Свойства равнобедренной трапеции как найти основание

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Определение.

Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.

На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.

Изображение равнобедренной трапеции с обозначениями
Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:

1. Углы при основе равны:

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны:

AC = BD

3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описати окружность

Основные свойства равнобедренной трапеции

1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:

AB = CD = m

3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность

4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):

h = m

5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:

SABCD = h2

6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:

h2 = BC · AD

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:

AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD

8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:

HF BC, HF AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) – равен полуразности оснований:

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a – 2h ctg α = a – 2c cos α

c =  h  =  ab
sin α 2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =  d12c2        b =  d12c2        c = √d12ab
b a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =  2S b      b =  2S a
h h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:

m = ah ctg α = b + h ctg α = a – √c2h2 = b + √c2h2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =  ab tg β  = c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны:

d1 = d2

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

1. Формула длины диагонали через стороны:

d1 = √с2 + ab

2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:

d1 = √a2 + c2 – 2ac cos α

d1 = √b2 + c2 – 2bc cos β

3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:

d1 = √h2 + m2

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =  a + b 4c2 – (ab)2
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = (b + c cos α) c sin α = (ac cos α) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =  4 r 2  =  4 r 2
sin α sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =  d12 · sin γ  =  d12 · sin δ
2 2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =  a·c·d1
4√p(pa)(pc)(pd1)

где

a – большее основание

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства равнобедренной трапеции.

Напомним, трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны, т.е. AB = CD.

Равнобедренная (равнобокая) трапеция

  • Свойство 1

  • Свойство 2

  • Свойство 3

  • Свойство 4

  • Свойство 5

  • Свойство 6

  • Свойство 7

Свойство 1

Углы при любом из оснований равнобедренной трапеции равны.

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции

  • ∠DAB = ∠ADC = α
  • ∠ABC = ∠DCB = β

Свойство 2

Сумма противоположных углов трапеции равняется 180°.

Для рисунка выше: α + β = 180°.

Свойство 3

Диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.

Равенство диагоналей равнобедренной трапеции

AC = BD = d

Свойство 4

Высота равнобедренной трапеции BE, опущенная на основание большей длины AD, делит его на два отрезка: первый равняется половине суммы оснований, второй – половине их разности.

Деление основания трапеции ее высотой

Формула для нахождения длины части основания равнобедренной трапеции

Формула для нахождения длины части основания равнобедренной трапеции

Свойство 5

Отрезок MN, соединяющий середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярен этим основаниям.

Отрезок между серединами оснований равнобедренной трапеции

Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, называется ее осью симметрии.

Свойство 6

Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Описанная около равнобедренной трапеции окружность

Свойство 7

Если сумма оснований равнобокой трапеции равно удвоенной длине ее боковой стороны, в нее можно вписать окружность.

Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Радиус такой окружности равняется половине высоты трапеции, т.е. R = h/2.

Примечание: остальные свойства, которые применимы ко всем видам трапеций, приведены в нашей публикации – “Что такое трапеция: определение, виды, свойства”.


1. Формула длины основания равнобедренной трапеции через среднюю линию

Основания равнобедренной трапеции

a – нижнее основание

b – верхнее основание

m – средняя линия

Формулы длины основания:

Формула длины стороны трапецииФормула длины стороны трапеции

2. Формулы длины сторон через высоту и угол при нижнем основании

Длина сторон равнобедренной трапеции

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – равные боковые стороны

α угол при основании трапеции

h – высота трапеции

Формулы всех четырех сторон трапеции:

Формула длины сторон равнобедренной трапеции через высоту

Формула длины сторон равнобедренной трапеции через высоту

Формула длины сторон равнобедренной трапеции через боковую сторону


3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина сторон равнобедренной трапеции через диагональ

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – равные боковые стороны

d – диагонали

α , β – углы между диагоналями

h – высота трапеции

Формулы длины сторон трапеции:

Формула длины основания равнобедренной трапеции через диагонали

справедливо для данной ситуации:


4. Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь

Стороны равнобедренной трапеции через площадь

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – равные боковые стороны

α , β – углы при основаниях

m – средняя линия

h – средняя линия

Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь:

Формулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадьФормулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадь

Формулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадь

Формулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадь



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 08 октября 2013

Обновлено: 13 августа 2021

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 12 декабря 2021 года; проверки требуют 4 правки.

Равнобедренная трапеция
Isosceles trapezoid.svg
Тип четырёхугольник, трапеция
Рёбра 4
Вид симметрии Dih2, [ ], (*), порядок 2
Двойственный многоугольник дельтоид
Свойства
выпуклый, вписанный

В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция — это выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Этот четырёхугольник является частным случаем трапеций. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) имеют одинаковые длины (свойство, которому удовлетворяет также параллелограмм). Диагонали также имеют одинаковые длины. Углы при каждом основании равны и углы при разных основаниях являются смежными (в сумме дающие 180º).

Специальные случаи[править | править код]

Прямоугольники и квадраты обычно рассматриваются как специальные случаи равнобедренных трапеций, хотя в некоторых источниках они таковыми не считаются.

Другим специальным случаем является трапеция с 3 равными сторонами. В англоязычной литературе её называют trilateral trapezoid (трёхсторонняя трапеция) [1], trisosceles trapezoid (триравнобедренная трапеция) [2] или, реже, symtra [3]. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.

Самопересечения[править | править код]

Любой несамопересекающийся четырёхугольник с единственной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо дельтоидом[3]. Однако, если разрешить самопересечение, множество симметричных четырёхугольников нужно расширить включением в него самопересекающиеся равнобедренные трапеции, в которых пересекающиеся стороны равны, а две другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, у которых противоположные стороны имеют равные длины.

У любого антипараллелограмма выпуклая оболочка является равнобедренной трапецией и антипараллелограмм может быть получен из диагоналей равнобедренной трапеции[4].

Isosceles trapezoid example.png Crossed isosceles trapezoid.png Antiparallelogram.svg
Выпуклая равнобедренная
трапеция
Самопересекающаяся
равнобедренная трапеция
Антипараллелограмм

Свойства[править | править код]

Если четырёхугольник является трапецией, не обязательно проверять, равны ли боковые стороны (и недостаточно, поскольку ромбы, являющиеся специальными случаями трапеций с боковыми сторонами равной длины, но у него нет осевой симметрии через середины оснований). Любое из следующих свойств выделяет равнобедренную трапецию от других трапеций:

  • Диагонали имеют одинаковую длину.
  • Углы при основании равны.
  • Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
  • Противоположные углы дополнительны (до 180º), из чего, в свою очередь, следует, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырёхугольниками.
  • Диагонали делятся точкой пересечения на попарно равные отрезки. В терминах рисунка ниже, AE = DE, BE = CEAECE, если хотят исключить прямоугольники).

Если прямоугольники включаются в класс трапеций, то можно определить равнобедренную трапецию как “вписанный четырёхугольник с равными диагоналями” [5], как “вписанный четырёхугольник с парой параллельных сторон”, или как “выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины противоположных сторон”.

Углы[править | править код]

В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны. На рисунке ниже углы ∠ABC и ∠DCB являются одинаковыми тупыми углами, а углы ∠BAD и ∠CDA являются одинаковыми острыми углами.

Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, принадлежащие противоположным основаниям, являются дополнительными, то есть ABC + ∠BAD = 180°.

Диагонали и высота[править | править код]

Другая равнобедренная трапеция.

Диагонали равнобедренной трапеции равны. То есть любая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырёхугольником. Однако диагонали равнобедренной трапеции делятся в одной и той же пропорции. На рисунке диагонали AC и BD имеют одинаковую длину (AC = BD) и делят друг друга на отрезки той же длины (AE = DE и BE = CE).

Отношение, в котором делятся диагонали, равно отношению длин параллельных сторон, то есть

{displaystyle {frac {AE}{EC}}={frac {DE}{EB}}={frac {AD}{BC}}.}

Длина каждой диагонали, согласно следствию из теоремы Птолемея, задаётся формулой

{displaystyle p={sqrt {ab+c^{2}}}},

где a и b — длины параллельных сторон AD и BC, а c — длина каждой боковой стороны AB и CD.

Высота, согласно теореме Пифагора, задаётся формулой

{displaystyle h={sqrt {p^{2}-left({frac {a+b}{2}}right)^{2}}}={tfrac {1}{2}}{sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}

Расстояние от точки E до основания AD задаётся формулой

{displaystyle d={frac {ah}{a+b}}},

где a и b — длины оснований AD и BC, а h — высота трапеции.

Площадь[править | править код]

Площадь равнобедренной (а также любой) трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. На рисунке, если мы примем AD = a, BC = b, а высота h равна длине отрезка между прямыми AD и BC (перпендикулярного им), то площадь K задаётся формулой:

{displaystyle K={frac {h}{2}}left(a+bright).}

Если вместо высоты трапеции известны длины боковых сторон AB =CD = c, то площадь можно вычислить по формуле Брахмагупты площади вписанных четырёхугольников. Равенство двух боковых сторон упрощает формулу до

{displaystyle K={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}

где {displaystyle s={tfrac {1}{2}}(a+b+2c)} — полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона вычисления площади треугольника. Эту же формулу можно переписать в виде

{displaystyle K={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}

Радиус описанной окружности[править | править код]

Радиус описанной окружности задаётся формулой[6]

{displaystyle R=c{sqrt {frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}

Для прямоугольника, в котором a = b, формула упрощается до {displaystyle R={tfrac {1}{2}}{sqrt {a^{2}+c^{2}}}}.

См. также[править | править код]

  • Равнобедренная описанная трапеция

Литература[править | править код]

  • George Bruce Halsted. Elementary Synthetic Geometry. — J. Wiley & sons, 1896..
  • William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. The Century Dictionary and Cyclopedia. — The Century co., 1911..

Примечания[править | править код]

  1. Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree [1] Архивная копия от 22 декабря 2014 на Wayback Machine
  2. isosceles trapezoid. Дата обращения: 25 сентября 2016. Архивировано 26 августа 2016 года.
  3. 1 2 Halsted, 1896, с. 49–53.
  4. Whitney, Smith, 1911, с. 1547.
  5. Mzone.mweb.co.za. Дата обращения: 25 сентября 2016. Архивировано 19 июля 2011 года.
  6. Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [2] Архивная копия от 28 июня 2018 на Wayback Machine Accessed 1 July 2014.

Ссылки[править | править код]

  • Some engineering formulas involving isosceles trapezoids

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Признаки и свойства равнобедренной трапеции

(blacktriangleright) Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

(blacktriangleright) Углы при каждом основании равны;

(blacktriangleright) Диагонали равны;

(blacktriangleright) Два треугольника, образованные диагоналями и одним из оснований, являются равнобедренными;

(blacktriangleright) Два треугольника, образованные диагоналями и боковой стороной, равны.


Задание
1

#296

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В трапеции (ABCD): (AB = CD), (angle C – angle A = 80^{circ}). Найдите (angle D + angle B – angle C). Ответ дайте в градусах.

У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда (angle B = angle C) и, следовательно, (angle D + angle B – angle C = angle D = angle A).

У равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна (180^{circ}) (так как (angle C = angle B), а (angle A + angle B = 180^{circ}), как сумма односторонних при параллельных прямых и секущей).

(angle A + angle C = 180^{circ}),

(angle C – angle A = 80^{circ})
тогда, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем (2cdot angle A = 100^{circ}). В итоге имеем: (angle D + angle B – angle C = angle A = 50^{circ}).

Ответ: 50


Задание
2

#1699

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагонали в равнобедренной трапеции (ABCD) перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если диагональ (AC) равна (2).

В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому (AC = BD = 2). Пускай (O) – точка пересечения диагоналей.

[begin{gathered}
S_{ABCD} = S_{triangle ABC} + S_{triangle CDA} = frac{1}{2}cdot AC cdot BO + frac{1}{2}cdot AC cdot OD =\ =frac{1}{2}cdot AC cdot(BO + OD) = frac{1}{2}cdot AC cdot BD = frac{1}{2} cdot 2 cdot 2 = 2end{gathered}]

Ответ: 2


Задание
3

#1789

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите диагонали равнобедренной трапеции, если они перпендикулярны, а площадь трапеции равна (8).

Пусть (ABCD) — трапеция с диагоналями (AC) и (BD), (O) – точка их пересечения, тогда
(S_{ABCD} = S_{triangle ABC} + S_{triangle CDA} = frac{1}{2}cdot AC cdot BO + frac{1}{2}cdot AC cdot OD = )
(frac{1}{2}cdot AC cdot(BO + OD) = frac{1}{2}cdot AC cdot BD =
frac{1}{2}cdot AC^2 = 8)
(Rightarrow) (AC = 4).

Ответ: 4


Задание
4

#1704

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренной трапеции (ABCD) основание (AD) вдвое длиннее основания (BC) и боковой стороны. Найдите острый угол трапеции.

Если опустить высоты (BH) и (CK) на основание (AD), то они отсекут равные отрезки (AH) и (KD), причем (AB = BC = HK) (Rightarrow) (AH = frac{AD – HK}{2} = frac{HK}{2} = frac{AB}{2}) (Rightarrow) (angle ABH = 30^circ), как угол в прямоугольном треугольнике, противолежащий катету, равному половине гипотенузы (Rightarrow) (angle BAK = 90^circ – 30^circ = 60^circ).

Ответ: 60


Задание
5

#295

Уровень задания: Равен ЕГЭ

(ABCD) – трапеция с основаниями (AD) и (BC). При этом (AB = CD = 6), (BC = 4), один из углов трапеции (ABCD) равен (60^{circ}). Найдите (AD).

Пусть (angle A = 60^{circ}), (BE) – высота в треугольнике (ABD). (angle ABE = 90^{circ} – 60^{circ} = 30^{circ}). Катет, лежащий против угла в (30^{circ}), равен половине гипотенузы, тогда (AE = 0,5cdot 6 = 3).

У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда (angle D = 60^{circ}). Пусть (CF) – высота в треугольнике (ACD), тогда аналогично тому, как находили (AE), находим, что (FD = 3). (EF = BC), так как (BCFE) – прямоугольник. Тогда (AD = AE + EF + FD = 3 + 4 + 3 = 10).

Ответ: 10


Задание
6

#1700

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагонали в равнобедренной трапеции (ABCD) перпендикулярны. (O) – точка пересечения диагоналей, причем (AO:OC = 7:1). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно (1).

(BC) – меньшее основание, треугольники (triangle BOC) и (triangle AOD) подобны и их стороны относятся как (1:7) (Rightarrow) (BC:AD = 1:7) (Rightarrow) (AD = 7); (OB = OC), (OB^2 + OC^2 = 1^2) (Rightarrow) (OB = OC = frac{1}{sqrt2}) (Rightarrow) (AO = frac{7}{sqrt2}). В (triangle ABO): (AO^2 + OB^2 = AB^2) (Rightarrow) (AB = 5). Тогда (P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 1 + 7 + 5 + 5 = 18).

Ответ: 18


Задание
7

#1702

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренной трапеции (ABCD) биссектриса (angle ABC) параллельна боковой стороне (CD) и пересекает основание (AD) в точке (K), которая делит (AD) в отношении (AK:KD = 1:2). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно (4).

(BCDK) – параллелограмм, т.к. противоположные стороны попарно параллельны; (angle AKB = angle KBC), т.к. накрест лежащие при параллельных (BC) и (AD); (angle BAK = angle CDK = angle KBC) (Rightarrow) (triangle ABK) – равносторонний треугольник. (BC = KD = 4) (Rightarrow) (AK = 2 = AB = CD) (Rightarrow) (P_{ABCD} = AB + BC + CD + KD + AK = 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 14).

Ответ: 14

Учащимся старших классов, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике, в обязательном порядке стоит повторить тему «Равнобедренная трапеция» и освежить в памяти ее основные свойства и признаки. Многолетняя практика показывает, что подобные задания ежегодно встречаются в программе аттестационного испытания. Поэтому, если вы хотите успешно решить задачи ЕГЭ на применение основных свойств диагоналей или углов равнобедренной трапеции, вам непременно стоит разобраться в этой теме.

Образовательный портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс позволяет учащимся определить наиболее сложные темы и ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и изложили весь материал в максимально доступной форме.

Чтобы выпускники могли успешно справляться с геометрическими задачами, мы рекомендуем вспомнить определение равнобедренной трапеции, свойства ее сторон, углов и диагоналей, а также формулу для вычисления площади. Эта информация представлена в разделе «Теоретическая справка».

Вспомнив основные свойства углов, диагоналей и сторон равнобедренной трапеции, учащиеся имеют возможность закрепить усвоенный материал, выполнив практические задания. Упражнения различного уровня сложности представлены в разделе «Каталог». В каждом из них вы найдете подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Практиковаться в выполнении заданий по теме «Трапеция» при подготовке к ЕГЭ выпускники могут в режиме онлайн, находясь не только в Москве, но и в любом другом городе России. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.

УСТАЛ? Просто отдохни

Добавить комментарий