Статистика как найти середину интервалов

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Расчет средней величины в интервальном вариационном ряду

Расчет средней величины в интервальных вариационных рядах немного отличается от расчета в рядах дискретных. Как рассчитать среднюю арифметическую и среднюю гармоническую в дискретных рядах можно посмотреть вот ЗДЕСЬ. Такое различие вполне объяснимо – это связано с особенностью интервальных рядов, в которых изучаемый признак приведен в интервале от и до.

Итак, посмотрим особенности расчета на примере.

Пример 1. Имеются данные о дневном заработке рабочих предприятия.

Нам необходимо рассчитать среднедневную заработную плату рабочего.

Начало решения задачи будет аналогичным правилам расчета средней величины, которые можно посмотреть в этой статье.

Начинаем мы с определения варианты и частоты, поскольку ищем мы средний заработок за день, то варианта это первая колонка, а частота вторая. Данные у нас заданы явным количеством, поэтому расчет проведем по формуле средней арифметической взвешенной (так как данные приведены в табличном виде). Но на этом сходства заканчиваются и появляются новые действия.

Дело в том, что интервальный рад представляет осредняемую величину в виде интервала. 500-1000, 2000-2500 и так далее. Чтобы решить эту проблему необходимо провести промежуточные действия, и только потом подсчитать среднюю величину по основной формуле.

Что же требуется в данном случае сделать. Все достаточно просто, чтобы провести расчет нам нужно, чтобы варианта была представлена одним числом, а не интервалом. Для получения такого значения находят так называемое ЦЕНТРАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕРВАЛА (или середину интервала). Определяется оно путем сложение верхней и нижней границ интервала и делением на два.

Проведем необходимые расчеты и подставим данные в таблицу.

И так далее по всем интервалам рассчитываем центральное значение. В итоге получаем следующие результаты.

После того как мы рассчитали центральные значения далее проведем расчеты в таблицы и подставим итоговые данные в формулу, аналогично тому как мы уже рассматривали ранее.

В итоге получаем, что среднедневная заработная плата одного рабочего составляет 1869 рублей.

Это пример решения, если интервальный ряд представлен со всеми закрытыми интервалами. Но достаточно часто бывает, когда два интервала открытые, первый и последний. В таких ситуациях прямой расчет центрального значения невозможен, но есть два варианта как это сделать.

Пример 2. Имеются данные о продолжительности производственного стажа персонала предприятия. Рассчитать среднюю продолжительность стада одного сотрудника.

В данном случае принцип решения останется точно таким же. Единственно, что поменялось в этой задаче, так это первый и последний интервалы. До 3 лет и 12 лет и более это и есть те самые открытые интервалы. Именно тут возникнет вопрос, а как же найти центральное значение интервала для таких интервалов.

Поступить в этой ситуации можно двумя способами:

Средняя продолжительность стажа 5,83 года.

Средняя продолжительность стажа 6,13 года.

Домашнее задание

Теперь Вы умеете рассчитывать среднюю в интервальном вариационном ряду!

Источник

Решение задач по статистике и выводы к ним

Задача по статистике №1. Найти параметры интервального ряда распределения по данным таблицы, а именно: моду, медиану, среднюю арифметическую величину, среднюю взвешенную величину, коэффициент вариации, среднее квадратическое отклонение.

Группы компаний по основным производственным фондам, млн. руб. (х)

Середина интервала (Xi) = (начало интервала+конец интервала)/2

Мы сразу добавили столбец «середина интервала». Для первой группы компаний рассчитали следующим образом: (10+25)/2=17,5 млн. руб. Для 2-5 групп расчеты произведены аналогично.

Теперь рассчитаем среднюю арифметическую величину.

средняя арифметическая = = (17,5+29+37,5+45,5+55,5)/5=37 млн. руб.

Далее рассчитаем среднюю взвешенную величину.

средняя взвешенная = = (17,5*2+29*8+37,5*14+45,5*9+55,5*3)/36=38 млн. руб.

Значение средневзвешенной величины можно считать более корректным, чем значение средней арифметической величины, поэтому далее в расчетах будем использовать среднюю взвешенную.

Теперь добавим в таблицу столбцы, данные которых нам понадобятся для расчета дисперсии.

Середина интервала (Xi) = (начало интервала+конец интервала)/2

Источник

Примеры решений задач по статистике

Решение задач по статистике и выводы к ним

Задача по статистике №1. Найти параметры интервального ряда распределения по данным таблицы, а именно: моду, медиану, среднюю арифметическую величину, среднюю взвешенную величину, коэффициент вариации, среднее квадратическое отклонение.

Мы сразу добавили столбец «середина интервала». Для первой группы компаний рассчитали следующим образом: (10+25)/2=17,5 млн. руб. Для 2-5 групп расчеты произведены аналогично.

Теперь рассчитаем среднюю арифметическую величину.

средняя арифметическая = = (17,5+29+37,5+45,5+55,5)/5=37 млн. руб.

Далее рассчитаем среднюю взвешенную величину.

средняя взвешенная = = (17,5*2+29*8+37,5*14+45,5*9+55,5*3)/36=38 млн. руб.

Значение средневзвешенной величины можно считать более корректным, чем значение средней арифметической величины, поэтому далее в расчетах будем использовать среднюю взвешенную.

Теперь добавим в таблицу столбцы, данные которых нам понадобятся для расчета дисперсии.

Рассчитаем дисперсию.

=2917/36=81,03. (дисперсия не имеет размерности)

Среднеквадратическое отклонение рассчитывается как корень квадратный из дисперсии.

=9 (млн. руб.).

Рассчитаем коэффициент вариации по формуле:

=(9/38)*100%=23,68%.

Рассчитаем моду и медиану.

Найдем моду по формуле.

Модальный интервал находим по наибольшей частоте. Наибольшая частота, т.е. частота модального интервала f_Мо=14. Модальный интервал от 33 до 42 млн. руб. Значит величина модального интервала i = 42-33=9.

Нижняя граница модального интервала равна 33.

Частота предмодального интервала равна 8.

Частота постмодального интервала равна 9.

Мода будет равна = 33 + 9*((14-8)/(14-8+14-9))=37,9 млн. руб.

Найдем медиану по формуле.

Медианный интервал находим по накопленной частоте. Суммируются f частоты, пока не достигается значение, превышающее середину совокупности (36/2=18 млн. руб.).

Таким образом, медианный интервал от 33 до 42 млн. руб. Значит величина медианного интервала i = 42-33=9.

Частота медианного интервала f_Ме=14.

Нижняя граница медианного интервала равна 33.

Накопленная частота предмедианного интервала равна 10.

Медиана будет равна = 33 + 9*((36/2-10)/(14))=38,14 млн. руб.

Расчеты по теме “индексы”

Пример по выборке.

Задача по группировке.

Решение задачи по расчету средней.

Задача по кореляционному анализу

Контрольные и курсовые работы по общей теории статистики и экономической статистике по этим и другим темам представлены в соответствующем разделе сайта.

По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Определите:

1) размах вариации;

2) средний размер вклада;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации вкладов.

Решение:

Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

Среднее значение первого интервала будет равно:

второго – 500 и т. д.

Занесём результаты вычислений в таблицу:

Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

4) Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

2. Находят отклонения вариант от средней:

3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

5. Суммируют полученные произведения:

6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

Расчёты оформим в таблицу:

5) Среднее квадратическое отклонение размера вклада определяется как корень квадратный из дисперсии:

6) Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признаков вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Алгоритм построения интервального вариационного ряда с равными интервалами

1. Определяем
   число интервалов (групп) вариационного
   ряда

Число
групп (интервалов)
приближенно определяется по формуле
Стерджесса:

m
= 1 + 3,322 × lg(n)

где n
– общее число единиц наблюдения (общее
количество элементов в совокупности и
т.д.), lg(n)
– десятичный логарифм от n.

Полученную
по
формуле Стерджесса величину округляют
обычно до целого большего числа,
поскольку количество групп не может
быть дробным числом.

Если
ряд интервальный ряд с таким количеством
групп по каким-то критериям не устраивает,
то можно построить другой интервальный
ряд, округлив m
до
целого меньшего числа и выбрать из двух
рядов более подходящий.

Число
групп не должно быть больше 15.

Также
можно пользоваться следующей таблицей,
если совсем нет возможности вычислить
десятичный логарифм.

1. Определяем
   ширину интервала

Ширина
интервала
для интервального вариационного ряда
с равными интервалами определяется по
формуле:

где
X_макс
– максимальное из значений x_i,
X_мин
–
минимальное из значений x_i;
m
– число групп (интервалов).

Величину
интервала (i)
обычно округляют до целого числа,
исключение составляют лишь случаи,
когда изучаются малейшие колебания
признака (например, при группировке
деталей по величине размера отклонений
от номинала, измеряемого в долях
миллиметра).

Часто
применяется следующее правило:

1. Определяем
   границы интервалов

Нижнюю
границу
первого интервала
принимают равной минимальному значению
признака (чаще всего его предварительно
округляют до целого меньшего числа с
таким же разрядом как ширина интервала).
Например, х_мин=
15, i=130,
х_н
первого интервала = 10.

х_н1
≈ х_мин

Верхняя
граница
первого интервала соответствует значению
(Хmin
+ i).

Нижняя
граница второго интервала всегда равно
верхней границе первого интервала. Для
последующих групп границы определяются
аналогично, т е. последовательно
прибавляется величина интервала.

x_вi
=
x_нi
+ i

x_нi
= x_вi-1

1. Определяем
   частоты интервалов.

Считаем,
сколько значений попало в каждый
интервал. При этом помним, что если
единица обладает значением признака,
равным величине верхней границы
интервала, то ее следует относить к
следующему интервалу.

1. Строим
   интервальный ряд в виде таблицы.

2. Определяем
   середины интервалов.

Для
дальнейшего анализа интервального ряда
понадобится выбрать значение признака
для каждого интервала. Это значение
признака будет общим для всех единиц
наблюдения, попавшим в этот интервал.
Т.е. отдельные элементы «теряют» свои
индивидуальные значения признака и им
присваивается одно общее значение
признака. Таким общим значением является
середина
интервала,
которая обозначается x’_i
.

Рассмотрим
на примере с ростом детей, как построить
интервальный ряд с равными интервалами.

Имеются
первоначальные данные.

 90,
91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99,
 92,
93, 94, 95, 96, 98,
100,
101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109,
 100,
101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109,
100,
101, 102, 104,
 110,
112, 114, 116, 117, 120, 122, 123, 124, 129,
 110,
111, 113, 115, 116, 117, 121, 125, 126, 127,
 110,
111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124,
125, 126, 127, 128, 129,
 111,
113, 116, 127,
123, 122, 130,
131, 132, 133, 134, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145,
146, 147, 148, 149, 150,
131,
133, 135, 136, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 145, 146, 147, 148

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  17.02.2016629.11 Кб140308126_71740_lekcii_upravlencheskie_resheniya.rtf

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #