Теорема косинусов для треугольника как найти косинус - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка[править | править код]

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha , противолежащим стороне ,
справедливо соотношение:

${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha .}$

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними^[1]

Доказательства[править | править код]

Классическое доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

откуда

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

$h^{2}=b^{2}-(bcos alpha )^{2}qquad qquad qquad (1)$

$h^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}qquad qquad (2)$

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

$b^{2}-(bcos alpha )^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}$

или

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha$

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma$

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
$a^{2}=(bcos {a}-c)^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}cos ^{2}{a}-2bccos {a}+c^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a})+c^{2}-2bccos {a}$
Так как
$cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a}=1$ (основное тригонометрическое тождество), то
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos {a}$
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² – известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
${displaystyle AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2cdot ACcdot AB}$

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha }$
где a, b, c — длины соответствующих векторов

Следствия[править | править код]

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

$cos {alpha }={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

В частности,

Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде^[2]:

$a^{2}=(b+c)^{2}-4cdot bcdot ccdot cos ^{2}(alpha /2)$

$a^{2}=(b-c)^{2}+4cdot bcdot ccdot sin ^{2}(alpha /2)$

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы – квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

$1+cos alpha =2cdot cos ^{2}(alpha /2)$

$1-cos alpha =2cdot sin ^{2}(alpha /2)$

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

Для других углов[править | править код]

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

${displaystyle c^{2} =a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }$

${displaystyle b^{2} =a^{2}+c^{2}-2accos beta }$

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

${displaystyle alpha =arccos left({frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}right)}$

${displaystyle beta =arccos left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}right)}$

${displaystyle gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right)}$

История[править | править код]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.^[3]^:105
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии.
В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править код]

Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):

$AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Пусть в евклидовом пространстве задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
$leftVert {vec {a}}-{vec {b}}rightVert ^{2}=leftVert {vec {a}}rightVert ^{2}+leftVert {vec {b}}rightVert ^{2}-2({vec {a}},{vec {b}})$

Для четырёхугольников[править | править код]

Возводя в квадрат тождество можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B-2accos omega -2bccos angle C$

, где

— угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B+2accos(angle A+angle D)-2bccos angle C$

Формула справедлива и для тетраэдра, под

подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами

зная все ребра тетраэдра:

${displaystyle cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}$

Где

пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

${displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(alpha +gamma )}$

Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы[править | править код]

${displaystyle S_{i}S_{j}cos angle A={frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &1\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0\end{vmatrix}}}$

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится $d_{ij}$ или $d_{ji}$ .

A — угол между гранями $S_{i}$ и $S_{j}$ , $S_{i}$ -грань, находящаяся против вершины i, $d_{ij}$ – расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править код]

Решение треугольников
Скалярное произведение
Соотношение Бретшнайдера
Теорема косинусов для трёхгранного угла
Теорема о проекциях
Теорема Пифагора
Сферическая теорема косинусов
Теорема котангенсов
Теорема синусов
Теорема тангенсов
Тригонометрические тождества
Тригонометрические функции

Примечания[править | править код]

↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
↑ ¹ ² Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Литература[править | править код]

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.

Источник

Содержание:

Формула теоремы косинусов
Следствие из теоремы косинусов
Примеры решения задач

Формула теоремы косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для плоского треугольника (рис. 1) со сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $alpha$, противолежащим стороне $a$,
справедливо соотношение:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c cos alpha$

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов,
были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги “Начал” древнегреческого математика Евклида
(ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков
стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог,
астроном и математик Региомонтан (1436 – 1476), назвав её “теоремой Альбатегния” (по имени выдающегося средневекового астронома и
математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 – 929).

В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 – 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её
стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Следствие из теоремы косинусов

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. 1):

$$cos alpha=frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$$
Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$, то угол $alpha$ – острый;

Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$, то угол $alpha$ – прямой;

Если $b^{2}+c^{2}-a^{2} lt 0$, то угол $alpha$ – тупой.

Примеры решения задач

Пример

Задание. В треугольнике $ABC AC=3, BC=5$ и $AB = 6 .$ Найти угол, противолежащий стороне $AB$

Решение. Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:

$$cos angle A C B=frac{A C^{2}+B C^{2}-A B^{2}}{2 cdot A C cdot B C}=frac{3^{2}+5^{2}-6^{2}}{2 cdot 3 cdot 5}=$$

$$=frac{9+25-36}{30}=-frac{2}{30}=-frac{1}{15}$$

Тогда

$$angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$$

Ответ. $angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Задан треугольник
$ABC$, длины сторон которого $AC=17, BC=14, angle ACB=60^{circ}$.
Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.

Решение. Согласно теореме косинусов

$$A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}-2 cdot A C cdot B C cdot cos angle A C B=$$

$$=17^{2}+14^{2}-2 cdot 17 cdot 14 cdot cos 60^{circ}=289+196-238=24$$

Тогда

$$A B=sqrt{247}$$

Ответ. $A B=sqrt{247}$

Источник

Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Формула косинуса:

a² = b² + c² – 2b.c.cosα
b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
c² = a² + b² – 2a.b.cosγ

Например:

Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.

Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:

b = 12 см

c = 8 см

cos α = cos 120º = – 1/2 (это значение можно найти в таблицах)

a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)

a² = 144 + 64 – (–96)

a² = 304

a = √304

a ≈ 17,436

Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.

Формула:

Либо

Например:

сторона c = 6

сторона b = 7

сторона a = 8

Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.

Решение:

Будем использовать эту версию формулы:

cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8

= (36 + 64 − 49) / 96

= 51 / 96

= 0,53125

= cos¯¹(0,53125)

≈ 57,9°

Следствие верхней части формулы cos α

Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):

b²+c²−a²<0, значит угол α — тупой;
b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.

Доказательство теоремы косинусов

Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C

1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a <=> CD = a.cos C.

2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:

DA = b − a.cosC

3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:

sin C = BD/a <=> BD = a.sinC.

4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²

5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²

6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C

6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC

7. Выносим за скобки “a²”: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC

8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C

Q.E.D.

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

две его стороны равны;
углы при основании равны.

Рассмотрим пример:

Используем формулу теоремы косинусов

a² = b² + c² – 2b.c.cosα

Подставляем все известные:

x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º

x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)

x² ≈ √226,048

x ≈ 15,035.

Теорема синусов

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:

Узнайте также, что такое Теорема Пифагора и Теорема Менелая.

Источник

В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.

Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).

Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.

Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):

в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.

В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :

Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :

Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.

Из рисунка видно, что противолежащая сторона – это сторона АС.

Для стороны АС записываем теорему косинусов:

Подставим значения всех сторон:

Переносим все “свободные” числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:

Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:

Записываем ответ:

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Источник

Теорема косинусов отлично помогает в решении треугольников. Решение треугольника – это нахождение всех его сторон и углов. Но если нам даны только стороны треугольника, как определить углы в нем? Вот тогда и приходит на помощь теорема косинусов. Это общий случай теоремы Пифагора, подходящий для треугольника с любым углом, не только с углом 90⁰.

Теорема и доказательство

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство теоремы косинусов

Докажем теорему. Для этого нарисуем треугольник ABC и докажем, что:

Если рассматривать стороны треугольника, как векторы, то будет справедливо равенство:

В теореме в квадрате, значит возведем векторное равенство в квадрат, получим:

$[overrightarrow{BC}^2=overrightarrow{AB}^2+overrightarrow{AC}^2-2overrightarrow{AB}cdot overrightarrow{AC} eqno (2)]$

Так как, $overrightarrow{BC}^2={BC}^2$ , $overrightarrow{AC}={AC}^2$ , а скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть .

Подставим все в формулу (2):

Что и требовалось доказать.

Следствие теоремы косинусов

Проведем высоты :

Обратим внимание, что . То есть – это проекция стороны на сторону треугольника . Если угол А острый, то , если угол А тупой, то косинус угла А будет отрицательным и . То есть из теоремы косинусов вытекает важное следствие:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон “” удвоенное произведение одной из них на проекцию другой на эту сторону. Знак надо брать, если угол тупой, а знак , если угол острый.

Задачи на теорему косинусов

Задача 1

Найдите , если дано: $angle B = 60^{circ}$ , , .

Решение: Так как нам известен угол между сторонами и и известна сторона – мы сможем найти сторону , если воспользуемся теоремой косинусов.

Из теоремы косинусов $AC^2={AB}^2+{BC}^2-2AB cdot {BC} cos {angle B}$ выразим сторону .

Получим:

${BC}^2-2AB cdot {BC} cos {angle B}-AC^2+{AB}^2 = 0$

Обозначим

Тогда

$x^2-2AB cdot cos {angle B} cdot x-AC^2+{AB}^2=0$

Получаем квадратное уравнение. Подставим в него значения и решим:

$x^2-2 cdot 8 cdot frac{1}{2} x-{(4 sqrt 7)}^2+8^2=0$

Находим дискриминант:

Тогда $x_1=frac{8+16}{2}=frac{24}{2}=12$ .

$x_2=frac{8-16}{2}=frac{-8}{2}=-4$ – не может быть длиной стороны треугольника.

Ответ: 12.

Задача 2

В треугольника ABC , $angle C=120^{circ}$ , . Найдите

Решение: Нарисуем треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник.

Запишем теорему косинусов для сторону так как нам дан угол между двумя другими сторонами:

$[AB^2={AC}^2+{BC}^2-2AC cdot {BC} cos {angle 120^{circ}} eqno (1)]$

Так как , то из формулы (1), получим:

$AB^2=2{AC}^2-2{AC}^2 cdot cos {angle 120^{circ}}$

Сделаем замену: :

$AB^2=2{x}^2-2{x}^2 cdot cos {angle 120^{circ}}$ ,

перенесем ${AB}^2$ в правую часть равенства и получим квадратное уравнение:

$2{x}^2-2{x}^2 cdot cos {angle 120^{circ}}-{AB}^2=0$ ,

Подставим значения:

$2{x}^2-2{x}^2 cdot cos {angle 120^{circ}}-{(6sqrt{3})}^2=0$

$cos {angle 120^{circ}}=-frac{1}{2}$

$2{x}^2+{x}^2-108=0$

$3{x}^2=108$

${x}^2=36$

Так как , значит, .

Ответ: 6

Задача 3

Решите треугольник ABC, если известно, что $angle A=30^{circ}$ , , $angle C=45^{circ}$ .

Решение: Решить треугольник – это значит, найти все его стороны и все углы. Нам два угла даны, значит, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна $180^{circ}$ получим:

$angle B = 180^{circ}-30^{circ}-45^{circ}=105^{circ}$ .

Обозначим неизвестные стороны треугольника: , .

Выразим сторону треугольник по теореме косинусов:

$[AB^2={x}^2+y^2-2{xy} cdot cos {45^{circ}}eqno (1)]$

Выразим сторону треугольника по теореме косинусов:

$y^2={x}^2+{AB}^2-2{x}cdot{AB} cdot cos {30^{circ}}$

или

$[y^2={x}^2+16-8{x}cdot cos {30^{circ}} eqno (2)]$

Решим уравнения (1) и (2) совместно, записав их в систему уравнений:

$[left{ begin{aligned} AB^2={x}^2+y^2-2{xy} cdot cos {45^{circ}}\ y^2={x}^2+16-8{x}cdot cos {30^{circ}}.\ end{aligned} right.]$

$[left{ begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} cdot sqrt{2}\ y^2={x}^2+16-4{x}cdot sqrt{3}.\ end{aligned} right.]$

Преобразуем второе уравнение системы:

$[left{ begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} cdot sqrt{2}\ -16={x}^2-y^2-4{x}cdot sqrt{3}.\ end{aligned} right.]$

Сложим первое и второе уравнения системы и запишем получившееся уравнение вместо второго уравнения, получим:

$[left{ begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} cdot sqrt{2}\ 0=2{x}^2-xy sqrt{2}-4{x}cdot sqrt{3}.\ end{aligned} right.]$

Из второго уравнения выразим :

$xy sqrt{2}=2x^2-4x sqrt{3}$

$y=frac{2x^2-4x sqrt{3}}{x sqrt{2}}$

$y=frac{2x-4sqrt{3}}{sqrt{2}}$

Итак, мы выразили из второго уравнения системы, теперь возьмем и подставим его в первое уравнение и сделаем необходимые преобразования.

$16=x^2+(frac{2x-4sqrt{3}}{sqrt{2}})^2-x sqrt{2}(frac{2x-4sqrt{3}}{sqrt{2}})$ , раскрываем скобки и умножим левую и правую части уравнения на 2:

$32=2x^2+4x^2-16x sqrt{3}+16 cdot 3-2x(2x-4 sqrt{3})$

$2x^2-8x sqrt{3}+48-32=0$

$2x^2-8x sqrt{3}+16=0$

Разделим левую и правую части уравнения на 2:

$x^2-4x sqrt{3}+8=0$ .

Получили квадратное уравнение. Решим его.

Находим дискриминант:

$D=b^2-4ac=(4 sqrt{3})^2-4 cdot 8 cdot 1=16 cdot 3 - 32=48-32=16$

Тогда корни уравнения:

$x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{4 sqrt{3}-4}{2}=2 sqrt{3}-2$

$x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{4 sqrt{3}+4}{2}=2 sqrt{3}+2$ .

Оба значения подходят – они положительны. Находим, :

$y_1= frac{2(2 sqrt{3}-2)-4 sqrt{3}}{sqrt{2}}=frac{-4}{sqrt{2}}$ – отрицательное значение нам не подходит.

$y_2= frac{2(2 sqrt{3}+2)-4 sqrt{3}}{sqrt{2}}=frac{4}{sqrt{2}}=2 sqrt{2}$ .

Таким образом, получаем следующие значения , .

Вы можете самостоятельно сделать проверку и убедиться в том, что данные значения верны.

Ответ: , .

Теорема косинусов для треугольника очень помогает в решении геометрических задач, однако некоторые задачи усложняются, если не знать еще одну теорему – синусов. Например, третью задачу мы могли решить гораздо проще – используя теорему синусов, с помощью которой мы бы довольно быстро получили тот же результат для . Однако, с ней мы бы получили лишь приближенное значение . Теорема косинусов дает нам точный результат. Однако, в дальнейшем, когда вы выучите две теоремы – рекомендуем решать задачи, используя их обе.

Источник

Формулировка[править | править код]

Доказательства[править | править код]

Следствия[править | править код]

Для других углов[править | править код]

История[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Для четырёхугольников[править | править код]

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Симплексы[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Формула теоремы косинусов

Следствие из теоремы косинусов

Примеры решения задач

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

Следствие верхней части формулы cos α

Доказательство теоремы косинусов

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

Теорема синусов

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Теорема и доказательство

Теорема косинусов

Доказательство теоремы косинусов

Следствие теоремы косинусов

Задачи на теорему косинусов

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Вам также может понравиться

Как найти стороны ромба если знаешь диагонали

Как найти пароль от роутера хуавей

Как найти внутрихозяйственный риск

Добавить комментарий Отменить ответ