Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Как найти площадь треугольника
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
[spoiler title=”источники:”]
http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika
http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika
[/spoiler]
Как найти площадь равностороннего треугольника
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как найти площадь равностороннего треугольника
Чтобы найти площадь равностороннего (правильного, равноугольного) треугольника воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить площадь равностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- длину равных сторон (a)
- высоту (h)
- радиус описанной окружности (R)
- радиус вписанной окружности (r)
- периметр треугольника (P)
Введите их в соответствующие поля и узнаете площадь равностороннего треугольника (S).
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная длину равных сторон
Чему равна площадь равностороннего треугольника если длина стороны
a =
?
Ответ:
S =
0
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известна длина сторон (a)?
Формула
S =√3/4 ⋅ a²
Пример
Если сторона a = 2 см, то:
S = √3/4 ⋅ 2² = 1.732/4 ⋅ 4 ≈ 1.732 см2
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная его высоту
Чему равна площадь равностороннего треугольника если его
высота h =
?
Ответ:
S =
0
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известна его высота (h)?
Формула
S =h² / √3
Пример
Если высота h = 3 см, то:
S = 3²/√3= 9/1.732 ≈ 5.19 см2
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная радиус описанной окружности
Чему равна площадь равностороннего треугольника если радиус описанной окружности
R =
?
Ответ:
S =
0
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен радиус описанной окружности (R)?
Формула
S =3⋅√3/4 ⋅ R²
Пример
Если радиус описанной окружности R = 4 см, то:
S = 3 ⋅ √3/4 ⋅ 4² = 3 ⋅ 1.732/4 ⋅ 16 = 1.299 ⋅ 16 ≈ 20.784 см2
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная радиус вписанной окружности
Чему равна площадь равностороннего треугольника если радиус вписанной окружности
r =
?
Ответ:
S =
0
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен радиус вписанной окружности (r)?
Формула
S =3⋅√3 ⋅ r²
Пример
Если радиус вписанной окружности r = 1 см, то:
S = 3⋅√3 ⋅ 1² = 3 ⋅ 1.732 ⋅ 1 ≈ 5.196 см2
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная его периметр
Чему равна площадь равностороннего треугольника если его периметр
P =
?
Ответ:
S =
0
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен его периметр (P)?
Формула
S =√3/36 ⋅ P²
Пример
Если периметр P = 8 см, то:
S = √3/36 ⋅ 8² = 1.732/36 ⋅ 64 ≈ 3 см2
См. также
Ирина Алексеевна Антоненко
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Понятие площади
Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.
Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.
Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.
Рассмотрим пример.
Пример 1
Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице
Решение.
Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника, у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется
$5cdot 6=30$
Тогда площадь треугольника равняется
$30:2=15$
Ответ: $15$.
Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽
Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online
Бесплатное пробное занятие
*количество мест ограничено
Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.
Как найти площадь треугольника через высоту и основание
Теорема 1
Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.
Математически это выглядит следующим образом
$S=frac{1}{2}αh$
где $a$ – длина стороны, $h$ – высота, проведенная к ней.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.
Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $hcdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $hcdot HC$. Тогда
$S_ABH=frac{1}{2}hcdot AH$, $S_CBH=frac{1}{2}hcdot HC$
Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется
$S=S_ABH+S_CBH=frac{1}{2}hcdot AH+frac{1}{2}hcdot HC=frac{1}{2}hcdot (AH+HC)=frac{1}{2}αh$
Теорема доказана.
«Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника» 👇
Пример 2
Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице
Решение.
Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим
$S=frac{1}{2}cdot 9cdot 9=40,5$
Ответ: $40,5$.
Формула Герона
Теорема 2
Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом
$S=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.
Доказательство.
Рассмотрим следующий рисунок:
По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим
$h^2=γ^2-x^2$
Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Из этих двух соотношений получаем равенство
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
То есть
$x=frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$
Получим
$h^2=γ^2-(frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$
$h^2=frac{(α^2-(γ-β)^2 )((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$
$h^2=frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$
Так как $ρ=frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит
$h^2=frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$
$h^2=frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$
$h=sqrt{frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$
$h=frac{2}{β}sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
По теореме 1, получим
$S=frac{1}{2} βh=frac{β}{2}cdot frac{2}{β} sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
Теорема доказана.
Площадь равностороннего треугольника
Теорема 3
Площадь равностороннего треугольника определяется как произведение квадрата стороны с числом $frac{sqrt{3}}{4}$.
Математически это выглядит следующим образом
$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$
где $α$ – сторона треугольника.
Доказательство.
Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого сторона равняется $α$. Проведем высоту $h$ (рис. 5).
Высота равностороннего треугольника является также и медианой, значит, по теореме Пифагора
$h^2=α^2-frac{α^2}{4}$
$h^2=frac{3}{4} α^2$
$h=frac{αsqrt{3}}{2}$
Значит по теореме 1:
$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$
Теорема доказана.
Пример 3
Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равняется $2$.
Решение.
Используя теорему 3, получим
$S=frac{4sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$
Ответ: $sqrt{3}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
