spoiler title=”источники:”]
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-na-ege-po-matematike-v-zadache-v6-dejstviya-nad-vektorami/
http://calcsbox.com/post/slozenie-i-vycitanie-vektorov.html
[/spoiler]
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Векторы
- Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
Теорема
Доказательство
Дано: , и .
Доказать: 10. + = + ; 20. ( + ) + = + ( + ).
Доказательство:
10. Пусть векторы и коллинеарны.
От произвольной точки А отложим векторы = и = , т.е. векторы и будут лежать на одной прямой и на той же прямой от точки А отложим векторы = и = .
+ = , + = , тогда , , при этом , так как модуль вектора – это длина отрезка, следовательно, . Поэтому точки С и С1 совпадают, значит, = (по определению равных векторов), значит, + = + .
Пусть теперь векторы и не коллинеарны.
От произвольной точки А отложим векторы = и = и на этих векторах построим параллелограмм АВСD. Противоположные стороны ВС и АD параллелограмма равны, при этом векторы и сонаправлены, следовательно, = = (по определению равных векторов), также DC = АВ (противоположные стороны параллелограмма) и векторы и сонаправлены, следовательно, = = .
По правилу треугольника = + = + . Аналогично = + = + , поэтому + = + .
20. От произвольной точки А отложим вектор = , от точки В – вектор = , а от точки С – вектор = .
Применяя правило треугольника, получим:
( + ) + = ( + ) + = + = ,
+ ( + ) = + ( + ) = + = .
Следовательно, ( + ) + = + ( + ).
Теорема доказана.
Правило параллелограмма
Советуем посмотреть:
Понятие вектора
Равенство векторов
Откладывание вектора от данной точки
Сумма двух векторов
Сумма нескольких векторов
Вычитание векторов
Произведение вектора на число
Применение векторов к решению задач
Средняя линия трапеции
Векторы
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 762,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 765,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 770,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 784,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 785,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 906,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 909,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1050,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1067,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Для начала решим задачу, которая поможет повторить всё, что мы знаем о векторах.
Итак, ABCD — параллелограмм.
Нам предстоит назвать все векторы, которые изображены на рисунке, и указать среди них: равные по длине, коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные, равные и векторы сонаправленные вектору ОО.
Чтобы назвать векторы, изображённые на рисунке, повторим определение понятия вектора.
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком или вектором.
На рисунках вектор изображают в виде отрезка со стрелкой, показывающей направление вектора.
Называют векторы двумя заглавными буквами со стрелкой над ними. При этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец.
По порядку назовём изображённые векторы: , , , Далее среди них найдём равные по длине. Стоит вспомнить, что длиной ненулевого вектора называется длина отрезка AB.
Пользуясь тем, что перед нами параллелограмм, можем сказать, что его противоположные стороны равны. А также диагонали точкой пересечения делятся пополам.
А значит, равны длины векторов .
Теперь укажем коллинеарные векторы. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.
Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма не только равны, а ещё и параллельны. Поэтому коллинеарными будут векторы и .
Ну, а векторы и коллинеарны, так как лежат на одной прямой.
Далее нам предстоит отыскать сонаправленные и противоположно направленные векторы.
Сонаправленными называют ненулевые коллинеарные векторы с одинаковыми направлениями.
Противоположно направленными называют ненулевые коллинеарные векторы с противоположными направлениями.
В обоих случаях векторы должны быть коллинеарны.
Мы же с вами указали только две пары коллинеарных векторов. Из них сонаправленными будут векторы и , а противоположно направленными — векторы и .
Далее вспомним определение равных векторов. Векторы называют равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Ранее нами указана только одна пара сонаправленных векторов, между тем их длины равны. Значит, вектор .
В последнем пункте укажем векторы сонаправленные вектору ОО.
Такой вектор на рисунке не изображён, но с прошлых уроков вам известно понятие нулевого вектора.
Любая точка плоскости является нулевым вектором. Длина любого нулевого вектора равна нулю.
Так как начало и конец у такого вектора совпадают, то у него нет определённого направления и его можно задать любым направлением. Поэтому нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.
Тогда мы можем сказать, что каждый из векторов , , , сонаправлен вектору ОО.
В ходе выполнения данного задания мы повторили всё, что знаем о векторах. Теперь приступим к изучению новой темы.
Если точка А является началом вектора А, то говорят что вектор А отложен от точки А.
Имеет место следующее утверждение. От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.
Доказательство.
Рассмотрим два случая.
1. , то искомым, равным ему, вектором будет вектор .
2. , а точки А и B — его начало и конец, то через точку М проведём прямую p параллельную AB: .
Теперь отложим отрезки MN и MN’, равные отрезку AB: .
Из построения видно, что такой вектор только один.
Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой.
Поэтому вектор можно обозначить как вектор .
Про такие векторы можно сказать, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.
Отложить векторы, равные ненулевому вектору , от каждой из вершин .
Для этого через каждую вершину проведём прямые параллельные вектору .
По каждую сторону от точек А, B и C на этих прямых отложим отрезки равные длине вектора . Таким образом получим по два вектора у каждой из вершин.
Но один из них будет сонаправлен вектору , а другой — противоположно направлен.
Нам подойдут вектора сонаправленные вектору .
Так мы отложили от каждой вершины треугольника ABC векторы, равные вектору .
Задача. От точки необходимо отложить вектор:
а) равный вектору ;
б) сонаправленный вектору ;
в) противоположно направленный вектору .
Отложим от К вектор равный вектору . Для этого через точку К проведём прямую a, параллельную вектору .
От точки К на данной прямой отложим отрезки, длины которых равны длине вектора . Получаем два вектора. Выберем тот, который сонаправлен с вектором .
Так мы отложили от точки К вектор, равный вектору . Можем его так же обозначить как вектор .
Далее отложим от точки К вектор сонаправленный с вектором .
.
Последним необходимо от точки К отложить вектор противоположно направленный вектору .
Перейдём к решению последней задачи.
Задача. Диаметр и хорда окружности образуют угол в , а радиус окружности равен . Внутри данной окружности выбрана точка и от неё отложены векторы и равные векторам и соответственно. Найти .
Решение.
1. ()
()
2. : ()
()
3.
3.
4.
односторонние при
односторонние при
5. .
6. :
7.
8.
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня вы узнали, что от любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Про такие векторы можно сказать, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.
Комментарии преподавателя
Повторение теории. Задачи
1. Основные определения
Напомним, что существуют такие физические величины, для которых важна не только величина, но и направление. Такие величины называются векторными, или векторами, и обозначаются они направленным отрезком, то есть таким отрезком, у которого отмечены начало и конец. Введено было понятие коллинеарных векторов, то есть таких, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Мы рассматриваем вектор, который можно отложить от любой точки, заданный вектор от произвольно выбранной точки можно отложить единственным образом.
Было введено понятие равных векторов – это такие сонаправленные векторы, длины которых равны. Сонаправленными называются коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.
Были введены правила треугольника и параллелограмма – правила сложения векторов.
Заданы два вектора – векторы и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки А вектор . – направленный отрезок, точка А – его начало, а точка В – конец. Из точки В отложим вектор . Тогда вектор называют суммой заданных векторов: – правило треугольника (см. Рис. 1).
Рис. 1
Задано два вектора – векторы и . Найдем сумму этих двух векторов по правилу параллелограмма.
Откладываем из точки А вектор и вектор (см. Рис. 2). На отложенных векторах можно построить параллелограмм. Из точки В откладываем вектор , векторы и равны, стороны ВС и
Рис. 2
АВ1 параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма.
2. Правила сложения векторов
Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника (см. Рис. 3). Нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее, когда все векторы отложены – соединить начальную точку с концом последнего вектора, в итоге получится сумма нескольких векторов.
Рис. 3
Кроме того, мы рассмотрели понятие обратного вектора – вектора, имеющего такую же длину, как заданный, но ему противонаправленного.
3. Решение примеров
Пример 1 – задача 747: выпишите пары коллинеарных сонаправленных векторов, которые определяются сторонами параллелограмма; укажите противоположно направленные векторы;
Задан параллелограмм MNPQ (см. Рис. 4). Выпишем пары коллинеарных векторов. В первую очередь это векторы и . Они не только коллинеарные, но и равные, т.к. они сонаправлены, и длины их равны по свойству параллелограмма (в параллелограмме противоположные стороны равны). Следующая пара . Аналогично
Рис. 4
выпишем коллинеарные векторы второй пары сторон: ; .
Противоположно направленные векторы: , , , .
Пример 2 – задача 756: начертите попарно неколлинеарные векторы , и . Постройте векторы ;; ;.
Для выполнения данного задания можем пользоваться правилом треугольника или параллелограмма.
Способ 1 – с помощью правила треугольника (см. Рис. 5):
Рис. 5
Способ 2 – с помощью правила параллелограмма (см. Рис. 6):
Рис. 6
Комментарий: мы применяли в первом способе правило треугольника – откладывали из произвольно выбранной точки А первый вектор, из его конца – вектор, противоположный второму, соединяли начало первого с концом второго, и таким образом получали результат вычитания векторов. Во втором способе мы применили правило параллелограмма – построили на нужных векторах параллелограмм и его диагональ – искомую разность, помня тот факт, что одна из диагоналей – это сумма векторов, а вторая – разность.
Пример 3 – задача 750: докажите, что если векторы и равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то векторы и равны (см. Рис. 7).
Из равенства векторов и следует, что прямые АВ и CD параллельны, и что отрезки АВ и CD равны. Вспомним признак параллелограмма: если у четырехугольника пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых, и их длины равны, то данный четырехугольник – параллелограмм.
Рис. 7
Таким образом, четырехугольник ABCD, построенный на заданных векторах, – параллелограмм. Отрезки AD и BC являются диагоналями параллелограмма, одно из свойств которого: диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, доказано, что середины отрезков AD и BC совпадают.
Докажем обратное утверждение. Для этого воспользуемся другим признаком параллелограмма: если в некотором четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Отсюда четырехугольник ABCD – параллелограмм, и его противоположные стороны параллельны и равны, таким образом, векторы и коллинеарны, очевидно, что они сонаправлены, и модули их равны, отсюда векторы и равны, что и требовалось доказать.
Пример 4 – задача 760: докажите, что для любых неколлинеарных векторов и справедливо неравенство (см. Рис. 8)
Отложим из произвольной точки А вектор , получим точку В, из нее отложим неколлинеарный ему вектор . По правилу параллелограмма или треугольника получим сумму векторов – вектор . Имеем треугольник .
Длина суммы векторов соответствует длине стороны АС треугольника. По неравенству треугольника длина стороны АС меньше, чем сумма длин двух других сторон АВ и ВС, что и требовалось доказать.
Рис. 8
Применение векторов к решению задач
4. Выражение вектора через два неколлинеарных
Напомним, что мы уже изучили некоторые факты о векторах, и теперь умеем определять равные векторы, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположно направленные. Также мы умеем складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма, складывать несколько векторов по правилу многоугольника, умеем умножать вектор на число. Решение задач с векторами использует все эти знания. Перейдем к решению некоторых примеров.
Пример 1 – задача 769: отрезок ВВ1 – медиана треугольника . Выразите через векторы и векторы , , и .
Отметим, что векторы и неколлинеарны, то есть прямые АВ и АС не параллельны.
В дальнейшем мы узнаем, что любой вектор может быть выражен через два неколлинеарных вектора.
Выразим первый вектор (см. Рис. 1): , т. к. по условию ВВ1 – медиана треугольника, значит, векторы и имеют равные модули, кроме того, очевидно, что они коллинеарны и при этом сонаправлены, значит, данные вектора равны.
Рис. 1
Для выражения следующего вектора воспользуемся правилом параллелограмма для вычитания. Мы помним, что одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов, а вторая – их разности. Диагональ, соответствующая разности векторов, следует от конца к началу, таким образом, если построить на заданных векторах и параллелограмм, то его диагональ будет соответствовать разности .
Вектор является противоположным к заданному вектору , отсюда .
Вектор аналогично вектору можно представить в виде разности векторов . При выражении следует учесть тот факт, что точка В1 является серединой отрезка АС, значит, векторы и равны, значит, вектор можно представить как удвоенное произведение вектора .
Перед решением задачи мы сказали, что через заданные два неколлинеарных вектора можно выразить любой вектор. Выразим, например, медиану АА1 (см. Рис. 2).
Получили систему уравнений, выполним их сложение:
Векторы в сумме составляют нулевой вектор, так как они коллинеарны и противонаправлены, а модули их равны, таким образом получаем:
Рис. 2
Поделим обе части уравнения на два, получим:
Из данной задачи можно сделать вывод, что если заданы два неколлинеарных вектора, то любой третий вектор на плоскости можно однозначно выразить через эти два вектора. Для этого необходимо применить правило сложения векторов, либо методом треугольника, либо параллелограмма, и правило умножения вектора на число.
5. Свойство средней линии треугольника
Пример 2: доказать с помощью векторов свойство средней линии треугольника (см. Рис. 3).
Задан произвольный треугольник , точки M и N – середины сторон АВ и АС соответственно, MN – средняя линия треугольника. Свойство средней линии: средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине.
Доказательство данного свойства аналогично для треугольника и трапеции.
Рис. 3
Выразим вектор двумя способами:
Получили систему уравнений:
Выполним сложение уравнений системы:
Сумма векторов – это нулевой вектор, длины этих векторов равны по условию, кроме того, они очевидно коллинеарны и противонаправлены. Аналогично суммой векторов будет нулевой вектор. Получаем:
Поделим обе части уравнения на два:
Таким образом, мы получили, что средняя линия треугольника равна половине его основания. Кроме того, из равенства вектора половине вектора следует, что эти векторы коллинеарны и сонаправлены, а значит, прямые MN и ВС параллельны.
Таким образом, мы доказали свойство средней линии трапеции при помощи векторов.
6. Свойство точки пересечения медиан треугольника
Пример 3: задан произвольный треугольник (см. Рис. 4). В нем проведены медианы АА1, ВВ1, СС1. Точка пересечения медиан – М. Вектор соответствует силе , – силе , – силе . Доказать, что .
Напомним, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Иногда точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника.
Выполним сложение векторов , воспользуемся для этого правилом параллелограмма (см. Рис. 5).
Рис. 4
Получаем:
С другой стороны, , так как BMCD – параллелограмм, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, А1 – точка пересечения диагоналей параллелограмма, значит, отрезки МА1 и А1D равны, отсюда, по свойству точки пересечения медиан, длины векторов и равны, но данные векторы противонаправлены, а значит, их сумма
Рис. 5
равна нулевому вектору. Мы помним, что вектор , а вектор , таким образом, , что и требовалось доказать.
7. Неравенство треугольника
Пример 4 – задача 773: докажите, что для любых векторов и справедливо следующее неравенство:
Решение: представим разность векторов в виде суммы: . Также обратим внимание на тот факт, что длины противонаправленных векторов и равны: . Таким образом, можно переписать исходное выражение:
Для удобства введем новую переменную: и перепишем выражение:
. А данное неравенство – неравенство треугольника – было доказано в предыдущем уроке. Отметим, что равенство наблюдается в том случае, когда треугольник вырождается в отрезок.
Итак, мы вспомнили все основные определения и свойства векторов, вспомнили основные операции над векторами, рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/vektory-povtorenie-teorii-zadachi
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/8-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-1.html
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/9-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-2.html
http://uslide.ru/images/22/28455/960/img5.jpg
http://www.studfiles.ru/html/2706/538/html_OqWQ3sDQeV.5bGa/htmlconvd-WBhq8w_html_73af1ab4.png
http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/29cc1d8d90989d9f0e3df70c3d95a9ee.jpg
http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg
http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw
http://matssir.ucoz.ru/_ld/0/33_G8p84-85.pptx
http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/05/11/vektory._dokazatelstvo.pptx
http://v.5klass.net/zip/b66d124d0243f848a0bf454b75404034.zip
Презентация на тему: ” Скалярное произведение векторов.. Задача 1. Д ано: АВСD – параллелограмм Найти: а) векторы, коллинеарные вектору ОС; б) векторы, сонаправленные вектору.” — Транскрипт:
1
Скалярное произведение векторов.
2
Задача 1. Д ано: АВСD – параллелограмм Найти: а) векторы, коллинеарные вектору ОС; б) векторы, сонаправленные вектору АВ; в) векторы, противоположно направленные вектору ВС; г) векторы, равные вектору ВО; д) ВD, если АВ = 4, ВС = 5, ВАD = 60 0 ; А С В D О
3
Задача 2. Дано: АВСD – квадрат. АВ = А В С D O а) ВО; б ) угол АВО, угол АОВ; ? ? в) Найти: г)
4
Угол между векторами. О А В
5
Ответьте на вопросы: О 1. Ч ему равен угол между векторами а и b? 1. Каков угол между векторами b и с? 1. Чему равен угол между векторами c и d? 1. Чему равен угол между векторами с и f (острый или тупой)? 1. Определите угол между векторами а и d. 1. Чему равен угол между векторами а и f?
6
Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
7
Если, то Если, то Если, то Если, то Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора
8
Свойства умножения: – переместительное свойство – сочетательное свойство – р- распределительное свойство
9
Какие из представленных на рисунке векторов перпендикулярны? 1. а и c 2. b и d 3. с и d 1. b и с 2. f и d
10
Выберите правильный ответ; Известно, что Скалярное произведение векторов равно: а) б) в)