Стереометрия как найти наклонную к плоскости

Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости,  не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Paralelograms šablons.jpg

(AB) — наклонная;
(B) — основание наклонной.

Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Paralelograms šablons - Copy.jpg

(AC) — перпендикуляр;

(C) — основание перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Paralelograms šablons - Copy - Copy.jpg

(CB) — проекция наклонной (AB) на плоскость

α

.

Треугольник (ABC) прямоугольный.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

Paralelograms šablons - Copy - Copy - Copy.jpg

 (CBA) — угол между наклонной (AB) и плоскостью

α

.

Paralelograms šablons - Copy - Copy - Copy (2).jpg 

Если (AD > AB), то (DC > BC).

Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

 (DAB) — угол между наклонными;

 (DCB) — угол между проекциями.
Отрезок (DB) — расстояние между основаниями наклонных.

Источники:

Рис. 1-5. Наклонная, перпендикуляр к плоскости, © ЯКласс.

Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.5. Наклонные и их проекции на плоскость. Угол наклонной с плоскостью

Определение 1

Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости.

Определение 2

Точка пересечения перпендикуляра (наклонной) с плоскостью называется основанием перпендикуляра (наклонной).

Определение 3

Отрезок, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра, проведенных к плоскости из одной и той же точки вне ее, называется проекцией наклонной на эту плоскость.

Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и наклонные, то:
1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
2) из двух наклонных та больше, проекция которой больше;
3) (обратная) равные наклонные имеют равные проекции;
4) (обратная) большей наклонной соответствует большая проекция.

Повернув прямоугольные треугольники вокруг общего их катета (перпендикуляра к плоскости) до совмещения их плоскостей, получим все наклонные (гипотенузы) и их проекции (другие катеты) в одной плоскости, где эти теоремы верны.

Следствие

Перпендикуляр к плоскости меньше всякой наклонной, проведенной к той же плоскости из той же точки вне ее (катет меньше гипотенузы).

Определение 4

Расстоянием точки от плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Определение 5

Углом между наклонной и плоскостью называется острый угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.

Теорема 5

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость является наименьшим из всех углов, образуемых данной наклонной с прямыми, лежащими в данной плоскости.

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • ПерпендикулярностьПерпендикуляр и наклонная
Задачи по готовым чертежам

    1 слайд

    Перпендикулярность
    Перпендикуляр и наклонная
    Задачи по готовым чертежам

  • Треугольник  АВА1  прямоугольный. Найдем  АВ по теореме Пифагора.Х  = 13АА1...

    2 слайд

    Треугольник АВА1 прямоугольный. Найдем АВ по теореме Пифагора.
    Х = 13
    АА1 перпендикуляр, АВ наклонная. Найти х.

  • Треугольник  АВА1  прямоугольный. Найдем  АВ по теореме Пифагора.АА1  перпенд...

    3 слайд

    Треугольник АВА1 прямоугольный. Найдем АВ по теореме Пифагора.
    АА1 перпендикуляр, АВ наклонная. Найти х и у.

  • Треугольник  АВА1  прямоугольный. Найдем  АВ по косинусу угла α.АА1  перпенди...

    4 слайд

    Треугольник АВА1 прямоугольный. Найдем АВ по косинусу угла α.
    АА1 перпендикуляр, АВ наклонная. Найти х и у.

  • Треугольник  АВА1  прямоугольный. Найдем  АА1  по теореме Пифагора.Найдем  СА...

    5 слайд

    Треугольник АВА1 прямоугольный. Найдем АА1 по теореме Пифагора.
    Найдем СА1 по теореме Пифагора из треугольника АСА1 .
    АА1 перпендикуляр, АВ и АС наклонные. Найти х.

  • Треугольник  АВА1  прямоугольный. Найдем  АА1  по синусу угла 60 градусов.Тре...

    6 слайд

    Треугольник АВА1 прямоугольный. Найдем АА1 по синусу угла 60 градусов.
    Треугольник АСА1 прямоугольный. Найдем АС по теореме Пифагора.
    АА1 перпендикуляр, АВ и АС наклонные. Найти х.

  • Треугольник  АСА1  прямоугольный. Найдем  АА1  по тангенсу угла α.Треугольник...

    7 слайд

    Треугольник АСА1 прямоугольный. Найдем АА1 по тангенсу угла α.
    Треугольник АВА1 прямоугольный. Найдем ВА1 по теореме Пифагора.
    АА1 перпендикуляр, АВ и АС наклонные. Найти х.

  • Треугольник  АСА1  прямоугольный. Найдем  СА1  по тангенсу угла 60 градусов.Т...

    8 слайд

    Треугольник АСА1 прямоугольный. Найдем СА1 по тангенсу угла 60 градусов.
    Треугольник ВСА1 прямоугольный. Найдем ВА1 по теореме Пифагора.
    АА1 перпендикуляр, АВ и АС наклонные. Найти х.

  • Треугольник  АВА1  = АСА1, прямоугольные. Найдем  АВ по синусу угла 60 градус...

    9 слайд

    Треугольник АВА1 = АСА1, прямоугольные. Найдем АВ по синусу угла 60 градусов.
    Треугольник АВС . Найдем ВС по теореме косинусов.
    АА1 перпендикуляр, АВ и АС наклонные. Найти х.

  • Треугольник  АСА1  прямоугольный. Найдем  АС по косинусу угла 60 градусов.Тре...

    10 слайд

    Треугольник АСА1 прямоугольный. Найдем АС по косинусу угла 60 градусов.
    Треугольник АВА1 прямоугольный. Найдем АВ по синусу угла 30 градусов.
    Треугольник АВС прямоугольный. Найдем ВС по теореме Пифагора.
    АА1 перпендикуляр, АВ и АС наклонные. Найти х.

Содержание:

Я думаю, что мы еще никогда не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия. Ле Корбюзье

Перпендикулярность прямых в пространстве

В модуле 3 мы рассматривали взаимное расположение прямых в пространстве.

Естественно, что пересекающиеся прямые
образуют углы. Углом между прямыми является меньший из двух смежных. Например, на рисунке 5.1 изображены две пересекающиеся прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Свойства перпендикулярных прямых пространства выражают теоремы 1-4.

Теорема 1

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Через произвольную точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Доказательство:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – данная прямая и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – точка на ней (рис. 5.2). Возьмем вне прямой а произвольную точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и проведем через эту точку и прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (следствие из аксиом). В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения можно провести прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Теорема доказана.

Теорема 2

Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – данные перпендикулярные прямые и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а также прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекает Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекает Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 5.3). Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежат в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которые будут параллельными по признаку параллельности плоскостей. Соединим точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Выберем на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Проведем Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения .Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Четырехугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – параллелограммы, отсюдаПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то они лежат в одной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, пересекающей плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которые параллельны, т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Итак, четырехугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения -параллелограмм, у которого Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Таким образом, треугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равны по третьему признаку равенства треугольников.  Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Итак, прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Теорема доказана.

Теорема 3

Через любую точку пространства, не принадлежащую прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной (рис. 5.4, а).

Теорема 4

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости, то она перпендикулярна и второй прямой (рис. 5.4, б).

Доказательство теорем 3 и 4 выполните самостоятельно.
Расположение трех прямых в пространстве, когда они между собой попарно перпендикулярны и имеют общую точку, является особым случаем (рис. 5.4, в).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Отметим, что в пространстве существует множество плоскостей, которые можно провести через одну и ту же прямую. Выбирая точку А вне прямой, мы попадем на одну из этих плоскостей и в выбранной плоскости к данной прямой через точку А проводим прямую, перпендикулярную данной.

Итак, в пространстве к прямой можно провести сколь угодно много перпендикулярных прямых, проходящих через данную точку этой прямой.

Пример №1

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения попарно перпендикулярны (рис. 5.5). Найдите отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, если Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Найти: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по теореме Пифагора Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо теореме Пифагора Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ. 6,5 см

Почему именно так?

Каждая пара данных прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – перпендикулярна, т.е. образует прямые углы. Соединив последовательно точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, получим прямоугольные треугольники.

  1. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения: известны катет и гипотенуза, неизвестна сторона, являющаяся вторым катетом. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – сторона Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
  2. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения: один катет известен по условию, второй – найден из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения; неизвестной является третья сторона – гипотенуза. По теореме Пифагора составляем выражение и выполняем вычисление длины отрезка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве

Мы уже рассматривали взаимное расположение прямой и плоскости, детально ознакомились со случаем, когда прямая не пересекает плоскость. В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда прямая пересекает плоскость и, кроме того, образует с произвольной прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения, прямой угол. Такую прямую называют перпендикулярной плоскости. Все другие неперпендикулярные прямые, пересекающие плоскость, называют наклонными.

Моделью прямой, перпендикулярной плоскости, может быть установленная вышка, столб, вкопанный в землю, гвоздь, вбитый в стену, и т.п.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна произвольной прямой, которая лежит на этой плоскости и проходит через их точку пересечения.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Чтобы определить, будет ли прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, нужно через точку ее пересечения с плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения провести множество прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 5.10) и доказать, что она перпендикулярна каждой из них. Этот путь нерациональный. Поэтому, чтобы установить перпендикулярна ли прямая плоскости, пользуются признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 5 (признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то она перпендикулярна и данной плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – данная плоскость, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – прямая, пересекающая ее в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – прямые, которые принадлежат плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проходят через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 5.11) и перпендикулярны прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Докажем, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, т.е., что прямая с перпендикулярна любой прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Для этого выполним дополнительное построение:

  1. отложим в разных полупространствах на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равные отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения;
  2. обозначим на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения некоторую точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения; соединим точки: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения сПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения;
  3. проведем через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения произвольную прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая пересечет Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, и также соединим ее с Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Рассмотрим образованные при этом треугольники.

  1. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – медиана и высота; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по построению; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – общая сторона треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Итак, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по двум сторонам и углу между ними. Отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
  2. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Равенство отрезков Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения доказывается аналогично, как и равенство отрезков Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
  3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения -общая сторона. Отсюда вытекает равенство соответствующих углов: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
  4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по двум сторонам и углу между ними: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – общая сторона; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по доказательству выше. Итак, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – равнобедренный: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – основание треугольника, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – середина Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – медиана Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. В равнобедренном треугольнике медиана является высотой, т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а это означает, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – произвольная прямая плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проходит через точку пересечения прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Теорема доказана.

Отметим, что вы впервые столкнулись с таким громоздким доказательством. Доказательство не следует заучивать наизусть или запоминать шаги, необходимо понять его и последовательно, опираясь на известные факты, изложить рассуждения. Для этого важно спланировать последовательность логических шагов и не допускать ошибок.

Итак, для установления перпендикулярности прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность прямой двум прямым плоскости, проходящим через точку их пересечения (по признаку).

Из данной теоремы вытекают два следствия.

Следствие 1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.
 

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – плоскость, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – две прямые, пересекающие ее в точках Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, причем Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 5.12). Проведем через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения произвольную прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения -прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, параллельную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярны. Тогда, по теореме 2, прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения также перпендикулярны. Таким образом, прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна произвольной прямойПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая лежит на плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и проходит через их точку пересечения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Это определяет перпендикулярность прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Следствие 2. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.
 

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения две прямые, перпендикулярные плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 5.13). Допустим, что прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения не параллельные. Выберем на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая не принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Проведем через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Она перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по предыдущему следствию. Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекает плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекает Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Тогда пряма Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения . А это невозможно, предположение неверно. Таким образом, прямые параллельны.

Пример №2

Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Доказательство:

Рассмотрим два случая.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Первый случай. Пусть точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 5.14). Тогда через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведем прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Выбрав точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, не принадлежащую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проведем через нее и прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (следствие из аксиом). Проведем в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения -прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Через эти две прямые проходит плоскость у, которая будет перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (теорема о перпендикулярности прямой и плоскости).

Тогда в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения достаточно провести прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Она будет перпендикулярна и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поскольку лежит в у и проходит через точку пересечения. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна двум прямым плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то она перпендикулярна и самой плоскости. Итак, мы построили прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и проходит через заданную точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
Второй случай. Пусть точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения не принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Выбрав произвольную точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, аналогично предыдущему случаю, проведем прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Тогда через эту прямую и точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения можно провести некоторую плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а на ней -некоторую прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельно Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения будет перпендикулярна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая также перпендикулярна). Построение выполнено. Итак, прямую построить можно. Ч.т.д.

Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах

Рассмотрим изображение прямой а, перпендикулярной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 5.20). Обозначим на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения произвольный отрезок.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной плоскости. 

Итак, на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, можно разместить множество отрезков, которые будут перпендикулярны плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

На рисунке 5.21 изображены различные случаи расположения перпендикулярного плоскости отрезка:

  1. отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежит по одну сторону от плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и не пересекает ее (рис. 5.21, а);
  2. отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекает плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (концы отрезка находятся в разных полупространствах) (рис. 5.21, б);
  3. отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежит по одну сторону от плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – конец отрезка – принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 5.21, в).

Чаще всего на практике встречается третий случай. Такой отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения называют перпендикуляром, проведенным из данной точки к плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, который соединяет данную точку с точкой плоскости и лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости (рис. 5.21, в). Конец отрезка, лежащий на плоскости, называется основанием перпендикуляра.
 

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, который соединяет данную точку с точкой плоскости и не является перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий на плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, который соединяет основание перпендикуляра и основание наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

На рисунке 5.22 отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – перпендикуляр, проведенный из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – наклонная, проведенная из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на ту же плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – основание перпендикуляра, а точкаПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – основание наклонной, отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – проекция наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, образованный наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и ее проекцией Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, называют углом наклона наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и проекцией этой наклонной на плоскость.

Свойства перпендикуляра и наклонных

Если из одной точки вне плоскости провести к ней перпендикуляр и наклонные, то:

  1. из точки, не принадлежащей плоскости, можно провести один и только один перпендикуляр и множество наклонных;
  2. длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
  3. наклонные, имеющие равные проекции, равны между собой, и наоборот, равные наклонные имеют равные проекции;
  4. из двух наклонных большую длину имеет та, которая имеет большую проекцию, и наоборот, большая наклонная имеет большую проекцию.

Докажите эти свойства самостоятельно.

Широко используется свойство прямой, перпендикулярной проекции наклонной или наклонной, которое называют теоремой о трех перпендикулярах.
 

Теорема 6 (о трех перпендикулярах)

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И наоборот, если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Доказать: прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Доказательство:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Докажем вторую часть теоремы. Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – перпендикуляр к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – наклонная. Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проходит через основание Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения наклонной и перпендикулярна ей (рис. 5.23). Т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Проведем через основание наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, параллельную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежат в одной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то по признаку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Итак,Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Ч.т.д. Первую часть теоремы докажите самостоятельно.

Пример №3

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – перпендикуляр к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 5.24); Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – наклонные; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на 26 см; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
Найти: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. В Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – гипотенуза; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – катет. По теореме Пифагора: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.(1)

В Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – гипотенуза; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – катет. По теореме Пифагора: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения , Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.(2)
Из (1) и (2) имеем: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Ответ. 15 см и 41 см.

Почему именно так?

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – перпендикуляр к Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Перпендикуляр, наклонная и ее проекция образуют прямоугольный треугольник. Две различные наклонные, один перпендикуляр и две проекции образуют два прямоугольных треугольника с общим катетом. Составить соотношение между сторонами прямоугольного треугольника можно по теореме Пифагора.

Алгебраический метод решения упрощает процесс поиска решения. Находим общий катет для Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения иПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения:
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Отсюда имеем равенство: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и соответствующее уравнение с одной переменной, что приводит к решению задачи.

Перпендикулярность плоскостей

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (рис. 5.31).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Если Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
Моделями перпендикулярных плоскостей в окружающем мире являются различные конфигурации предметов. Например, шкатулка с крышкой, двери, окна, которые открываются, и т.д. Принцип «открывания» частей моделей основывается на перпендикулярности прямых, проведенных перпендикулярно прямой пересечения (линии крепления) (рис. 5.32).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярные плоскости обладают такими свойствами:

  1. Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. И наоборот, плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна линии их пересечения.
  2. Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.
  3. Если две плоскости взаимно перпендикулярны и из произвольной точки одной из них опущен перпендикуляр на вторую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости.

Рассмотрим их несколько позднее. Докажем сначала признак перпендикулярности двух плоскостей.
 

Теорема 7 (признак перпендикулярности плоскостей)

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения; плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проходит через Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Доказать: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Построим произвольную плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и некоторую точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения вне ее (рис. 5.33). Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – общая точка плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому они пересекаются по некоторой прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проходящей через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Проведем на плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения некоторую прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (на плоскости такая прямая единственная). Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Итак, прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Построим через прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Она перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (поскольку две ее прямые перпендикулярны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения). Поэтому ее линии пересечения с плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения образуют прямой угол. Т.е. плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярная прямой пересечения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, пересекает их по перпендикулярным прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, что по определению доказывает перпендикулярность плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Теорема доказана.

Теперь вернемся к свойствам перпендикулярных прямых и плоскостей и докажем некоторые из них.

Теорема 8

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна второй плоскости.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Доказать: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения взаимно перпендикулярны (рис. 5.34), т.е. некоторая плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярная прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, пересекает их по перпендикулярным прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Проведем через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда плоскость, проходящая через прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, будет перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то перпендикулярными будут и прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Кроме того, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (по условию), поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Теорема доказана.

Теорема 9

Если две плоскости взаимно перпендикулярны и из некоторой точки одной из них опущен перпендикуляр на вторую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказать: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения взаимно перпендикулярны (рис. 5.35). Тогда некоторая плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярная прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, пересекает их по перпендикулярным прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Итак, дано Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведен отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения По следствию, две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, будут параллельными. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Таким образом, они лежат в одной плоскости – Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Если одна из двух параллельных прямых пересекает в плоскости прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то и другая пересекает ее. Отсюда вытекает, что точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения должна принадлежать прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Тогда она будет общей для двух плоскостей. Но если две точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения принадлежат Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то вся прямая принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Теорема доказана.

Остальные свойства докажите самостоятельно.

Пример №4

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из точек Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, лежащих на двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 5.36), проведены перпендикуляры Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на прямую пересечения плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Найдите длину отрезка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, если Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Найти: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения– прямоугольный: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – катет, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – катет, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – гипотенуза (искомый отрезок). Рассмотрим на плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – прямоугольный.
Из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – катет; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – катет; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения – гипотенуза, которая является неизвестным катетом для Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияИз Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Отсюда, учитывая что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, имеем Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Ответ. 11 см.

Почему именно так?

Для каждой геометрической задачи важно построить цепочку логических рассуждений. В этой задаче важно видеть не только прямоугольные треугольники на плоскостях Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, но и использовать признак и свойства перпендикулярных плоскостей. Таким образом можно выйти на новый прямоугольный треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения или Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, третью сторону которого находят по известному и найденному катетам. В том или ином случае Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения остается наклонной, меняются только перпендикуляры к соответствующим плоскостям Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и проекции наклонной на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения или на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Перпендикулярность прямой и плоскости

А) Напомним, что перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°. Перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися и могут быть скрещивающимися. На рисунке 210 перпендикулярные прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекаются, а перпендикулярные прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения скрещиваются.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.

Перпендикулярность прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения записывают так: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Говорят также, что и плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и пишут Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярная плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения обязательно эту плоскость пересекает. Если допустить, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежит в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения или параллельна ей, то в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения есть прямые, параллельные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и угол между Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и такими прямыми не равен 90°.

Окружающее пространство даёт много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Столбы с осветительными лампами и колонны устанавливают перпендикулярно горизонтальной поверхности земли (рис. 211).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из теоремы 6 параграфа 5 следует, что при определении угла между прямыми эти прямые можно заменять параллельными прямыми. Поэтому если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая также перпендикулярна этой плоскости. Верно и обратное утверждение.

Теорема 1. Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны друг другу.

Доказательство: Пусть прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения обе перпендикулярны плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 212). Докажем, что прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельны друг другу.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Через какую-либо точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Докажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясовпадает с прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияДопустим, что это не так. Тогда получается, что в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения заданной прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведены две прямые, перпендикулярные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по которой пересекаются плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения что невозможно. Значит, прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения совпадают, тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельны.

Пусть имеются плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения которая её пересекает и не перпендикулярна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 213). Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения образуют прямую Эта прямая называется проекцией прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следующая теорема устанавливает признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство: Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекает плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и перпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежащим в плоскости а (рис. 214). Докажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения т. е. что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения произвольно выбранной в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Проведём через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения соответственно параллельные прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём какую-либо прямую так, чтобы она пересекала прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв точках Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 215). На прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения отметим точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на равных расстояниях от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — серединные перпендикуляры к отрезку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Значит, треугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равны по трём сторонам, поэтому углы Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны. Учитывая это, получим, что треугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Это означает, что треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения является равнобедренным, поэтому его медиана Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения является и высотой, т. е. прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а также прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярны.

Следствие 1. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельны и прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна плоскости а (рис. 216). Докажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Для доказательства проведём через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения две какие-либо плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПусть они пересекают плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а параллельную ей плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — по прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения По теореме 2 получаем, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следствие 2. Если одной прямой перпендикулярны две плоскости, то они параллельны.

Проведите самостоятельно обоснование этого утверждения, используя рисунок 216

Б) Теорема 3. Через каждую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Доказательство: Пусть даны прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения В случае, когда точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения не лежит на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 217), в плоскости, которая определяется точкой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересечения прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — ещё одну прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

В случае, когда точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежит на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 218), через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Через прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Эти плоскости и прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярны по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Докажем теперь, что построенная плоскость а единственная. Допустим, что это не так. Пусть через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведены две плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 219 и 220). Через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём какую-либо плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Она пересекает плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по некоторым прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения так как плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения имеет с плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения общую точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Получается, что в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведены две прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения что невозможно.

Теорема 4. Через каждую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Доказательство: Пусть даны точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — прямая в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — плоскость, которая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Пусть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекаются по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 221). В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — искомая, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по построению; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения так как Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения принадлежит Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— единственная. Допустим, что это не так. Пусть через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проходит ещё одна прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярная плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 222 и 223). Тогда по теореме 1 прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельны друг другу. Но такое невозможно, так как прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекаются в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следствие 3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямоугольный параллелепипед (рис. 224). Поскольку ребро Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярно плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямоугольный с прямым углом Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения А поскольку треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения также прямоугольный с прямым углом Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Учитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения получаем, что

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №5

Докажите, что если рёбра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а также Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячетырёхугольной пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения основанием которой является параллелограмм, равны между собой (рис. 225), то отрезок, соединяющий вершину Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с точкой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересечения диагоналей этого параллелограмма, перпендикулярен основанию Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— параллелограмм и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равнобедренный и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равнобедренный и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(теорема 2).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Используя рисунок 226, докажите самостоятельно обратное утверждение: «Если отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а также Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясоединяют точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикуляра, проведённого из центра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллелограмма Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с противоположными его вершинами, то эти отрезки попарно равны».

Пример №6

В правильной треугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — середина ребра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 227). Докажите, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— правильная треугольная пирамида, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — равносторонний и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — равнобедренный.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— равносторонний, и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — середина Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — равнобедренный, и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — середина Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №7

Докажите, что диагональ Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякуба Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна плоскости треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 228).

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— квадрат, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— куб, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — квадрат, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— куб, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Используя рисунок 228, установите, в какой точке прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пространственное моделирование

При выполнении задания на определение вертикальности столба для забора (рис. 240) ученик проверил вертикальность первого из столбов, а дальше, измерив высоту первого и второго столбов и расстояние между ними снизу и сверху, сделал вывод о том, что и второй столб тоже вертикальный. Определите, обеспечивают ли полученные учеником сведения правильность его вывода. Ответ обоснуйте.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Расстояния

А) Пусть даны плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения вне её (рис. 241). Через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём прямую перпендикулярную плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — точка пересечения прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения называется перпендикуляром к плоскости, проведённым из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияоснованием перпендикуляра.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Соединим точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения ещё с какой-либо точкой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияназывается наклонной к плоскости, проведённой из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияоснованием наклонной. Отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияназывается проекцией наклонной на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Свойства перпендикуляра и наклонных

Если из одной точки вне плоскости проведены к этой плоскости две наклонные (рис. 242), то:

  • а) наклонные, имеющие равные проекции, равны между собой;
  • б) та наклонная больше, проекция которой больше;
  • в) равные наклонные имеют равные проекции;
  • г) большая наклонная имеет большую проекцию.

Свойства перпендикуляров и наклонных докажите самостоятельно, используя рисунок.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 5. Перпендикуляр к плоскости, проведённый из некоторой точки, меньше любой наклонной к этой плоскости, проведённой из той же точки.

Доказательство: Пусть отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на рисунке 243 — перпендикуляр, а отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — наклонная к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Эти перпендикуляр и наклонная в прямоугольном треугольнике Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляются соответственно катетом и гипотенузой. Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

В соответствии с утверждением теоремы 5, из всех расстояний от данной точки до различных точек данной плоскости наименьшим является расстояние, измеренное по перпендикуляру.

Б) Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.

Когда мы говорим, например, что уличный фонарь находится на высоте 8 м от земли, то подразумеваем, что расстояние от фонаря до поверхности земли, измеренное по перпендикуляру, проведённому от фонаря к плоскости земли, составляет 8 м (рис. 244).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 6. Расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей к другой плоскости одно и то же и равно длине их общего перпендикуляра.

Доказательство: Пусть даны параллельные плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 245). Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения какая-либо точка плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — перпендикуляр, проведённый из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Возьмём произвольную точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и проведём из неё перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Тогда по теореме 1 прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельны, а по теореме 12 из параграфа 6 отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны друг другу. Это означает, что расстояние от любой точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равно отрезку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поскольку отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярен плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то он является расстоянием от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Понятно, что расстояние от любой точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равно отрезку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки одной плоскости к другой плоскости.

Все точки одной стены комнаты находятся на одинаковом расстоянии от противоположной стены (рис. 246). Это расстояние и есть ширина комнаты.

Теорема 7. Расстояние от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одно и то же и равно перпендикуляру, проведённому из какой-либо точки прямой к плоскости.

Используя рисунок 247, проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки прямой к плоскости.

Все точки края стола находятся на одном расстоянии от пола (рис. 248).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 8. Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр.

Доказательство: Пусть даны скрещивающиеся прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 249). Докажем, что на этих прямых можно выбрать такие точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — плоскость, проходящая через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельно прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияВозьмём на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и опустим перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияОбозначим Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямую, по которой пересекаются плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекаются в некоторой точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения опустим перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежат в одной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и перпендикулярны прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениязначит, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Этим самым существование общего перпендикуляра скрещивающихся прямых обосновано. Докажем теперь его единственность.

Пусть скрещивающиеся прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения имеют ещё один общий перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения причём точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения принадлежит прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 250).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения совпадать не могут, так как из одной точки к прямой можно провести только один перпендикуляр. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения как и прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проходящей через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельно прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения принадлежат одной плоскости. Значит, и прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежат одной плоскости. Получили противоречие с тем, что эти прямые скрещиваются.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Из доказательства теоремы 8 следует, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из них до плоскости, содержащей другую прямую и параллельную первой.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, можно действовать по-разному.

а) Можно построить отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный им обеим, и найти его длину.

Пример №8

Найдём расстояние между прямыми, которые содержат ребро куба длиной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и диагональ грани, которая с этим ребром не имеет общих точек.

Решение:

Пусть нужно найти расстояние между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 251). Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а потому искомое расстояние равно ребру куба, т. е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

б) Можно построить плоскость, которая содержит одну из прямых и параллельна другой. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от этой плоскости до другой прямой.

Пример №9

В правильной четырёхугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениярёбра основания Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равны 4, а боковые рёбра — 6. Найдём расстояние между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения где Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — середина ребра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — центр квадрата Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 252). Поскольку плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и содержит прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — такая точка на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Учитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — середина стороны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения получаем, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равно половине высоты треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведённой к стороне Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Найдем площадь треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и его медиану Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теперь Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

в) Можно построить две параллельные плоскости, каждая из которых содержит одну из скрещивающихся прямых и параллельна другой. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию между этими плоскостями.

Пример №10

Найдём расстояние между прямыми, содержащими непересекающиеся диагонали двух смежных граней куба с ребром Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть нужно найти расстояние между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 253). Плоскость, которая содержит Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и параллельна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекает грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по прямой, параллельной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения т. е. по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Рассуждая так же, получаем, что плоскость, которая содержит Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и параллельна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекает грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Диагональ Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения куба как прямая плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения образует прямой угол с прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения которые перпендикулярны этой плоскости, а как прямая плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобразует прямой угол с прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения которые перпендикулярны этой плоскости. Поэтому прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна как плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения так и параллельной ей плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекается с плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения где Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — центры граней Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 254), прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в точках Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то по теореме Фалеса Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому общий перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения имеет длину Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения т. е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Диагональ куба делится плоскостью треугольника, сторонами которого служат диагонали граней куба, имеющие с рассматриваемой диагональю куба общую точку, в отношении 1 : 2.

г) Можно построить плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых, и построить проекцию на неё другой прямой. Тогда искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки, являющейся проекцией первой прямой на построенную плоскость, на проекцию другой прямой.

Пример №11

В четырёхугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения все рёбра равны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 255).

Решение:

Из теоремы 8 следует, что на прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения есть такие точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна как прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения так и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и, вместе с этим, плоскости, проходящей через одну из этих прямых параллельно другой.

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — плоскость, проходящая через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярно прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияОна проходит через середины Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения рёбер Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и проекцией отрезка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения будет отрезок, равный Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Определим, в какие точки спроектируются точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то вся прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проектируется в точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Значит, точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проектируется в точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поскольку точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проектируются в точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и N соответственно, то прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проектируется в прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Учтём также, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит плоскости, параллельной прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому искомая проекция отрезка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — перпендикуляр к прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведённый из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Длину Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения этого перпендикуляра найдём, используя площадь равнобедренного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с основанием Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и боковыми сторонами Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Получим Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения откуда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №12

Точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения отстоит на 40 см от каждой вершины правильного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения со стороной 60 см. Найдите расстояние от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — правильный треугольник, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — центр окружности, описанной около треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — её радиус (рис. 257).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — прямоугольный.

Тогда

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: 20 см.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №13

Из вершины Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равнобедренного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с основанием Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения возведён перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения соединена с серединой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения этого основания (рис. 258). Докажите, что прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярны.

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекции наклонных Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— равнобедренный треугольник с основой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекции наклонных Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — середина Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Угол между прямой и плоскостью

А) С помощью чисел, выражающих расстояние между двумя прямыми и величину угла между ними, можно описать взаимное расположение этих прямых в пространстве. Если прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекаются, то их взаимное расположение характеризует угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения между ними, расстояние между такими прямыми считается равным нулю (рис. 266). Если прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельны, то их взаимное расположение характеризует расстояние Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения между ними, угол между такими прямыми равен нулю (рис. 267). Если прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения скрещиваются, то их взаимное расположение характеризует угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и расстояние Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения между ними (рис. 268).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 9. Если прямая плоскости перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной, а если прямая плоскости перпендикулярна наклонной к плоскости, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Доказательство: Пусть отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости а, тогда отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — проекция наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на эту плоскость (рис. 269).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости а перпендикулярна проекции Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Докажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна самой наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— первой прямой по условию, а второй — так как она лежит в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения которой перпендикулярна прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Докажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна проекции Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения этой наклонной.

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому она перпендикулярна и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 9 называется теоремой о трёх перпендикулярах, потому что в ней идёт речь об отношении перпендикулярности между тремя прямыми. Приведём примеры использования этой теоремы.

Пример №14

Из вершины Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения к плоскости треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения стороны которого Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равны 13, 20, 11 соответственно, возведён перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения длиной 36 (рис. 270). Найдём расстояние от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения до прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Искомое расстояние — длина перпендикуляра, опущенного из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Проведение этого перпендикуляра потребует найти его основание на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Для этого в плоскости треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпостроим высоту Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения этого треугольника. Поскольку прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна высоте Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения которая является проекцией наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то по теореме о трёх перпендикулярах прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения т. е. отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения выражает искомое расстояние.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Найдём сначала высоту Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения По формуле Герона определим площадь Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения этого треугольника, что позволит найти и его высоту Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — прямоугольный с прямым углом Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения по теореме Пифагора найдём Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: 36,6.

Пример №15

Докажем, что если данная точка пространства равноудалена от сторон многоугольника, то в этот многоугольник можно вписать окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника.

Доказательство: Пусть точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равноудалена от сторон Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения многоугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — перпендикуляр из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость этого многоугольника. Тогда перпендикуляры Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения опущенные из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на стороны многоугольника, равны друг другу (рис. 271).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Соединим точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с точками Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поскольку отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — проекции отрезков Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость многоугольника, стороны которого Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны наклонным Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то эти стороны и, соответственно, отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярны.

Треугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямоугольные, и все они имеют общий катет Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи равные гипотенузы. Значит, эти треугольники равны, соответственно, равны и отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения что означает равноудалённость точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения от сторон многоугольника. Значит, в этот многоугольник можно вписать окружность с центром Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №16

Если данная точка пространства равноудалена от вершин многоугольника, то около этого многоугольника можно описать окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника.

Используя рисунок 272, проведите доказательство этого утверждения самостоятельно.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Б) Теперь введём понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть дана плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения которая её пересекает и не перпендикулярна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 273). Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобразуют прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Эта прямая называется проекцией прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной ей, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — наименьший из углов, которые образует эта прямая со всеми прямыми плоскости. Докажите утверждение самостоятельно.

Если прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то её проекцией на эту плоскость является точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересечения прямой с плоскостью (рис. 274). В этом случае прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения образует со всеми прямыми плоскости углы, равные 90°. Этот угол и принимается в качестве угла между прямой и перпендикулярной ей плоскостью.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Если прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то её проекцией на плоскость является прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельная Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Угол между параллельными прямыми считается равным 0°. Поэтому угол между параллельными прямой и плоскостью принимается равным 0°.

Пример №17

В треугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения рёбра основания Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равны 6, а боковые рёбра — 5. Найдём угол между медианой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения основания и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — перпендикуляр, опущенный из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поскольку наклонная Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то и её проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Значит, точка К находится на серединном перпендикуляре к отрезку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 275).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Искомый угол между медианой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения основания и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— это угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Его можно найти через теорему косинусов, если знать стороны треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияНаходим: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

тогда

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Значит, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

При вычислении угла между скрещивающимися прямыми бывает полезной следующая теорема о трёх косинусах.

Угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения между прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения между другой прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения этой плоскости и проекцией на неё прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения связаны равенством Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство: Пусть точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения принадлежит прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — точка пересечения прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежит в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — основание перпендикуляра, опущенного из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — проекция точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 276).

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Тогда из прямоугольных треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияимеем:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №18

В треугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияребро Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярно плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и равно 20. Найдём угол между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения учитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Используем теорему о трёх косинусах, учитывая, что угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равен углу между прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения которая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения параллельно Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 277), поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Значит, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №19

Основанием треугольной пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения является прямоугольный треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с гипотенузой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и углом Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в 30° (рис. 279). Найдите высоту Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения грани Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведённую из вершины Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения учитывая, что боковое ребро Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см, а катет Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равен 6 см.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — проекция наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— высота грани Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — проекция наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямоугольный, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямоугольный, поэтому

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: 5 см.

Пример №20

Докажите, что если луч Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения не лежит в плоскости неразвёрнутого угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи острые углы Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны, то проекция луча Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляется биссектрисой угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 280).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (по гипотенузе и острому углу), поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (проекции равных наклонных).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— биссектриса угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равноудалена от сторон угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пространственное моделирование

Определим, как при движении на эскалаторе можно оценить глубину расположения станции метро, длину эскалатора (рис. 289).

Обратим внимание на то, что при спуске или подъёме на эскалаторе мы проезжаем вдоль ряда ламп, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Нормативами задаётся освещённость тоннеля, исходя из которой устанавливается и расстояние между соседними лампами. Также учтём, что оптимальный угол наклона линии эскалатора к плоскости земли равен 30°.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Будем рассматривать эскалатор как наклонную к плоскости земли. Тогда глубину расположения станции можно интерпретировать как длину перпендикуляра к плоскости земли.

Для ответа на вопрос достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в котором гипотенуза Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения представляет эскалатор, а катет Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— глубину расположения той станции метро, на которую ведёт данный эскалатор.

  • а) Подсчитайте длину эскалатора, учитывая, что расстояние между лампами равно а.
  • б) Составьте формулу для нахождения глубины закладки станции метро.

Перпендикулярность плоскостей

А) Два луча на плоскости с общим началом разделяют эту плоскость на две части, каждая из которых называется углом.

Аналогично две полуплоскости с общей границей разделяют пространство на две части (рис. 290). Каждую из этих частей вместе с полуплоскостями называют двугранным углом. Полуплоскости, ограничивающие двугранный угол, называют гранями угла, а общую прямую — ребром двугранного угла (рис. 291).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Обычно рассматривают меньший из двугранных углов с данными гранями (рис. 292). Точки угла, не лежащие на его гранях, составляют внутреннюю область двугранного угла (рис. 293).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Двугранный угол обычно обозначают по ребру: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (см. рис. 293) или Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 294). При необходимости можно присоединить названия граней или названия точек на гранях: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (3 (см. рис. 293), или Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (см. рис. 294), или Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(см. рис. 294).

Моделью двугранного угла может служить двускатная крыша (рис. 295), стена вместе с открытой дверью (рис. 296), полураскрытая книга (рис. 297).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Для измерения двугранных углов вводится понятие линейного угла. Выберем на ребре Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и в его гранях Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения из этой точки проведём лучи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярные ребру Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 298). Полученный угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения стороны которого Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения ограничивают часть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения принадлежащую двугранному углу Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения называют линейным углом двугранного угла. Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла, так как по построению лучи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярны ребру Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Понятно, что двугранный угол имеет бесконечно много линейных углов (рис. 299).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 10. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Доказательство: Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — линейные углы двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 300). Докажем, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Отложим на сторонах углов Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равные отрезкиПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Тогда получатся четырёхугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения у которых противоположные стороны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения а также Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равны по построению и параллельны как перпендикуляры к одной прямой, проведённые в соответствующей плоскости. Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияА это означает, что четырёхугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения является параллелограммом, что позволяет сделать вывод о равенстве отрезков PS и QR. Получили, что у треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны соответственные стороны, поэтому треугольники равны, а значит, равны и их углы Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Измерение двугранных углов связывается с измерением их линейных углов. В зависимости от того, каким — острым, прямым, тупым, развёрнутым — является линейный угол двугранного угла, отличают острые, прямые, тупые, развёрнутые двугранные углы. Двугранный угол, изображённый на рисунке 301, — острый, на рисунке 302 — прямой, на рисунке 303 — тупой.

Две пересекающиеся плоскости разделяют пространство на четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 304). Если один из них равен Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то ещё один из них также равен а, а два остальных — 180° – Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Среди этих углов есть не превосходящий 90°, его величину и принимают за величину угла между пересекающимися плоскостями.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Если один из двугранных углов, образовавшихся при пересечении двух плоскостей, прямой, то три остальных также прямые (рис. 305).

Б) Плоскости, при пересечении которых образуются прямые двугранные углы, называются перпендикулярными плоскостями.

Для обозначения перпендикулярности плоскостей, как и для обозначения перпендикулярности прямых, используют знак Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Моделями перпендикулярных плоскостей могут служить столешница и боковина стола (рис. 306), пол в комнате и дверь в неё (рис. 307).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 11. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения которая перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и пересекает её в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проходит плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 308). Докажем, что a Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекаются по некоторой прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярной прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения так как по условию прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярны.

В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Полученный угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения где Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — точка прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения является линейным углом двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поскольку по условию Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — прямой, и, значит, плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярны.

Теорема 11 выражает признак перпендикулярности плоскостей.

Следствие. Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, перпендикулярна каждой из них (рис. 309).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Докажем теперь утверждение, обратное утверждению теоремы 11.

Теорема 12. Если через точку одной из перпендикулярных плоскостей провести прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эта прямая принадлежит первой плоскости.

Доказательство: Пусть две перпендикулярные плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения пересекаются по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведена прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярная плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Докажем, что эта прямая принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения перпендикулярную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения их пересечения в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения также перпендикулярную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 310). Угол между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения прямой как линейный угол прямого двугранного угла. Получили, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения так как она перпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения этой плоскости. А поскольку через эту точку к данной плоскости можно провести только одну перпендикулярную прямую, то прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения совпадают. Значит, прямая а принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №21

Точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — середина ребра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения при основании правильной пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 311). Докажем, что плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости основания Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения является основанием равнобедренных треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому она перпендикулярна медианам Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения этих треугольников и вместе с этим плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Из теоремы 12 следует, что плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения проходящая через перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения ей перпендикулярна.

Следствие. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения перпендикулярна той же плоскости (рис. 312).

Пример №22

В правильной треугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоский угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения при вершине равен Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Найдём величину двугранного угла при боковом ребре.

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — середина ребра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — перпендикуляр к ребру Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведённый из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 313).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из равенства треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения следует, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поэтому угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— линейный угол двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из прямоугольных треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияполучаем: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияИз прямоугольного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения находим, что

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

В) При вычислениях бывает полезной теорема о трёх синусах.

Теорема 13. Линейный угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения двугранного угла, угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения между ребром этого двугранного угла и прямой, лежащей в одной из его граней, и угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения между этой прямой и плоскостью другой грани связаны равенством Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство: Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежит в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения принадлежит прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — точка пересечения прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с ребром двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — основание перпендикуляра, опущенного из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения) — основание перпендикуляра, опущенного из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения на ребро угла (рис. 314). Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТогда из прямоугольных треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения будем иметь: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следствие 1. Если точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения лежит в грани Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядвугранного угла величиной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то расстояние от неё до плоскости другой грани Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения угла равно Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения где Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — точка на ребре двугранного угла, а Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — угол между прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и ребром двугранного угла (рис. 315).

Пример №23

Стороны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения правильного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежат соответственно в гранях Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения острого двугранного угла величиной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияСторонаПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения образует угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения с ребром двугранного угла. Найдём величину угла между плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть искомый угол равен Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения сторона треугольника имеет длину Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Тогда расстояние Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения можно найти двумя способами (рис. 316): Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Поэтому

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Ответ: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следствие 2. Пусть рёбра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — грани двугранных углов величиной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения соответственно. Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 317).

Пример №24

Плоскости правильных треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и четырёхугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны (рис. 319). Найдите Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения учитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения тогда по теореме 12 Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — прямоугольный. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения так как Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения правильный и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения так как четырёхугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения правильный и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Тогда по теореме Пифагора

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №25

Из точек Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения ребра двугранного угла в разных его гранях возведены перпендикуляры Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения (рис. 320). Определите величину двугранного угла, учитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и расстояние между точками Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения равно 50 см.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — параллелограмм и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения см, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения 48 см.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — линейный угол двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — прямоугольный.

Тогда по теореме Пифагора

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пространственное моделирование

Отдельным видом параллельного проектирования, применяемого в геометрии для изображения пространственных фигур, является ортогональное проектирование.

Ортогональной проекцией точки на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения называется точка пересечения с этой плоскостью прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ортогональной проекцией фигуры на плоскость называется множество ортогональных проекций всех точек этой фигуры на плоскость.

Если Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения — треугольная пирамида, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения то

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

«…Разум заключается не только в знаниях, но и в умении применять знания на деле…»

(Аристотель).

  • Ортогональное проецирование
  • Декартовы координаты на плоскости
  • Декартовы координаты в пространстве
  • Геометрические преобразования в геометрии
  • Теорема синусов и  теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости

Пусть даны плоскость и не лежащая на
ней точка. Перпендикуляром, опущенным
из данной точки на данную плоскость,
называется отрезок, соединяющий данную
точку с точкой плоскости и лежащий на
прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости,
называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной
точки к данной плоскости, называется
любой отрезок, соединяющий данную точку
с точкой плоскости, не являющийся
перпендикуляром к плоскости. Конец
отрезка, лежащий в плоскости, называется
основанием наклонной. Отрезок, соединяющий
основания перпендикуляра и наклонной,
проведенных из одной и той же точки,
называется проекцией наклонной.

Наклонные
и их проекции обладают следующими
свойствами. Пусть из некоторой точки
на плоскость проведено несколько
наклонных. Тогда:

  1. Любая наклонная больше как перпендикуляра,
    так и проекции наклонной на эту плоскость.

  2. Равные наклонные имеют равные проекции
    и наоборот, если равны проекции, то
    равны и сами наклонные.

  3. Большое наклонная имеет большую проекции
    и наоборот.

Теорема 8.1 (Теорема о трех
перпендикулярах)
. Если прямая,
проведенная на плоскости через основание
наклонной, перпендикулярна ее проекции,
то она перпендикулярна наклонной. И
обратно: если прямая на плоскости
перпендикулярна наклонной, то она
перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство.

Пусть АВ – перпендикуляр к плоскости

,
АС – наклонная и с – прямая в
плоскости

,
проходящая через основание С
наклонной. Проведем прямую СА’,
параллельную прямой АВ. По Т. 7.3 она
перпендикулярна плоскости

.
Проведем через прямые АВ и А’С
плоскость

.
Прямая с перпендикулярна прямой
СА’. Если она перпендикулярна прямой
СВ, то по Т 7.1 она перпендикулярна
плоскости

,
а значит, и прямой АС.

Аналогично если прямая с перпендикулярна
наклонной СА, то она, будучи
перпендикулярна и прямой СА’,
перпендикулярна плоскости

,
а значит, и проекции наклонной СВ.

9. Расстояние в стереометрии

Расстоянием от точки до плоскости
называется длина перпендикуляра,
опущенного из этой точки на плоскость.

Расстоянием от прямой до параллельной
ей плоскости
называется расстояние
от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстоянием между параллельными
плоскостями
называется расстояние
от любой точки одной плоскости до другой
плоскости.

Общим перпендикуляром двух
скрещивающихся прямых называется
отрезок с концами на этих прямых,
являющийся перпендикуляром к каждой
из них.

Две
скрещивающиеся прямые имеют общий
перпендикуляр, и притом только один. Он
является общим перпендикуляром
параллельных плоскостей, проходящих
через эти прямые.

Расстоянием между скрещивающимися
прямыми
называется длина их общего
перпендикуляра.

На практике для нахождения общего
перпендикуляра двух скрещивающихся
прямых используют один из следующих
способов.

  1. Определяют расстояние между параллельными
    плоскостями, проходящими через эти
    прямые.

  2. Определяют расстояние между точкой
    пересечения одной из прямых с
    перпендикулярной ей плоскостью и
    проекцией другой прямой на эту плоскость.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Добавить комментарий