Таблица истинности как найти переменную - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

План урока:

Способы решению задач по логике

Табличный способ – этапы, особенности

Сравнение методов решения

Построение таблиц истинности для различных типов задач

Построение электрических схем, реализующих логические операции

Способы решения задач по логике

Многие задачи можно решить, используя инструменты алгебры логики. Чтобы получить результат, можно пойти 3 путями:

рассуждая над условием;
решая логические операции;
используя таблицы истинности.

Логический подход подразумевает перевод условия из естественного языка на язык символов, схем и формул. Для такой формализации высказываний нужно выполнить ряд шагов.

Этапы решения логических задач:

Разобраться с условием на естественном языке, выделив простые высказывания, и дать им символьные обозначения (латиница).
Записать условие в виде формулы. Решить ее поэтапно, упрощая, учитывая приоритеты (( ), ¬, &, V).
Просчитать формулы строчно или при помощи таблиц истинности, учитывая законы алгебры логики.
Проверить, соответствует ли полученный результат условию задачи.

Табличный способ – этапы, особенности

Таблица истинности – табличное выражение результата логических операций для каждого отдельного набора значений переменных.

Такие таблицы позволяют абстрагироваться от маловажной информации, сосредоточиться только на связях между исходными данными, над происходящими процессами. Таким образом, человек может абстрагироваться от непонятной для него информации, решать неспецифические задачи.

Метод таблиц

Чтобы использовать таблицы истинности, необходимо формализовать условие, то есть отойти от деталей задачи, обозначая первоначальную информацию при помощи букв и цифр 0 и 1.

Существует общий алгоритм построения таблиц:

Определить число логических значений/переменных (n) в примере.
Установить вид, число и тип операций. Важно заранее определить очередность действий, выразить это при помощи скобок.
Полученные данные позволяют рассчитать сколько нужно столбцов – это сумма числа переменных и операций.
Нарисовать таблицу, заполнить шапку, записав обозначение переменных и выбранные действия.
Определить, сколько существует наборов логических переменных (т.е. число строчек) по формуле m = 2ⁿ+ 1 (шапка).
Заполнить столбцы, вписав наборы значений логических переменных (0 или 1).
Записать результаты логических операций, указанных в шапке для каждой совокупности значений.
Сделать выводы на основании полученных результатов.

Если необходимо перебрать все значения простых выражений, то для задач:

с 2-мя переменными может быть только 4 набора логических переменных;

Если словесно описывать все эти комбинаций, на каждый из примеров понадобится десятки строк текста.

Обязательно учитывают приоритет операций:

Указанные в скобках.
Отрицание.
Логическая конъюнкция чисел.
Дизъюнкция.
Строгая дизъюнкция.
Импликация.
Эквивалентность.

Обозначение логических операций:

Сравнение методов решения

Метод рассуждений

Он заключается в пошаговом анализе условий с промежуточными выводами на каждом этапе. Выполняется анализ таблицы истинности каждого логического выражения.

Пример №1.

Андрей, Владимир, Георгий и Дмитрий живут на одной улице, они соседи. Они работают по таким специальностям: гитарист, плотник, егерь и стоматолог.

Известно, что:

дом плотника правее егеря;
стоматолог проживает левее егеря;
дом гитариста с самого краю;
стоматолог живет рядом с гитаристом;
Владимир не гитарист, и его дом не соседствует с гитаристом;
дома Дмитрия и егеря соседние;
здание, в котором прописан Андрей, правее стоматолога;
между домами Андрея и Дмитрия один дом.

Чтобы рассуждать было проще, добавим изображение зданий, присвоим им номера:

Но стоматолог живет левее егеря, а правее егеря – плотник. Получается, что дом гитариста не может быть последним, а дом стоматолога не может быть предпоследними. То есть, егерь живет в предпоследнем доме:

Между домами Андрея и Дмитрия стоит один дом, значит, дом Андрея не может быть предпоследним, получается номер – 4, что автоматом исключает проживание там Дмитрия и Владимира.

Условие задачи заняло 2 предложения, а рассуждений получилось на 2 страницы.

Такой подход лучше не использовать, если условие сложное или много данных.

Табличный метод

Более удачным подходом к решению задач с большим количеством данных (несколько множеств), считается табличный, или графический (диаграммы).

Чтобы построить таблицу истинности логических выражений, следует:

Разбить задачу на простейшие утверждения, которые обозначить символами (большие буквы латинского алфавита).
Записать условие задачи, как составное выражение из символов логических операций.
Нарисовать таблицу истинности для полученных данных.
Выбрать такой вариант, при котором полученные значения подходят под условие.
Проверить соответствие выбранного варианта и условия задачи.

Чтобы преобразовывать условие задачи в логические выражения и операции, удобно пользоваться такой сводной таблицей истинности логических операций:

Рассмотрим тот же пример.

Определяем, что только гитарист может жить в первом доме, далее смотрим на заметки и условия и получаем таких жителей:

Метод компактнее, для некоторых задач нагляднее.

Построение таблиц истинности для различных типов задач

Несмотря на многообразие задач, многие условия повторяются, если оставить сухие формулы, не вникая в имена, места, профессии. Разобравшись с примером один раз, можно решать аналогичные задачи без труда. Рассмотрим несколько любопытных заданий, решив при помощи логически.

Пример 2.

Известно, что если первый студент летал в Англию на стажировку, то и второй тоже летал, но неправда, что если летал третий, то и второй.

Разобьём условие на 3 простые высказывания, присвоим им буквенные обозначения:

А — «Первый студент летал в Англию»;

В — «Второй студент летал в Англию»;

С — «Третий студент летал в Англию».

Запишем выясненные данные при помощи логических операций:

Пример 3.

Есть три 8-ых класса (А, В, С), которые соревнуются между собой за средний бал. Учителя в начале года сделали такие предположения:

Если А получит максимальный бал, то максимальный бал получат Ви С.
А и С получат или не получат максимальный бал одновременно.
Необходимым условием получения высшего бала С класса является получение высшего бала В классом.

По завершении года оказалось, что 2 предсказания оказались верными, а одно – ошибочным.

Выясним, какие же классы добились высшего бала.

Разбиваем условие задачи на элементарные высказывания:

А – «А добьется высшего бала»;

В – «В добьется высшего бала»;

С – «С добьется высшего бала».

Запишем логические операции, описанные в примере:

Мы заполнили таблицу истинности для всех возможных значений исходных данных. В примере говорилось, что только 2 утверждения в конце года казались истинными, а 1- ложным. Такому условию отвечает 3-я строка в таблице.

Пример 4.

Во время знакомства девушка, любительница загадок, сказала, что ее имя узнать легко:

последняя – гласная (Х1);
или первая буква согласная (Х2)
вторая – согласная (Х3).

¬(Х1→Х2)VХ3

Предложенные имена: Арина, Артур, Кэтрин, София.

Решим задачу, используя таблицу.

Сначала решим пошагово, выполняя операции по приоритету:

Указанному условию соответствует первое имя.

Пример 5.

Попробуем решать задачи, в которые нет четких высказываний, истинных или ложных. В них половина информации, правда, половина – ложь, при этом неизвестно, какая именно. Под такой тип задач можно подставить любое условие, но научившись решать его, можно разобраться со всеми аналогичными.

Известно, что в олимпиаде по химии участвовали 4 ученицы 8 класса: Марина, Света, Саша и Галя. Они заняли первые 4 места. Какое место заняла каждая из девочек, если есть их высказывания о победителях, но в них лишь половина информации правдива – первая или вторая половина предложения.

Маша Марина: «Саша заняла второе место, а Света – первое».

Полина Света: «Нет, это не так, Саша – победительница, а Галя, – на втором месте».

Ольга Саша: «Зачем вы всех путаете? Третье место за Мариной, а Света – на четвертом месте».

Составляем таблица для перебора вариантов. Правду обозначаем «1», ложь – «0».

Берем любое (Марины) утверждение и принимаем его первую часть за правду. Значит, Саша – 2 место, тогда Света не 1-ое (вторая половина фразы – ложь), остальных девочек на 2 место ставим «0».

Берем утверждение второй девочки. Так как Саша не может быть победительницей, то в этой фразе первая часть – ложь, а вторая должна быть истинной. Но в нем и вторая часть – неверна (второе место за Сашей, мы так приняли в начале).Уже на второй фразе получается противоречие всему.

Итог: Победительницей олимпиады стала Светлана, на втором месте – Галина, на третьем – Марина, на последнем из четырех – Александра.

Построение электронных схем, реализующих логические операции

Если рассмотреть электросхемы с точки зрения логики, особенно компьютерные, то их также можно описать при помощи «1» и «0» – электричество идет или не идет по проводам.

Попробуем нарисовать логические элементы схемы питания лампочки для нескольких простых операций.

Электросхема с конъюнктором

Рассмотрим все варианты:

Все контакты включены, тогда источник света горит.
Первый контакт в положении «выключено» – свет не горит.
Второй контакт выключен – лампа не светит.
Все контакты отключены – свет не горит.

Заключение – эта электрическая цепь реализует операцию «И».

Дизъюнктор, схема электропитания

Рассмотрим этот вид электрической цепочки:

Все контакты включены – лампа горит.
Первый контакт включен, второй выключен – свет горит.
Обратная ситуация – выключен первый, включен второй – лампа светится.
Все контакты выключены – света нет.

Заключение – такой вид электросхем соответствует логической операции «ИЛИ».

Инвертор в электросхемах

В этой схеме переключатель не ручной, а автоматический. Здесь процесс обратный – когда ток не идет, контакты замыкаются, горит свет. Если же в сеть подается электричество, пластинка размыкается вследствие электромагнитной индукции, и сеть разъединяется – света нет.

Заключение: схема соответствует логической операции «НЕ».

Умение читать и решать логические операции, строить соответствующие электросхемы, позволяет создавать иерархически более сложные конструкции, которые используются для реализации процессов в современных ПК.

Обозначение логических элементов

Удобно создавать электросхемы в ПО SmartNotebook, которое используется с интерактивной доской.

Источник

Построение таблиц истинности

Екатерина Андреевна Гапонько

Эксперт по предмету «Информатика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.

Определение 2

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.

Определение 3

Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.

При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:

Рисунок 1.

Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.

Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка), $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.
Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.
Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.

«Построение таблиц истинности» 👇

Рисунок 2.

Пример 1

Составить таблицу истинности логического выражения $D=bar{A} vee (B vee C)$.

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:
1. инверсия ($bar{A}$);
2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($B vee C$);
3. дизъюнкция ($overline{A}vee left(Bvee Cright)$) – искомое логическое выражение.
  
  Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.
Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.

Рисунок 3.

Пример 2

По данному логическому выражению построить таблицу истинности:

[F=overline{(Avee B)bigwedge overline{C}}vee overline{(Avee C)bigwedge B}]

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:
1. отрицание ($bar{C}$);
2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A vee B$);
3. конъюнкция ($(Avee B)bigwedge overline{C}$);
4. отрицание, которое обозначим $F_1$ ($overline{(Avee B)bigwedge overline{C}}$);
5. дизъюнкция ($A vee C$);
6. конъюнкция ($(Avee C)bigwedge B$);
7. отрицание, которое обозначим $F_2$ ($overline{(Avee C)bigwedge B}$);
8. дизъюнкция – искомая логическая функция ($overline{(Avee B)bigwedge overline{C}}vee overline{(Avee C)bigwedge B}$).
  
  Кол-во столбцов = $3 + 8 = 11$.
Заполним таблицу, учитывая таблицу истинности логических операций.

Рисунок 4.

Алгоритм построения логической функции по ее таблице истинности

Выделяют в таблице истинности строки со значением функции, равным $1$.
Выписывают искомую формулу как дизъюнкцию нескольких логических выражений. Количество этих выражений равно количеству выделенных строк.
Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции записать как конъюнкцию аргументов функции.
В случае, когда значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы принимает значение $0$, то этот аргумент записать в виде его отрицания.

Пример 3

По данной таблице истинности некоторой логической функции $Y(A,B)$ cоставить соответствующую логическую функцию.

Рисунок 5.

Решение:

Значение функции равно $1$ в $1$-й и $3$-й строках таблицы.
Поскольку имеем $2$ строки, получим дизъюнкцию двух элементов:

Рисунок 6.
Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции запишем как конъюнкцию аргументов функции $A$ и $B$: $left(Awedge Bright)vee left(Awedge Bright)$
В случае, когда значение в соответствующей строке таблицы равно $0$, запишем этот аргумент с отрицанием, получим искомую функцию:[Yleft(A,Bright)=left(overline{A}wedge overline{B}right)vee left(Awedge overline{B}right).]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата написания статьи: 12.04.2016

Источник

Логические выражения и таблица истинности

Примеры задач с решениями по этой теме Пройти тестирование по теме Контрольная по теме

Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2ⁿ, где n — количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Пример 1. Для формулы A/ (B / ¬B /¬C) постройте таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2³ = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А/ В)/(¬А/¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2. m_строк=2ⁿ, m=2²=4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А/¬В; 5) (А/ В)/(¬А/¬В).

5. К_{столбцов}=n+5=2+5=7 столбцов.

А	В	А/ В	¬А	¬В	¬А/¬В	F
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

F = (A/ B) / ¬С

В данной функции три логические переменные – А, В, С
количество строк таблицы = 2³=8
В формуле 3 логические операции.
Расставляем порядок действий

1) А/ В; 2) ¬С; 3) (AVB) / ¬С .

количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

А	В	С	A/B	¬С	(A/B) / ¬С
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

Пример 4. Определите истинность формулы: F = ((С /В) => В) / (А / В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X	Y	Z	F
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X/¬Y/Z 2) ¬X/¬Y/Z 3) X/Y/¬Z 4) X/Y/Z

Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

X	Y	Z	F	¬X	¬Y	¬Z	¬X/¬Y/Z	¬X/¬Y/Z	X/Y/¬Z	X/Y/Z
0	0	0	1	1	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0	1	1	1

Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X/Y/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Ответ: 3

Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

Рассмотрим данный конкретный пример:

1) первое заданное выражение ¬X/¬Y/Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2) второе заданное выражение ¬X/¬Y/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;

3) третье выражение X/Y/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

4) четвертое выражение X/Y/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Ответ: 3

Источник

На уроке рассматривается разбор 2 задания ЕГЭ по информатике, дается подробное объяснение того, как решать подобные задачи

Содержание:

Объяснение задания 2 ЕГЭ по информатике
- Таблицы истинности и порядок выполнения логических операций
Решение заданий 2 ЕГЭ по информатике
- Задания для тренировки

2-е задание: «Таблицы истинности»

Уровень сложности

— базовый,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 3 минуты.

Проверяемые элементы содержания: Умение строить таблицы истинности и логические схемы

Типичные ошибки и рекомендации по их предотвращению:

“Игнорирование прямо указанного в условии задания требования, что заполненная таблица истинности не должна содержать одинаковых строк. Это приводит к внешне правдоподобному, но на самом деле неверному решению”

ФГБНУ “Федеральный институт педагогических измерений”

Таблицы истинности и порядок выполнения логических операций

Для логических операций приняты следующие обозначения:

операция	пояснение	в программировании
¬ A, A	не A (отрицание, инверсия)	not(A)
A ∧ B, A ⋅ B	A и B (логическое умножение, конъюнкция)	A and B
A ∨ B, A + B	A или B (логическое сложение, дизъюнкция)	A or B
A → B	импликация (следование)	A <= B
A ↔ B, A ≡ B, A ∼ B	эквиваленция (эквивалентность, равносильность)	A==B (python) A=B(pascal)
A ⊕ B	строгая дизъюнкция	A != B (python) A <> B (pascal)

Егифка ©:

Отрицание (НЕ):

Таблица истинности операции НЕ

Конъюнкция (И):

Таблица истинности операции И (конъюнкция)

Дизъюнкция (ИЛИ):

Таблица истинности операции ИЛИ (дизъюнкция)

Импликация (если…, то…):

Таблица истинности операции Импликация (если…, то…)

Эквивалентность (тогда и только тогда, …):

Таблица истинности операции Эквивалентность (тогда и только тогда, …)

Сложение по модулю 2 (XOR):

A	B	A ⊕ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Порядок выполнения операций:

если нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», импликация, равносильность

Еще о логических операциях:

логическое произведение X∙Y∙Z∙… равно 1, т.е. выражение является истинным, только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)
логическая сумма X+Y+Z+… равна 0, т.е. выражение является ложным только тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)

О преобразованиях логических операций читайте здесь.

Егифка ©:

Решение заданий 2 ЕГЭ по информатике

Задание 2_11: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Логическая функция F задается выражением

(¬x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ ¬z ∨ ¬w)

Ниже приведен фрагмент таблицы истинности функции F, содержащей все наборы аргументов, при которых функция F ложна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

Перем.1	Перем.2	Перем.3	Перем.4	F
???	???	???	???	F
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0

В ответе запишите буквы в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

✎ Способ 1. Электронные таблицы Excel + Логические размышления:

Отобразим перебор всех значений использующихся в выражении переменных (всю таблицу истинности). Поскольку в выражении используются 4 переменных, то строк таблицы будет 2⁴=16:

Далее обе скобки исходного выражения необходимо записать в виде логического выражения, каждую — в отдельном столбце. Также в отдельном столбце добавьте формулу итоговой функции F:

Выделите таблицу и отсортируйте строки по столбцу с результатом функции. Для этого в меню Главная => Настраиваемая сортировка =>:

Получили верхние строки таблицы — с которыми сравним исходную таблицу и найдем результат:

Получаем следующий порядок переменных:

xwzy

✎ Способ 2. Программирование:

Язык python:

print('x y z w')
for x in 0, 1:
  for y in 0, 1:
    for z in 0, 1:
      for w in 0, 1:
        F = (not(x) or y or z) and (x or not(z) or not(w))
        if not(F):
          print(x, y, z, w)

В результате будут выведены значения для F=0:

Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат:

xwzy

Язык pascalAbc.net:

begin
  writeln('x':7, 'y':7, 'z':7,'w':7);
  for var x:=false to true do
    for var y:=false to true do
      for var z:=false to true do
        for var w:=false to true do
          if not((not x or y or z) and (x or not z or not w)) then
            writeln(x:7, y:7, z:7,w:7);
end.

В результате будут выведены значения для F=0:

      x      y      z      w
  False  False   True   True
  False   True   True   True
   True  False  False  False
   True  False  False   True

Где false = 0, True = 1
Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат:

Ответ:

xwzy

✎ Способ 3. Логические размышления:

Внешняя операция выражения — конъюнкция (∧). Во всех указанных строках таблицы истинности функция принимает значение 0 (ложь). Конъюнкция ложна аж в трех случаях, поэтому проверить на ложь очень затруднительно. Тогда как конъюнкция истинна (= 1) только в одном случае: когда все операнды истинны. Т.е. в нашем случае:

(¬x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ ¬z ∨ ¬w) = 1 когда:
1. (¬x ∨ y ∨ z) = 1 
И 
2. (x ∨ ¬z ∨ ¬w) = 1

Общая идея дальнейшего решения такова: поскольку внешняя операция — конъюнкция, и результат ее истинен, когда оба сомножителя в скобках будут истинны (=1), то нам необходимо сначала составить все наборы таблицы истинности для обоих сомножителей в скобках. Затем, так как конъюнкция подразумевает пересечение, необходимо сопоставить обе таблицы истинности и выбрать для каждого подходящего набора первого сомножителя подходящий (подходящие) набор (наборы) второго сомножителя. НО! так как у нас в задании известны только наборы для F = 0, то мы сопоставлять будем наборы, которые возвращают ложь. Теперь подробно.
Разобьём исходное выражение на две части и составим таблицу истинности отдельно для двух частей.
Для сомножителя (¬x ∨ y ∨ z):

x	y	z	результат
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Получили ложь в одном наборе, так как дизъюнкция (∨) ложна только тогда, когда ложны все операнды.
Для сомножителя (x ∨ ¬z ∨ ¬w):

x	z	w	результат
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Соответственно, опять получили ложь в одном наборе, когда ложны все операнды.
Учтем, что нам нужно выбрать и «пересечь» (так как внешняя операция ∧) из всех наборов только те, которые возвращают ложь (так как по заданию известны только строки, где F = 0):

Выпишем только пересеченные наборы:

x	y	z	w	F
0	0	1	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0

Сравнив вторую строку заданной таблицы и вторую строку получившейся таблицы, находим, что x находится в первом столбце.

x	y	z	w	F
0	0	1	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0

x	???	???	???	F
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0

Сравнив первую и четвертую одинаковые строки получившейся таблицы, находим, что y в обоих случаях равен 0. Значит он находится в 4-м столбце.

x	y	z	w	F
0	0	1	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0

x	???	???	y	F
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0

Сравнив предпоследнюю и последнюю строки получившейся таблицы, там где x = 1, находим, что z в обоих случаях равен 0, тогда как w принимает значение и 1 и 0. Значит z находится в 3-м столбце.

x	y	z	w	F
0	0	1	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0

Для w остается второй столбец:

x	w	z	y	F
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0

Результат: xwzy

🎦 Видеорешение (бескомпьютерный вариант):

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задание 2_12: Разбор 2 задания ЕГЭ:

Миша заполнял таблицу истинности функции:

(¬z ∧ ¬(x ≡ y)) → ¬(y ∨ w)

но успел заполнить лишь фрагмент из трех различных ее строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z:

Перем.1	Перем.2	Перем.3	Перем.4	F
???	???	???	???	F
1	1			0
1		0		0
	1	1	0	0

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Способ 1. Логические размышления (бескомпьютерный вариант):

Решим задание методом построения полной таблицы истинности.
Посчитаем общее количество строк в таблице истинности и построим ее:

4 переменных -> 2⁴ = 16 строк

Для начала упростим выражение и выделим в нем две основные части относительно внешней операции (операция, которая выполняется последней).

(¬z ∧ ¬(x ≡ y)) → ¬(y ∨ w)
1. Избавимся от импликации:
¬(¬z ∧ ¬(x ≡ y)) ∨ ¬(y ∨ w)
2. Внесем знак отрицания в скобки (закон Де Моргана):
(z ∨ (x ≡ y)) ∨ (¬y ∧ ¬w) = 0
   ^{1 часть = 0     2 часть = 0}

* Исходное выражение должно быть = 0. Дизъюнкция = 0, когда оба операнда равны 0.

Разбили исходное выражение на две части, теперь добавим столбцы для двух частей в таблицу истинности:

Поясним: в первой части внешняя операция — дизъюнкция (ложна, когда оба операнда ложны). Во второй части внешняя операция — конъюнкция — ложна во всех случаях кроме того, когда оба операнда истинны:

(z ∨ (x ≡ y)) = 0 когда z = 0 и x ≡ y = 0

¬y ∧ ¬w = 0 когда:
1. ¬y = 0  ¬w = 0
2. ¬y = 1  ¬w = 0
3. ¬y = 0  ¬w = 1

В результирующей таблице истинности получили только три набора значений переменных при которых выражение возвратит ложь.

x	y	w	z	F
0	1	0	0	0
0	1	1	0	0
1	0	1	0	0

Сравнив их с исходной таблицей истинности, имеем:

y	w	x	z	F
1	1	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	1	0	0

Таким образом, ответ: ywxz

Результат: ywxz

✎ Способ 2. Программирование:

Язык PascalAbc.net:

begin
  writeln('x':7, 'y':7, 'z':7,'w':7);
  for var x:=false to true do
    for var y:=false to true do
      for var z:=false to true do
        for var w:=false to true do
          if not((not z and (x xor y)) <= not(y or w)) then
            writeln(x:7, y:7, z:7,w:7);
end.

В результате будут выведены значения для F=0:

      x      y      z      w
  False   True  False  False
  False   True  False   True
   True  False  False   True

Где false = 0, True = 1

Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат: ywxz

Язык Python:

print ('x y z w')
for x in 0,1:
    for y in 0,1:
        for z in 0,1:
            for w in 0,1:
                F=(not z and not(x==y))<=(not(y or w))
                if not F:
                    print (x,y,z,w)

В результате будут выведены значения для F=0:

Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат:

Результат: ywxz

🎦 Доступно видео решения этого задания (бескомпьютерный вариант):

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

🎦 Видео (решение 2 ЕГЭ в Excel):

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (Программирование)

Задание 2_10: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Логическая функция F задается выражением

¬a ∧ b ∧ (c ∨ ¬d)

Ниже приведен фрагмент таблицы истинности функции F, содержащей все наборы аргументов, при которых функция F истинна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c, d.

Перем.1	Перем.2	Перем.3	Перем.4	F
???	???	???	???	F
0	1	0	0	1
1	1	0	0	1
1	1	0	1	1

В ответе запишите буквы в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

🎦 (Бескомьютерный вариант) Предлагаем подробный разбор посмотреть на видео:

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задание 2_3: Решение задания 2. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Логическая функция F задаётся выражением ¬x ∨ y ∨ (¬z ∧ w).
На рисунке приведён фрагмент таб. ист-ти функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	Перем. 4	F
???	???	???	???	F
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	0	0

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Логические размышления (бескомпьютерный вариант):

Внешним действием (последним выполняемым) в исходном выражении является дизъюнкция:

¬x ∨ y ∨ (¬z ∧ w)

Вспомним таб. ист-ти для дизъюнкции (логическое сложение):

x1	x2	F
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Чтобы исходное выражение было истинным, нужно, чтобы хотя бы один из операндов равнялся единице. Т.е. нельзя наверняка сказать, где будет 1, а где 0 (¬x = 1 или 0, y = 1 или 0, ¬z ∧ w = 1 или 0).
Функция же ложна только в одном случае, — когда все операнды ложны. Поэтому будем искать по признаку лжи.
В исходной таблице истинности во всех строках функция ложна. Чтобы понять в каком столбце должна находиться та или иная переменная, возьмем за основу строку, в которой только одна единица или только один нуль.
Строка №1: в ней одна единица — первый столбец. В исходной формуле, чтобы функция была ложна, необходимо, чтобы ¬x = 0, иными словами x = 1. Значит первый столбец соответствует переменной x.

Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	Перем. 4	F
x	???	???	???	F
1	0	0	0	0

Строка №3: в ней один нуль — четвертый столбец. В исходной формуле, чтобы функция была ложна, необходимо, чтобы y = 0. Значит четвертый столбец соответствует переменной y.

Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	Перем. 4	F
x	???	???	y	F
1	1	1	0	0

Строка №2: в ней второй столбец равен единице, а третий — нулю. В исходном выражении ¬z ∧ w должно равняться 0, чтобы функция была ложной. Конъюнкция истинна только тогда, когда оба операнда истинны (=1); в нашем случае функция должна быть ложной, но пойдем от обратного. Если ¬z = 1, т.е. z = 0, а w = 1, то это неверно для нашего случая. Значит всё должно быть наоборот: z = 1, а w = 0. Таким образом столбец второй соответствует z, а столбец третий — w.

x	z	w	y	F
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	0	0

Результат: xzwy

✎ Способ 2. Программирование:
Язык pascalABC.NET:

begin
  writeln('x  ','y  ','z  ','w  ');
  for var x:=false to true do
    for var y:=false to true do
      for var z:=false to true do
        for var w:=false to true do
          if not(not x or y or(not z and w)) then
            writeln(x:7,y:7,z:7,w:7);
end.

🎦 (бескомпьютерный вариант) Подробное решение данного 2 задания из демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задание 2_13: Разбор досрочного егэ по информатике 2019

Логическая функция F задаётся выражением

(x ∧ ¬y) ∨ (y ≡ z) ∨ ¬w

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

Перем.1	Перем.2	Перем.3	Перем.4	F
???	???	???	???	F
0			0	0
0	1	0	1	0
	1	0		0

✍ Решение:

🎦 Видеорешение (бескомпьютерный вариант):
📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задания для тренировки

Задание 2_2: Задание 2 ЕГЭ по информатике:

Каждое из логических выражений F и G содержит 5 переменных. В табл. истинности для F и G есть ровно 5 одинаковых строк, причем ровно в 4 из них в столбце значений стоит 1.

Сколько строк таблицы истинности для F ∨ G содержит 1 в столбце значений?

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

Поскольку в каждом из выражений присутствует 5 переменных, то эти 5 переменных порождают таблицу истинности из 32 строк: т.к. каждая из переменных может принимать оно из двух значений (0 или 1), то различных вариантов с пятью переменными будет 2⁵=32, т.е. 32 строки.
Из этих 32 строк и для F и для G мы знаем наверняка только о 5 строках: 4 из них истинны (=1), а одна ложна (=0).
Вопрос стоит о количестве строк = 1 для таб. истинности F ∨ G. Данная операция — дизъюнкция, которая ложна только в одном случае — если F = 0 и одновременно G = 0
В исходных таблицах для F и G мы знаем о существовании только одного 0, т.е. в остальных строках может быть 1. Т.о., и для F и для G в 31 строке могут быть единицы (32-1=31), а лишь в одной — ноль.
Тогда для F ∨ G только в одном случае будет 0, когда и F = 0 и G = 0:

№	F	G	F ∨ G
1	0	0	0
2	0	1	1
…	…	…	1
32	…	…	1

Соответственно, истинными будут все остальные строки:

32 - 1 = 31

Результат: 31

Подробное объяснение данного задания смотрите на видео:

📹 здесь

Задание 2_6: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 7 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы.

Каково максимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A ∨ B?

✍ Решение:

Полная таблица истинности для каждого из выражений A и B состоит из 2⁷ = 128 строк.
В четырех из них результат равен единице, значит в остальных — 0.
A ∨ B истинно в том случае, когда либо A = 1 либо B = 1, или и A и B = 1.
Поскольку А = 1 только в 4 случаях, то чтобы получить максимальное количество единиц в результирующей таблице истинности (для A ∨ B), расположим все единицы т.и. для выражения A так, чтобы они были в строках, где B = 0, и наоборот, все строки, где B = 1, поставим в строки, где A = 0:

A	B
1	0
1	0
1	0
1	0
0	1
0	1
0	1
0	1
0	0
…	…

Итого получаем 8 строк.
Если бы в задании требовалось найти минимальное количество единиц, то мы бы совместили строки со значением = 1, и получили бы значение 4.

Результат: 8

Задание 2_7: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 8 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 6 единиц.

Каково максимально возможное число нулей в столбце значений таблицы истинности выражения A ∧ B?

✍ Решение:

Полная таблица истинности для каждого из выражений A и B состоит из 2⁸ = 256 строк.
В шести из них результат равен единице, значит в остальных — 0.

A ∧ B ложно в том случае, когда:

A ∧ B = 0 если:

1. A = 0, B = 1 
2. B = 0, A = 1
3. A = 0 и B = 0

Во всех случаях там где А=1 может стоять B=0, и тогда результат F = 0. Поскольку нам необходимо найти максимально возможное число нулей, то как раз для всех шести А=1 сопоставим B=0, и наоборот, для всех шести возможных B=1 сопоставим A=0

A	B	F
1	0	0
1	0	0
1	0	0
1	0	0
0	1	0
0	1	0
0	1	0
0	1	0
0	0	0
…	…	…

Поскольку строк всего 256, то вполне возможно, что все 256 из них возвратят в результате 0

Результат: 256

Задание 2_4: 2 задание:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	F
1	0	0	1	1	1	1	0
0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0

Каким из приведённых ниже выражений может быть F?
1) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7
2) x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7
3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
4) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

✍ Решение:

В первом внешняя операция (выполняется последней) — конъюнкция. Начнем рассмотрение с нее. Соответственно, проверяем по второй строке таб. ист-ти, там где F = 1, так как в таком случае все аргументы должны быть истинными (см. таб. истинности для конъюнкции).
Если мы подставим в нее все аргументы выражения, то функция действительно возвращает истину. Т.е. пункт первый подходит:

Но проверим на всякий случай остальные.
Второй пункт проверяем по первой и третьей строке, так как основная операция — дизъюнкция — ложна только в том случае, если все аргументы ложны (см. таб. истинности для дизъюнкции). Проверяя по первой строке, сразу видим, что x1 в ней равен 1. В таком случаем функция будет = 1. Т.е. этот пункт не подходит:

Третий пункт проверяем по второй строке, так как основная операция — конъюнкция — возвратит истину только тогда, когда все операнды равны 1. Видим, что x1 = 0, соответственно функция будет тоже равна 0. Т.е. выражение нам не подходит:

Четвертый пункт проверяем по первой и третьей строкам. В первой — x1 = 1, т.е. функция должна быть равна 1. Т.е. пункт тоже не подходит:

Таким образом, ответ равен 1.

Результат: 1

Решение 2 задания ГВЭ по информатике смотрите на видео:

📹 здесь

Задание 2_8: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

(¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ x5) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5)

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение истинно?

1) 0
2) 30
3) 31
4) 32

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

Поскольку выражение включает 5 переменных, то таб. ист-ти состоит из 2⁵ = 32 строк.
Внешней операцией (последней) является конъюнкция (логическое умножение), а внутри скобок — дизъюнкция (логическое сложение).
Обозначим первую скобку за А, а вторую скобку за B. Получим A ∧ B.
Найдем сколько нулей существует для таб. истинности:

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

1 случай. 0 0 : A = 0 и B = 0, то есть:

¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ x5 = 0
и
x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 = 0.

Обратим внимание, что во вторых скобках везде стоит инверсия переменных, которые находятся в первых скобках. Таким образом, это невозможно, так как дизъюнкция равна нулю, когда все операнды равны нулю. А если в первых скобках все 0, то из-за инверсий во вторых скобках все 1. То есть этот случай нам не подходит.
2 случай. 0 1 : нам он подходит, так как если первая скобка возвратит 0, то вторая вернет 1.
3 случай. 1 0 : нам он подходит, так как если вторая скобка возвратит 0, то первая вернет 1.
Итого получаем два случая, когда исходное выражение вернет 0, т.е. две строки таблицы истинности.
Тогда получим количество строк, с результатом равным 1:

32 - 2 = 30, что соответствует номеру 2

Результат: 2

Подробное решение задания смотрите в видеоуроке:

📹 здесь

Задание 2_5: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

x1	x2	x3	x4	x5	x6	F
0	0	1	1	0	0	1
0	0	0	0	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	1	0

Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x3 не совпадает с F.

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

Полная таблица истинности будет иметь 2⁶ = 64 строк (т.к. 6 переменных).
4 из них нам известны: в них x3 два раза не совпадает с F.
Неизвестных строк:

 
64 - 4 = 60

В неизвестных x3 может не совпадать с F, кроме того, в двух известных x3 не совпадает с F. Соответственно максимально возможное число строк с несовпадающими x3 и F, будет:

60 + 2 = 62

Результат: 62

Задание 2_9: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	F
			0		0		0
			0			0	1
1			1				1

Каким выражением может быть F?
1) x1 ∧ (x2 → x3) ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
2) x1 ∨ (¬x2 → x3) ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7
3) ¬x1 ∧ (x2 → ¬x3) ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ x7
4) ¬x1 ∨ (x2 → ¬x3) ∨ x4 ∨ x5 ∨ x6 ∧ x7

✍ Решение:

Рассмотрим отдельно каждый пункт и найдем последнюю операцию, которая должна быть выполнена (внешнюю).

1 пункт:

(((x1 ∧ (x2 → x3) ∧  ¬x4) ∧ x5) ∧ x6)  ∧ ¬x7

Внешняя операция — конъюнкция. Ее проще проверять по строке, в которой F = 1 (значит все сомножители должны быть равны 1).
Возьмем 3-ю строку, в ней x4=1. В нашем выражении х4 с отрицанием, т.е. = 0. Для конъюнкции, когда хоть один из сомножителей равен нулю, выражение вернет в результате 0, а у нас в строке 1. Т.е. этот пункт не подходит:

2 пункт:

(((x1 ∨ (¬x2 → x3) ∨  ¬x4) ∨ ¬x5) ∨ x6)  ∨ ¬x7

Последняя выполняющаяся операция (внешняя) — дизъюнкция. Ее легче проверять по строке, в которой F = 0 (значит все слагаемые должны быть равны 0).
Смотрим по первой строке: х4 = 0, в рассматриваемом пункте он с отрицанием, т.е. = 1. Соответственно все выражение вернет единицу, а в таблице в строке 0. Т.е. этот пункт не подходит:

3 пункт:

(((¬x1 ∧ (x2 → ¬x3) ∧  x4) ∧ ¬x5) ∧ x6) ∧ x7

Последняя операция — конъюнкция. Ее проще проверять по строке, в которой F = 1 (значит все сомножители должны быть равны 1).
Возьмем 2-ю строку: в ней х7 = 0, в рассматриваем пункте х7 без отрицания, т.е. так и остается равным нулю. При умножении выражение вернет в результате 0. В таблице — 1. Т.е. пункт тоже не подходит:

Единственным подходящим вариантом остался пункт под номером 4 (на всякий случай всегда стоит проверить и его).

Результат: 4

В видеоуроке рассмотрено подробное решение 2 задания:

📹 здесь

Задание 2_1: Задание 2 ЕГЭ по информатике:

Логическая функция F задается выражением
(y → x) ∧ (y → z) ∧ z.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

№	Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	F
	???	???	???	F
1	0	0	0	0
2	0	0	1	0
3	0	1	0	1
4	0	1	1	1
5	1	0	0	0
6	1	0	1	0
7	1	1	0	0
8	1	1	1	1

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

Сначала необходимо рассмотреть логическую операцию, которую мы будем выполнять в последнюю очередь — это логическое И (конъюнкция) или ∧. То есть внешнюю операцию:

(y → x) ∧ (y → z) ∧ z

Конъюнкцию легче рассматривать по тем строкам таб. ист-ти, в которых F = 1, т.е. №3, №4, и №8
Поскольку для конъюнкции функция истинна только тогда, когда все переменные истинны, то необходимо чтобы отдельно каждая скобка была истинна ((y → x) = 1 и (y → z)=1) и переменная z тоже была истинной (=1)

(y → x) ∧ (y → z) ∧ z = 1
   если: 
1. (y → x) = 1
2. (y → z) = 1
3. z = 1

Поскольку с выражениями в скобках сложней работать, определим сначала какому столбцу соответствует z. Для этого выберем строку (№3), где F = 1, а в остальных ячейках только одна единица, остальные — нули.

№	Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	F
3	0	1	0	1

Таким образом, делаем вывод, что z находится во втором столбце (отсчет ведем слева):

№	Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	F
_	???	z	???	F

Дальше нам необходимо рассмотреть две скобки, в которых находится операция импликации: (y → x) и (y → z). Обе эти скобки должны возвращать истину (=1). В таб. истинности для импликации, функция возвращает в результате 1 тогда, когда:
вторая переменная (заключение) равна 1 (первая при этом может быть любой),
вторая переменная (заключение) равна 0, а первая обязательно должна быть равна тоже 0.
Рассмотрим скобку (y → x) и строку 4 таблицы:

№	Перем. 1	z	Перем. 3	F
4	0	1	1	1

Для этой строки только y может быть равен 0, т.к. если x = 0, тогда y=1, и скобка в результате возвратит ложь (1 → 0 = 0). Соответственно, y находится в первом столбце. А x значит должен стоять в третьем:

Результат: yzx

Детальный разбор данного задания 2 ЕГЭ по информатике предлагаем посмотреть в видео:

📹 здесь

Источник

Таблица истинности

Содержание:

Что такое таблицы истинности
Логические операции
Логические выражения
Инверсия
Конъюнкция
Дизъюнкция
Правила составления таблицы истинности
Примеры построения таблицы истинности

Что такое таблицы истинности

Определение

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов.

Таблица истинности необходима для совершения логических операций. Она включает в себя n+1 столбцы и 2ⁿ строки, где n – число используемых переменных. В первых n столбцах представлены разные значения аргументов функции, а в n+1 столбце представлены значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Набором называется совокупность значений переменных. А = 0, В = 1. В случае, когда количество переменных n, число различных наборов будет равно 2^N. Например, для трех переменных число разных наборов будет равно 2³ = 8.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для создания таблиц истинности используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

Можно встретить вариацию таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В подобной таблице в первые n столбцы, так же как и в первом варианте, вписаны наборы аргументов, а остальные столбцы заполнены значениями подфункций, которые входят в запись функции. Благодаря этим промежуточным вычислениям, упрощается расчет конечного значения функции.

Применение таблиц истинности чаще всего встречается в булевой алгебре и в цифровой электронной технике для описания работы логических схем.

Логические операции

Определение

Логические операции — построение из одного или нескольких высказываний нового высказывания.

Результатом может являться не только образование нового высказывания, но и изменение содержания или объема уже данных высказываний. В случае логической операции истинность значения нового высказывания всецело определяется истинностью значения исходных высказываний.

К логическим операциям относятся конъюнкция, дизъюнкция, импликация, разделительная дизъюнкция, эквиваленция, антиконъюнкция, антидизъюнкция.

Логические выражения

Определение

Логическое выражение — это запись, принимающая логическое значение «истина» или «ложь».

Их можно разделить на два типа:

выражения, использующие операции сравнения и принимающие логические значения. Например, выражение a < b, где a = 12, а b = 9, равно значению «ложь»;
логические выражения, которые связаны с логическими величинами и операциями. Например, A ∨ В ∧ С, где А = истина, B = ложь и C = истина.

В логические выражения могут входить функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. Для таких случаев существует алгоритм выполнения действий. За исключением тех случаев, когда в логическом выражении присутствуют скобки, влияющие на порядок выполнения операций.

вычисляется существующие функциональные зависимости;
вычисляются алгебраические операции в обычном порядке;
вычисляются операции сравнения в любом порядке;
вычисляются логические операции начиная с операции отрицания. Следом вычисляется операция логического умножения, логического сложения, в последнюю очередь выполняются операции импликации и эквивалентности.

Инверсия

Определение

Инверсия или логическое отрицание — это логическая операция, при выполнении которой из данного высказывания получается новое высказывание. Это высказывание является отрицанием исходного высказывания.

Если данное высказывание обозначается буквой A, то отрицание исходного высказывания обозначается следующим образом ([overline{A}]). Кроме этого возможно использование условного обозначения (neg A). Читаться это будет как «не А», «А ложно», «неверно, что А», «отрицание А».

Унарной в данном случае называется операция, которая используется относительно одной величины.

Конъюнкция

Определение

Конъюнкция — это логическое умножение. Эта операция, для которой требуются два и более логических величины. Конъюнкция соединяет логические высказывания при помощи связки «и». Связка изображается символом ∧.

Конъюнкция может быть истинной только в том случае, если оба высказывания истинны. Например, A ∧ B, если A = ложь, а B = истина, является ложным.

Дизъюнкция

Определение

Дизъюнкция — логическое сложение. Эта логическая операция соединяет два и более высказываний с помощью связки «или». Эта связка обозначается как ∨.

Логическое высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из условий. Например, A ∨ B истинно, даже если А = истина, а В = ложь. Высказывание будет ложным только в том случае, если ложны и А, и В.

Правила составления таблицы истинности

Таблицу истинности можно построить для любого логического выражения. В этой таблице будут отражены все значения, которые принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных.

Строить таблицы истинности необходимо по следующему алгоритму:

Вычислить число переменных в выражении (n).
Вычислить общее количество логических операций в выражении.
Определить последовательность, в которой будут выполняться логические операции.
Установить количество столбцов в таблице — количество переменных и количество операций.
Внести в шапку таблицы переменные и операции, соблюдая последовательность, определенную в пункте 3.
Высчитать количество строк в таблице, используя формулу m = 2ⁿ
Занести в таблицу наборы входных переменных. Они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2ⁿ−1.
Заполнить таблицу, совершая логические операции.

Примеры построения таблицы истинности

Задача

Построим таблицу истинности и решим выражение( F = (A vee B) wedge (¬A vee ¬B)). Будем пользоваться приведенным выше алгоритмом.

Число переменных в выражении n = 2.
Общее количество логических операций в выражении — 5.
Последовательность выполнения логических операций — 1, 5, 2, 4, 3.
Количество столбцов — 7. Логические переменные (А и В) + логические операции (vee), (wedge), (¬), (vee) , (¬) = 2 +5 = 7.
Количество строк — 5, исходя из m =2ⁿ, таким образом 2² = 4, 4+1 (строка заголовков столбцов) = 5.
Заполним таблицу.

Решение

А	В	(А vee В)	¬А	¬В	(¬А vee ¬В)	((A vee B) wedge (¬A vee ¬B))
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0 при A = B = 0 и A = B = 1

Задача

Построим еще одну таблицу истинности и решим выражение (F = X vee Y wedge ¬Z)

Число переменных в выражении n = 3.
Общее количество логических операций в выражении — 3.
Последовательность выполнения логических операций — 3, 2, 1.
Количество столбцов — 6. Логические переменные (X, Y, Z) + логические операции( vee), (wedge), ¬ = 3 + 3 = 6.
Количество строк — 9, исходя из m =2ⁿ, таким образом 2³ = 8, 8+1 (строка заголовков столбцов) = 9.
Заполним таблицу.

Решение

X	Y	Z	¬Z	(Y wedge ¬Z)	(X vee Y wedge ¬Z)
0	0	0	q	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0, при X = Y = Z = 0; при X = Y = 0 и Z = 1.

Источник

Способы решения задач по логике

Табличный способ – этапы, особенности

Метод таблиц

Обозначение логических операций:

Сравнение методов решения

Метод рассуждений

Табличный метод

Построение таблиц истинности для различных типов задач

Построение электронных схем, реализующих логические операции

Дизъюнктор, схема электропитания

Инвертор в электросхемах

Обозначение логических элементов

Построение таблиц истинности

Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

Алгоритм построения логической функции по ее таблице истинности

Логические выражения и таблица истинности

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

Таблицы истинности и порядок выполнения логических операций

Решение заданий 2 ЕГЭ по информатике

Задания для тренировки

Таблица истинности

Что такое таблицы истинности

Логические операции

Логические выражения

Инверсия

Конъюнкция

Дизъюнкция

Правила составления таблицы истинности

Примеры построения таблицы истинности

Вам также может понравиться

Гремят двери на приоре как исправить

Как найти открытые яндекс диски

Как найти реальный сайт секс знакомств

Добавить комментарий Отменить ответ