Теорема как найти касательную

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Расскажем подробнее, что такое касательная и секущая.

Напомним, что расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной к окружности. В этом случае она имеет с окружностью ровно одну общую точку. Такую прямую называют касательной к окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность в двух точках. Такую прямую называют секущей.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не имеет с окружностью общих точек.

Запишем основные теоремы о касательных. Они помогут нам при решении задач ЕГЭ и ОГЭ.

Теорема 1.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

На рисунке радиус OA перпендикулярен прямой m.

Теорема 2. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство:

Дана окружность с центром O.

Прямые AB и AC — касательные, точки B и C — точки касания. Докажем, что
AB = AC и

Проведем радиусы OB и OC в точки касания.

По свойству касательной, и .

В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC и

Теорема 3. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Доказательство:

Пусть из точки A к окружности проведены касательные AB и AC. Соединим точку A с центром окружности точкой O. Треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету, следовательно, AB = AC.

Теорема 4. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Угол ACМ на рисунке равен половине угловой величины дуги AC.

Доказательство теоремы здесь.

Теорема 5, о секущей и касательной.

Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.

Доказательство теоремы смотрите здесь.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Касательная к окружности.

Задача 1.

Угол ACO равен , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол CAO — прямой. Из треугольника ACO получим, что угол AOC равен 62 градуса. Bеличина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги AB— тоже 62 градуса.

Ответ: 62.

Задача 2.

Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Это чуть более сложная задача. Центральный угол AOD опирается на дугу AD, следовательно, он равен 116 градусов. Тогда угол AOC равен Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол OAC — прямой. Тогда угол ACO равен

Ответ: 26.

Задача 3.

Хорда AB стягивает дугу окружности в Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Проведем радиус OB в точку касания, а также радиус OA. Угол OBC равен Треугольник BOA — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол OBA равен 44 градуса, и тогда угол CBA равен 46 градусов, то есть половине угловой величины дуги AB.

Мы могли также воспользоваться теоремой: Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Задача 4.

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Решение:

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника ABC складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ответ: 24.

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

Задача 5.

Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

Решение:

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку O — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку O с вершинами A, B, C, D, E. Получились треугольники AOB, BOC, COD, DOE и EOA.

Очевидно, что площадь многоугольника

Треугольники АОВ, ВОС, COD, DOE и ЕОА имеют равные высоты, причем все эти высоты равны радиусу окружности.

где p — полупериметр многоугольника.

По условию, P = 10, S = 5, тогда

Ответ: 1

Задачи ЕГЭ

1. Угол ACO равен , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B . Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию, CA — касательная, A — точка касания.

. Треугольник ACO — прямоугольный, .

Угол — центральный, и он равен угловой величине дуги AB, на которую опирается. Значит, градусная мера дуги AB равна . Это меньшая дуга AB, а большая — с другой стороны от точек A и B, и она больше 180 градусов.

Ответ: 63.

2. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центральный угол AOB равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть

AC и BC — касательные, поэтому , поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Сумма углов четырехугольника ACBO равна

Ответ: 122.

3. Хорда AB стягивает дугу окружности в . Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Применим теорему об угле между касательной и хордой.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

Значит, угол ABC равен .

Ответ: 46.

4. Через концы A и B дуги окружности с центром О проведены касательные AC и BC. Угол CAB равен . Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

Поэтому меньшая дуга AB окружности равна . Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, угол AOB равен .

Мы могли бы решить задачу и по-другому, рассматривая четырехугольник ACBO, как в задаче 2.

Ответ: 64.

5. Через концы A, B дуги окружности в проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. В треугольнике ABC:

Ответ: 118.

6. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точках B и D, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию, DB — диаметр окружности, поэтому дуга AВ, не содержащая точки D, равна . На эту дугу опирается центральный угол AOB, он равен . Треугольник AOC прямоугольный, так как касательная CA перпендикулярна радиусу ОA, проведенному в точку касания.

Ответ: 26.

Задачи ОГЭ по теме: Касательная к окружности

1. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Решение:

Отрезок OB — радиус, проведённый в точку касания, поэтому AB и OB перпендикулярны, треугольник AOB — прямоугольный. По теореме Пифагора:

Ответ: 5.

2. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный . Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому угол OКD — прямой. Тогда Треугольник OMK — равнобедренный, его стороны OК и OМ являются радиусами окружности, поэтому

Ответ: 7.

3. Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Решение:

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, треугольник AOB — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора найдём AO:

Ответ: 10.

4. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Решение:

Проведём радиус AH в точку касания. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому треугольник ABН — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдём BH:

Ответ: 40.

5. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом . Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, поэтому AC=BC и треугольник ABC — равнобедренный.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними, значит, дуга AB равна . Угол AOB — центральный, он равен дуге, на которую опирается, то есть . Треугольник AOB равнобедренный,

Ответ: 36.

6. Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен , а расстояние от точки A до точки O равно 8.

Решение:

Проведём радиусы OB и OC в точки касания. Треугольники AOB и AOC — прямоугольные. Эти треугольники равны по катету и гипотенузе.

OB — OC как радиусы окружности, гипотенуза общая. Значит,

Из треугольника AOB найдём OB, то есть радиус окружности.

Ответ: 4.

7. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2, AC = 8. Найдите AK.

Решение:

По теореме о секущей и касательной,

Ответ: 4.

8. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна . Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Ответ: 36.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Окружность
5. Касательная к окружности

Советуем посмотреть:

Взаимное расположение прямой и окружности

Градусная мера дуги окружности

Теорема о вписанном угле

Свойство биссектрисы угла

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Теорема о пересечении высот треугольника

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 641,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 642,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 648,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 21,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 723,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 735,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 736,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 877,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1105,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1147,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Касательная прямая к окружности в евклидовой геометрии на плоскости — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Также можно определить касательную как предельное положение секущей, когда точки пересечения её с окружностью бесконечно сближаются. Касательные прямые к окружностям служат предметом рассмотрения ряда теорем и играют важную роль во многих геометрических построениях и доказательствах.

Касательные прямые к одной окружности[править | править код]

Касательная прямая t к окружности C пересекает окружность в единственной точке T. Для сравнения, секущие прямые пересекают окружность в двух точках, в то время как некоторые прямые могут не пересекать окружность совсем. Это свойство касательной прямой сохраняется при многих геометрических преобразованиях^[en], таких как подобие, вращение, параллельный перенос, инверсия и картографическая проекция. Говоря техническим языком, эти преобразования не меняют структуру инцидентности касательных прямых и окружностей, даже если сами прямые и окружности деформируются.

Радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной прямой. И обратно, перпендикуляр к радиусу в конечной точке (на окружности) является касательной прямой. Окружность вместе с касательной прямой имеют осевую симметрию относительно радиуса (к точке касания).

Никакая касательная прямая не может проходить через точку внутри окружности, поскольку любая такая прямая должна быть секущей. В то же время для любой точки, лежащей вне круга, можно построить две проходящие через неё касательные прямые. Геометрическая фигура, состоящая из окружности и двух касательных прямых, также обладает осевой симметрией относительно прямой, соединяющей точку P с центром окружности O (см. рисунок справа). В этом случае отрезки от точки P до двух точек касания имеют одинаковую длину. По теореме о степени точки квадрат длины отрезка до точки касания равен степени точки P относительно окружности C. Эта степень равна произведению расстояний от точки P до двух точек пересечения окружности любой секущей линией, проходящей через P.

Касательная прямая t и точка касания T обладают свойством сопряжённости друг другу; это соответствие можно обобщить в идею о полюсе и поляре. Такая же взаимосвязь существует между точкой P вне окружности и секущей линией, соединяющей две точки касания.

Если точка P лежит вне окружности с центром O, и если касательные прямые из P касаются окружности в точках T и S, то углы ∠TPS и ∠TOS дают в сумме 180°.

Если хорда TM проведена из точки касания T прямой P T и ∠PTM ≤ 90°, то ∠PTM = (1/2)∠MOT.

Геометрическое построение[править | править код]

Относительно легко построить прямую t, касательную к окружности в точке T на окружности. Для этого следует провести прямую a через центр окружности O и точку T. Тогда прямая t является перпендикуляром к прямой a. Один из способов построения перпендикуляра следующий (см. рисунок). Проводим тем же радиусом (r) окружность с центром в точке T, получаем вторую точку G на прямой a, а точка T становится серединой отрезка OG. Проводим две окружности радиуса R>r с центрами в точках O и G. Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, будет касательной.

Для построения касательной прямой через точку P к окружности C можно использовать свойство угла, опирающегося на диаметр окружности. Проводится окружность с центром в точке H, середине отрезка OP, где O — центр окружности C. Пересечения T и T‘ являются точками касания прямых, проходящих через точку P, поскольку углы ∠OTP и ∠OT‘P опираются на диаметр OP окружности с центром в H.

Теорема об описанном четырёхугольнике и вписанные окружности[править | править код]

Описанный четырёхугольник ABCD — это замкнутая фигура с четырьмя сторонами, которые касаются окружности C. Соответственно, C — вписанная в четырёхугольник ABCD окружность. По теореме Пито суммы противоположных сторон любого такого четырёхугольника равны, то есть

Это заключение следует из равенства отрезков касательных от вершин четырёхугольника. Обозначим точки касания как P (на отрезке AB), Q (на отрезке BC), R (на отрезке CD) и S (на отрезке DA). Симметричные отрезки до точек касания от каждой вершины четырёхугольника ABCD равны, то есть BP=BQ=b, CQ=CR=c, DR=DS=d и AS=AP=a.
Но каждая сторона четырёхугольника состоит из двух таких отрезков

,

что и доказывает утверждение.

Обратное утверждение также верно — окружность можно вписать в любой выпуклый четырёхугольник, у которого суммы длин противоположных сторон равны.^[1]

Эта теорема и обратная к ней имеют различные применения. Например, из теоремы немедленно следует, что ни в какой прямоугольник не может быть вписана окружность, если только это не квадрат, а также что можно вписать окружность в любой ромб, хотя в общем случае вписать в параллелограмм окружность нельзя.

Касательные прямые к двум окружностям[править | править код]

Для двух окружностей в общем случае имеется четыре различные прямые, касательные к обеим окружностям, если одна окружность не лежит в другой, но в вырожденных случаях может быть любое число касательных от нуля до четырёх. Эти случаи описаны ниже. Из четырёх касательных прямых две являются внешними касательными, когда окружности оказываются лежащими по одну сторону от касательной прямой. Для двух других прямых, внутренних касательных, окружности оказываются лежащими по разные стороны от касательной прямой. Внешние касательные пересекаются в центре внешней гомотетии^[en], в то время как внутренние касательные пересекаются в центре внутренней гомотетии. И внутренний, и внешний центры гомотетии лежат на прямой, проходящей через центры окружностей, ближе к центру меньшей окружности. Если две окружности имеют одинаковые радиусы, остаются те же четыре касательных, но внешние касательные прямые параллельны и внешнего центра гомотетии на аффинной плоскости не существует. На проективной плоскости внешний центр гомотетии лежит в бесконечно удалённой точке, соответствующей пересечению прямых.^[2]

Внешняя касательная[править | править код]

Красные прямые, соединяющие точки T₁ и T₃, T₂ и T₄, являются внешними касательными двух окружностей.

Внутренняя касательная[править | править код]

Внутренние касательные — это касательные, которые пересекают отрезок, соединяющий центры окружностей. Заметим, что внутренние касательные не существуют в случае пересекающихся окружностей.

Построение[править | править код]

Касательные к двум окружностям могут быть построены с помощью нахождения центров гомотетии, как описано выше, а затем построения касательных, проходящих через эти центры. Можно также построить касательные прямые и касательные точки прямо, как описано ниже.

Элементарная геометрия[править | править код]

Пусть O₁ и O₂ — два центра двух окружностей C₁ и C₂ и пусть r₁ и r₂ — их радиусы, при этом r₁ > r₂. Другими словами, окружность C₁ будем считать большей из двух окружностей. Два различных способа можно использовать для построения внешних и внутренних касательных прямых.

Внешние касательные

Рисуем новую окружность C₃ с радиусом r₁ − r₂ с центром в O₁. Используя метод, описанный выше, проводим две касательные прямые из точки O₂ к этой новой окружности. Эти прямые параллельны искомым касательным прямым, поскольку это соответствует уменьшению радиусов обеих окружностей C₁ и C₂ на одно и то же число r₂, в результате чего окружность C₂ превращается в точку. Через две точки касания на окружности C₃ можно провести два луча из центра O₁. Эти лучи пересекают C₁ в искомых точках касания. Искомые касательные перпендикулярны этим радиальным лучам и могут быть построены, как показывалось выше.

Внутренние касательные

Рисуем новую окружность C₃ с радиусом r₁ + r₂ с центром в O₁. Используя метод, описанный выше, проводим две касательные прямые из точки O₂ к этой новой окружности. Эти прямые параллельны искомым касательным прямым, поскольку это соответствует уменьшению радиуса окружности C₂ до нуля с одновременным увеличением радиуса C₁ на ту же константу r₂. Два радиальных луча можно провести из центра O₁ через точки касания на C₃. Эти лучи пересекают C₁ в искомых точках касания. Искомые внутренние касательные перпендикулярны радиальным лучам и пересекают лучи в найденных точках, так что их можно построить вышеуказанным методом.

Фактически это то же самое построение, что и для внешних касательных, если принять, что радиус меньшей окружности отрицателен.

Аналитическая геометрия[править | править код]

Пусть окружности имеют центры c₁ = (x₁,y₁) и c₂ = (x₂,y₂) и радиусы r₁ и r₂ соответственно. Пусть касательная прямая имеет уравнение с нормализацией a² + b² = 1, тогда расстояние от центров окружностей до прямой вычисляется по формулам:

ax₁ + by₁ + c = r₁ и

ax₂ + by₂ + c = r₂.

Вычтем первое уравнение из второго, получим

aΔx + bΔy = Δr

где Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁ и Δr = r₂ − r₁.

Если  — расстояние от c₁ до c₂, мы можем нормализовать, сделав замену X = Δx/d, Y = Δy/d и R = Δr/d для упрощения уравнений, что даёт уравнения aX + bY = R и a² + b² = 1. Решаем их и получаем два решения (k = ±1) для двух внешних касательных линий:

a = RX − kY√(1 − R²)

b = RY + kX√(1 − R²)

c = r₁ − (ax₁ + by₁)

Геометрически это соответствует вычислению угла, образованного касательной и прямой, проведённой через центры, а затем линия центов поворачивается для получения уравнения касательной. Угол можно вычислить с помощью тригонометрии из прямоугольного треугольника, вершинами которого являются (внешний) центр гомотетии, центр окружности и точка касания. Гипотенуза лежит на прямой центров, радиус является катетом, противоположным углу, а прилегающий к углу катет лежит на касательной прямой.

(X, Y) — это единичный вектор, направленный от c₁ в c₂, в то время как R равен , где  — угол между линией центров и касательной. тогда равен (в зависимости от знака , что эквивалентно направлению вращения), и приведённые выше уравнения являются вращением (X, Y) на с помощью матрицы вращения

k = 1 — это касательная прямая справа от окружностей, если смотреть из c₁ в направлении c₂.

k = −1 — это касательная прямая справа от окружностей, если смотреть из c₂ в направлении c₁.

Все рассуждения выше предполагают, что радиусы окружностей положительны. Если r₁ положителен, а r₂ отрицателен, то c₁ будет лежать слева от каждой прямой, а c₂ — справа, и две касательные прямые пересекутся. Таким путём можно получить все четыре решения. Смена знака обоих радиусов приводит к обмену вариантов k = 1 и k = −1.

Векторы[править | править код]

В общем случае точки касания t₁ и t₂ для любой из четырёх касательных прямых к окружностям с центрами в v₁ и v₂ и с радиусами r₁ и r₂ получаются путём решения четырёх уравнений:

Эти уравнения выражают тот факт, что касательная прямая перпендикулярна радиусам, а точки касания лежат на соответствующих окружностях.

Эти четыре квадратных уравнения с двумерными векторными переменными в общем случае дают четыре пары решений.

Вырожденные случаи[править | править код]

Две различные окружности могут иметь, в зависимости от взаимного расположения, от нуля до четырёх прямых, касающихся обеих окружностей. Варианты можно классифицировать по расстоянию между центрами и радиусам.

И наконец, если окружности совпадают, любая касательная прямая к одной окружности будет общей касательной.

Далее понятие общей касательной прямой можно расширить на случай окружностей отрицательного радиуса (которые образованы теми же самыми точками но «наизнанку»). В этом случае, если радиусы имеют противоположные знаки (одна окружность имеет положительный радиус, другая — отрицательный) внешний и внутренний центры гомотетии меняются местами и внешние и внутренние общие касательные меняются местами. Если же радиусы имеют один и тот же знак (оба радиуса положительны или оба отрицательны), то понятия «внешний» и «внутренний» имеют обычный смысл.

Общие касательные можно определить для окружностей с нулевым радиусом. В этом случае окружность с нулевым радиусом трактуется как двойная точка, а потому любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает её с кратностью^[en] два. Если окружность имеет радиус ноль, общая касательная прямая — это просто касательная прямая к окружности, проходящая через точку, но считается эта прямая дважды. Если обе окружности имеют нулевой радиус, то общая касательная прямая — это прямая, проходящая через две точки, и эта прямая имеет кратность четыре.

Заметим, что в этих вырожденных случаях внешний и внутренний центры гомотетии остаются (внешний центр уходит в бесконечность, если радиусы равны), за исключением случая, когда окружности совпадают (в этом случае внешний центр не определён), или когда обе окружности имеют нулевой радиус (в этом случае отсутствует внутренний центр).

Приложения[править | править код]

Задача о ремённой передаче[править | править код]

Внутренние и внешние касательные полезны при решении задачи о ремённой передаче^[en], которая заключается в вычислении длины ремня, который плотно бы прилегал к колёсам передачи. Если считать ремень математической кривой с пренебрежительно малой толщиной и если колёса передачи находятся точно в одной плоскости, задача сводится к суммированию отрезков касательных с соответствующими длинами дуг. Если ремень натянут на колёса с пересечением, необходимо рассматривать внутренние касательные. Если же ремень натянут без пересечения, необходимо рассматривать внешние касательные. Последний случай иногда называется задачей шкивов.

Касательные прямые к трём окружностям: теорема Монжа[править | править код]

Для трёх окружностей C₁, C₂ и C₃ существует три пары окружностей (C₁C₂, C₂C₃ и C₁C₃). Поскольку каждая пара окружностей имеет два центра гомотетии, всего получим шесть центров гомотетии^[en]. Гаспар Монж показал в начале 19-го века, что эти шесть точек лежат на четырёх прямых, и на каждой прямой лежат три точки.

Касательные прямые и бильярд[править | править код]

Система касательных прямых прицеливания битка использует прямую, проходящую через середину кия, для создания двух касательных прямых от битка в направлении прицельного шара. Две касательные прямые и прямая через середину битка пересекают прямую, проходящую через середину прицельного шара и центр лузы. Необходимо направить удар так, чтобы конечное положение битка (воображаемый шар на рисунке) касалось прицельного шара в точке касания прямой, перпендикулярной направлению на лузу (на рисунке эта касательная выделена зелёным цветом).

Задача Аполлония[править | править код]

Много частных случаев задачи Аполлония используют нахождение окружностей, касающихся одной или нескольких прямых. В простейшем из этих случаев строится окружность, касающаяся трёх заданных прямых (задача LLL). Центр любой такой окружности должен лежать на биссектрисе угла в точке пересечения любой пары этих прямых. В каждой точке пересечения прямых есть две биссектрисы. Пересечения этих биссектрис дают центры окружностей, являющихся решением. В общем случае существует четыре таких окружностей для треугольника, образованного пересечением трёх прямых — вписанная окружность и три вневписанных.

В общем случае задачу Аполлония можно свести к более простой задаче построения окружности, касающейся одной окружности и двух параллельных прямых (это сам по себе частный случай LLC). Чтобы это сделать, увеличиваем пропорционально^[en] две из этих трёх заданных окружностей вплоть до их касания. Инверсия относительно окружности подходящего радиуса с центром в точке касания переводит эти две окружности в две параллельные прямые, а третью окружность — в другую окружность. Таким образом, решение может быть найдено путём перемещения окружности постоянного радиуса между двумя параллельными прямыми, пока не получим касание с преобразованной третьей окружностью. Обратная инверсия даст решения исходной задачи.

Обобщения[править | править код]

Понятие касательной прямой к одной и более окружностям можно обобщить несколькими путями. В первую очередь, свойство парности касательных прямых и точек касания можно обобщить до полюса и полярной прямой, когда полюс может находиться в любом месте, не обязательно на окружности. Во-вторых, объединение двух окружностей является особым (приводимым^[en]) случаем плоской кривой четвёртой степени, а внешние и внутренние касательные прямые являются касательными к двум точкам^[en] этой кривой. В общем случае плоская кривая четвёртой степени имеет 28 прямых, касающихся её дважды.

Третье обобщение относится скорее к касательным окружностям, а не к касательным прямым. Касательную прямую можно рассматривать как касательную окружность с бесконечным радиусом. В частности, внешние касательные прямые к двум окружностям можно рассматривать как частные случаи из семейства окружностей, касающихся с внутренней или внешней стороны обеих окружности, в то время как внутренние касательные прямые можно рассматривать как частные случаи семейства окружностей, касающихся с внутренней стороны одной окружности и с внешней стороны другой) ^[3].

В геометрии Мёбиуса или инверсной геометрии прямые рассматриваются как окружности с центром «в бесконечности» и для любой прямой и для любой окружности существует преобразование Мёбиуса, которое переводит одну фигуру в другую. В геометрии Мёбиуса касание прямой и окружности становится особым случаем касания двух окружностей. Эта эквивалентность развивается далее в сферической геометрии Ли^[en].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Paul Kunkel. The tangency problem of Apollonius: three looks // BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics. — 2007. — Т. 22, вып. 1. — doi:10.1080/17498430601148911.
• David Fraivert. Properties of the tangents to a circle that forms Pascal points on the sides of a convex quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2017. — Vol. 17. — P. 223–243.
• Shlomo Libeskind. Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry. — 2007.

См. также[править | править код]

• Степень точки относительно окружности
• окружность
• Радикальная ось
• Радикальный центр

Ссылки[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Tangent lines to one circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Tangent lines to two circles (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Понятие касательной к окружности

Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Введем теперь понятие касательной прямой к окружности.

Теоремы, связанные с понятием касательной к окружности

Доказательство.

Рассмотрим окружность с центром $O$. Проведем в точке $A$ касательную $a$. $OA=r$ (Рис. 2).

Докажем, что $abot r$

Будем доказывать теорему методом «от противного». Предположим, что касательная $a$ не перпендикулярна радиусу окружности.

То есть $OA$ – наклонная к касательной. Так как перпендикуляр к прямой $a$ всегда меньше наклонной к этой же прямой, то расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. Как нам известно, в этом случае прямая имеет две точки пересечения с окружностью. Что противоречит определению касательной.

«Касательная к окружности» 👇

Следовательно, касательная перпендикулярна к радиусу окружности.

Теорема доказана.

Доказательство.

По условию задачи мы имеем, что радиус — перпендикуляр, проведенный из центра окружности к данной прямой. Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой равняется длине радиуса. Как мы знаем, в этом случае окружность имеет только одну точку пересечения с этой прямой. По определению 1 и получаем, что данная прямая — касательная к окружности.

Теорема доказана.

Доказательство.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Из точки $A$ (лежащей все окружности) проведены две различные касательные. Из точки касания соответственно $B$ и $C$ (Рис. 3).

Докажем, что $angle BAO=angle CAO$ и что $AB=AC$.

По теореме 1, имеем:

Следовательно, треугольники $ABO$ и $ACO$ — прямоугольные. Так как$OB=OC=r$, а гипотенуза $OA$ — общая, то эти треугольники равны по гипотенузе и катету.

Отсюда и получаем, что $angle BAO=angle CAO$ и $AB=AC$.

Теорема доказана.

Пример задачи на понятие касательной к окружности

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу. 

То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Смотри, хорда ( displaystyle AB) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла ( displaystyle BAC), а другая дуга – внутри угла ( displaystyle BAD).

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что ( displaystyle angle CAB) равен ПОЛОВИНЕ угла ( displaystyle AOB), ( displaystyle angle DAB) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла ( displaystyle AOB).

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим. ( displaystyle OA) – радиус, ( displaystyle AC) – касательная.

Значит, ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).

Поэтому:( displaystyle angle 1=90{}^circ -angle 4).

Но ( displaystyle angle 2=angle 1) (( displaystyle OA) и ( displaystyle OB) – радиусы)( displaystyle angle 2=90{}^circ -angle 4).

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника ( displaystyle AOB) равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Пишем:

Короче:

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).

Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке, ( displaystyle AB=AC).

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Вот, убедись.

Проведём радиусы ( displaystyle OB) и ( displaystyle OC) и соединим ( displaystyle O) и ( displaystyle A).

( displaystyle OB) – радиус.

( displaystyle AB) – касательная, значит, ( displaystyle OBbot AB).
Ну, и так же ( displaystyle OCbot AC).

Получилось два прямоугольных треугольника ( displaystyle AOB) и ( displaystyle AOC), у которых:

( displaystyle Rightarrow Delta AOB = Delta AOC)

(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз ( displaystyle Delta AOB=Delta AOC,) то( displaystyle AB=AC). УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Для любой прямой ( displaystyle AD), пересекающей окружность,( displaystyle ADcdot AC=A{{B}^{2}}), где ( displaystyle AB) – отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это: