-
Монотонная последовательность. Точные грани последовательности.
Начать изучение
-
Признак сходимости монотонной последовательности.
Начать изучение
-
Теорема Кантора о вложенных отрезках.
Начать изучение
Монотонная последовательность. Точные грани последовательности.
Последовательность ({x_{n}}) называют возрастающей (неубывающей), если для любого (ninmathbb{N}) выполняется неравенство
$$
x_{n+1}geq x_{n}.label{ref1}
$$
Аналогично последовательность({x_{n}}) называют убывающей (невозрастающей), если для любого (ninmathbb{N}) справедливо неравенство
$$
x_{n+1}leq x_{n}.label{ref2}
$$
Если неравенство eqref{ref1} можно записать в виде (x_{n+1}>x_{n}), а неравенство eqref{ref2} — в виде (x_{n+1} < x_{n}), то последовательность ({x_{n}}) называют соответственно строго возрастающей и строго убывающей.
Возрастающую или убывающую последовательность называют монотонной, а строго возрастающую или строго убывающую — строго монотонной.
Если неравенство eqref{ref1} выполняется при (ngeq n_{0}), то последовательность ({x_{n}}) называют возрастающей, начиная с номера (n_{0}) (при (ngeq n_{0})). Аналогично вводятся понятия убывающей, строго убывающей и строго возрастающей последовательности, начиная с номера (n_{0}) (при (ngeq n_{0})).
Для доказательства теоремы о пределе монотонной последовательности нам потребуются понятия точной верхней и нижней грани последовательности.
Точную верхнюю (нижнюю) грань множества значений последовательности ({x_{n}}) называют точной верхней (нижней) гранью последовательности и обозначают соответственно (sup{{x_{n}}}) и ( inf{{x_{n}}}).
Определение точной верхней грани (sup{X}) числового множества (X,) можно записать так:
$$
displaystyle {M=sup X}Leftrightarrow{forall xin Xrightarrow xleq M}wedge{forallvarepsilon>0 exists x_{varepsilon}in X:x_{varepsilon}>M-varepsilon}.label{ref3}
$$
Аналогично определение точной нижней грани (displaystyle inf{X}) числового множества (X) можно записать в виде
$$
displaystyle {m=inf X}Leftrightarrow{forall xin Xrightarrow xgeq m}wedge{forallvarepsilon>0 exists x_{varepsilon}in X:x_{varepsilon} < m+varepsilon}.label{ref4}
$$
Поэтому определения точной верхней и точной нижней граней последовательности можно записать в виде
$$
[a=displaystyle sup{x_{n}}]Leftrightarrow{forall nin Nrightarrow x_{n}leq a}wedge{forallvarepsilon>0 exists N_{varepsilon}:x_{N_{varepsilon}}>a-varepsilon},label{ref5}
$$
$$
[b=displaystyle inf{x_{n}}]Leftrightarrow{forall nin Nrightarrow x_{n}geq b}wedge{forallvarepsilon<0 exists N_{varepsilon}:x_{N_{varepsilon}} < b+varepsilon}.label{ref6}
$$
Таким образом, число (a) — точная верхняя грань последовательности ({x_{n}}), если выполняются условия:
- все члены последовательности не превосходят (a), то есть
$$
forall nin Nrightarrow x_{n}leq a;label{ref7}
$$ - для каждого (varepsilon>0) (рис. 6.1) найдется член последовательности, больший (a-varepsilon), то есть
$$
forallvarepsilon>0 exists N_{varepsilon}:x_{N_{varepsilon}}>a-varepsilon.label{ref8}
$$
Рис. 6.1
Аналогично разъясняется определение eqref{ref6} точной нижней грани последовательности.
Признак сходимости монотонной последовательности.
Теорема 1.
Если последовательность ({{x_{n}}}) является возрастающей и ограниченной сверху, то существует
$$
lim_{nrightarrowinfty}x_{n}=sup{x_{n}}.nonumber
$$
Если последовательность ({x_{n}}) является убывающей и ограниченной снизу, то существует
$$
lim_{nrightarrowinfty}x_{n}=inf{x_{n}}.nonumber
$$
Доказательство.
(circ) Ограничимся доказательством теоремы для случая ограниченной сверху и возрастающей последовательности.
Если последовательность ({x_{n}}) ограничена сверху, то есть множество чисел (x_{2},x_{2}, ldots,x_{n}, ldots) ограничено сверху, то по теореме о существовании верхней грани существует точная верхняя грань этой последовательности, определяемая условиями eqref{ref7}, eqref{ref8}. Так как ({x_{n}}) — возрастающая последовательность, то
$$
forall ngeq N_{varepsilon}rightarrow x_{N_{varepsilon}}leq x_{n}.label{ref9}
$$
Из eqref{ref7}-eqref{ref9} следует, что
$$
forallvarepsilon>0 exists N_{varepsilon}:forall ngeq N_{varepsilon}rightarrow a-varepsilon < x_{N_{varepsilon}}leq x_nleq а,nonumber
$$
то есть (x_{n}in U_{varepsilon}(a)).
Это означает, согласно определению предела, что
$$
lim_{nrightarrowinfty}x_{n}=a=sup{x_{n}}.quadbulletnonumber
$$
Замечание 1.
Теорема 1 остается справедливой для последовательности, ограниченной сверху (снизу) и возрастающей (убывающей), начиная с некоторого номера.
Пример 1
Доказать, что если (x_n=displaystyle frac{a^{n}}{n!}), где (a>0), то
$$
lim_{nrightarrowinfty}x_{n}=0.nonumber
$$
Решение
(triangle) Так как
$$
x_{n+1}=frac{a}{n+1}x_{n},label{ref10}
$$
то (x_{n+1}leq x_{n}) при всех (ngeq n_{0}), где (n_{0}=[a],{x_{n}}) — убывающая при (ngeq n_{0}) последовательность. Кроме того, (x_{n}geq0) при всех (ninmathbb{N}) то есть последовательность ограничена снизу. По теореме 1 последовательность ({x_{n}}) сходится. Пусть (displaystyle lim_{nrightarrowinfty} x_n=b). Тогда, переходя к пределу в равенстве eqref{ref10}, получаем (b=0). Итак,
$$
lim_{nrightarrowinfty}frac{a^{n}}{n!}=0.quadblacktrianglelabel{ref11}
$$
Замечание 2.
Утверждение eqref{ref11} справедливо не только при (a>0), но и при любом (ainmathbb{R}), так как (displaystyle left|frac{a^{n}}{n!}right|leqfrac{|a|^{n}}{n!}).
Пример 2
Последовательность ({x_{n}})задается рекуррентной формулой
$$
x_{n+1}=displaystyle frac{1}{2}(x_{n}+frac{a}{x_{n}}) ,label{ref12}
$$
где (x_1>0, a>0). Доказать, что
$$
displaystyle lim_{nrightarrowinfty}x_{n}=sqrt{a}.label{ref13}
$$
Решение
(triangle) Докажем сначала методом индукции, что
$$
forall kin N rightarrow x_{k}>0.label{ref14}
$$
В самом деле, из формулы eqref{ref12} и условий (x_{1}>0), (a>0) следует, что (x_{2}>0). Предполагая, что (x_{n}>0), из равенства eqref{ref12} получаем (x_{n+1}>0). Утверждение eqref{ref14} доказано.
Далее, применяя неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического, из eqref{ref12} получаем (x_{n+1}=displaystyle frac{1}{2}(x_{n}+frac{a}{x_{n}})geqsqrt{x_{n}frac{a}{x_{n}}}=sqrt{a}) при (ninmathbb{N}), то есть
$$
forall ngeq 2rightarrow x_{n}geqsqrt{a}.label{ref15}
$$
Итак, последовательность ({x_{n}}) ограничена снизу. Докажем, что она является убывающей. Запишем равенство eqref{ref12} в виде
$$
x_{n+1}-x_n = frac{a-x^2_n}{2x_n}nonumber
$$
откуда в силу eqref{ref14} и eqref{ref15} получаем
$$
forall n geq 2 rightarrow x_{n+1} leq x_n,nonumber
$$
то есть последовательность является убывающей при (ngeq 2). По теореме 1 существует (displaystylelim_{nrightarrowinfty}{x_n}=alpha), где (alphageqsqrt{a}>0) в силу условия eqref{ref15}. Переходя в равенстве eqref{ref12} к пределу, получаем (displaystyle alpha=frac{1}{2}(alpha+frac{a}{alpha})) , откуда (alpha^{2}=a, alpha=sqrt{a}), то есть справедливо утверждение eqref{ref13}.(quadblacktriangle)
Число e.
Рассмотрим последовательность ({x_{n}}), где
$$
x_{n}=left(1+displaystyle frac{1}{n}right)^{n},nonumber
$$
и покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху. Используя формулу бинома Ньютона, получаем
$$
x_{n}=1+C_{n}^{1}frac{1}{n}+C_{n}^{2}frac{1}{n^{2}}+ldots+C_{n}^{k}frac{1}{n^{k}}+ldots+frac{1}{n^{n}},nonumber
$$
где
$$
C_{n}^{k}=displaystyle frac{n(n-1)ldots(n-(k-1))}{k!},quad k=overline{1,n},quad C_{n}^{0}=1.nonumber
$$
Запишем (x_n) следующем виде:
$$
x_{n}=1+displaystyle sum_{k=1}^{n}frac{1}{k!}(1-frac{1}{n})(1-frac{2}{n})ldots(1-frac{k-1}{n});label{ref16}
$$
тогда
$$x_{n+1}=1+displaystyle sum_{k=1}^{n+perp}frac{1}{k!}(1-frac{1}{n+1})(1-frac{2}{n+1})ldots(1-frac{k-1}{n+1}).label{ref17}
$$
Все слагаемые в суммах eqref{ref16} и eqref{ref17} положительны, причем каждое слагаемое суммы eqref{ref16} меньше соответствующего слагаемого суммы eqref{ref17}, так как (displaystyle 1-frac{m}{n},<,1-frac{m}{n+1}, m=overline{1,n-1}), а число слагаемых в сумме eqref{ref17} на одно больше, чем в сумме eqref{ref16}. Поэтому (x_n < x_{n+1}) для всех (ninmathbb{N}), то есть ({x_{n}}) — строго возрастающая последовательность. Кроме того, учитывая, что (displaystyle 0 < 1-frac{m}{n} < 1 (m=overline{1,n-1})), из равенства eqref{ref16} получаем (x_{n} < 1+displaystyle sum_{k=1}^{n}frac{1}{k!}). Так как (frac{1}{k!}leq frac{1}{2^{k-1}}) при (kinmathbb{N}), то, используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем (x_{n} < displaystyle 1+sum_{k=1}^{n}frac{1}{2^{k-1}}=1+frac{1-(1/2)^{n}}{1-1/2}=3-frac{1}{2^{n-1}}). Следовательно,
$$
x_{n}=left(1+frac{1}{n}right)^{n}<3,nonumber
$$
то есть ({x_{n}}) — ограниченная последовательность. По теореме 1 существует (underset{nrightarrowinfty}{lim}x_n). Этот предел обозначается буквой (e). Таким образом,
$$displaystyle lim_{nrightarrowinfty}(1+frac{1}{n})^{n}=e.label{ref18}
$$
Число (e) является иррациональным, оно служит основанием натуральных логарифмов и играет важную роль в математике. Справедливо приближенное равенство
$$
eapprox 2,718281828459045nonumber
$$
Теорема Кантора о вложенных отрезках.
Назовем последовательность отрезков (Delta_{1},Delta_{2},ldots,Delta_n,ldots), где (Delta_n=[a_{n},b_{n}]), стягивающейся, если выполнены следующие условия:
- каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему, то есть
$$
forall ninmathbb{N}rightarrowDelta_{n+1}subsetDelta_{n};label{ref19}
$$ - длина n-гo отрезка (Delta_n) стремится к нулю при (nrightarrowinfty), то есть
$$
displaystyle lim_{nrightarrowinfty}(b_{n}-a_{n})=0.label{ref20}
$$
Условие eqref{ref19} означает, что
$$
a_{1}leq a_{2}leqldotsleq a_{n}leq a_{n+1}leqldotsleq b_{n+1}leq b_{n}leqldotsleq b_{2}leq b_{1}.label{ref21}
$$
Теорема 2.
(Теорема Кантора)
Если последовательность отрезков является стягивающейся, то существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.
Доказательство.
(circ) Существование. Из условия eqref{ref21} следует, что
$$
forall ninmathbb{N}quadforall minmathbb{N}rightarrow a_{n}leq b_{m}.label{ref22}
$$
По теореме об отделимости числовых множеств из eqref{ref22} заключаем, что существует (sup{a_n}=c), причем
$$
forall ninmathbb{N}rightarrow a_{n}leq cleq b_{n},nonumber
$$
то есть существует точка с, принадлежащая всем отрезкам стягивающейся системы ({Delta_n}).
Единственность. Пусть существуют две различные точки c и c’ принадлежащие всем отрезкам последовательности ({Delta_n}), то есть (cinDelta_n) и (c’inDelta_n) при любом (ninmathbb{N}). Так как (cneq c’), то либо (c < c’), либо (c’ < c). Пусть, например, (c < c’). Тогда (a_{n}leq c < c’leq b_{n}) при любом (ninmathbb{N}), откуда по свойствам неравенств (b_{n}-a_{n}geq c’-c=alpha >0) при любом (ninmathbb{N}), что противоречит условию eqref{ref20}. Итак, (alpha=0), то есть (c’=c.quadbullet)
Pharaon Ramzes
Мастер
(1988)
10 лет назад
Определение и методы нахождения частных пределов последовательности достаточно в википедии посмотреть – Частичный предел последовательности. В данной задаче достаточно построить 2 подпоследовательности:
четные n: Xn = 1/n + 1
нечетные n: Xn = -1/n
Отсюда sup Xn = 1, inf Xn = 0.
1) Отдельно смотрим случаи чётного и нечётного $%n$%. При чётном предел равен 1, при нечётном 0. Это и будут верхний и нижний пределы.
2) Аналогично получаются числа 3 и -3.
3) Здесь надо рассмотреть четыре случая в зависимости от остатка от деления числа $%n$% на 4. Если синус равен нулю (чётное $%n$%), предел равен нулю. Если синус равен 1 (остаток 1), то последовательность стремится к $%+infty$%. Для синуса, равного -1 (остаток 3), предел равен $%-infty$%. Поэтому здесь верхний и нижний предел бесконечны (с соответствующими знаками).
4) При чётном $%n$% предел 1, при нечётном $%-infty$%.
5) Косинус угла, кратного $%pi$%, принимает значения $%pm1$%. При чётных $%n$% получится $%+infty$%, так как $%2n$% растёт быстрее логарифма. При нечётных $%n$% предел равен 1, так как в знаменателе будет $%lg n$% плюс константа.
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
|
Заголовок сообщения: Указать sup и inf последовательности(проверить)
|
|||
|
Доброго времени суток. [math]inf x_{n} = 0[/math], чисто интуитивно, доказать я этого не смогу. Как это сделать?
|
||
| Вернуться к началу |
|
||
 |
Добавлено: 06 янв 2014, 16:05 
|
tetroel |
Заголовок сообщения: Re: Указать sup и inf последовательности(проверить)
|
|
dobby писал(а): tetroel а с какого числа начинается нумерация? Ну, вообще, хм, в задании это не указано.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
tetroel |
Заголовок сообщения: Re: Указать sup и inf последовательности(проверить)
|
|
dobby писал(а): tetroel а Вы монотонность показали? Ага. В лоб, через разность [math]x_{n+1}[/math] и [math]x_{n}[/math]
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
tetroel |
Заголовок сообщения: Re: Указать sup и inf последовательности(проверить)
|
|
dobby писал(а): tetroel ну все тогда. Дело шито. А как, всё же, доказать, что [math]inf x_{n}[/math] есть [math]0[/math]?
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
tetroel |
Заголовок сообщения: Re: Указать sup и inf последовательности(проверить)
|
|
dobby писал(а): Последовательность монотонно возрастает, значит наименьшее значение достигается на первом члене. Что-то я не подумал, лол. Спасибо.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
Обозначим последовательность в условии за . Известно, что она сходится к какому-то числу .
Константная последовательность
Рассмотрим случай, все члены равны :
То есть, каждый член равен . В этом случае, очевидно, что
Неконстантные последовательности
Будем теперь рассматривать такие последовательности , в которых не все члены равны , то есть существует как минимум один член .
Обозначим за . Будем считать, что (для доказательство аналогичное).
Теперь наша задача, подобрать такую -окрестность для , чтобы оказался ниже ее.
Распишем по определению, что значит :
Раз выполняется для любого положительного , то и для найдется такое , что для любого выполняется неравенство:
Важно отметить, что .
Доказательство
Пусть это не так и . Тогда для абсолютно всех членов последовательности выполняется неравенство
В том числе оно выполняется и для , то есть
Но , поэтому
Так как , то , поэтому
Получили противоречие. Значит не может быть равно , поэтому .
Но — конечное число, а значит мы имеем первых элементов последовательности :
Среди этого конечного числа членов есть хотя бы один (), а в общем случае некоторое конечное подмножество элементов , которые находятся ниже нижней границы -окрестности точки :
Рассмотрим минимальный элемент множества :
- меньше всех остальных элементов
- меньше любого члена от до (их конечное число)
- меньше всех остальных при , так как все они лежат в специально подобранной нами -окрестности, а наш минимальный элемент находится ниже ее.
Получается, что
То есть меньше любого члена последовательности (кроме самого ), но при этом сам является членом последовательности. По определению это означает, что
Примеры
Пример достижения только :
Пример достижения только :
Пример достижения и , и :
А сходится эта последовательность по теореме о двух милиционерах, так как ее можно зажать между двумя сходящимися к последовательностями:
