Сообщение как найти простые числа

Сообщение как найти простые числа

Целые числа от нуля до ста. Простые числа отмечены красным.

Разложение числа 42 на простые множители: {displaystyle 42=2times 3times 7}

Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Другими словами, натуральное число p является простым, если оно отлично от 1 и делится без остатка только на 1 и на само p[1].

Пример: число 2 простое (делится на 1 и на 2), а 4 не является простым, так как, помимо 1 и 4, делится на 2 — имеет три натуральных делителя.

Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел, а основная теорема арифметики устанавливает в ней их центральную роль: любое целое число, превышающее 1, либо является простым, либо может быть выражено произведением простых чисел, причём такое представление однозначно с точностью до порядка сомножителей[1]. Единицу не относят к простым числам, так как иначе указанное разложение становится неоднозначным[2]: {displaystyle x=1cdot x=1cdot 1cdot x=1cdot 1cdot ...cdot 1cdot x}.

Натуральные числа можно разделить на три класса: единица (имеет один натуральный делитель), простое число (имеет два натуральных делителя), составное число (имеет более двух натуральных делителей)[1]. Как простых, так и составных чисел бесконечно много.

Последовательность простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, …[3]

Существуют различные алгоритмы проверки числа на простоту. Например, известный метод перебора делителей в сравнении с другими примитивный и медленный.Перейти к разделу «#Тест простоты»

Простые числа широко используются в математике и смежных науках. Во многих алгоритмах информационных технологий, например в асимметричных криптосистемах, используются свойства факторизации целых чисел[4].

Многие проблемы, касающиеся простых чисел, остаются открытымиПерейти к разделу «#Открытые вопросы».

Существуют обобщения понятия простого числа для произвольных колец и других алгебраических структурПерейти к разделу «#Вариации и обобщения».

История[править | править код]

Неизвестно, когда было определено понятие простого числа, однако первые свидетельства относят к верхнему палеолиту, что подтверждается костью Ишанго[5].

В сохранившихся записях древнеегипетских математиков есть намёки на то, что у них были некоторые представления о простых числах: например, папирус Райнда, относящийся ко второму тысячелетию до нашей эры, содержит таблицу соотношений числа 2 к n, представленных суммой трёх или четырёх египетских дробей с единицей в числителе и различных знаменателях. Разложения дробей, знаменатели которых имеют общий делитель, похожи, поэтому египтяне по крайней мере знали разницу между простым и составным числами[6].

Фрагмент «Начал» Евклида, обнаруженный в Оксиринхе

Самые ранние дошедшие до нас исследования простых чисел принадлежат математикам Древней Греции. Они изобрели решето Эратосфена — алгоритм последовательного нахождения всех простых чисел от 1 до n. Опубликованные в приблизительно трёхсотом году до нашей эры «Начала» Евклида содержат важные теоремы о простых числах, включая бесконечность их множества, лемму Евклида и основную теорему арифметики[7].

Вплоть до XVII века существенных новых работ в области простых чисел не было[8]. В 1640 году Пьер де Ферма сформулировал малую теорему Ферма, затем доказанную Лейбницем и Эйлером, и теорему о сумме двух квадратов, а также высказал предположение: все числа вида 2^{{2^{n}}}+1 являются простыми, и даже доказал это до n=4. Но уже для следующего числа Ферма {displaystyle 2^{2^{5}}+1} Эйлер доказал делимость на {displaystyle 641}. Новые простые числа в последовательности Ферма не найдены до сих пор. В то же время французский монах Марен Мерсенн обнаружил, что последовательность {displaystyle 2^{p}-1}, где p — простое, даёт также простое число[9] (числа Мерсенна).

Работа Эйлера в теории чисел вместила немало сведений о простых. Он показал, что бесконечный числовой ряд {displaystyle 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...} — расходящийся. В 1747 году он доказал, что чётные совершенные числа являются значениями последовательности {displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}, где сомножитель является числом Мерсенна. В его переписке с Гольдбахом последний изложил свою знаменитую гипотезу о представлении любого чётного числа, начиная с четырёх, суммой двух простых[10]. Доказательство гипотезы пока не найдено.

С начала XIX века внимание многих математиков занимала проблема асимптотического распределения простых чисел[10]. Лежандр и Гаусс независимо друг от друга высказали предположение: плотность простых чисел в среднем близка к величине, обратно пропорциональной натуральному логарифму[11].

Долгое время простые числа считались малоприменимыми за пределами чистой математики. Ситуация изменилась в 1970-е годы, после появления концепций криптографии с открытым ключом, в которых простые числа составили основу первых алгоритмов шифрования, таких как RSA[12].

Разложение натуральных чисел в произведение простых[править | править код]

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые, или факторизацией числа. На настоящий момент не известны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора[13].

Основная теорема арифметики[править | править код]

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей[14]. Таким образом, простые числа являются элементарными «строительными блоками» натуральных чисел. Например:

Как было показано в этом примере, один и тот же простой делитель может появляться несколько раз. Разложение:

n = p1 · p2 · … · pt

числа n на (конечное число) простых множителей p1, p2, … ,pt называется разложением на простые множители числа n. Основная теорема арифметики может быть перефразирована таким образом: любое разложение на простые числа будет тождественным с точностью до порядка делителей. На практике для большинства чисел есть много простых алгоритмов разложения на множители, все они дают один и тот же результат[13].

Простота единицы[править | править код]

Большинство древних греков даже не считало 1 числом, поэтому они не могли считать его простым[15]. К Средним векам и эпохе Возрождения многие математики включали 1 в качестве первого простого числа[16]. В середине XVIII века Христиан Гольдбах внёс в список 1 в качестве первого простого числа в своей знаменитой переписке с Леонардом Эйлером; однако сам Эйлер не считал 1 простым числом[17]. В XIX веке многие математики по-прежнему считали число 1 простым числом. Например, список простых чисел Деррика Нормана Лемера до {displaystyle 10006721} числа, переизданный в 1956 году, начинался с 1 в качестве первого простого числа. Говорят, что Анри Лебег является последним математиком, который назвал 1 простым[18]. К началу XX века математики стали приходить к консенсусу о том, что 1 не является простым числом, а скорее формирует свою специальную категорию — «единицу»[16].

Если считать 1 простым числом, то основная теорема Евклида об арифметике (упомянутая выше) не будет выполняться, как было указано в начале статьи. Например, число 15 может быть разложено как 3 · 5 и 1 · 3 · 5. Если бы 1 являлась простым числом, эти два варианта считались бы разными факторизациями 15; следовательно, утверждение этой теоремы пришлось бы изменить[16]. Точно так же решето Эратосфена работало бы неправильно, если бы 1 считалась простым: модифицированная версия решета, которая предполагает, что 1 является простым числом, исключает все множители, кратные 1 (то есть все остальные числа), и даёт на выходе только одно число — 1. Кроме того, простые числа имеют несколько свойств, которых нет у числа 1, такие как отношение числа к его соответствующему значению функции тождества Эйлера или суммы функции делителей[2].

Алгоритмы поиска и распознавания простых чисел[править | править код]

Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина[19].

Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии[20]. В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение[21].

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты (см. ниже).

Тест простоты[править | править код]

Тестом простоты (или проверкой простоты) называется алгоритм, который, приняв на входе число, позволяет либо не подтвердить предположение о составности числа, либо точно утверждать его простоту. Во втором случае он называется истинным тестом простоты. Задача теста простоты относится к классу сложности P, то есть время работы алгоритмов её решения зависит от размера входных данных полиномиально, что было доказано в 2002 году[22]. Появление полиномиального алгоритма предсказывалось существованием полиномиальных сертификатов простоты и, как следствие, тем, что задача проверки числа на простоту принадлежала классам NP и co-NP одновременно.

Существующие алгоритмы проверки числа на простоту могут быть разделены на две категории: истинные тесты простоты и вероятностные тесты простоты. Результатом вычислений истинных тестов всегда является факт простоты либо составности числа. Вероятностный тест показывает, является ли число простым с некоторой вероятностью. Числа, удовлетворяющие вероятностному тесту простоты, но являющиеся составными, называются псевдопростыми[23]. Одним из примеров таких чисел являются числа Кармайкла[24].

Одним из примеров истинных тестов простоты является тест Люка-Лемера для чисел Мерсенна. Очевидный недостаток этого теста заключается в его применимости только к числам определённого вида. Среди других примеров можно привести основанные на малой теореме Ферма[25]

  • Тест Пепина для чисел Ферма
  • Теорема Прота для чисел Прота
  • Тест Агравала — Каяла — Саксены, первый универсальный, полиномиальный, детерминированный и безусловный тест простоты.
  • Тест Люка — Лемера — Ризеля

А также:

  • метод перебора делителей
  • Теорема Вильсона
  • Критерий Поклингтона
  • Тест Миллера
  • Тест Адлемана — Померанса — Румели, усовершенствованный[26] Коэном и Ленстрой
  • Тест простоты с использованием эллиптических кривых.

К вероятностным тестам простоты относят:

  • Тест Ферма
  • Тест Миллера — Рабина
  • Тест Соловея — Штрассена
  • Тест Бейли — Померанца — Селфриджа — Уогстаффа

Большие простые числа[править | править код]

Уже в течение многих столетий поиск «больших» простых чисел вызывает интерес математиков. В последние десятилетия эти исследования приобрели прикладное значение из-за применения таких чисел в ряде алгоритмов шифрования, таких как RSA[12].

В семнадцатом столетии Марен Мерсенн предположил, что числа вида 2^{n}-1 простые (при n ≤ 257) только для n равных 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257[11]. Проверка верности предположения была намного выше возможностей того времени. Только в XX веке было обнаружено, что гипотеза была ложной и, вероятно, сделана «слепо», поскольку Мерсенн не учел три случая (для n = 61, 89 и 107); кроме того, оказалось, что числа, соответствующие n = 67 и n = 257 — составные[11].

В 1876 году Эдуард Люка доказал, что число M 127 (39-значное число) — простое, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1951 года, когда были найдены {displaystyle {frac {2^{148}+1}{17}}} (44 цифры) и, немного позднее, {displaystyle 180*(2^{127}-1)^{2}+1} (из 79 цифр) — последнее простое число, которое было найдено с помощью электронного калькулятора. С тех пор все последующие большие простые числа были обнаружены с помощью компьютера: с 1952 года (когда SWAC показал, что M 521 является простым), по 1996 год они были найдены суперкомпьютером, и все были простыми Мерсенна (найденные с использованием теста Люка-Лемера, специфического алгоритма для таких чисел), за исключением числа {displaystyle 391581*2^{216193}-1}, которое было рекордом между 1989 и 1992 годами[27].

Алгоритмы получения простых чисел[править | править код]

Некоторые задачи математики с использованием факторизации требуют ряд очень больших простых чисел, выбранных случайным образом. Алгоритм их получения, основанный на постулате Бертрана (Для любого натурального n ≥ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.)[28]:

Алгоритм:

  1. Ввод: натуральное число N
  2. Решение (поиск случайного простого числа P)
    1. Pgets Функция генерации произвольного натурального числа на отрезке [N,2N]
    2. Если P составное, то
      1. Pleftarrow ,P+1
      2. Если P=2N то
        1. Pleftarrow ,N
    3. Возврат «P — случайное простое»

Время решения задачи этим алгоритмом не определено, но есть большая вероятность, что оно всегда является полиномиальным, пока имеется достаточно простых чисел, и они распределены более-менее равномерно. Для простых случайных чисел эти условия выполняются[21].

Наиболее эффективным средством построения простых чисел является несколько модифицированная малая теорема Ферма[26].

Пусть N, S — нечётные натуральные числа, N-1 = S*R, причем для каждого простого делителя q числа S существует целое число a такое, что

{displaystyle a^{N-1}=1{pmod {N}}}, {displaystyle gcd(a^{{frac {N-1}{q}}-1},n)=1}

Тогда каждый простой делитель p числа N удовлетворяет сравнению

{displaystyle p=1{pmod {2S}}}

Следствие. Если выполнены условия теоремы Ферма и {displaystyle Rleqslant 4S+2}, то N — простое число[26].

Покажем теперь, как с помощью последнего утверждения, имея большое простое число S, можно построить существенно большее простое число N. Выберем для этого случайным образом чётное число R на промежутке {displaystyle Rleqslant 4S+2} и положим {displaystyle N=SR+1}. Затем проверим число N на отсутствие малых простых делителей, разделив его на малые простые числа; испытаем N некоторое количество раз с помощью алгоритма Рабина. Если при этом выяснится, что N — составное число, следует выбрать новое значение R и опять повторить вычисления. Так следует делать до тех пор, пока не будет найдено число N, выдержавшее испытание алгоритмом Рабина достаточно много раз. В этом случае появляется надежда на то, что N — простое число, и следует попытаться доказать простоту с помощью тестов простоты[26].

Бесконечность множества простых чисел[править | править код]

Простых чисел бесконечно много. Это утверждение упоминается как теорема Евклида в честь древнегреческого математика Евклида, поскольку первое известное доказательство этого утверждения приписывается ему. Известно ещё много доказательств бесконечности простых чисел, в том числе аналитическое доказательство Эйлера, доказательство Гольдбаха на основе чисел Ферма[29], доказательство Фурстенберга с использованием общей топологии и элегантное доказательство Куммера.

Наибольшее известное простое[править | править код]

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа[30]. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 231 − 1 = 2 147 483 647.

Наибольшим известным простым числом по состоянию на январь 2019 года является число Мерсенна M82 589 933 = 282 589 933 − 1. Оно содержит 24 862 048 десятичных цифр; в книге с записью этого числа было бы около девяти тысяч страниц. Его нашли 7 декабря 2018 года в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS. Предыдущее самое большое известное простое число, открытое в декабре 2017 года, было на 1 612 623 знака меньше[31].

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила[32] денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США[33]. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Простые числа специального вида[править | править код]

Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов.

  • Числа Мерсенна — числа вида {displaystyle M_{n}=2^{n}-1}, где n — натуральное число[34]. При этом число Мерсенна может быть простым, только если n — простое число. Как уже было отмечено выше, эффективным тестом простоты является тест Люка — Лемера[35].
  • Числа Ферма — числа вида F_{n}=2^{2^{n}}+1, где n — неотрицательное целое число[36]. Эффективным тестом простоты является тест Пепина. По состоянию на февраль 2015 года известно только 5 простых чисел Ферма (для n = 0, 1, 2, 3, 4), двадцать восемь следующих чисел Ферма (до {displaystyle F_{32}} включительно) оказались составными[37], однако не доказано, что других простых чисел Ферма нет[38].
  • Числа Вудала — числа вида W_{n}=ncdot 2^{n}-1[39]. Эффективным тестом простоты является тест Люка — Лемера — Ризеля[40].
  • Числа Каллена — числа вида C_{n}=ncdot 2^{n}+1[41][42].
  • Числа Прота — числа вида P=kcdot 2^{n}+1, причём k нечётно и 2^{n}>k[43]. Эффективным тестом простоты для чисел Прота является тест Бриллхарта — Лемера — Селфриджа (англ. Brillhart–Lehmer–Selfridge test)[44]. Числа Каллена и числа Ферма являются частным случаем чисел Прота (соответственно при k = n и при k = 1, n=2^{m})[45].
  • Числа Миллса — числа вида P_{n}=[A^{3^{n}}], где A — константа Миллса[46].

Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределённых вычислений GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Некоторые свойства[править | править код]

  • Если p — простое, и p делит ab, то p делит a или b. Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида[7][47]. Она используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
  • Кольцо вычетов mathbb {Z} _{n} является полем тогда и только тогда, когда n — простое[48].
  • Характеристика каждого поля — это ноль или простое число[48].
  • Если p — простое, а a — натуральное, то a^{p}-a делится на p (малая теорема Ферма)[49].
  • Если G — конечная группа, порядок которой |G| делится на p, то G содержит элемент порядка p (теорема Коши)[50].
  • Если G — конечная группа, и p^{n} — максимальная степень p, которая делит |G|, то G имеет подгруппу порядка p^{n}, называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно pk+1 для некоторого целого k (теоремы Силова)[51].
  • Натуральное p>1 является простым тогда и только тогда, когда (p-1)!+1 делится на p (теорема Вильсона)[52].
  • Если n>1 — натуральное, то существует простое p, такое, что n<p<2n (постулат Бертрана)[53].
  • Ряд чисел, обратных к простым, расходится[10]. Более того, при xto infty
    sum _{p<x}{frac {1}{p}} sim ln ln x.
  • Любая арифметическая прогрессия вида a,a+q,a+2q,a+3q,..., где a,q>1 — целые взаимно простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии)[54].
  • Всякое простое число, большее 3, представимо в виде 6k+1 или 6k-1, где k — некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между несколькими последовательными простыми числами (при k>1) одинакова, то она обязательно кратна 6 — например: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
  • Если p>3 — простое, то p^{2}-1 кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3)[55].
  • Теорема Грина-Тао. Существуют сколь угодно длинные конечные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел[56].
  • Никакое простое число не может иметь вид n^{k}-1, где n>2, k>1. Иначе говоря, число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, бо́льшим 2. Из этого следует также, что если простое число имеет вид 2^{k}-1, то k — простое (см. числа Мерсенна)[34].
  • Никакое простое число не может иметь вид n^{{2k+1}}+1, где n>1, k>0. Иначе говоря, число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, бо́льшим 1[57].
  • Каждое простое число (кроме чисел вида {displaystyle 8n-1}) можно представить в виде суммы трех квадратов[58].

Применения[править | править код]

Простые числа являются фундаментальными компонентами во многих областях математики.

Арифметические функции[править | править код]

Арифметические функции, а именно функции, определённые на множестве натуральных чисел и принимающих значения во множестве комплексных чисел, играют решающую роль в теории чисел. В частности, среди них наиболее важными являются мультипликативные функции, то есть функции f, обладающие следующим свойством: если пара (a,b) состоит из взаимно простых чисел, то имеет место равенство[59]

{displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}

Примерами мультипликативных функций являются функция Эйлера phi , которая ставит в соответствие числу n количество натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним и количество делителей числа n[60]. Значение этих функций от степени простого числа:

  • Функция phi Эйлера:

{displaystyle phi (p^{m})=p^{m}-p^{m-1}}

  • Функция делителя:

{displaystyle sigma (p^{m})=m+1}

Арифметические функции можно легко вычислить, зная значения, которые они принимают для степеней простых чисел[59]. На самом деле из разложения натурального числа n на множители

{displaystyle n=p_{1}^{q_{1}}cdot ...cdot p_{a}^{q_{a}}}

мы имеем, что

{displaystyle f(n)=f(p_{1}^{q_{1}})cdot ...cdot f(p_{a}^{q_{a}})}

и следовательно, возвращаясь к задаче вычисления f(n) получается что вычислить f от каждой степени простого делителя обычно проще, чем вычислить f по общей формуле[61].

Например, чтобы узнать значение функции Эйлера phi от n = 450 = 2 × 3 2 × 5 2, достаточно вычислить

{displaystyle phi (450)=phi (2)cdot phi (3^{2})cdot phi (5^{2})=(2-1)cdot (9-3)cdot (25-5)=120}

Модульная арифметика[править | править код]

В модульной арифметике простые числа играют очень важную роль: кольцо вычетов mathbb {Z} /nmathbb {Z} является полем тогда и только тогда, когда n является простым[48]. Также существование первообразного корня кольца mathbb {Z} /nmathbb {Z} привязано к простым числам: оно существует, только если n — простое число, 1, 2, 4 или число в форме {displaystyle p^{n}circ 2p^{n}}, где p нечётно.

Одной из важнейших теорем модульной арифметики является малая теорема Ферма[52]. Эта теорема утверждает, что для любого простого числа р и любого натурального числа a имеем:

{displaystyle a^{p}equiv a{pmod {p}}}

или для любого простого р и любого натурального а не делящегося на р, справедливо:

{displaystyle a^{p-1}equiv 1{pmod {p}}}

Это свойство можно использовать для проверки того, что число не является простым. На самом деле, если n таково, что:

{displaystyle a^{n}not equiv a{pmod {n}}}

для некоторого натурального а, то n не может быть простым[52]. Однако это свойство не может быть использовано для проверки числа на простоту: есть некоторые числа, называемые числами Кармайкла (наименьшее — 561) для которых это будет неверно. Числом Кармайкла называется составное число, которое является псевдопростым числом по каждому основанию b, взаимно простому с n. В 1994 году Уильям Роберт Альфорд, Эндрю Гранвиль и Карл Померанс показали, что таких чисел бесконечно много[62].

Теория групп[править | править код]

Простые числа также играют основополагающую роль в алгебре. В теории групп группа, в которой каждый элемент является степенью простого числа р, называется р-группой[63]. P-группа является конечной тогда и только тогда, когда порядок группы (число её элементов) является степенью р. Примером бесконечной р-группы является p-группа Прюфера[64]. Известно, что p-группы имеют нетривиальный центр и, следовательно, не могут быть простыми (кроме группы с p элементами); если группа конечна, более того, все нормальные подгруппы пересекают центр нетривиальным образом.

Примером таких групп является циклическая группа умножения по модулю простого числа[65].

Все группы порядка p являются циклическими и поэтому абелевыми; также абелева каждая группа порядка p 2. Кроме того, любая конечная абелева группа изоморфна прямому произведению конечного числа циклических р-групп.

В теореме Коши утверждается, что если порядок конечной группы G делится на простое число p, то G содержит элементы порядка p. Эта теорема обобщается теоремами Силова[50].

Криптосистема с открытым ключом[править | править код]

Некоторые алгоритмы криптографии с открытым ключом, такие как RSA и обмен ключами Диффи-Хеллмана, основаны на больших простых числах (обычно 1024—2048 бит). RSA полагается на предположение, что намного проще (то есть более эффективно) выполнять умножение двух (больших) чисел x и y, чем вычислять взаимно простые x и y, если известно только их произведение xcdot y . Обмен ключами Диффи-Хеллмана основан на том, что существуют эффективные алгоритмы возведения в степень по модулю, а обратная операция — дискретного логарифмирования считается сложной[66][67].

RSA[править | править код]

Трудность факторизации больших чисел привела к разработке первого эффективного метода криптографии с открытым ключом — RSA[68]. В этой криптографической системе, человек, который должен получить зашифрованное сообщение, генерирует ключ: выбираются два различных случайных простых числа p и q заданного размера (обычно используются, 1024- или 2048-битные числа). Далее вычисляется их произведение {displaystyle n=p*q}, называемое модулем. Вычисляется значение функции Эйлера от числа n: {displaystyle phi (n)=(p-1)(q-1)}. Выбирается целое число e ({displaystyle 1<e<phi (n)}), взаимно простое со значением функции phi(n). Обычно в качестве e берут небольшие простые числа (например, простые числа Ферма). Число e называется открытой экспонентой (англ. public exponent). Вычисляется число d, называемое секретной экспонентой, мультипликативно обратное к числу e по модулю phi(n). Пара {displaystyle {e,n}} публикуется в качестве открытого ключа RSA (англ. RSA public key). Пара {displaystyle {d,phi (n)}} играет роль закрытого ключа RSA (англ. RSA private key) и держится в секрете[12].

Теоретически можно получить закрытый ключ из общедоступной информации: в настоящее время для этого требуется факторизация числа n, что делает передачу защищенного сообщения безопасной, если простые числа удовлетворяют определённым условиям и являются «достаточно большими». Пока не известно, существуют ли эффективные методы для расшифровки сообщения, не связанные с прямой атакой на факторизацию n, но было показано, что плохой выбор открытого ключа может сделать систему более уязвимой для таких атак[69].

В 1991 году RSA Security опубликовала список полупростых чисел, предлагая денежные призы за разложение некоторых из них на множители, с целью подтверждения безопасности метода и поощрения исследования в этой области: инициатива называлась Challenge RSA Factoring[70]. На протяжении многих лет некоторые из этих чисел были разложены, а для других проблема факторизации все ещё остается открытой; однако конкурс был завершен в 2007 году[70].

Формулы для нахождения простых чисел[править | править код]

В разное время предпринимались попытки указать выражение, значениями которого при разных значениях входящих в него переменных были бы простые числа[54].
Л. Эйлер указал многочлен textstyle n^{2}-n+41, принимающий простые значения при n = 0, 1, 2, …, 40. Однако при n = 41 значение многочлена является составным числом. Можно доказать, что не существует многочлена от одной переменной n, который принимает простые значения при всех целых n[54].
П. Ферма предположил, что все числа вида 22k + 1 простые; однако Эйлер опроверг эту гипотезу, доказав, что число 225 + 1 = 4 294 967 297 — составное[54].

Тем не менее, существуют многочлены, множество положительных значений которых при неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Одним из примеров является многочлен

{displaystyle {begin{aligned}{bigl (}k+2{bigr )}{bigl {}1&-{bigl [}wz+h+j-q{bigr ]}^{2}-{bigl [}(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z{bigr ]}^{2}-{bigl [}2n+p+q+z-e{bigr ]}^{2}\&-{bigl [}16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}{bigr ]}^{2}\&-{bigl [}16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}n+l+v-y{bigr ]}^{2}\&-{bigl [}(a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}ai+k+1-l-i{bigr ]}^{2}-{bigl [}p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m{bigr ]}^{2}\&-{bigl [}q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x{bigr ]}^{2}-{bigl [}z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm{bigr ]}^{2}{bigr }}end{aligned}}}

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 1,6·1045[71][72]. Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Интересно, что приведённый выше многочлен, который порождает простые числа, сам разлагается на множители. Заметим, что второй множитель этого многочлена (в фигурных скобках) имеет форму: единица минус сумма квадратов. Таким образом, многочлен может принимать положительные значения (при положительных k) только если, каждый из этих квадратов (то есть каждый многочлен в квадратных скобках) равен нулю. В этом случае выражение в фигурных скобках будет равно 1[73].

Открытые вопросы[править | править код]

Распределение простых чисел pn = f (Δsn); Δsn = pn+1² — pn². Δpn = pn+1 — pn; Δpn = 2, 4, 6, … .

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау в 1912 году на Пятом Международном математическом конгрессе[74]:

  1. Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел?
  2. Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — пар простых чисел, разность между которыми равна 2[54]? В 2013 году математик Чжан Итан из университета Нью-Гэмпшира[75][76] доказал, что существует бесконечно большое количество пар простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов. Позже Джеймс Мэйнард улучшил результат до 600. В 2014 году проект Polymath[en] под руководством Теренса Тао несколько улучшили последний метод, заменив оценку расстояния на 246.
  3. Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа n между n^{2} и (n+1)^2 всегда найдётся простое число[77]?
  4. Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида n^{2}+1, где n — натуральное число[54]?

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Мерсенна[54], числа Фибоначчи, числа Ферма и др.

Вариации и обобщения[править | править код]

Неприводимые и простые элементы[править | править код]

В начале статьи было дано определение простого числа: натуральное число называется простым, если у него ровно два делителя — единица и само число. Аналогичное понятие можно ввести и в других алгебраических структурах; чаще всего рассматривается коммутативные кольца без делителей нуля (области целостности)[78][79]. У таких колец, однако, могут быть делители единицы, образующие мультипликативную группу. Например, в кольце целых чисел существуют два делителя единицы: +1 и -1. Поэтому все целые числа, кроме делителей единицы, имеют не два, а по меньшей мере четыре делителя; например, у числа 7 делителями являются {displaystyle 1;7;-1;-7.} Это означает, что обобщение понятия простого числа должно опираться на иные его свойства.

Аналогом простого числа для области целостности является неприводимый элемент, который определяется следующим образом[80].

Для целых чисел это определение означает, что неприводимыми элементами являются простые натуральные числа, а также противоположные им.

Из определения следует, что множество делителей неприводимого элемента p состоит из двух частей: все делители единицы и произведения p на все делители единицы (эти произведения называются элементами, ассоциированными с p). То есть количество делителей неприводимого p, если оно конечно, вдвое больше количества делителей единицы в кольце.

Важное значение имеет аналог основной теоремы арифметики, который в обобщённом виде формулируется следующим образом[81]:

Кольцо называется факториальным, если в нём каждый ненулевой элемент, не являющийся делителем единицы, может быть представлен в виде произведения неприводимых элементов, причём это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей и их ассоциированности (умножения на делители единицы).

Не всякая область целостности факториальна, см. контрпример. Евклидово кольцо всегда факториально[82].

Существует другое, более узкое обобщение понятия простого числа, называемое простым элементом[80].

Простой элемент всегда неприводим. В самом деле, если элемент p простой и {displaystyle p=ab,} то по определению простого элемента один из сомножителей, пусть это будет a, делится на p, то есть {displaystyle a=pq.} Тогда {displaystyle p=ab=pqb} или, сокращая на p (в области целостности сокращение ненулевого множителя всегда возможно): {displaystyle 1=qb,} то есть b является делителем единицы. ■

Обратное, вообще говоря, неверно, неприводимый элемент может не быть простым, если кольцо не является факториальным. Пример[83]: рассмотрим кольцо чисел вида {displaystyle a+b{sqrt {5}}i,} где a,b — целые числа. Число 3 в нём неприводимо, так как у него только 4 делителя: {displaystyle 3,1,-3,-1}. Однако оно не является простым элементом, в чём убеждает равенство:

{displaystyle left(2+{sqrt {5}}iright)left(2-{sqrt {5}}iright)=9}

Число 3 делит правую часть равенства, но не делит ни одного из сомножителей. Можно из этого факта сделать вывод, что рассмотренное кольцо не факториально; и в самом деле, равенство {displaystyle 6=2cdot 3=(1-i{sqrt {5}})(1+i{sqrt {5}})} показывает, что разложение на неприводимые множители в этом кольце не однозначно.

Примеры[править | править код]

Кольцо целых чисел факториально. В нём, как уже упоминалось выше, два делителя единицы.

Гауссовы целые числа[править | править код]

Кольцо гауссовых чисел состоит из комплексных чисел вида {displaystyle a+bi,} где a,b — целые числа. Делителей единицы четыре: {displaystyle 1;-1;i;-i.} Это кольцо факториально, неприводимыми элементами являются часть обычных простых чисел и «простые гауссовы» (например, 1+i). См. критерий простоты гауссова числа.

Пример разложения для числа 2, которое в кольце гауссовых чисел не является простым: {displaystyle 2=(1+i)(1-i)=i(1-i)(1-i)} — неединственность разложения здесь кажущаяся, поскольку 1-i ассоциирована с 1+i, согласно равенству: {displaystyle 1-i=(-i)(1+i).}

Целые числа Эйзенштейна[править | править код]

Кольцо целых чисел Эйзенштейна {displaystyle mathbb {Z} [omega ]} состоит из комплексных чисел следующего вида[84]:

{displaystyle z=a+bomega ,} где a,b — целые числа, {displaystyle omega ={frac {1}{2}}(-1+i{sqrt {3}})=e^{2pi i/3}} (кубический корень из единицы),

В этом кольце шесть делителей единицы: (±1, ±ω, ±ω2), оно евклидово и поэтому факториально. Неприводимые элементы (они же простые элементы) кольца называются простыми числами Эйзенштейна.

Критерий простоты: целое число Эйзенштейна {displaystyle z=a+bomega } является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:

  1. z ассоциировано с натуральным простым числом вида {displaystyle 3n-1.}
  2. {displaystyle |z|^{2}=a^{2}-ab+b^{2}} (норма z) является натуральным простым вида 3n или 3n+1.

Отсюда следует, что норма любого целого числа Эйзенштейна является либо простым натуральным числом, либо квадратом простого натурального числа[84].

Числа, ассоциированные или комплексно-сопряжённые с простыми числами Эйзенштейна, также являются простыми числами Эйзенштейна.

Кольцо многочленов[править | править код]

Большое значение в алгебре имеет кольцо многочленов K[x], образованное многочленами с коэффициентами из некоторого поля K. Делителями единицы являются здесь ненулевые константы (как многочлены нулевой степени). Кольцо многочленов евклидово и поэтому факториально. Если в качестве K взять поле вещественных чисел, то неприводимыми будут все многочлены 1-й степени и те многочлены 2-й степени, у которых нет вещественных корней (то есть их дискриминант отрицателен)[85].

См. также[править | править код]

  • Незаконное простое число
  • Суперпростое число
  • Полупростое число
  • Примориал
  • Простые числа, отличающиеся на шесть
  • Случайное простое число
  • Составное число
  • Список простых чисел
  • Уникальное простое

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 3 Простое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 4.
  2. ↑ 1 2 “«Arguments for and against the primality of 1 Архивная копия от 24 февраля 2021 на Wayback Machine». (англ.)
  3. ↑ Последовательность A000040 в OEIS. См. также список простых чисел
  4. ↑ Гарднер, Мартин. От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам = Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers / пер. с англ. Ю. А. Данилова. — М.: Мир, 1993. — 416 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-03-001991-X.
  5. ↑  (фр.) Préhistoire de la géométrie : le problème des sources (PDF) (недоступная ссылка). Site de l’IREM de La Réunion. Voir aussi « Les fables d’Ishango, ou l’irrésistible tentation de la mathématique-fiction» Архивная копия от 22 декабря 2017 на Wayback Machine, analyse par O. Keller sur Bibnum
  6. ↑ Egyptian Unit Fractions // Mathpages. Архивировано 1 апреля 2016 года.
  7. ↑ 1 2 Рыбников К. Русские издания «Начал» Евклида // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 1941. — № 9. — С. 318—321.
  8. ↑ John J. O’Connor, Edmund F. Robertson. Prime numbers (англ.). MacTutor.
  9. ↑ List of Known Mersenne Prime Numbers. Great Internet Mersenne Prime Search. Архивировано 15 марта 2016 года.
  10. ↑ 1 2 3 Apostol, Tom M. Introduction to analytic number theory. — New York: Springer-Verlag, 1976. — xii, 338 pages с. — ISBN 0387901639. Архивная копия от 28 апреля 2020 на Wayback Machine
  11. ↑ 1 2 3 Du Sautoy, Marcus. L’enigma dei numeri primi. — Milano: Rizzoli, 2005. — 606 p. с. — ISBN 8817008435.
  12. ↑ 1 2 3 Menezes, A. J. (Alfred J.), 1965-. Handbook of applied cryptography. — Boca Raton: CRC Press, 1997. — xxviii, 780 pages с. — ISBN 9780849385230.
  13. ↑ 1 2 Ишмухаметов Ш. Т. Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие // Казань: Казанский университет. — 2011. — С. 190.
  14. ↑ Dudley, Underwood (1978), Elementary number theory (2nd ed.), W. H. Freeman and Co., ISBN 978-0-7167-0076-0, Section 2, Theorem 2 (англ.)
  15. ↑ См, например, David E. Joyce’s комментарий на Начала (Евклид), Книга VII, определения 1 и 2 Архивная копия от 5 августа 2011 на Wayback Machine.
  16. ↑ 1 2 3 Why is the number one not prime? (from the Prime Pages’ list of frequently asked questions) by Chris K. Caldwell. Архивная копия от 19 апреля 2015 на Wayback Machine (англ.)
  17. ↑ See for instance: L. Euler. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 160—188. Variae observationes circa series infinitas, Theorema 19, p.187. Архивная копия от 5 октября 2013 на Wayback Machine (англ.)
  18. ↑
    Derbyshire, John (2003), The Prime Number Theorem, Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, D.C.: Joseph Henry Press, с. 33, ISBN 978-0-309-08549-6, OCLC 249210614 (англ.)
  19. ↑ David Gries, Jayadev Misra. A Linear Sieve Algorithm for Finding Prime Numbers. — 1978.
  20. ↑ Knuth, Donald Ervin, 1938-. The art of computer programming. — Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co, ©1973-©1981. — 4 volumes с. — ISBN 0201896842. Архивная копия от 15 июня 2020 на Wayback Machine
  21. ↑ 1 2 Vasilenko, O. N. (Oleg Nikolaevich). Teoretiko-chislovye algoritmy v kriptografii. — Moskva: MT︠S︡NMO. Moskovskiĭ t︠s︡entr nepreryvnogo matematicheskogo obrazovanii︠a︡, 2006. — 333 pages с. — ISBN 5940571034.
  22. ↑ Б. Шнайер. Прикладная криптография. — С. 296—300.
  23. ↑ Кормен Т., Лейзер Ч. Алгоритмы. Построение и анализ. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 765—772.
  24. ↑ Crandall R., Pomerance C. Prime Numbers: A Computational Perspective. — Springer, 2005.
  25. ↑ Introduction to algorithms. — 2nd ed. — Cambridge, Mass.: MIT Press, 2001. — xxi, 1180 pages с. — ISBN 0262032937. Архивная копия от 29 января 2010 на Wayback Machine
  26. ↑ 1 2 3 4 Нестеренко Ю. В. Введение в криптографию. — Питер, 2001. — 288 с.
  27. ↑ Chris Caldwell. The Largest Known Prime by Year: A Brief History (англ.). The Prime Pages. Дата обращения: 8 марта 2010. Архивировано 19 августа 2013 года.
  28. ↑ Jitsuro Nagura. On the interval containing at least one prime number (EN) // Proceedings of the Japan Academy. — 1952. — Т. 28, вып. 4. — С. 177—181. — ISSN 0021-4280. — doi:10.3792/pja/1195570997. Архивировано 17 ноября 2017 года.
  29. ↑ Letter Архивная копия от 11 июня 2015 на Wayback Machine in Латынь from Goldbach to Euler, July 1730.
  30. ↑ Рекорды простых чисел по годам. Дата обращения: 8 марта 2010. Архивировано 19 августа 2013 года.
  31. ↑ Starr, Michelle. The Largest Prime Number to Date Has Been Discovered And It’s Hurting Our Brains (англ.), ScienceAlert. Архивировано 6 января 2018 года. Дата обращения: 6 января 2018.
  32. ↑ EFF Cooperative Computing Awards Архивная копия от 9 ноября 2008 на Wayback Machine (англ.)
  33. ↑ Юлия Рудый. Профессор из США определил самое большое простое число. Вести.Ru (7 февраля 2013). Дата обращения: 25 февраля 2018. Архивировано 26 февраля 2018 года.
  34. ↑ 1 2 Последовательность A001348 в OEIS
  35. ↑ Последовательность A000668 в OEIS: простые числа Мерсенна
  36. ↑ Последовательность A000215 в OEIS
  37. ↑ Keller, Wilfrid (February 15, 2015), Prime Factors of Fermat Numbers, <http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary>. Проверено 1 марта 2016. Архивная копия от 10 февраля 2016 на Wayback Machine
  38. ↑ Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 78. — 151 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3.
  39. ↑ Последовательность A003261 в OEIS
  40. ↑ Последовательность A050918 в OEIS: простые числа Вудала
  41. ↑ Последовательность A002064 в OEIS
  42. ↑ Последовательность A050920 в OEIS: простые числа Каллена
  43. ↑ Последовательность A080075 в OEIS
  44. ↑ John Brillhart; Derrick Henry Lehmer; John Selfridge. New Primality Criteria and Factorizations of 2^m ± 1 (англ.) // Mathematics of Computation  (англ.) (рус. : journal. — 1975. — April (vol. 29). — P. 620—647. — doi:10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1.
  45. ↑ Последовательность A080076 в OEIS: простые числа Прота
  46. ↑ Caldwell, Chris K. & Cheng, Yuanyou (2005), Determining Mills’ Constant and a Note on Honaker’s Problem, Journal of Integer Sequences Т. 8 (5.4.1), <http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.html> Архивная копия от 5 июня 2011 на Wayback Machine
  47. ↑ Dudley, Underwood (1978), Elementary number theory (2nd ed.), W. H. Freeman and Co., ISBN 978-0-7167-0076-0, Section 2, Lemma 5 (англ.)
  48. ↑ 1 2 3 Степанов С. А. Сравнения. — М.: «Знание», 1975. — 64 с.
  49. ↑ Винберг, 2008, с. 43.
  50. ↑ 1 2 Курош А. Г. Теория групп. 3-е изд., М.: Наука, 1967.
  51. ↑ А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
  52. ↑ 1 2 3 Виноградов И. М. Основы теории чисел. — 5 изд.. — М.—Л.: Гостехиздат, 1952.
  53. ↑ Chris Caldwell, Bertrand’s postulate Архивная копия от 22 декабря 2017 на Wayback Machine at Prime Pages glossary.
  54. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  55. ↑ Доказательство. Нечётное число p, не кратное 3, равно 1 или 2 по модулю 3 и равно 1, 3, 5 или 7 по модулю 8. При возведении в квадрат это даёт 1 по модулю 3 и 1 по модулю 8. Вычитая 1, получаем 0 по модулю 3 и 0 по модулю 8. Следовательно, p^{2}-1 кратно 3 и кратно 8; следовательно, оно кратно 24
  56. ↑ Weisstein, Eric W. Green-Tao Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  57. ↑ Эти 2 свойства непосредственно следуют из формул разложения суммы и разности степеней
  58. ↑ Энциклопедический словарь юного математика, 1985, с. 332.
  59. ↑ 1 2 Graham, Ronald L. (1935- ). Konkretnaâ matematika : osnovanie informatiki. — Moskva: Izdatelʹstvo “Mir”, 1998. — 703, [1] s. с. — ISBN 5030017933.
  60. ↑ Sandifer, Charles Edward, 1951-. The early mathematics of Leonhard Euler. — Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 2007. — xix, 391 pages с. — ISBN 0883855593.
  61. ↑ Bach, Eric. Algorithmic number theory. — Cambridge, Mass.: MIT Press, ©1996-. — volumes <1> с. — ISBN 0262024055.
  62. ↑ W. R. Alford, Andrew Granville, Carl Pomerance. There are Infinitely Many Carmichael Numbers // Annals of Mathematics. — 1994. — Т. 139, вып. 3. — С. 703—722. — doi:10.2307/2118576. Архивировано 26 февраля 2019 года.
  63. ↑ Charles C. Sims. Enumerating p-Groups (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1965-01-01. — Vol. s3—15, iss. 1. — P. 151—166. — ISSN 1460-244X. — doi:10.1112/plms/s3-15.1.151. Архивировано 23 декабря 2017 года.
  64. ↑ Jacobson, Nathan, 1910-1999. Basic algebra. — 2nd ed., Dover ed. — Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2009. — 2 volumes с. — ISBN 9780486471877.
  65. ↑ Сагалович Ю.Л. Введение в алгебраические коды. — 2011. — 302 с. Архивная копия от 25 декабря 2017 на Wayback Machine
  66. ↑ Ferguson, Niels. Practical cryptography. — New York: Wiley, 2003. — xx, 410 pages с. — ISBN 0471223573. Архивная копия от 10 июня 2009 на Wayback Machine
  67. ↑ W. Diffie, M. Hellman. New directions in cryptography // IEEE Transactions on Information Theory. — November 1976. — Т. 22, вып. 6. — С. 644—654. — ISSN 0018-9448. — doi:10.1109/tit.1976.1055638. Архивировано 28 декабря 2017 года.
  68. ↑ Bakhtiari, Maarof, 2012, p. 175.
  69. ↑ Boneh D. [ ] // // [ Twenty Years of attacks on the RSA Cryptosystem] (англ.) // Notices of the American Mathematical Society / F. Morgan — AMS, 1999. — . — P. . — ISSN 0002-9920; 1088-9477
  70. ↑ 1 2 RSA Laboratories, The RSA Factoring Challenge Архивировано {{{2}}}.. Опубликовано 18 мая 2007.
  71. ↑ Jones J. P.,
    Sato D., Wada H., Wiens D.     Diophantine representation of the set of prime numbers (англ.) // Amer. Math. Mon. : journal. — 1976. — Vol. 83, no. 6. — P. 449—464. Архивировано 31 марта 2010 года.
  72. ↑ Yuri Matiyasevich, Diophantine Equations in the XX Century (недоступная ссылка)
  73. ↑ Matijasevic’s polynomial Архивная копия от 6 августа 2010 на Wayback Machine. The Prime Glossary.
  74. ↑ Weisstein, Eric W. Landau’s Problems (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  75. ↑ Неизвестный математик совершил прорыв в теории простых чисел-близнецов. Дата обращения: 20 мая 2013. Архивировано 7 июня 2013 года.
  76. ↑ Bounded Gaps Between Primes. Дата обращения: 21 мая 2013. Архивировано 18 мая 2013 года.
  77. ↑ Weisstein, Eric W. Гитотеза Лежандра (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  78. ↑ Обобщение на произвольные полугруппы см. в книге Куроша.
  79. ↑ Ван дер Варден, 2004, с. 75.
  80. ↑ 1 2 Курош, 1973, с. 82—83.
  81. ↑ Ленг, 1967, с. 89.
  82. ↑ Ван дер Варден, 2004, с. 77—78.
  83. ↑ William W. Adams, Larry Joel Goldstein (1976), Introduction to Number Theory, p. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9
  84. ↑ 1 2 Eisenstein Integer–from MathWorld. Дата обращения: 23 декабря 2017. Архивировано 15 декабря 2020 года.
  85. ↑ Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — С. 122—124. — 176 с.

Литература[править | править код]

  • Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9.
  • Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. — М.: МЦНМО, 2003. — 328 с. — ISBN 5-94057-103-4. Архивная копия от 27 января 2007 на Wayback Machine
  • Винберг Э. Б. [ ] // // [ Малая теорема Ферма и ее обобщения] // Математическое просвещение — М.: Изд-во МЦНМО, 2008. — . — С. .
  • Гальперин Г. Просто о простых числах // Квант. — № 4. — С. 9—14,38.
  • Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker’s Delight. — М.: «Вильямс», 2007. — 288 с. — ISBN 0-201-91465-4.
  • Карпушина Н. Палиндромы и «перевёртыши» среди простых чисел // Наука и жизнь. — 2010. — № 5.
  • Кордемский Б. А. Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 576 с.
  • Кормен Т., Лейзер Ч. Глава 33.8. Проверка чисел на простоту // Алгоритмы. Построение и анализ. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 765—772. — ISBN 5-900916-37-5.
  • Крэндалл Р., Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты = Prime Numbers: A Computational Perspective. — М.: УРСС, Либроком, 2011. — 664 с. — ISBN 978-5-397-02060-2.
  • Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2-е изд.. — Наука, 1973.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
  • Матиясевич Ю.. Формулы для простых чисел // Квант. — 1975. — № 5. — С. 5—13.
  • Нестеренко Ю. В. Алгоритмические проблемы теории чисел // Введение в криптографию / Под редакцией В. В. Ященко. — Питер, 2001. — 288 с. — ISBN 5-318-00443-1.
  • Цагер Д. Первые 50 миллионов простых чисел // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 1984. — Т. 39, № 6(240). — С. 175—190.
  • Черёмушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. — М.: МЦНМО, 2002. — 104 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-060-7. Архивировано 31 мая 2013 года..
  • Простое число // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 262—263. — 352 с.
  • Энрике Грасиан . Простые числа. Долгая дорога к бесконечности. — Де Агостини, 2014. — Т. 3. — 148 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0682-6. — ISBN 978-5-9774-0637-6.
  • Bakhtiari M., Maarof M. A. [ ] // // [ Serious Security Weakness in RSA Cryptosystem] (англ.) // International Journal of Computer Science Issues — 2012. — . — P. . — ISSN 1694-0814; 1694-0784
  • Crandall R., Pomerance C. Глава 3. «Recognizing Primes and Composites». Глава 4. «Primality Proving» // Prime Numbers: A Computational Perspective. — Springer, 2005. — С. 117—224. — ISBN 0-387-25282-7.

Ссылки[править | править код]

  • Кноп К. В погоне за простотой.
  • The Prime Pages (англ.) — база данных наибольших известных простых чисел (англ.).
  • Геометрия простых и совершенных чисел (исп.).
  • Скрипт визуализации
  • Форум искателей простых чисел (англ.).
Источник

Алгоритмы поиска простых чисел

Время на прочтение
6 мин

Количество просмотров 133K

«Самое большое простое число 232582657-1. И я с гордостью утверждаю, что запомнил все его цифры… в двоичной форме».
Карл Померанс

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два различных делителя: единицу и само себя. Задача поиска простых чисел не дает покоя математикам уже очень давно. Долгое время прямого практического применения эта проблема не имела, но все изменилось с появлением криптографии с открытым ключом. В этой заметке рассматривается несколько способов поиска простых чисел, как представляющих исключительно академический интерес, так и применяемых сегодня в криптографии.

Решето Эратосфена

Решето Эратосфена — алгоритм, предложенный древнегреческим математиком Эратосфеном. Этот метод позволяет найти все простые числа меньше заданного числа n. Суть метода заключается в следующем. Возьмем набор чисел от 2 до n. Вычеркнем из набора (отсеим) все числа делящиеся на 2, кроме 2. Перейдем к следующему «не отсеянному» числу — 3, снова вычеркиваем все что делится на 3. Переходим к следующему оставшемуся числу — 5 и так далее до тех пор пока мы не дойдем до n. После выполнения вышеописанных действий, в изначальном списке останутся только простые числа.

Алгоритм можно несколько оптимизировать. Так как один из делителей составного числа n обязательно

$leqslant sqrt{n}$, алгоритм можно останавливать, после вычеркивания чисел делящихся на

$sqrt{n}$.

Иллюстрация работы алгоритма из Википедии:

image

Сложность алгоритма составляет

$O(n loglog n)$, при этом, для хранения информации о том, какие числа были вычеркнуты требуется

$O(n)$ памяти.

Существует ряд оптимизаций, позволяющих снизить эти показатели. Прием под названием wheel factorization состоит в том, чтобы включать в изначальный список только числа взаимно простые с несколькими первыми простыми числами (например меньше 30). В теории предлагается брать первые простые примерно до

$sqrt{log n}$. Это позволяет снизить сложность алгоритма в

$loglog n$ раз. Помимо этого для уменьшения потребляемой памяти используется так называемое сегментирование. Изначальный набор чисел делится на сегменты размером

$leqslant sqrt{n}$ и для каждого сегмента решето Эратосфена применяется по отдельности. Потребление памяти снижается до

$O(sqrt{n})$.

Решето Аткина

Более совершенный алгоритм отсеивания составных чисел был предложен Аткином и Берштайном и получил название Решето Аткина. Этот способ основан на следующих трех свойствах простых чисел.

Свойство 1

Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что

$n equiv 1(mod 4)$. То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения

$4x^2+y^2=n$ нечетно.

Свойство 2

Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что

$n equiv 1(mod 6)$. То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения

$3x^2+y^2=n$ нечетно.

Свойство 3

Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что

$n equiv 11(mod 12)$. То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения

$3x^2-y^2=n$ нечетно.

Доказательства этих свойств приводятся в этой статье.

На начальном этапе алгоритма решето Аткина представляет собой массив A размером n, заполненный нулями. Для определения простых чисел перебираются все

$x, y < sqrt n$. Для каждой такой пары вычисляется

$4x^2+y^2$,

$3x^2+y^2$,

$3x^2-y^2$ и значение элементов массива

$A[4x^2+y^2]$,

$A[3x^2+y^2]$,

$A[3x^2-y^2]$ увеличивается на единицу. В конце работы алгоритма индексы всех элементов массива, которые имеют нечетные значения либо простые числа, либо квадраты простого числа. На последнем шаге алгоритма производится вычеркивание квадратов оставшихся в наборе чисел.

Из описания алгоритма следует, что вычислительная сложность решета Аткина и потребление памяти составляют

$O(n)$. При использовании wheel factorization и сегментирования оценка сложности алгоритма снижается до

$O(n / loglog n)$, а потребление памяти до

$O(sqrt{n})$.

Числа Мерсенна и тест Люка-Лемера

Конечно при таких показателях сложности, даже оптимизированное решето Аткина невозможно использовать для поиска по-настоящему больших простых чисел. К счастью, существуют быстрые тесты, позволяющие проверить является ли заданное число простым. В отличие от алгоритмов решета, такие тесты не предназначены для поиска всех простых чисел, они лишь способны сказать с некоторой вероятностью, является ли определенное число простым.

Один из таких методов проверки — тест Люка-Лемера. Это детерминированный и безусловный тест простоты. Это означает, что прохождение теста гарантирует простоту числа. К сожалению, тест предназначен только для чисел особого вида

$2^p-1$, где p — натуральное число. Такие числа называются числами Мерсенна.

Тест Люка-Лемера утверждает, что число Мерсенна

$M_p=2^p-1$ простое тогда и только тогда, когда p — простое и

$M_p$ делит нацело

$(p-1)$-й член последовательности

$S_k$ задаваемой рекуррентно:

$S_1=4, S_k=S_{k-1}^2-2$ для

$k > 1$.

Для числа

$M_p$ длиной p бит вычислительная сложность алгоритма составляет

${displaystyle O(p^{3})}$.

Благодаря простоте и детерминированности теста, самые большие известные простые числа — числа Мерсенна. Самое большое известное простое число на сегодня —

$2^{82,589,933}-1$, его десятичная запись состоит из 24,862,048 цифр. Полюбоваться на эту красоту можно здесь.

Теорема Ферма и тест Миллера-Рабина

Простых чисел Мерсенна известно не очень много, поэтому для криптографии с открытым ключом необходим другой способ поиска простых чисел. Одним из таким способов является тест простоты Ферма. Он основан на малой теореме Ферма, которая гласит, что если n — простое число, то для любого a, которое не делится на n, выполняется равенство

$a^{n-1}equiv 1{pmod {n}}$. Доказательство теоремы можно найти на Википедии.

Тест простоты Ферма — вероятностный тест, который заключается в переборе нескольких значений a, если хотя бы для одного из них выполняется неравенство

$a^{n-1} notequiv 1 pmod n$, то число n — составное. В противном случае, n — вероятно простое. Чем больше значений a использовано в тесте, тем выше вероятность того, что n — простое.

К сожалению, существуют такие составные числа n, для которых сравнение

$a^{n-1}equiv 1{pmod {n}}$ выполняется для всех a взаимно простых с n. Такие числа называются числам Кармайкла. Составные числа, которые успешно проходят тест Ферма, называются псевдопростыми Ферма. Количество псевдопростых Ферма бесконечно, поэтому тест Ферма — не самый надежный способ определения простых чисел.

Тест Миллера-Рабина

Более надежных результатов можно добиться комбинируя малую теорему Ферма и тот факт, что для простого числа p не существует других корней уравнения

$x^2 equiv 1 pmod p$, кроме 1 и -1. Тест Миллера-Рабина перебирает несколько значений a и проверяет выполнение следующих условий.

Пусть p — простое число и

$p-1=2^sd$, тогда для любого a справедливо хотя бы одно из условий:

  1. $a^{d}equiv pm1{pmod {p}}$
  2. Существует целое число r < s такое, что $a^{2^{r}d}equiv -1{pmod {p}}$

По теореме Ферма

$a^{p-1}equiv1pmod p$, а так как

$p-1=2^sd$ из свойства о корнях уравнения

$x^2 equiv 1 pmod p$ следует что если мы найдем такое a, для которого одно из условий не выполняется, значит p — составное число. Если одно из условий выполняется, число a называют свидетелем простоты числа n по Миллеру, а само число n — вероятно простым.

Чем больше свидетелей простоты найдено, тем выше вероятность того, что n — простое. Согласно теореме Рабина вероятность того, что случайно выбранное число a окажется свидетелем простоты составного числа составляет приблизительно

$1/4$.

Следовательно, если проверить k случайных чисел a, то вероятность принять составное число за простое

$approx(1/4)^k$.

Сложность работы алгоритма

$O(klog^3p)$, где k — количество проверок.

Благодаря быстроте и высокой точности тест Миллера-Рабина широко используется при поиске простых чисел. Многие современные криптографические библиотеки при проверке больших чисел на простоту используют только этот тест и, как показал Мартин Альбрехт в своей работе , этого не всегда оказывается достаточно.

Он смог сгенерировать такие составные числа, которые успершно прошли тест на простоту в библиотеках OpenSSL, CryptLib, JavaScript Big Number и многих других.

Тест Люка и Тест Baillie–PSW

Чтобы избежать уязвимости, связанные с ситуациями, когда сгенерированное злоумышленником составное число, выдается за простое, Мартин Альбрехт предлагает использовать тест Baillie–PSW. Несмотря на то, что тест Baillie–PSW является вероятностным, на сегодняшний день не найдено ни одно составное число, которое успешно проходит этот тест. За нахождение подобного числа в 1980 году авторы алгоритма пообещали вознаграждение в размере $30. Приз пока так и не был востребован.

Ряд исследователей проверили все числа до

$2^{64}$ и не обнаружили ни одного составного числа, прошедшего тест Baillie–PSW. Поэтому, для чисел меньше

$2^{64}$ тест считается детерминированным.

Суть теста сводится к последовательной проверке числа на простоу двумя различными методами. Один из этих методов уже описанный выше тест Миллера-Рабина. Второй — тест Люка на сильную псевдопростоту.

Тест Люка на сильную псевдопростоту

Последовательности Люка — пары рекуррентных последовательностей

${U_{n}(P,Q)}, {V_{n}(P,Q)}$, описываемые выражениями:

${displaystyle U_{0}(P,Q)=0,quad U_{1}(P,Q)=1,quad U_{n+2}(P,Q)=Pcdot U_{n+1}(P,Q)-Qcdot U_{n}(P,Q),,ngeq 0}$

${displaystyle V_{0}(P,Q)=2,quad V_{1}(P,Q)=P,quad V_{n+2}(P,Q)=Pcdot V_{n+1}(P,Q)-Qcdot V_{n}(P,Q),,ngeq 0}$

Пусть

$U_n(P,Q)$ и

$V_n(P,Q)$ — последовательности Люка, где целые числа P и Q удовлетворяют условию

${displaystyle D=P^{2}-4Qneq 0}$

Вычислим символ Якоби:

$left({frac {D}{p}}right)=varepsilon$.

Найдем такие r, s для которых выполняется равенство

$n-ε=2^rs$

Для простого числа n выполняется одно из следующих условий:

  1. n делит $U_s$
  2. n делит $V_{2^js}$ для некоторого j < r

В противном случае n — составное.

Вероятность того, что составное число n успешно пройдет тест Люка для заданной пары параметров P, Q не превышает 4/15. Следовательно, после применения теста k раз, эта вероятность составляет

$(4/15)^k$.

Тесты Миллера-Рабина и Люка производят не пересекающиеся множества псевдопростых чисел, соответственно если число p прошло оба теста, оно простое. Именно на этом свойстве основывается тест Baillie–PSW.

Заключение

В зависимости от поставленной задачи, могут использоваться различные методы поиска простых чисел. К примеру, при поиске больших простых чисел Мерсенна, сперва, при помощи решета Эратосфена или Аткина определяется список простых чисел до некоторой границы, предположим, до

$10^8$. Затем для каждого числа p из списка, с помощью теста Люка-Лемера, на простоту проверяется

$M_p=2^p-1$.

Чтобы сгенерировать большое простое число в криптографических целях, выбирается случайное число a и проверяется тестом Миллера-Рабина или более надежным Baillie–PSW. Согласно теореме о распределении простых чисел, у случайно выбранного числа от 1 до n шанс оказаться простым примерно равен

${frac {1}{ln n}}$. Следовательно, чтобы найти простое число размером 1024 бита, достаточно перебрать около тысячи вариантов.

P.S. Исходники

Реализацию всех описанных алгоритмов на Go можно посмотреть на GitHub.

Источник

Как находить простые числа

  • Авторы
  • Руководители
  • Файлы работы
  • Презентация
  • Наградные документы

Линдт М.В. 1

1МБОУ “Сапоговская СОШ”

Найдешкина Л.А. 1

1МБОУ “Сапоговская СОШ”


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

Введение

Всякий, кто изучает простые числа, бывает, очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители – такое естественное действие.

Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?
(Ч. Узерелл.1982)

Данная тема была выбрана потому, что существует тайна распределения простых чисел в ряду натуральных чисел – в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Возник интерес к способам нахождения простых чисел, возможности создания модели, с помощью которой можно найти все простые числа и как полученные знания помогут разобраться с решением некоторых олимпиадных задач.

Исходя, из этого актуальность исследования обусловлена наличием в работе представлений о поисках простых чисел и подборкой олимпиадных задач по теме разных уровней сложности.

Цель: сбор и систематизация сведений о нахождении множества простых чисел для овладения способами решения олимпиадных задач с простыми числами.

Задачи:

1. Проанализировать источники исследования.

2. Найти сведения об истории отыскания простых чисел в интернете.

3. Попытаться составить модели для нахождения простых чисел с помощью найденных сведений.

4. Найти и решить олимпиадные задачи с простыми числами.

Объект исследования: простые числа

Предмет исследования: олимпиадные задачи с простыми числами разных уровней сложности.

Гипотеза: все простые числа нужно отыскивать одно за другим.

Методы исследования: изучение источников по теме исследования, анализ полученных материалов, моделирование.

Практическая значимость: материалы будут способствовать повышению интереса к математике и помогут разобраться с решением некоторых олимпиадных задач. Возможно использование материала на внеклассных мероприятиях, занятиях внеурочной деятельности.

Какие источники помогут нам в поиске? Сайты: problems.ru проект МЦНМО при участии школы 57, научно-популярный физико-математический журнал «Квант». Статьи: Н. Макарова, «Простые числа», материал из Википедии — свободной энциклопедии, «Решето Эратосфена», «Число Мерсенна», «Простые числа Мерсенна», «Криптография», «Шифрование».

Основная часть

Глава 1. Теоретические сведения

Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. И вызван он был не только практической необходимостью. Привлекала их необычная магическая сила. Числа, которыми можно выразить количество любых предметов.

Одним из первых свойств чисел, открытым человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей, например:

6=2 3, 9=3∙3, 30=2∙15=3∙10.

А, например, числа 3,7,13,37 не могут быть разложены подобным образом.

Определение. Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.

Евклид определял простые числа так: «Простое число есть измеряемое только единицей». Иными словами, простые числа не имеют других делителей, кроме единицы и самого себя. Если p простое число, то его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только следующим образом:

p = p∙1.

Числа, не являющиеся простыми, называются составными. Всякое составное число имеет не меньше двух делителей отличных от 1.

1 – особое число, оно не является ни простым, ни составным.

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.

Если натуральное число a делится на натуральное число b, то число b называют делителем числа a, а число а – кратным числа b.

Таким образом, простые числа – это как бы “кирпичики” для строительства всех натуральных чисел. Например, число N = 500 представимо в виде такого произведения:N = 22 ∙53

Представление составного числа в указанном виде называют разложением числа на простые множители.

Свойства делимости.

Если в сумме натуральных чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Если уменьшаемое и вычитаемое делится на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Если в произведении натуральных чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Основная теорема арифметики.

Каждое натуральное число, отличное от 1, может быть представлено в виде произведения простых множителей, и притом только единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей).

Глава 2 Модели простых чисел

Модель «Решето Эратосфена»

Эратосфен Кире́нский древнегреческий ученый, жил в третьем веке до новой эры в Александрии.

В математике Эратосфена интересовал вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до… . Он придумал для этого следующий способ: сначала вычеркивают все числа, делящиеся на 2 (исключая само число 2). Потом берут первое из оставшихся чисел (а именно 3). Ясно, что это число – простое. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 3. Первым оставшимся числом будет 5. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 5, и т.д. Числа, которые уцелеют после всех вычеркиваний, и являются простыми. Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а “выкалывали” цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название “решето Эратосфена”. (Приложение 1).

Древнейший алгоритм такого поиска был предложен 2000 лет назад.

Итак, Решето Эратосфена работает как своего рода аналоговая вычислительная машина. И, значит, вот что изобрел великий грек: он изобрел счетную машину. Простые числа располагаются на числовом ряду весьма причудливым образом.

Найти редкие оазисы простых чисел, затерянные в обширных пустынях составных чисел, нелегко. Решето Эратосфена позволяет это сделать! Но всё же найти все простые числа таким способом нельзя.

II. Модель «Формулы 6n – 1, 6n + 1, где n натуральное число»

Анализируя Решето видно, что все простые числа либо на 1 меньше, либо на 1 больше чисел, кратных 6, т.е. 6n – 1, 6n + 1.

6 ∙ 1–1=5, 6 ∙ 1+1=7, 6 ∙ 2–1=11, 6 ∙ 2+1=13, 6 ∙ 3–1=17, 6 ∙ 3+1=19,

6 ∙ 4–1=23, 6 ∙4+1=25, 6 ∙5–1=29, 6 ∙ 5+1=31,

6 ∙ 6–1=35 – составное число.

III. Модель «Число Мерсенна 2р – 1, где p – простое число»

22 – 1 = 3, 25 – 1 = 31, 27 – 1 = 127, … .

Но, 211 – 1 составное. 211 – 1 =2047 = 23∙ 89.

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607.

267 – 1 = 193707721 ∙ 761838257287.

243112609 – 1 (46-е число Мерсенна) – это самое большое найденное простое число.

В течение почти 200 лет математики считали, что число Мерсенна 267 – 1 простое. В 1903 г профессор Коул доказал, что это число имеет два простых множителя: 193707721 и 761838257287. Коул, чтобы разложить число на множители потратил все воскресенья в течение трёх лет.

Маре́н Мерсе́нн (1588 — 1648) — французский математик, физик, философ и теолог.

Числа вида 2р – 1, где p – простое число, называются числами Мерсенна, впервые заметившего, что среди таких чисел много простых.

Как видно, среди первых девяти чисел Мерсенна только два составные.

В настоящее время составлены специальные программы для поиска чисел Мерсенна. Последнее число найдено в 2018 г.

Глава 3. Как искали?

Изучали таблицу простых чисел, двигаясь по натуральному ряду. (Приложение 2)

Простые числа в среднем встречаются все реже.

Числа-близнецы – два простых числа идут через одно, (например, 17 и 19, 29 и 31), а иногда подряд идет миллион составных чисел.

Простые числа могут оканчиваться только на следующие цифры: 1, 3, 7 или 9. Если число оканчивается на 2, 5 или 0, то оно не может быть простым, просто потому, что делится без остатка соответственно на 2, на 5 или на 10 (естественно, кроме 2 и 5).

Глава 4. Как применяются простые числа в жизни человека

Люди поняли, что простые числа являются не только ключом к выживанию, но и огромным количеством строительного материала в математике. Каждое число, по сути, представляет собой совокупность простых чисел, а совокупность чисел составляет математику, а из математики получается целый научный мир.

Простые числа находят спрятанными в природе, но человечество научилось их использовать.

Криптография, (криптография — обеспечение конфиденциальности и целостности данных) благодаря которой наши кредитные карточки остаются в безопасности, когда мы покупаем что-нибудь онлайн, использует простые числа. Каждый раз, когда вы вводите номер своей кредитной карты на вебсайте, вы полагаетесь на то, что простые числа сохранят ваши тайны и информацию о вас в секрете. Для кодирования вашей кредитной карты ваш компьютер получает публичный номер Н с вебсайта, который и будет использоваться для совершения операций с вашей кредитной картой.

Причиной, по которой такое кодирование является настолько безопасным, является то, что очень легко перемножить простые числа между собой, но разложить число на простые множители практически невозможно.

Шифрование – это не единственная область применения простых чисел на практике. Простые числа используются в компьютерном моделировании различных процессов. Так же без них не обойтись и в машиностроении – например, количество лопаток турбин реактивных самолётов должно составлять простое число. Если этим правилом пренебречь, то возникает резонанс, разрушающий лопатки турбины.

Глава 5. Какие задачи нашли?

1. Докажите, что любое простое число, большее 3, можно записать в одном из двух видов: 6n + 1 либо 6n – 1, где n – натуральное число.

2. Найти все такие натуральные числа p, что p и 5p + 1 – простые.

3. В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно 23021377 – 1. Не опечатка ли это?

4. Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

5. Найдите все натуральные n, при которых 2n – 1 и 2n + 1 – простые.

Какие задачи смогли решить?

Олимпиадных задач на простые числа много.

Задачи разного уровня сложности.

Чтобы решить любую задачу необходимо много знать.

Глава 6. Решение олимпиадных задач с простыми числами

Найти все такие натуральные числа p, что p и  5p + 1  – простые.

Решение: если p нечётно, то  5p + 1  чётно, значит, p чётное число, а чётное и одновременно простое число только при p = 2.

Ответ: p = 2.

Найти все такие натуральные числа p, что p и  3p² + 1  – простые.

Решение: если p нечётно, то  3p² + 1  чётно.

Ответ: p = 2.

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно  23021377 – 1.  Не опечатка ли это?

Решение: Какая последняя цифра у числа  23021377 – 1? Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность  23021377 – 1  оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.

Ответ: опечатка.

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

Решение: такие числа имеют разную чётность.

Ответ: 2 и 19.

Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

Решение: указанное простое число p нечётно, поэтому в сумме и разности участвуют числа разной чётности. Итак,  p = q + 2 = r – 2.  Отсюда видно, что числа дают разные остатки при делении на 3, значит, одно из них кратно 3, а так как оно простое, то равно 3.

Ответ: 5.

Найдите все простые числа, которые нельзя записать в виде суммы двух составных.

Решение: докажем, что любое простое число  p > 11  представляется в виде суммы двух составных. Поскольку любое такое число нечётно, то число  p – 9  чётно и, следовательно, составное. Поэтому  p = (p – 9) + 9  – искомое представление.

С другой стороны, непосредственно проверяется, что числа 2, 3, 5, 7 и 11 не представимы в виде суммы двух составных.

Докажите, что при  n > 2  числа  2n – 1 и  2n + 1  не могут быть простыми одновременно.

Решение: из трёх последовательных чисел  2n – 1,  2n,  2n + 1  одно делится на 3. Но 2n на 3 не делится. Значит, одно из двух оставшихся чисел кратно 3.

Заключение

Почему мы не смогли получить достоверную модель простых чисел?

Модель «Решето Эратосфена» не позволяет найти все простые числа, из-за трудоёмкости процесса;

Модель «Формулы 6n – 1, 6n + 1, где n натуральное число» при n= 4 в формуле 6n + 1 получаем составное число;

Модель «Число Мерсенна 2р – 1, где p – простое число» при p=11 получаем составное число. Моделирование процесса нахождения простых чисел позволяет сделать вывод: гипотеза, что все простые числа нужно отыскивать одно за другим, подтвердилась.

Простые числа в будущем: простые числа несут в себе много тайн и их интересно узнать; продолжить изучение способов нахождения простых чисел и изучение методов решения олимпиадных задач с простыми числами.

Список литературы

Н. Макарова, «Простые числа».

Гальперин Г. А. Просто о простых числах.- Квант, № 4, 9 – 38 (1987)

http://ru.wikipedia.org

www.problems.ru

Приложение 1

Решето Эратосфена

Приложение 2

Таблица простых чисел

Просмотров работы: 1778

Источник

Красивые аномалии встречаются в каждом предмете, но если есть одна область красоты, с которой согласится большинство математиков, то это простое число.

Эти числа занимают уникальный пьедестал в математике, особенно в области теории чисел. Великие умы потратили бесчисленные часы для расследования этой проблемы, в том числе такие великие умы, как Пол Эрдос, Г.Х. Харди и Сриниваса Рамануджан, и это лишь некоторые из них. Теперь, прежде чем мы углубимся в различные алгоритмы, чтобы найти простые числа, давайте сначала установим предварительное понимание простых чисел.

Что такое простые числа?

Самое техническое определение простых чисел состоит в том, что это натуральное число больше 1 и может быть получено только путем умножения 1 и самого себя. Если бы понимание натуральных чисел было более интуитивным, то можно было бы сказать, что это числа, которые мы используем для подсчета.

Чтобы понять это более точно, давайте выберем два числа – 5 и 6. Теперь 5 – это число, которое можно получить только умножением на 1 и 5 (само число). Однако, когда мы берем число 6, то замечаем, что его можно получить другим способом, кроме умножения 1 и 6 (само число). Его также можно получить умножением чисел 2 и 3, что означает, что это не простое число. Число, которое не является простым, известно как составное число.

Метод Марена Мерсенна

Метод простого числа Мерсенна – это специальный метод нахождения определенного вида простого числа, известный как простые числа Мерсенна. Название для этого метода происходит от французского монаха Марин Мерсенн, который первым определил его. Простые числа Мерсенна – это те, которые сводимы к виду 2n-1, где n-простое число. Первые несколько чисел в этом методе являются 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, и 89. Долгое время метод простых чисел Мерсенна представлял собой тяжёлую работу, так как при переходе к более высоким простым числам он был очень трудоемким.

Марен Мерсенн Французский математик

Однако, с появлением компьютеров, они теперь могли выполнять эти вычислительные вычисления, которые раньше делались людьми самым кропотливым и трудоемким образом. Мы определенно достигли более высоких простых чисел Мерсенна и простых чисел на общем уровне. Поиск простых чисел так же активен, как и другие численные поиски, выполняемые компьютерами. Другой числовой поиск, аналогичный движению простых чисел, заключается в добавлении десятичных разрядов к некоторым иррациональным числам, таким как пи (отношение длины окружности к диаметру). Однако непрерывный поиск следующего по величине простого числа существенно сложнее, чем поиск следующей цифры числа Пи.

Даже самые большие компьютеры (суперкомпьютеры) тратят значительное количество времени, чтобы проверить, является ли новое число (которое обычно ошеломляюще огромным) само по себе простым числом, и требуется еще больше времени, чтобы проверить, является ли число основным числом Мерсенна. По этой причине числа Мерсенна представляют большой интерес в области кибербезопасности и криптографии, особенно в отношении шифрования.

В августе 2008 года системный администратор UCLA Эдсон Смит нашел наиболее значимое простое число, известное на тот момент. Смит установил программное обеспечение для Great Internet Mersenne Prime Search (Gimps), проекта распределенных вычислений на добровольной основе. Это число было простым числом Мерсенна длиной 12 978 189 цифр. Чтобы дать представление о том, насколько он велик, на его написание уйдет почти два с половиной месяца, а в случае печати он растянется на 50 км!

Метод простых чисел Ферма

Число Ферма, как и число Мерсенна, представляет собой особый вид простого числа. Название происходит от математика 17-го века и юриста Пьера де Ферма. Число Ферма похоже на число Мерсенна… с одной маленькой поправкой. Давайте возьмем число Ферма Fm, где мы можем определить Fm как 2m +1. Здесь m снова равно 2, возведенному в степень n или 2n.

Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 17 августа 1601 — 12 января 1665) — французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел.

Фермат был твердо убежден в том, что все числа вышеуказанной формы – это простые числа. В дальнейшем он сказал, что он будет производить простые числа для всех целочисленных значений m. Что делает эти числа уникальными и красивыми, но очень хитрыми, так это то, что простые числа становятся чрезвычайно большими очень быстро, даже в пределах первых четырех итераций. Чтобы доказать это, возьмем n в качестве следующих значений, n=0, 1, 2, 3 и 4.

Когда n = 0, m = 20 = 1; поэтому F0 = 2 1 + 1 = 2 + 1 = 3, что является простым. Когда n = 1, m = 21 = 2; поэтому F1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5, что является простым. Когда n = 2, m = 22 = 4; следовательно, F2 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17, что является простым. Когда n = 3, m = 23 = 8; следовательно, F3 = 28 + 1 = 256 + 1 = 257, что является простым. Когда n = 4, m = 24 = 16; следовательно, F4 = 216 + 1 = 65536 + 1 = 65537, что является простым числом. Теперь, как вы можете заметить, к тому времени, когда мы достигнем F5, значение достигает 4 294 967 297.

На сегодняшний день мы достигли только F11, даже со всеми лучшими компьютерами и параллельными вычислениями и большой точностью. В конце концов, однако, мы можем сказать, что поиск простых чисел всегда будет идти до бесконечности и дальше!

Источник

Простые числа — это чудеса деления

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком математическом понятии, как ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.

В школе это проходят в 5 или 6 классе, в зависимости от программы обучения.

И интересно, что если спросить школьников, что такое простые числа, то они, скорее всего, ответят правильно.

Простые числа

А вот взрослые задумаются и не факт, что вспомнят точное определение. Так что это статья скорее для них.

Простые числа — это…

Итак, вот как выглядит официальное определение:

Простые числа – это такие числа, которые имеют только два делителя. Один из них – единица, а другое – само число.

Чтобы было более понятно, приведем простой пример. Для чисел 5 и 7 надо найти все возможные делители, чтобы в результате образовалось целое число.

Если вы попробуете решить эту задачку, то получите, что 5 и 7 делятся только на 1 и 5, и 1 и 7 соответственно. Во всех других случаях вы получите дробное число. И это как раз означает, что числа 5 и 7 относятся к простым.

А вот попробуем по той же схеме разобрать числа 6 и 9. В первом случае мы получим, что 6 можно поделить на 1, 2, 3 и 6, а число 9 – на 1, 3 и 9. И это уже противоречит определению простых чисел, значит, 6 и 9 таковыми не являются.

Они называются в математике – СОСТАВНЫМИ ЧИСЛАМИ.

Список и таблица простых чисел

Некоторые ошибочно полагают, что наименьшее простое число – это единица.

С одной стороны, в этом есть логика, так как 1 делится только на 1. Но это получается одно и то же число (единица), что противоречит определению простых чисел, в котором четко прописано – «делителей должно быть два».

Значит, минимальное простое число – это 2. А первоначальный ряд выглядит следующим образом:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…

При желании можете проверить эти числа на предмет деления. Мы же скажем, что этот ряд на самом деле не окончательный.

Количество простых чисел не ограничено. Или говоря математическим языком, оно стремится к бесконечности.

Таблица

История простых чисел

Первые упоминания о простых числах относятся к Древнему Египту. В Британском музее хранится папирус, который датируется 2000 годом до нашей эры. И на нем, согласно расшифровке, содержится учебное пособие по арифметике.

В том числе и про деление чисел. Называется этот артефакт – папирус Райнда, по имени его первого владельца.

Папирус

В этом документе есть таблица, в которой указаны числа, делящиеся на различные знаменатели. Причем они разделены таким образом, что становится понятно – древние египтяне может и не пользовались понятиям «простое число», но хотя бы имели о нем представление.

Ну а первые исследования простых чисел датируются 300 годом до нашей эры. И связаны они с именем знаменитого древнегреческого математика Евклида.

Как и многое другое, он описал простые и составные числа в своем известном произведении «Начала».

В частности, Евклид описал такие вещи, как:

  1. Основная теорема арифметики;
  2. Бесконечность прямых чисел;
  3. Лемма Евклида.

Сейчас расскажем об этих понятиях подробнее.

Евклид

Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики, которую придумал еще Евклид, гласит:

Любое натуральное число (это что?), которое больше единицы, может быть представлено в виде произведения простых чисел. Причем их количество не ограничено, а порядок следования неважен.

Если обозначить исходное число буквой N, а простые числа буквами Р1, Р2, Р3 и так далее, то можно записать эту теорему следующим образом:

N = Р1 * Р2 * Р3 * … * РК

Например, возьмем число 100. Его можно разложить на следующие простые числа:

100 = 5 * 5 * 2 * 2

Или более сложный пример – число 23244:

23244 = 149 * 13 * 3 * 2 * 2

Раскладывать на простые числа легко. Можно сперва делить на 2 и 3, а уже в конце автоматически получить более сложные делители.

Цифры

Ради интереса придумайте любое число и сами найдите его составляющие.

Лемма Евклида

Еще одна теорема, которая имеет прямое отношение к простым числам. Она гласит;

Если некое простое число Р делит произведение чисел X и Y без остатка, то оно может точно так же поделить или X, или Y.

Звучит несколько сложновато, хотя на деле все это просто. Так, возьмем для примера P = 2, X = 6, Y = 9. И тогда получается, что

X * Y = 6 * 9 = 54

В нашем примере P делит это произведение без остатка:

(X * Y) / P = 54/2 = 27

А значит наша P может поделить без остатка или X, или Y. Очевидно, что это X:

X/P = 6/2 = 3

Y/P = 9/2 = 4,5 (не подходит)

Как быстро и легко определить простые числа

И еще одно понятие, которое связано с простыми числами. Оно названо в честь другого древнегреческого математика Эратосфена Киренского.

Этот человек придумал, как быстро и легко определить простые числа. В частности, он сделал таблицу, в которой были указаны значения до 1000.

Эратосфен

Свою таблицу он нарисовал на глиняной дощечке. А после прокалывал те клеточки, на которых были написаны составные числа. В результате получилось нечто вроде решета, отсюда собственно и название метода.

Кстати, пользоваться решетом Эратосфена весьма просто. Например, сделаем таблицу до 50.

Решето

После этого из нее надо поочередно вычеркивать числа, которые кратны 2, 3, 5, 7 и 11. В результате получится вот это:

Вычеркиваем

Те числа, которые остались, и есть простые. Можете сравнить этот ряд с тем, который мы давали в начале статьи. Точно таким же способом можно составить абсолютно любой ряд простых чисел = хоть до тысячи, хоть до миллиона и больше.

Вот и все, что мы хотели рассказать о ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ в математике.

Источник

Добавить комментарий