Средний уровень динамического ряда как найти

Показатели ряда динамики

Примеры решения задач

---

Задача 1

По АО
«Керамик» имеются данные о производстве кирпича за год. Рассчитайте все
недостающие в таблице уровни ряда и цепные показатели анализа динамики.
Рассчитайте средний уровень ряда, средние абсолютный прирост и темп роста.

Месяцы	Произведено кирпича, тыс.р.	Цепные показатели
абсолютный	темп роста, %	темп прироста, %	абсолютное значение 1% прироста
Январь	450
Февраль				100
Март			80
Апрель		-30
Май			250
Июнь				-30
Июль
Август		300			5,0
Сентябрь			150
Октябрь				80
Ноябрь		-60
Декабрь			300

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Формулы цепных показателей динамики

Абсолютный цепной прирост можно
найти по формуле:

 -уровень ряда;

 -предыдущий
уровень ряда

Цепной темп роста:

Темп прироста:

Абсолютное
содержание 1% прироста:

Расчет недостающих уровней ряда динамики

Исходя из формул, заполним
недостающие показатели:

Февраль: 

Март:

Апрель:

Май:

Июнь:

Июль:

Август: 

Сентябрь:

Октябрь:

Ноябрь:

Декабрь:

Вычисление цепных показателей динамики

Абсолютные приросты цепные:	Темпы роста цепные:
Темпы прироста цепные:	Абсолютное содержание 1% прироста:

Показатели динамики производства кирпича

Месяцы	Произведено кирпича, тыс.р.	Цепные показатели
абсолютный	темп роста, %	темп прироста, %	абсолютное значение 1% прироста
Январь	450	—-	100	—-	—–
Февраль	900	450	200	100	4.5
Март	720	-180	80.0	-20.0	9,0
Апрель	690	-30	95.8	-4.2	7.2
Май	1725	1035	250.0	150.0	6.9
Июнь	1208	-517	70.0	-30.0	17.25
Июль	500	-708	41.4	-58.6	12.08
Август	800	300	160.0	60.0	5,0
Сентябрь	1200	400	150.0	50.0	8,0
Октябрь	2160	960	180.0	80.0	12,0
Ноябрь	2100	-60	97.2	-2.8	21.6
Декабрь	6300	4200	300	200	21,0

Расчет средних уровней ряда динамики

Средний
уровень исследуемого динамического ряда найдем по формуле средней
арифметической:

Среднегодовой
абсолютный прирост:

Среднегодовой
темп роста:

Среднегодовой
темп прироста:

Вывод к задаче

Среднемесячный
показатель производства составил 1562,8 тыс.р. В среднем за месяц показатель
увеличивался на 531,8 тыс.р. или на 27,1% в относительном выражении.

---

Задача 2

Для
изучения динамики товаропотока рассчитайте:

• Абсолютные и относительные показатели динамики по годам периода (абсолютные
  приросты – базисные и цепные; темпы роста – базисные и цепные).
• Динамические средние за период в целом – среднегодовой уровень ряда,
  среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовой темп роста. Объясните их смысл.
• Выполните прогнозы уровня ряда на следующий год, используя среднегодовой
  абсолютный прирост и среднегодовой темп роста. Сделайте выводы о развитии
  изучаемого процесса.
• Постройте график динамики изучаемого процесса.

Динамика
экспорта РФ в Португалию, млрд. долл. США

Годы	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Экспорт	0.62	1.14	1.38	1.25	0.21	0.13	0.20

Решение

1)

Абсолютные приросты цепные:	Абсолютные приросты базисные:
Темпы роста цепные:	Темпы роста базисные:
Темпы прироста цепные:	Темпы прироста базисные:

Показатели динамики экспорта 2004-2010 гг.

Годы	Экспорт, млрд.долл	Абсолютные приросты, млрд.долл	Темпы роста, %	Темпы прироста, %
цепные	базисные	цепные	базисные	цепные	базисные
2004	0.62	—–	—–	100.0	100.0	—–	—–
2005	1.14	0.52	0.52	183.9	183.9	83.9	83.9
2006	1.38	0.24	0.76	121.1	222.6	21.1	122.6
2007	1.25	-0.13	0.63	90.6	201.6	-9.4	101.6
2008	0.21	-1.04	-0.41	16.8	33.9	-83.2	-66.1
2009	0.13	-0.08	-0.49	61.9	21.0	-38.1	-79.0
2010	0.20	0.07	-0.42	153.8	32.3	53.8	-67.7

 

2)
Средний уровень исследуемого динамического ряда найдем по формуле средней
арифметической:

Среднегодовой
абсолютный прирост:

Среднегодовой
темп роста:

Среднегодовой
темп прироста:

Таким
образом в среднем за исследуемый период экспорт
составлял 0,704 млрд. долл. в год. В среднем показатель уменьшался на 0,07 млрд.долл. в год или на 17,2% в
относительном выражении.

3)
Прогноз на 2011 год с помощью среднего абсолютного прироста:

Прогноз
на 2011 год с помощью среднегодового темпа роста:

На
2011 год показатель, прогнозируемый с помощью среднего
абсолютного прироста составил 0,13 млрд. долл., а с помощью
среднегодового темпа роста – 0,166 млрд. долл.

4)

График динамики экспорта 2004-2010 гг.

Для
получения обобщающей характеристики
динамики социально-экономических
явлений используют следующие средние
величины: средний уровень, средний
абсолютный прирост, средний темп или
коэффициент роста и прироста (снижения).

Средний уровень
ряда динамикихарактеризует типичную
величину абсолютных уровней. Исчисляется
средний уровень ряда по-разному для
моментных и интервальных рядов динамики.

Для
интервального ряда динамики абсолютных
показателей средний уровень за период
определяется по формуле средней
арифметической простой

,

где y
– уровни ряда;

n– число
уровней ряда.

Так,
среднегодовая продажа мяса и мясопродуктов
за 1–6-й периоды по данным
табл. 27 будет равна:

тыс.
т.

Для
моментного динамического ряда средний
уровень определяется иначе.

Когда
промежутки времени между датами
одинаковы, средний уровень
рассчитывается по формуле средней
хронологической

,

где
у₁,
у₂,
…, у_n
– уровни ряда в последовательные моменты
времени;

n– число дат
(уровней).

Когда
промежутки времени между датами не
равны, средний уровень ряда вычисляется
по средней арифметической взвешенной.

В
качестве весов принимается продолжительность
промежутков времени
между моментами, в которые происходит
изменение уровней:

,

где t
–
количество дней (месяцев) между смежными
датами.

Средний
абсолютный прирост (снижение)
рассчитывается по средней
арифметической простой из цепных
абсолютных приростов за последовательные
и равные по продолжительности периоды:

,

где n
– число цепных абсолютных приростов
(снижений) уровней.

При
преобразовании предыдущей формулы
можно выйти на следующую:

,

где
у_n
и у₀
– соответственно конечный и базисный
уровни динамического ряда;

n– число
уровней ряда.

Так,
средний абсолютный прирост (снижение)
продажи мяса и мясопродуктов по данным
табл. 27 равен:

тыс. т;

тыс. т.

Средний коэффициент
роста вычисляется по формуле средней
геометрической

,

где
– цепные коэффициенты роста;

n– число
коэффициентов под корнем.

Если
преобразовать подкоренное выражение,
используя взаимосвязь между цепными и
базисными коэффициентами роста, то
формула примет следующий вид:

,

где
у_п
и у₀
– соответственно конечный и базисный
уровни динамического ряда;

п– число
уровней динамического ряда, не считая
базисного.

Средний
темп роста
представляет собой средний коэффициент
роста, выраженный в процентах:

.

Средний
темп прироста
вычисляется
по следующей формуле:

.

Вычислим средний
темп роста и прироста (снижения) мяса и
мясопродуктов по данным табл. 27:

;

%;

.

7.5. Методы выявления общей тенденции развития

Одной из задач,
решаемых с помощью рядов динамики,
является выявление закономерностей
изменения явления, определение общей
тенденции его развития (тренда). Это
может быть тенденция к росту, стабильности
или снижению. Общая тенденция не всегда
четко прослеживается в исходном
динамическом ряду с первичными данными,
особенно в тех случаях, когда уровни
ряда сильно колеблются, то повышаясь,
то понижаясь. Поэтому ряд динамики
обрабатывают таким образом, чтобы
сгладить колеблемость его уровней.

Выявление
основной тенденции развития (тренда)
называется в статистике также выравниванием
временного ряда, а
методы выявления основной тенденции –
методами выравнивания.

Методы, применяемые
для выявления основной тенденции
развития, можно разделить на две группы:

 методы
«механического сглаживания»;

 методы
«аналитического выравнивания».

К первой группе
относят простые приемы укрупнения
временных интервалов и расчета скользящей
средней.

Ко второй – более
сложные методы, основанные на геометрическом
представлении динамических данных и
использовании надежных теоретических
моделей тренда.

Самым
простым приемом является укрупнение
интервалов времени,
к которым относятся уровни динамического
ряда (суточные в декадные или месячные;
месячные – в квартальные или годовые;
квартальные – в годовые и т. д.), и
исчисление по ним средних уровней. Новый
динамический ряд, состоящий из средних
уровней, даст возможность проследить
общую тенденцию развития.

Другим
приемом выявления общей тенденции
развития является сглаживание
с помощью скользящей средней.
Для определения скользящей средней
формируются интервалы, состоящие из
одинакового числа уровней. Каждый
последующий интервал получают, постепенно
сдвигаясь от начального уровня
динамического ряда на один уровень.
Тогда первый интервал будет включать
уровни у₁,
у₂,
…, у_m;
второй – уровни у₂,
у₃,
…, у_m+1
и т. д. Таким образом, интервал сглаживания
как бы скользит по динамическому ряду
с шагом, равным единице.

Таблица 28

Периоды (годы)	Исходные уровни ряда (товарооборот в сопоставимых ценах млн р., уi)	Сумма значений уровней, на основе которых рассчитывают скользящие средние	Скользящие средние уровни	Сглаженный сред- ний уровень (с центрированием, )
	I квартал	175
1	II квартал	263	1061 1133 1168 1208 1252 1425 1568 1655 1713 1719 1727 1756 1817	265,25 283,25 292,0 302,0 313,0 356,25 392,0 413,75 428,25 429,75 431,75 439,0 454,25
III квартал	326	274,25
	IV квартал	297	287,6
	I квартал	247	297,0
2	II квартал	298	307,5
III квартал	366	334,6
	IV квартал	341	374,1
	I квартал	420	402,9
3	II квартал	441	421,0
III квартал	453	429,0
	IV квартал	399	430,75
	I квартал	426	435,37
4	II квартал	449	446,62
III квартал	482
	IV квартал	460

По
сформированным укрупненным интервалам
определяют сумму значений
уровней, на основе которых рассчитывают
скользящие средние.
Полученные средние относятся к серединам
соответствующих укрупненных
интервалов. Поэтому при сглаживании
скользящей сред-
ней
технически удобнее интервалы составлять
из нечетного числа уровней ряда. Если
скользящую среднюю находят по четному
числу уровней, то необходимо производить
центрирование средних, так как середина
интервала скольжения приходится между
двумя уровнями, находящимися в центре
интервала. Центрирование означает
расчет средней из двух соседних скользящих
средних.

Сглаживание ряда
динамики товарооборота по четырехчленной
скользящей средней рассмотрим на примере
(табл. 28).

Пример
3.
Для ряда внутригодовой
динамики с сезонными циклами развития
явления по одноименным кварталам года
применяют четырехчленные скользящие
средние.

Сумма значений
уровней, на основе которых рассчитывают
скользящие средние, определяются
следующим образом, в млн р.:

175 + 263 + 326 + 297 = 1061;

263 + 326 + 297 + 247 = 1133 и
т. д.

Скользящие
средние уровни

исчисляются следующим образом, в млн
р.:

;

;

и т. д.

Центрированные
скользящие средние (сглаженные средние
уровни) рассчитываются по формулам, в
млн р.:

;

и т. д.

Сглаженные средние
уровни указывают на довольно отчетливую
тенденцию роста товарооборота.

Более
совершенным способом выявления основной
тенденции развития является аналитическое
выравнивание
(определение тренда). Этот способ состоит
в нахождении такой прямой или кривой,
ординаты точек которой были бы максимально
близкими к фактическим уровням
динамического ряда. Форма выравнивания
должна устанавливаться на основе
теоретического анализа сущности данного
явления и закономерностей его развития.

Если
теоретический анализ подсказывает, что
данное явление развивается с относительно
стабильными абсолютными приростами
(у),
то для выравнивания подходит прямая.

Уравнение
тренда прямой можно представить следующим
образом:

y_t
= a + bt.

Параметры
аналитического уровня находят, используя
способ наименьших квадратов. Суть этого
способа заключается в том, чтобы сумма
квадратов отклонений фактических
уровней (у)
от выравненных (у_t)
была бы минимальной.

Параметры
a
и b,
удовлетворяющие методу наименьших
квадратов, находятся путем решения
следующей системы нормальных уравнений:

где у
– фактические уровни ряда;

n– число
уровней ряда;

t– порядковый
номер периодов или моментов времени.

В
найденном уравнении тренда параметр а
представляет собой среднее
значение уровня динамического ряда, а
параметр b
– ежегодный абсолютный прирост
выравненного уровня, обусловленный
изменением фактора времени.

Подставляя
в это уравнение соответствующие значения
t,
находят выравненные (теоретические)
уровни (у_t).
Правильность расчета выравненных
уровней ряда динамики может быть
проверена следующим
образом: сумма эмпирических (фактических)
уровней ряда должна совпадать с суммой
выравненных уровней динамического
ряда:

Рассмотрим
аналитическое выравнивание валового
сбора зерна по прямой (табл. 29).

Таблица 29

Годы	Валовой сбор зерна, млн т (эмпирические уровни ряда, у)	Условные обозначения времени (t)	t2	yt	Теоретические уровни ряда динамики уt
1990	99,7	–5	25	–498,5	93,7
1991	98,8	–4	16	–395,2	93,9
1992	86,0	–3	9	–258,0	94,0
Окончание табл. 29
Годы	Валовой сбор зерна, млн т (эмпирические уровни ряда, у)	Условные обозначения времени (t)	t2	yt	Теоретические уровни ряда динамики уt
1993	109,8	–2	4	–219,6	94,2
1994	83,9	–1	1	–83,9	94,3
1995	66,2	1	1	66,2	94,6
1996	96,9	2	4	193,8	94,8
1997	92,2	3	9	276,6	94,9
1998	120,8	4	16	483,2	95,0
1999	90,3	5	25	451,5	95,2
Итого	944,6	0	110	16,1	944,6

Пример 4. Для
выявления общей тенденции развития
данного ряда динамики произведем
аналитическое выравнивание по уравнению
прямой:

y_t
= a + bt.

Способ
наименьших квадратов дает систему двух
нормальных уравнений для нахождения
параметров а
и b:

Упрощаем
технику расчета параметров. Для этой
цели показателям времени придаем такие
значения, чтобы их сумма была равна
нулю, т. е.

При
условии, что
исходные нормальные уравнения принимают
следующий вид:

;

откуда

Расчет
значений

и
произведен в табл. 29 (итоговая строка).

По итоговым данным
табл. 29 определяем параметры уравнения
следующим образом:

В результате
получаем следующее уравнение:

у_t
= 94,46 + 0,146t.

В нашем примере
среднегодовой сбор зерна за 10 лет
составил 94,66 млн т, его ежегодный
абсолютный прирост – 0,146 млн т.

Подставляя
в уравнение у_t
= 94,46 + 0,146t
принятые обозначения t,
вычислим выравненные (теоретические)
уровни ряда динамики следующим образом:

1990 г
у_t
= 94,46 + 0,146 (–5) = 93,7;

1991 г
у_t
= 94,46 + 0,146 (–4) = 93,9 и т.
д.

Для
проверки расчета значений у_t
используется
формула
.
В нашем примере.
Следовательно, значенияу_t
определены верно.

Аналитические и
средние показатели, характеризующие
ряды динамики, параметры уравнений
тренда широко используются для
интерполяции и экстраполяции динамических
рядов.

Интерполяцией
называется нахождение недостающих
промежуточных уравнений ряда динамики.

Экстраполяциейназывается определение неизвестных
уравнений динамического ряда, лежащих
за его пределами.

Экстраполяция в
рядах динамики носит приближенный
характер и является только вспомогательным
инструментом при прогнозировании
социально-экономических явлений.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

9.2. Показатели ряда динамики

При анализе динамического ряда рассчитываются следующие показатели:

• средний уровень динамического ряда;
• абсолютные приросты: цепные и базисные, средний абсолютный прирост;
• темпы роста: цепные и базисные, средний темп роста;
• темпы прироста: цепные и базисные, средний темп прироста;
• абсолютное значение одного процента прироста.

Цепные и базисные показатели вычисляются для характеристики изменения уровней динамического ряда и различаются между собой базами сравнения: цепные рассчитываются по отношению к предыдущему уровню (переменная база сравнения), базисные – к уровню, принятому за базу сравнения (постоянная база сравнения).

Средние показатели представляют собой обобщенные характеристики ряда динамики. С их помощью сравнивают интенсивность развития явления по отношению к различным объектам, например по странам, отраслям, предприятиям и т.д., или периодам времени.

9.2.1. Средний уровень ряда динамики

Конкретное числовое значение статистического показателя, относящееся к моменту или периоду времени, называется уровнем ряда динамики и обозначается через y_i (где i – показатель времени).

Методика расчета среднего уровня зависит от вида динамического ряда, а именно: является ли он моментным или интервальным, с равными или неравными временными промежутками между соседними датами.

Если дан интервальный ряд динамики абсолютных или средних величин с равными периодами времени, то для расчета среднего уровня применяется формула средней арифметической простой:

где y₁, y₂, y_i, …, y_n – уровни динамического ряда;

п – число уровней ряда.

Пример 9.2. По данным таблицы определим среднемесячный размер страхового возмещения, выплаченного страховой компанией, в расчете на один пострадавший объект за полугодие:

Если временные промежутки интервального динамического ряда неравны, то значение среднего уровня находят по формуле средней арифметической взвешенной, в которой в качестве весов используют длину временных периодов, соответствующих уровням ряда динамики (t_i)

Пример 9.3. По данным, представленным в таблице, определим среднемесячный размер страхового возмещения, выплаченного страховой компанией, в расчете на один пострадавший объект:

В моментных рядах динамики с одинаковыми временными промежутками между датами средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней хронологической простой

где y_n – значения показателя на конец рассматриваемого периода.

Пример 9.4. По приведенным ниже данным о размере денежных средств на счете вкладчика на начало каждого месяца определим средний размер вклада в I квартале 2006 г.:

Средний уровень моментного ряда динамики равен:

Хотя I квартал включает три месяца (январь, февраль, март), в расчете должны быть использованы четыре уровня ряда (включая данные на 1 апреля). Это легко доказать. Действительно, если исчислять средние уровни по месяцам, то получим:

в январе

в феврале

в марте

Рассчитанные средние образуют интервальный ряд динамики с равными временными промежутками, в котором средний уровень исчисляется, как мы видели выше, по формуле средней арифметической простой:

Аналогично, если требуется рассчитать средний уровень моментного ряда динамики с равными интервалами между датами за первое полугодие, то в качестве последнего уровня в формуле средней хронологической простой следует взять данные на 1 июля, а если за год – данные на 1 января следующего года.

В моментных рядах динамики с неравными промежутками между датами для определения среднего уровня применяется формула средней хронологической взвешенной:

где t_i – длина временного периода между двумя соседними датами.

Пример 9.5. По данным о запасах товаров на начало месяца определим средний размер товарных запасов в 2006 г.

Средний уровень ряда равен:

Расстояние между датами

Если имеется полная информация о значениях моментного статистического показателя на каждую дату, то среднее значение этого показателя за весь период исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

где y_i – значения показателя

t_i – длина периода, в течение которого это значение статистического показателя оставалось неизменным.

Если мы дополним пример 9.4 информацией о датах изменения денежных средств на счете вкладчика в I квартале 2006 г., то получим:

• остаток денежных средств на 1 января – 132 000 руб.;
• января выдано – 19 711 руб.;
• 28 января внесено – 35 000 руб.;
• 20 февраля внесено – 2000 руб.;
• 24 февраля внесено – 2581 руб.;
• 3 марта выдано – 3370 руб. (в марте других изменений не происходило).

Итак, с 1 по 4 января (четыре дня) значение показателя оставалось равным 132 000 руб., с 5 по 27 января (23 дня) его значение составило 112 289 руб., с 28 января по 19 февраля (23 дня) – 147 289 руб., с 20 по 23 февраля (четыре дня) – 149 289 руб., с 24 февраля по 2 марта (семь дней) – 151 870 руб., с 3 по 31 марта (29 дней) – 148 500 руб. Для удобства проведения расчетов представим эти данные в таблице:

По формуле средней арифметической взвешенной находим значение среднего уровня ряда

Как видим, среднее значение отличается от полученного в примере 9.4, оно является более точным, так как в вычислениях использовалась более точная информация. В примере 9.4 были известны лишь данные на начало каждого месяца, при этом не оговаривалось, когда же именно происходили изменения показателя, была применена формула хронологической средней.

В заключение отметим, что расчет среднего уровня ряда теряет свой аналитический смысл в случаях большой изменяемости показателя внутри ряда, а также при резкой смене направления развития явления.

9.2.2. Показатели абсолютного изменения уровней динамического ряда

Абсолютные приросты рассчитываются как разность между двумя значениями соседних уровней динамического ряда (цепные приросты) или как разность между значениями текущего уровня и уровня, принятого за базу сравнения (базисные приросты). Показатели абсолютного прироста имеют те же единицы измерения, что и уровни динамического ряда. Они показывают, на сколько единиц изменился показатель при переходе от одного момента или периода времени к другому.

Базисные абсолютные приросты рассчитывают по формуле

где у_i – i-й текущий уровень ряда,

y₁ – первый уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения.

Формула для определения цепных абсолютных приростов имеет вид

где у_i – 1 – уровень, предшествующий i-му уровню динамического ряда.

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц в среднем ежемесячно, или ежеквартально, или ежегодно и т.д. изменялось значение показателя в течение рассматриваемого периода времени. В зависимости от того, какими данными мы располагаем, его можно рассчитать следующими способами:

1. 

   – цепные абсолютные приросты показателя;

2. 

   где y_n – последний уровень ряда

Пример 9.6. По данным таблицы определим показатели абсолютных приростов размера страхового возмещения, выплаченного страховой компанией.

* Сумма всех рассчитанных цепных абсолютных приростов дает базисный абсолютный прирост последнего периода.

Среднемесячный абсолютный прирост за полугодие равен

Таким образом, в среднем ежемесячно размер выплат страхового возмещения увеличивался на 1,2 тыс. руб.

9.2.3. Показатели относительного изменения уровней динамического ряда

Характеристиками относительного изменения уровней ряда динамики являются коэффициенты и темпы роста значений показателя и темпы их прироста.

Коэффициент роста представляет собой соотношение двух уровней динамического ряда, выраженное в виде простого кратного отношения. Он показывает, во сколько раз изменилось значение показателя в одном периоде (моменте) времени по сравнению с другим. Темп роста – это коэффициент роста, выраженный в процентах. Он показывает, сколько процентов составляет значение показателя в данном периоде, если уровень, с которым проводится сравнение, принять за 100%.

Так же, как и абсолютные приросты, коэффициенты и темпы роста могут быть цепными и базисными.

Цепные коэффициент и темп роста измеряют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с предшествующим ему уровнем:

коэффициент роста:

темп роста:

Базисные коэффициент и темп роста характеризуют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с базисным (чаще всего с первым) уровнем:

коэффициент роста

темп роста

Цепные и базисные коэффициенты роста имеют между собой следующую связь:

• произведение всех рассчитанных до текущего периода цепных коэффициентов роста дает базисный коэффициент роста текущего периода:

  

• деление базисного коэффициента роста текущего периода на базисный коэффициент роста предшествующего периода дает цепной коэффициент роста текущего периода:

  

Средние темп роста и коэффициент роста в динамических рядах с равноотстоящими уровнями рассчитываются по формуле средней геометрической простой

– цепные коэффициенты роста;

– цепные темпы роста.

Эти формулы могут быть приведены к следующему виду:

Для того чтобы определить, на сколько процентов текущий уровень показателя больше или меньше значения предшествующего или базисного уровня, рассчитываются темпы прироста. Они исчисляют путем вычитания 100% из соответствующих темпов роста:

• цепные темпы прироста:
  
• базисные темпы прироста:
  

Средний темп прироста рассчитывается аналогичным образом: из среднего темпа роста вычитаются 100%:

Пример 9.7. В таблице приведены рассчитанные коэффициенты роста, темпы роста и прироста показателя, характеризующего среднемесячный размер выплаченного компанией страхового возмещения за период с января по июнь.

По формуле средней геометрической простой определим среднемесячный коэффициент роста показателя за период с февраля по июнь:

или

Средний темп роста, соответственно, равен 101,1%. Следовательно, в среднем ежемесячно размер выплат страхового возмещения увеличивался в 1,011 раза, или на 1,1%.

Если известны средние темпы (или коэффициенты) роста за некоторые неравные отрезки времени, то средний темп роста за весь период исчисляется по формуле средней геометрической взвешенной:

где Т_i – средний темп роста за i-й период времени;

t_i – длина i-го периода.

Пример 9.8. Среднегодовые коэффициенты роста числа страховых компаний в одной из областей России составили за период 1991-1995 гг. – 1,18; 1995-2000 гг. – 1,24; 2000-2004 – 1,56. Определим среднегодовой коэффициент роста числа страховых компаний за весь период с 1991 по 2004 гг.

Решение:

Таким образом, за период с 1991 по 2004 гг. среднегодовой темп роста числа страховых компаний в одной из областей России составил 131,1%, соответственно, среднегодовой темп прироста – 31,1%.

Для более полного анализа динамики расчет цепных показателей роста и прироста уровней динамического ряда часто сопровождаются указаниями абсолютных значений 1% прироста.

Абсолютное значение 1% прироста (А_i) определяется как отношение значения абсолютного прироста показателя к его темпу прироста в i-й момент времени:

В последней графе таблицы примера 9.7 рассчитаны цепные абсолютные значения 1% прироста.

Средние показатели динамики: уровень ряда, абсолютный прирост, темп роста

Средний уровень ряда в статистике

Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней, исчисленной из значений, меняющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики разные.

Средний уровень из абсолютных уровней для интервальных рядов динамики рассчитывается по формуле средней арифметической:

1. При равных интервалах используют среднюю арифметическую простую:

где у — абсолютные уровни ряда;

n — число уровней ряда.

2. При неравных интервалах используют среднюю арифметическую взвешенную:

где у1,…,уn — уровни ряда динамики;

t1,… tn — веса, длительность интервалов времени.

Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по формуле:

1. С равностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической моментного ряда:

где у1,…,уn — уровни периода, за который делается расчет;
n — число уровней;
n-1 — длительность периода времени.

2. С неравностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:

где у1,…,уn — уровни рядов динамики;
t — интервал времени между смежными уровнями

Средний абсолютный прирост в задачах статистики

Средний абсолютный прирост определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам:

1. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывают средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

где n — число степенных абсолютных приростов в исследуемом периоде.

2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в случае равных интервалов

где m — число уровней ряда динамики в исследуемом периоде, включая базисный.

Средний темп роста

Средний темп роста есть свободная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.

В качестве основы и критерия правильности вычисления среднего темпа роста (снижения) применяется обобщающий показатель, который рассчитывается как произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то используют среднюю геометрическую.

Так как средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выражен в процентах, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к вычислению средних коэффициентов роста из цепных по «цепному способу»:

где n — число цепных коэффициентов роста;
Кц — цепные коэффициенты роста;
Кб — базисный коэффициент роста за весь период.

Определение среднего коэффициента роста может быть упрощено, если будут ясны уровни динамического ряда. Так как произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляют базисный коэффициент роста.

Формула для определения среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики по «базисному способу» будет такая:

Средний темп прироста

Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста (Тр) вычитанием из последних 100%:

Для того чтобы определить средний коэффициент прироста (Кпр), нужно из значений коэффициентов роста (Кр) вычесть единицу.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.